Интервальная и нечёткая геометрия в системе развития и диагностики пространственного фактора интеллекта Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 514.18+510.25

В.Ю. ЮРКОВ О. В. ЛУКИНА

Омский государственный институт сервиса

ИНТЕРВАЛЬНАЯ И НЕЧЕТКАЯ ГЕОМЕТРИЯ В СИСТЕМЕ РАЗВИТИЯ И ДИАГНОСТИКИ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ФАКТОРА ИНТЕЛЛЕКТА__

Рассмотрены геометрические объекты — точки, линейные многообразия фигуры, преобразования, адекватные нечетким образам, характерным для мышления человека. Предложена концепция геометрического и компьютерного моделирования процесса визуального мышления человека с использованием нечетких образов. Приведены примеры задач на построение с привлечением нечетких геометрических объектов.

Пространственный фактор интеллекта — это индивидуальные способности, проявляющиеся в умении оперировать пространственными формами, их отношениями и свойствами, как в статике, так и в динамике [1]. Принципиальное значение в системе пространственного фактора интеллекта отводится умению формировать и преобразовывать мысленные образы. Для диагностирования степени развития пространственного фактора интеллекта в последние годы наибольшее распространение получили тесты мысленного сечения и тесты мысленного вращения. Эти тесты, как и многие другие, реализуются на основе классической геометрии четких образов. Однако доказано, что пространственный фактор интеллекта основывается на нечетких геометрических образах.

Рассмотрим некоторые принципиальные различия между классической, интервальной и нечеткой геометрией.

Пусть рассматривается п-мерное евклидово пространство Ем, Точкой пространства Еп называется п-плексное множество (х,,..., хп) действительных чисел. Точку можно интерпретировать как п-ком-понентный вектор, исходящий из начала координат,

концом которого является точка (х...... х,,). Прямой

пространства называется бесконечное множество точек, линейно зависящих от любых двух точек этого же множества. Плоскостью называется бесконечное множество точек, линейно зависящих от любых трех точек этого же множества, и т.д. Другими словами, существуют линейные комбинации: для прямой — аА, + (1 — а)А2, для плоскости — а,А, + а2А2 + (1 — а, — а.^А.,,..., для к-плоскости — а,А, + а-Д, 4- ... + акА„ + + (1 - а, - а2 - ... - ак)Ак+1, в которых а, 6 Я, А, — множество точек определителя основного объекта.

Отрезком называется бесконечное множество точек прямой, для которого существует выпуклая линейная комбинация аА, + (1 — а)А2, а е Я, 0 < а < 1. Аналогично выпуклые комбинации можно записать для треугольника плоскости, тетраэдра пространства, к-симплекса к-плоскости.

Рассмотрим теперь интервальные и нечеткие объекты е_вклидова пространства. Интервальной точкой X назовем п-плексное множество

(х|,..., х„) точек, в котором х,е х1. = х, , ] , еЯ.

К изображению интервальных точек имеются два естественных подхода [2]. Первый заключается в представлении интервальной точки в виде прямоугольной области Х] х...хХ„ (прямоугольного п-плекса). Второй — в представлении интервальной точки в виде гиперсферы (сферического п-плекса). На рис. 1 изображены интервальные точки для случая п = 2.

Интервальную прямую можно определить как множество точек и как множество прямых следующим образом. Пусть будут даны две интервальные точки А}, Л2, А,Р|А2 = 0. Требование к

отсутствию у них общих точек обязательно, так как в противном случае интервальная прямая будет заметать все пространство. Тогда интервальная прямая есть множество всех точек, линейно зависящих от двух точек А] е А,, Аг е А2. Другими

словами, интервальная прямая есть множество всех прямых, которые проходят через интервальные точки А), А2- Вне зависимости от вида интервальных точек интервальная прямая имеет постоянную форму в заданном пространстве. Например, на рис. 2 изображена интервальная прямая на плоскости. Форма прямой определяется четырьмя опорными прямыми к заданным интервальным точкам. Точно так же определяется интервальная плоскость и интервальные линейные подпространства больших размерностей.

Для нечеткого подмножества, являющегося расширением понятия множества в классическом смысле, на пространстве объектов X = {*} вводится характеристическая функция, задающая для всех элементов степень наличия у них некоторого свойства, по которому они относятся к подмножеству А . Эта характеристическая функция традиционно носит название функции принадлежности. Функция принадлежности цА ; X [0,1] является непрерывной одномодальноц^функцией.

Нечеткой точкой X назовем п-плексчое множество (х, ....,?„) точек, удовлетворяющее следующим условиям:

Рис. 1. Изображение интервальных точек п=2

Рис. 2. Интервальная прямая на плоскости

Рис. 3. Изображение прямоугольных и круговых нечетких точек двухмерного континуума

Х = {Х;ХеХ1х...хХ„1 ЧХЭмх(Х)е[0, 1],

= 0 для всех точек X £ X и на границе интервальной точки X; _

Их = 1 только для одной точки области X , называемой ядром.

Пространство, в котором наряду с четкими точками существуют интервальные и нечеткие точки, назовем п-мерным континуумом. Можно принять как аксиому предложение, что любая точка континуума может являться ядром нечеткой точки.

К изображению нечетких точек имеются тоже два подхода. Учитывая, что функция принадлежности нечеткой точке имеет П-образную (колоколо-образную) форму, которая в простейшем виде может быть треугольной. Тогда первый подход заключается в представлении нечеткой точки в виде прямоугольной пирамиды с основанием Х1 х ... ж Xп и единичной высоты. Второй — в представлении нечеткой точки в виде конуса единичной высоты с основанием в виде гиперсферы (рис. 3).

В настоящее время не существует общепризнанной геометрии теории нечетких множеств: изображений нечетких точек, прямых, пространств, функций, а также способов решения метрических и позиционных задач, геометрических прикладных алгоритмов в вычислительной геометрии и т. д. В этой связи рассмотрим некоторые нечеткие геометри-

ческие образы. Естественно, что любой нечеткий геометрический образ можно определить как множество четких точек или как множество четких геометрических объектов такой же структуры, в определенном смысле близких к идеальному. Исключение составляет объект — нечеткая точка, которая определяется как множество точек пространства, каждой из которых приписано некоторое значение функции принадлежности этому множеству. Не определяя здесь понятие нечеткого чр:сла, можно утверждать, что нечеткая точка есть упорядоченное множество чисел (параметров), среди которых хотя бы одно является нечетким. Одним из геометрических образов нечеткой точки может быть отсек конической или пирамидальной поверхности соответствующей размерности.

Сложнее определить геометрический образ, соответствующий понятию нечеткой прямой. Во-первых, нечеткую прямую можно определить как линейное множеств^ нечетких точек, зависящее от одного четко определенного параметра. Во-вторых, нечеткая прямая может быть представлена как множество четких точек, зависящее от одного нечеткого параметра. В-третьих, нечеткая прямая может быть множеством нечетких точек, линейно зависящим от одного нечеткого параметра. Все эти определения являются частными случаями. В-четвертых, нечеткая прямая есть множество четких прямых, каждой из которых приписано значение функции принадлежности данному множеству. Во всех этих случаях получаются различные геометрические образы. Очевидно, что такие определения можно обобщить на линейные пространства любой размерности, поскольку упомянутые выше системы чаще всего являются многопараметрическими.

Нечетким соответствием (преобразованием) назовем некоторое правило или алгоритм, который четко определенному геометрическому объекту — прообразу ставит в соответствие один или несколько нечетко определенных образов. Если соответствие определяется своими параметрами, то оно будет нечетким, если хотя бы один его параметр является нечетким числом. Если соответствие определятся заданием необходимого числа прообразов и образов, то оно будет нечетким, если хотя бы один из заданных образов или прообразов является нечетким.

Нечеткие условия, как и четкие, можно разделить на условия полной и неполной инцидентности, аффинные условия и условия метрические. Если в самое простое условие принадлежности точки некоторому геометрическому объекту ввести условие нечеткости, то получится семь вариантов нечеткого условия полной инцидентности. То же самое относится к условию пересечения (неполной инцидентности), аффинным и метрическим условиям. Нечеткие условия можно определить при помощи соответствующей функции, которая принимает значение, равное единице, в случае выполнения данного условия, и значение, равное нулю, при его невыполнении.

Все это можно сформулировать в терминах теории параметризации: любой многопараметрический объект будет нечетким, если хотя бы один из его параметров описывается нечетким числом.

В результате всего сказанного можно сделать вывод, что нечеткая геометрия есть обобщение интервальной геометрии, которая, в свою очередь, является обобщением классической геометрии. Любая конструктивная геометрическая задача интер-

Рис. 4. Область толерантности точки пересечения прямой и плоскости

вальной геометрии сводится к решению конечного числа задач классической геометрии. Любая конструктивная задача нечеткой геометрии сводится к трем основным процедурам:

— построение адекватных графиков функций принадлежности для всех геометрических образов данной задачи;

— решение конечного числа задач классической геометрии, приводящих к решению задачи интервальной геометрии, то есть к определению области толерантности;

— реализация заранее определенных процедур определения значения функции принадлежности для решения задачи нечеткой геометрии.

Рассмотрим одно из возможных приложений этой теории.

В настоящее время в связи с процессами широкого внедрения информационных и компьютерных технологий в образование, несколько не у дел оказалась классическая начертательная геометрия, которая всегда рассматривалась и сейчас рассматривается как научная дисциплина, способствующая развитию пространственного фактора интеллекта, необходимого в научной деятельности и в практической жизни. В то же время, являясь разделом математики, начертательная геометрия естественно развивается по пути формализации. Этот путь открывает широкие перспективы, например, к созданию алгоритмов конструктивной многомерной геометрии, адаптированных к компьютерным технологиям. Однако этот же путь приводит к абсурду в процессах образования, поскольку не составляет никакого труда представить себе геометра, освоившего все тонкости сложнейших алгоритмов и способного с их помощью решить почти любую геометрическую задачу, но совершенно не представляющего себе, например, взаимное расположение исходных объектов задачи в пространстве. Отсюда можно сделать вывод: любая конструктивно-инструментальная реализация разработанного алгоритма решения геометрической задачи по крайне мере не способствует развитию пространственного представления. Это понимал еще Я. Штейнер, читая свои лекции по геометрии в полной темноте и этим вынуждая слушателей мысленно формировать геометрические образы и отношения между ними.

Рис. 5. Область толерантности длины взаимного перпендикуляра к двум прямым

Совершенно очевидно, что образное мышление человека является нечетким в изложенном выше смысле. Нечеткие геометрические образы и отношения в определенной степени объективно моделируют мыслительный процесс человека при решении поставленной передним задачи.

А. И. Орлов приводит пример нечеткого аналога теоремы о том, что три медианы треугольники пересекаются в одной точке [3]. Она звучит следующим образом. Пусть АВ, ВС, С А — примерно прямые линии, которые образуют примерно треугольник с вершинами А,В,С. Пусть L,M,N, — примерно середины сторон треугольника. Тогда примерно прямые линии — примерно медианы — образуют примерно треугольник, который более или менее мал по сравнению с треугольником ABC.

Эта формулировка становится разумной только после того, как будет определен смысл слов «примерно» и «более или менее». Вот как можно уточнить понятие «примерно отрезок А5»: под ним можно понимать любую кривую линию, проходящую через точки А,В, такую, что расстояние (в обычном смысле) от любой точки кривой до отрезка АВ мало по отношению к длине АВ.

Приведенную теорему можно еще более «размыть» , если сказать, что примерно прямые линии образуют примерно треугольник, вершины которого находятся примерно в точках А,В,С.

Этот пример подсказывает путь к описанию модели процесса решения в уме следующей планиметрической задачи: для трех данных точек указать точку пересечения медиан образуемого ими треугольника, не пользуясь инструментами. Понятно, что ответ может быть дан только в терминах интервальной геометрии: искомая точка находится примерно в этом месте. Следовательно, если для данных трех точек будет сформирован скрытый от обучаемого примерно треугольник - область толерантности и ответ обучаемого - точка попадет в эту область, то можно утверждать что ответ, а, следовательно, и мыслительный процесс решения задачи был верен.

Для реализации этой идеи в виде алгоритма работы создаваемой обучающей и контролирующей системы развития пространственного фактора интеллекта необходимо создать множество допустимых операций и иерархию сложности контрольно-обучающих заданий.

Начертательная геометрия, как известно, реализуется не в пространстве, а на плоскости. Ограничиваясь линейными объектами пространства, утверждаем, что для моделирования процессов образного мышления достаточно двух мысленных операций — проведения прямой через две точки и фиксирования точки пересечения двух прямых, Естественно, обе операции нечеткие. Такие операции, как проведение прямой параллельно или перпендикулярно данной принадлежат к производным операциям, то есть сводятся к первой.

Все задачи, решение которых требует применения таких операций, могут быть классифицированы по сложности, определяемой числом необходимых операций, удерживаемых в сознании в виде мысленных образов.

Рассмотрим несколько примеров типовых линейных задач различной сложности и нечеткие модели их решения.

Задача 1. Даны точки А, В, С, D, Е. Указать точку пересечения плоскости ABC с прямой DE.

Мысленный образ одного из способов полного решения задачи (опущено разбиение на этапы, появление наводящих подсказок и т.п.) изображен на рис. 4. Штриховыми линиями показаны скрытые от обучаемого интервальные или нечеткие прямые. Какие именно — зависит от необходимости оценивать степень точности образного мышления. Заштрихованная область — скрытая область толерантности или область реагирования программы на ответ. Изображение на рисунке сильно искажено (точки изображены в виде окружностей и т. д.) для наилучшего понимания смысла. Сложность мысленного решения данной задачи указанным способом равна 16 операциям (нет необходимости держать в уме сторону АВ). Задачи такой сложности относятся к числу простейших. Если требуется определить

видимость прямой DE, то дополнительно понадобится еще 5 операций. Если изображения треугольника ABC и отрезка DE заданы, сложность задачи будет равна 8.

Задача 2. Даны точки А, В, С, D и отрезок длиной 10 мм. Определить расстояние между прямыми АВ и CD.

Задача может быть решена многими способами. Какой способ выберет обучаемый, заранее не известно. Если предположить, что избран способ замены плоскостей проекций, то сложность может быть равна 26 операциям, а если потребовать указать отрезок кратчайшего расстояния между заданными прямыми, то сложность возрастет до 40. Такие задачи относятся к числу очень сложных для решения в уме.

Библиографический список

1 Наук П.Е. Тенденции формирования новых интегральных дисциплин в образовании / П.Е. Наук // Математика и инфор-матика паука и образование. — Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. - Омск. 2001. — Вып. 1. -С.281 - 286.

2. Алефельд Г. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. / Г. Алефельд, Ю. Херцбергер. — М.: Мир, 1987. - 360 с.

З.ОрловА. И. Математика нечеткости / А.И. Орлов// Наука и жизнь. - 1982. - №7,- С. 60 - 67.

ЮРКОВ Виктор Юрьевич, доктор технических наук, профессор кафедры «Социально-культурный сервис и туризм».

ЛУКИНА Ольга Викторовна, старший преподаватель кафедры «Социально-культурный сервис и туризм»

Дата поступления статьи в редакцию: 03.04.06 г. © Юрков В.Ю., Лукина О.В.

Книжная полка

Файншмидт В. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одного аргумента: Учеб. пособие. - М., 2006.

Учебник содержит основные сведения по дифференциальному и интегральному исчислению: функции, пределы, производные, интеграл, дифференциал, ряды. Основан на опыте многолетнего преподавания курса студентам технического вуза. Содержит большое число примеров приложения изучаемого математического аппарата к задачам физики и техники.

Хелгасон С. Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства. — М., 2006

Предлагаемая читателю книга американского математика С.Хелгасона содержит детальное изложение классической теории римановых симметрических пространств. Разработанная в основных чертах в работах Э.Картана 1925-1935 годов и дополненная его многочисленными последователями, эта теория прочно вошла в золотой фонд математики и получила многочисленные приложения почти во всех ее областях. Для книги характерна систематичность и полнота изложения материала. Книга рассчитана на студентов старших курсов механико-математических отделений университетов, аспирантов и преподавателей.