CC BY
50
Краткие сообщения
УДК 514.18 : 378.147.001.895
Н. В. КАЙГОРОДЦЕВА В. Я. ВОЛКОВ
Омский государственный технический университет
Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия,
г. Омск
ИННОВАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ В ПРЕПОДАВАНИИ
НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ_
В статье изложены современные аспекты преподавания начертательной геометрии, связанные с применением методов теории параметризации и исчислительной геометрии. Ключевые слова: многомерные пространства, графические модели.
В традиционных курсах начертательной геометрии и научных исследованиях по теории геометрического моделирования основное внимание уделяется конструктивному методу построения модели пространства. При этом обязательно задаются плоскость проекций и центры проецирования. Этот подход перенесен не только на нелинейное моделирование, когда за аппарат проецирования выбирается гиперболическая конгруэнция [1], но он применен при построении моделей многомерных пространств, когда за плоскость проекций и центры проецирования выбираются многомерные плоскости. В последнем случае, как правило, доказательной базой моделирования многомерных пространств является аналогия с трехмерным пространством [2].
В настоящее время, при синтезе новых материалов с наперед заданными свойствами, представляет теоретический и практический интерес построения оптимизационных моделей многофакторных процессов многокомпонентных систем. В этой связи для создания обоснованных моделей, как объектов пространств различной размерности и структурных характеристик, был предложен аксиоматический метод. В соответствии с ним размерность пространств образов и прообразов должны быть тождественно равны. Тождественно адекватными должны быть также структуры пространства образов и пространства прообразов. На графической модели можно решать задачи, относительно которых пространство прообразов определено, т.е. задачи, которые решаются в пространстве прообразов. Для определения размерности пространства образов и прообразов используются формулы размерности линейных и криволинейных объектов, известные в теории параметризации.
Для определения размерности сочетания многообразий линейных объектов применяется формула [1]:
Р ш О - X 0
сум . 1 I п1 ,
где г1 — число основных объектов, — размерность Грассманова множества ш. — основных объектов,
принадлежащих пл плоскостям (пространствам), р — число различных основных объектов.
Для определения размерности сочетания многообразий линейных и криволинейных объектов применяется формула [2]:
1 п
и = (ш + 1)(п - ш) +— П(Р +0-1 п!. - 1
где п — размерность объемлющего пространства, ш — размерность искомого основного объекта, Р — порядок кривых и поверхностей.
Например, необходимо определить размерность многообразия кривых Р-порядка в ш-мерной плоскости в п — мерном пространстве. Если р = 2, ш = 2, а п = 3, то размерность такого многообразия равна восьми.
Для определения размерности сочетаний Шубер-товых многообразий применяется формула:
к.
Г 1 О - X г .[а.—ш(ш+1)]. сУм =0 Г ^ 2 1 '
Например, размерность сочетаний Шубертовых многообразий, которые имеют исходные данные
Г = 1,ш1 =1 е2|
где 40,
символь-
Г - 1, Ш.1 — 1, 62П л л 0
1 1 20 г2 -1, ш2 -1, е0 ные представления Шубертовых многообразий, определится следующим образом:
1
О - (2 + 0) - — 1 • (1 +1) + 2
сум у 2
1
1 - ^0-(0 + 1)
= 3
Нетрудно заметить, что образуется трехпарамет-рическое многообразие пар точек, лежащих на лучах пучка прямых. По существу, это графическая модель трехмерного точечного евклидова пространства (чертежа Монжа).
Для определения структурных характеристик пространства образов и пространства прообразов необходимо ввести обобщенное условие инцидент-
ности, так как оно позволяет определить структурные характеристики, если за основной объект моделируемого пространства выбран линейный объект.
Анализ существующих графических моделей позволяет сформулировать систему аксиом, с помощью которых можно обосновать существующие модели и создать новые.
Необходимым элементом при построении графических моделей евклидова пространства Еп является определение размерности следующих геометрических условий [1]:
1. Размерность обобщенного условия инцидент-
Q
об
(2n - m)(m + 1) m a
:-2--z at'
2 i = 0 i
где т — размерность плоскости, на многообразие которой наложено условие, п — размерность пространства, в котором лежит многообразие т-плоскос-тей, а — размерность плоскостей в неполной флаге.
2. Размерность условия параллельности различной степени т-плоскости и д-плоскости
°// = Р//' т(п - т - д + Р// ■ т);
3. Размерность условия перпендикулярности различной степени т-плоскости и д-плоскости
0± = Р±- Ч(т - Ч + Р±- Ч).
В последних двух формулах принятые обозначения, кроме указанных, имеют следующий смысл: р // — степень параллельности, р± — степень перпендикулярности. Эти формулы позволяют проанализировать условия задачи, установить корректно ли они сформулированы, совместны ли и сколько решений имеет задача. Но так как каждое условие позволяет из многообразия искомых объектов выделить под-
многообразия, то, рассматривая пересечение этих подмногообразий, можно найти простейший графический алгоритм для решения сформулированной задачи.
Применение методов исчислительной геометрии позволяет существенно упростить конструирование многообразий многомерного пространства, когда наглядностью воспользоваться нельзя.
Если известно, относительно каких задач определено пространство прообразов, то формализованный подход исчислительной геометрии позволяет выбрать одну из простейших графических моделей, которая также определена относительно этого класса задач.
Библиографический список
1. Волков, В. Я. Многомерная исчислительная геометрия : монография / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков. — Омск : ОмГПУ, 2008. — 244 с.
2. Волков, В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов : монография / В. Я. Волков, М. А. Чижик. - Омск : ОмГИС, 2009. - 101 с.
КАЙГОРОДЦЕВА Наталья Викторовна, кандидат педагогических наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Омского государственного технического университета.
Адрес для переписки: e-mail: Kaygorodtceva@pisem. net
ВОЛКОВ Владимир Яковлевич, доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой начертательной геометрии, инженерной и машинной графики Сибирской автомобильно-дорожной академии.
Статья поступила в редакцию 16.03.2010 г. © Н. В. Кайгородцева, В. Я. Волков
Книжная полка
Ханке, К. Немецкий язык для инженеров [Текст] : учеб. для студентов, обучающихся по техн. специальностям / К. Ханке, Е. Л. Семенова. - М. : Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2010. - 319 с. : рис., табл. - ISBN 978-5-7038-3387-2.
Учебник предназначен для студентов, продолжающих изучение немецкого языка в технических вузах и университетах, что приблизительно соответствует уровню А2 или В1 «Европейских компетенций владения иностранным языком». Материал учебника позволяет совершенствовать знания немецкого языка в области науки и техники в рамках программы по иностранному языку для высшей школы и служит некоторым интерфейсом при переходе к чтению профессионально ориентированной оригинальной литературы. Для обучающихся на старших курсах технических вузов, в магистратуре и аспирантуре, может быть полезен для всех, желающих активизировать свои знания немецкого языка в области науки и техники.
Лызь, Н. А. Методика преподавания психологии / Н. А. Лызь. - Ростов-на-Дону : Феникс, 2009. -414 с. - ISBN 978-5-222-15780-0.
В учебном пособии системно изложены основы методики преподавания психологии — от постановки целей и разработки учебной программы конкретного учебного курса по психологии до создания проекта учебного занятия (урока, лекции, семинара), выбора и конструирования методов и средств обучения психологии. Психологическое образование представлено как предметная отрасль общего и профессионального образования, обладающая особыми возможностями в личностном развитии обучающихся.
Пособие предназначено для студентов психологических специальностей, изучающих одноименный курс, преподавателей психологии, учителей и всех интересующихся проблемами гуманитарного образования.
ности
