Нечеткая геометрия как модель и средство развития визуального мышления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Федеральный портал "Инженерное образование"

т электронный журнал

ОБРАЗОВАНИЕ

Инженерное образование Ассоциация технических университетов

#3 март 2007

Общие проблемы

инженерного

образования

Инженер в современной России

Наука в образовании: Электронное научное издание

CALS-технологии

Зарубежное образование

История технического прогресса

Учебные программы Будущий инженер Вне рубрик

English Library

Пресс-релизы

Библиотека

Конференции

Выставки

Форум

Доска объявлений

Архив

Переписка

Информация о проекте About project

Найти!

# Гос. регистрации 0420700025

ISSN 1994-0408 Ред. совет Специальности Рецензентам Авторам English Koi-8 Win

Найти выделенное

Нечеткая геометрия как модель и средство развития визуального мышления #3 март 2007

Юрков В.Ю., Лукина О.В.

Сибирская государственная автомобильно-дорожная академия

Проблема развития и контроля визуального мышления

Интенсивно развивающиеся в настоящее время визуальные средства компьютерной графики дают основание некоторым авторам утверждать появление новой инженерной дисциплины - визуальной науки [1, 2]. Не оспаривая актуальность её становления, её необходимости для профессионального применения, её многочисленных достоинств и её значимости в развитии научной культуры, необходимо объективно оценивать и её роль в развитии пространственного фактора интеллекта или визуального мышления человека. Исследований на эту тему ещё мало, чтобы делать выводы, но тенденция к снижению уровня визуального мышления специалистов заметна.

С другой стороны умение формировать и преобразовывать мысленные образы играет ключевую роль почти во всех сферах деятельности человека. При этом лучшего инструмента для развития визуального мышления, чем геометрия, особенно конструктивная геометрия, пока не найдено. Лучшего метода контроля уровня развития визуального мышления, чем метод тестирования, тоже пока не создано.

Таким образом, существует проблема создания эффективного метода развития и контроля пространственного фактора интеллекта, метода, адаптированного к современным компьютерным технологиям и применимым в автоматизированных интеллектуальных системах обучения.

Для решения этой проблемы необходимо найти формальную модель визуального мышления и описать её доступными математическими средствами. Другими словами, мы ставим задачу найти соответствие между геометрическими образами как объектами некоторого реального пространства и мыслимыми геометрическими образами пространства образного мышления. Объекты реального пространства обладают измеримыми и контролируемыми характеристиками и могут быть описаны аналитически, изображены графически, преобразованы в другие и т. д. Они могут быть отнесены к трем классам объектов - объекты-фигуры, объекты-условия (инцидентности, аффинные, метрические, дифференциальные и др.), объекты-преобразования и объекты-алгоритмы. Объекты образного мышления обладают принципиальным свойством исчезать при любой попытке их описания при помощи первых. То есть мысленные образы сохраняются только в пространстве воображения. Уместно в этой связи вспомнить Я. Штейнера, читавшего свои лекции слушателям в полной темноте, чтобы развить у них пространственное мышление.

Перед тем, как предложить один из возможных подходов к решению этой проблемы, рассмотрим простую планиметрическую задачу. Пусть требуется ответить на следующие вопросы, не пользуясь ни аналитическими, ни конструктивными моделями: 1. 2. 3.

Каковы координаты центра окружности, проходящей через точки (10, 30), (50, 10) и (60, 100)? Чему равен радиус этой окружности? Пересекает ли эта окружность ось абсцисс? Ось ординат?

Совершенно очевидно, что существует только один способ решения задачи - представить декартову систему координат и эту окружность мысленно.

Можно придумать еще много подобных задач, но становится понятно, что от человека даже с очень развитым визуальным мышлением нельзя получить определенных и четких ответов. Ответы на эти и другие вопросы будут принадлежать к классу нечетких, то есть таких: «Центр окружности находится примерно в точке (50, 55)», «Радиус окружности - около 45», «Окружность, возможно, пересекает ось ординат, а ось абсцисс, скорее всего, нет» и т. п. Человек с неразвитым визуальным мышлением ответить на эти вопросы вообще не сможет. Отсюда следует вывод: в пространстве образного мышления человек оперирует нечеткими образами.

Таким образом, мы приходим к выводу о возможности использования нечетких геометрических образов в качестве формальной модели мысленных образов и процесса визуального мышления [3 - 5].

Для реализации этой возможности необходимо:

- определить понятие нечеткой фигуры, нечеткого условия, нечеткого преобразования и нечеткого алгоритма;

- определить понятие сложности визуального решения задачи;

- выстроить иерархию задач по сложности;

- предложить алгоритм генерации нечетких образов для каждой задачи;

- создать возможность адаптации алгоритма к различным уровням визуального мышления.

Нечеткие точки и нечеткие отношения

Напомним, что фигурой называется любое множество точек. Поэтому нечеткая точка - это фигура, на основе которой можно построить все остальные нечеткие образы. В этой связи дадим несколько определений.

Интервальной точкой х назовем п-плексное множество (х1э...эхн) точек, в котором

Х1 = [Х1,1ЭI* К изображению интервальных точек имеются два естественных подхода [6].

Первый заключается в представлении интервальной точки в виде прямоугольной области (прямоугольного п-плекса). Второй - в представлении интервальной точки в виде гиперсферы

(сферического п-плекса). На рис. 1 изображены интервальные точки для случая п = 2.

Нечеткой точкой х назовем п-плексное множество (х1эхн) точек, удовлетворяющее следующим условиям:

X = {X; X е Х1 х ...х Хя\

— О для всех точек Х£ X и на границе интервальной точки х > Мх только для одной точки области х, называемой ядром.

Пространство, в котором наряду с четкими точками существуют интервальные и нечеткие точки, назовем п-мерным континуумом. Можно принять как аксиому предложение, что любая точка континуума может являться ядром некоторой нечеткой точки и что для любого заданного ядра нечеткая точка единственная.

К изображению нечетких точек имеются тоже два подхода. Учитывая, что функция принадлежности нечеткой точке имеет П-образную (колоколообразную) форму, которая в простейшем виде может быть треугольной, первый подход заключается в представлении нечеткой точки в виде носителя -прямоугольной пирамиды с основанием Х1х...хХя и единичной высоты. Второй - в представлении

нечеткой точки в виде конуса единичной высоты с основанием (носителем) в виде гиперсферы (рис. 2).

АЙ,1 А2.2

Рис. 1. Изображе*1ие интервальных точек для п = 2

1 /О'5/

/у ' \ <7 \ х

/л V \ /V

/л Л/ /А ? г

V

/ха

Рнс. 2. Изображение прямоугольных и круговых нечетких точек двумерного континуума

Важным свойством нечеткой точки, отличающим её от любого другого выпуклого подмножества, является возможность описания её при помощи альфа-уровней. Каждому альфа-уровню соответствует постоянное значение функции принадлежности. Каждый альфа-уровень есть тоже выпуклое подмножество. Нулевой альфа-уровень совпадает с границей нечеткой точки, а единичный - с ядром.

Итак, нечеткая точка есть естественная формализованная модель нечетких лингвистических понятий «около» или «примерно».

Для любых двух точек континуума можно постулировать наличие двух видов отношений: четкого и нечеткого Д = Д = {=, Ф,

То есть

Для отношения А = В можно определить функцию принадлежности следующим образом

А**В

= шт С^Х

Отношение = в рассматривать не будем, так как оно является нечетким в квадрате. Отношение % фв порождает новый вопрос: в какой степени эти две нечеткие точки различны? Степень их различия обозначим символом ¿>. Тогда

Степень их совпадения в этом случае равна

Естественно, что любой нечеткий геометрический образ можно определить как множество четких точек или как множество четких геометрических объектов такой же структуры, в определенном смысле близких к идеальному. Исключение составляет объект - нечеткая точка, которая определяется как множество точек пространства, каждой из которых приписано некоторое значение функции принадлежности этому множеству. Не определяя здесь понятие нечеткого числа, можно утверждать, что нечеткая точка есть упорядоченное множество чисел (параметров), среди которых хотя бы одно является нечетким.

Нечеткие прямые и их отношения

Введем теперь в континуум четкую прямую д. Возникают отношения принадлежности или инцидентности: . Если первые два понятны, то вторые два требуют пояснения. Так

0 еа) = тлях е а)

Степень принадлежности ' А ■

14/ 14/

Определим нечеткую прямую. Пусть даны две нечеткие точки А,В. Тогда нечеткая прямая есть

множество всех точек, примерно линейно зависящих от несовпадающих точек ХеД7еВ. Другое

определение нечеткой прямой может быть следующим. Нечеткая прямая есть множество всех прямых, которые проходят через данные нечеткие точки. Исследование свойств нечеткой прямой заняло бы много места, поэтому ограничимся следующими утверждениями:

1) функция принадлежности для нечеткой прямой может быть представлена в виде альфа-уровней;

2) функция принадлежности является кусочно-квадратичной, если функции принадлежности образующих точек являются кусочно-линейными;

3) ядро нечеткой прямой есть единственная четкая прямая, инцидентная ядрам образующих её точек;

4) граница нечеткой прямой определяется четырьмя опорными прямыми образующих её точек. Нечеткая прямая общего вида изображена на рис. 3.

Рассмотрим следующие отношения:

А^а^А^а^А^а^Ь^а^Ьта^Ь^а^Ь =а,Ь

Очевидно, что Однако

VA, Va, VJT: > 0» <

A A a

a

Что касается отношений четких и нечетких прямых, то Уа^УЛГеЬ: >ООйсо,

Нечеткое отношение равенства четких прямых («примерно совпадают») определим так: И, наконец,

<О £ та, /^(ЛГ) Ой =ЙГ.

Нечеткие расстояния

Рассмотрим возможность введения метрики в континуум, то есть возможность сравнивать длины произвольных отрезков с нечеткими концами.

14/ Л1 IV

Рассмотрим определение длины нечеткого отрезка ав■ Пусть А П В Ф0. Если А=В? то всегда

d(A, В) = О. Если АфВ , то расстояние при стремлении множества А П В Ф 0 к пустому множеству стремится к постоянному значению. Например, для расстояния Евклида будет

где Х- е АВ. В случае А П В = 0 расстояние будет равно указанной величине, независимо от положения

нечетких точек на нечеткой плоскости. Следовательно, приведенное расстояние нельзя использовать для определения длины нечеткого отрезка.

С другой стороны, можно определить длину нечеткого отрезка в метрике Кантора в виде

где А е А, В е В. Или в метрике Хаусдорфа

В) = шах (них [¿(¿еД,5)[шах [¿(ЛВеВ)}}.

Однако, для двух нечетких отрезков, которые имеют равные длины в метрике Кантора, в метрике Хаусдорфа и имеют равные длины их ядер, нельзя утверждать, что расстояния между их концами равны.

Итак, рассматриваем случай, когда А П В = 0.

Под длиной нечеткого отрезка 'а в заданного нечеткими точками «около и «около д», будем

понимать нечеткое число * ш Можно утверждать следующее:

1) ядро нечеткого расстояния соте ' =

2) носитель нечеткого расстояния

определенное понятием «около

\ав\

соге^ согей

3) если представить понятие «около \АВ\» как число (Д-£)-типа, то параметры нечеткости

¿21 = соте Т —

- пых ^(А е^Ле соте Г.

Однако при общем расположении нечетких концов отрезка, то есть если отрезок общего вида, функция принадлежности для понятия «около [¿Щ » будет более высокой степени, чем функция принадлежности для понятий «около и «около в». Например, если последние являются кусочно-линейными, то функция принадлежности понятия «около {¿Щ» будет нелинейной. Но все равно получить конкретный вид функции

принадлежности для понятия «около » достаточно легко. Определим теперь понятия:

а\ ¿(А ЙХ^СЛ а).

=шГ ¿(Д, ЛГ),

¥Д,¥а,¥ЛГед! => ¿(2,2) =шГ ¿(2,Я): (Всо)л(/I= /1~(ЛГ))

Последнее понятие можно определить по-другому

Нечеткая ортогональность прямых

Для трех различных точек А,В^С можно ввести понятие ортогональности прямых дв и ВС Ортогональность эквивалентна равенству

Нечеткая ортогональность может быть определена примерным равенством \ЛВ\\2 - \АС|2 = "около (Г

Определим отношения ортогональности: а_1_&,а_1_Ьэа следующим образом:

= \АВ\2 +|^С|2 « \АС\2 => аХй,

Степень ортогональности означает значение функции принадлежности, с которой две примерно перпендикулярные прямые относятся к множеству всех пар взаимно перпендикулярных прямых.

Нечеткая параллельность

Сформулируем понятия параллельности для четких и нечетких прямых. Как известно, в евклидовой

геометрии параллельность двух прямых выражается постоянством расстояния от точки, произвольно выбранной на одной прямой, до другой прямой. Нечеткая параллельность будет определяться примерным постоянством этого расстояния. Тогда можно определить следующие понятия:

Va, V63 VX g a, VT <= a : d(X, = d(T, 6)<=>a|]V

Первое понятие можно сформулировать иначе Va,Vb,3b=)b: a\bt>a\\b

Для второго и третьего понятия можно формально определить степень параллельности

/<а|6)=/^(Ь) Да | Ь) = min (а | b)J

которая показывает, в какой степени две примерно параллельные прямые могут быть отнесены к множеству всех пар параллельных прямых.

Можно утверждать, что если две прямые примерно перпендикулярны третьей, то они примерно параллельны.

Некоторые нечеткие фигуры

Образное мышление оперирует и более сложными фигурами, чем точки и прямые. Рассмотрим такие фигуры как нечеткие треугольники, нечеткие прямоугольники, нечеткие окружности. Сразу следует отметить, что для каждой фигуры можно дать несколько определений.

Нечетким треугольником мы назовем нечеткую фигуру, состоящую из трех нечетких отрезков, не принадлежащих одной нечеткой прямой и имеющих примерно общие нечеткие концы.

Нечетким треугольником можно назвать множество треугольников, вершины которых принадлежат трем различным нечетким точкам.

Нечетким прямоугольником можно назвать фигуру, состоящую из четырех нечетких отрезков, из которых смежные отрезки примерно перпендикулярны, а противоположные - примерно равны.

Нечеткой окружностью можно назвать множество точек, находящихся примерно на одном расстоянии от данной точки. Или - множество точек, находящихся на данном расстоянии от данной нечеткой точки. Или - множество окружностей, для которых примерно задан центр или примерно определен радиус. По большому счету все эти определения нечеткой окружности эквивалентны.

Исследование свойств нечетких фигур не является сейчас нашей задачей. Поэтому на этом остановимся.

Нечеткое касание прямых и окружностей

Сформулируем еще отношение нечеткого касания для прямой и окружности и для двух окружностей, которое часто встречается в задачах. А именно: - прямая примерно касается данной окружности; две окружности примерно касаются друг друга;

нечеткая прямая касается окружности или нечеткая окружность касается прямой; нечеткая прямая касается нечеткой окружности или две нечеткие окружности касаются друг друга.

14/

Обозначим отношение четкого и нечеткого касания Т, Т. Тогда

или

fi,3AzA = core # О => а 1 fi

Vcc,Vfi,3AzAfEa,3BzBfE fi,ЗА. А = согеЯ# 0 => a Т ^ Va,Vfi,3B.BtE а Т fi

Va,УД ЗА: A <= а, р~(А) Ф О => a Т fi

Va, УД 34:/J~(A)a Т/7

Vœ,Vfi, ЗА : * 0, (Л) * О => а. Т fi

Нечеткие преобразования

Следующими объектами, без которых невозможно обойтись при моделировании мыслительных геометрических образов, являются преобразования. Любое преобразование может быть определено как множество упорядоченных пар точек. Нечеткое преобразование можно определить как множество нечетко упорядоченных пар точек или упорядоченных нечетких пар точек или упорядоченных пар нечетких точек. Исследование нечетких преобразований континуума есть самостоятельная большая задача, которая не является задачей данной статьи. Поэтому из всего множества преобразований рассмотрим вкратце только преобразования ортогональной и аффинной группы, а именно: перенос, поворот, осевую и центральную симметрии, гомотетию и подобие. Как показывает опыт, эти преобразования можно представить мысленно.

Нечеткий перенос двумерного континуума можно определить следующим образом:

УХУЯус^ЗС':

Для нечеткого переноса справедлива теорема (сформулируем её без доказательства):

Ш IV М IV IV IV мм

УДУВ,34В": А = СОЮА^Й' = /(В%АВГ=АВ

Поэтому задание любой нечеткой точки эквивалентно заданию нечеткого переноса, определенного нечетким вектором, начало которого совпадает с началом системы координат.

Поворот плоскости определяется центром и углом поворота при постоянстве радиуса поворота. При нечетком повороте любые из этих параметров или все они могут быть нечеткими. Можно сформулировать и доказать теорему о том, что если все параметры некоторого нечеткого поворота являются нечеткими, то существует поворот, эквивалентный заданному, у которого нечетким является только один параметр.

Центральная симметрия есть поворот на 180 градусов. Нечеткая центральная симметрия может быть определена аналогично:

УДУЯ,32': АВпВА'

Определим нечеткую осевую симметрию:

УДУ5,ЗА':

Аналогично предыдущему, можно доказать теорему, что нечеткая осевая симметрия, определенная таким образом, эквивалентна четкой осевой симметрии относительно нечеткой оси, параметры нечеткости которой есть функции параметров нечеткости осевой симметрии. То есть

УДVЧА': =>З2': А'= /^А)

Гомотетия есть преобразование, сохраняющее параллельность отрезков и изменяющее их длину в к раз, то есть

УД У В, УО, У*, Э(А\ В^: \ОА'\ = к\СЦ, |СВ'| = к\ОВ\.

Нечеткую гомотетию можно определить так

УД УВ, УО, У*:, 3(2', Щ: |о2'|« крА^ |сЙ?|* к\рВ\

что эквивалентно

или

УД Уй, УО, Ук, 3(2', : |сй'| = кЩ, |£Й?| = * |йв|

Нечеткое подобие рассматривать не будем, так как оно является произведением любого нечеткого движения на гомотетию или любого четкого движения на нечеткую гомотетию.

Мыслительные операции и мера сложности алгоритма

Если геометрический алгоритм есть последовательность геометрических операций (построений), необходимых для получения решения, то нечеткий алгоритм есть последовательность операций, из которых хотя бы одна операция является нечеткой. В случае мысленного решения какой-либо задачи все мыслительные операции являются нечеткими. Мы выделяем только две мыслительные геометрические операции, реализуемые в двумерном континууме: фиксация точки как результата пересечения двух линий, фиксация линии, заданной некоторым множеством своих параметров.

Как известно, простотой или мерой сложности геометрического алгоритма называется число элементарных геометрических операций, выполняемых в процессе решения. Мерой сложности

мыслительного алгоритма назовем максимальное число геометрических образов, которые необходимо одновременно удерживать в воображении при мысленном выполнении какого-либо шага алгоритма решения задачи.

Экспериментальное определение численных параметров нечеткости

Таким образом, мы можем подвести промежуточный итог нашему исследованию. Для того, чтобы реализовать все описанные объекты нам необходимо определить численные параметры нечеткости для нечетких точек двумерного континуума. Это можно сделать экспериментально при принятии некоторых ограничений и допущений, естественных для человека с нормально развитым визуальным мышлением. К таким людям мы относим инженеров-конструкторов и художников. Задания, предлагаемые им, были следующими:

1) отметить на бумаге две горизонтально расположенные точки, расстояние между которыми попадает в интервал [10, 100], [200, 600], [700, 1000] мм. При этом указывались четкие различные расстояния, например 5,4 мм и т.д. Предлагалось по 10 расстояний из каждого интервала;

2) то же самое, но точки должны быть расположены вертикально;

3) указать интервал, соответствующий, по их мнению, понятию «около Х», где Х - любое целое случайное число из интервала [10, 1000];

4) обвести в виде окружности и в виде прямоугольника область, соответствующую, по их мнению, понятию «около точки».

Упомянутыми выше допущениями и ограничениями являлись:

1) точность мысленной фиксации точки в двумерном континууме составляет ± 1 мм;

2) указанные в заданиях понятия зависят от размеров континуума и поэтому условный размер континуума принят 10 х 10, 100 х 100, 1000 х 1000 мм;

3) из поля зрения испытуемых были удалены всякие предметы, по которым так или иначе можно было бы оценить указанные расстояния.

После обработки множества ответов, были сделаны следующие выводы:

1) при вычерчивании отрезков указанной длины часть испытуемых допускала устойчивые отклонения в меньшую сторону, а часть - в большую;

2) отклонения в ответах для указанного континуума можно считать пропорциональными абсолютной величине Х. Для длин из интервала [10, 100], после удаления очевидных выбросов, точность составила ± 5 мм, а для длин из интервала [700, 1000] - ± 50 мм;

3) для указанного размера континуума разницы в определении длин по горизонтали и по вертикали не выявлено;

4) понятие «около Х» можно представить в виде нечеткого числа (Я - Ь)-типа, равному (0,05Х - 1, Х, 0,05Х + 1) с кусочно-линейной функцией принадлежности;

5) понятие «около точки», представленное графически, не зависит от положения точки в указанном континууме и может быть изображено в виде нечеткой точки с квадратным или круговым основанием, примерно равными по площади. Для указанного континуума сторона квадрата или радиус круга может быть принят равным 1/20 ... 1/100 длины стороны континуума;

6) аналитическая и графическая модели понятия «около точки» не совпадают. Следовательно, нечеткие модели аналитического и визуального мышлений не эквивалентны.

Общий алгоритм развития и контроля визуального мышления

Теперь мы можем подойти к описанию общего алгоритма развития и контроля визуального мышления в автоматизированной интеллектуальной обучающей системе. Представим его в виде блок-схемы (рис. 4).

В блоке выбора текста задачи случайным образом генерируется задача на заданную или выбранную тему. Выбор уровня нечеткости позволяет установить параметры нечеткой точки, наиболее удобные для обучаемого. Выбор уровня сложности позволяет установить исходные данные в общем или частном положении в зависимости от степени подготовки обучаемого. Выбор способа решения означает, что задача будет решаться в уме от начала до конца или будет решаться поэтапно. В первом случае генерируется минимально необходимое для решения число исходных графических образов и все возможные скрытые графические образы, которые возникают в процессе решения. Каждый скрытый графический образ сопровождается областью реагирования.

Область реагирования на ответ представляет собой скрытую область чертежа - нечеткую фигуру (точку, отрезок и т.д.), которая реагирует на щелчок кнопкой мыши или на нажатие клавиши при подведении в эту область указателя. Визуально (мысленно) решив задачу и указав на экране возможное положение результирующего образа, обучаемый получает реакцию программы в виде принятия ответа, если он верен, и непринятия его в противном случае.

Ответ обучаемого в виде указания на экране точки или нескольких точек анализируется по степени принадлежности скрытым нечетким образам. В случае их принадлежности вычисляется степень принадлежности, которая интерпретируется как точность визуального решения задачи. В случае их непринадлежности скрытым нечетким образам предлагается перейти к поэтапному решению этой же задачи.

Поэтапное решение отличается только тем, что общая задача разбивается на подзадачи 1-го уровня сложности, которые выдаются в виде вопросов, требующих одного ответа. После верного ответа, то есть если указанная обучаемым точка принадлежит скрытому нечеткому образу, генерируется видимый графический образ, соответствующий ядру нечеткого образа. Следующий этап генерируется с учетом найденного на предыдущем этапе образа.

Некоторые примеры задач разного уровня сложности

В заключение рассмотрим несколько задач разного уровня сложности и их решение. Все задачи разбиты на следующие темы:

1. Планиметрические на построение для развития визуального мышления.

2. Стереометрические на построение для развития пространственного воображения.

3. Ортогонально-проекционные на построение для развития мышления в области комплексного чертежа.

4. Аксонометрические проекционные на построение для развития пространственного воображения.

5. Перспективно-проекционные для развития пространственного воображения.

Планиметрические задачи 1-го уровня сложности составили тест для проверки уровня развития визуального мышления обучаемого. Полученные в результате данные могут быть использованы в блоке установки параметров нечеткости. К планиметрическим задачам 1-го уровня сложности можно отнести, например, такие:

1) На данной оси с указанным единичным отрезком указать точку, координата которой равна Х. Вместо Х указывается конкретное число, например 5,4 или 67,3 и т.д.

2) На концах данного отрезка сосредоточены массы А кг и В кг. Указать центр тяжести отрезка.

Планиметрические задачи 2-го уровня сложности могут быть, например, такими:

1) В системе двух осей с указанными единичными отрезками указать точку с такими-то координатами.

В этой задаче оси могут быть расположены под любым углом и единичные отрезки могут быть

различными. Второй уровень сложности определяется необходимостью фиксировать в визуальной памяти две прямые, проходящие через визуально представленные точки визуально параллельно соответствующим осям. Ответом является визуально представленная точка их пересечения.

2) Дана три точки и в каждой указана сосредоточенная в ней масса. Указать центр тяжести треугольника.

Задача, в которой будут заданы N точек с массами и в которой потребуется указать их центр тяжести,

тоже относится к задачам 2-го уровня сложности. Это объясняется тем, что в визуальной памяти на каждом шаге решения требуется удерживать только одну точку - уже визуально найденный центр тяжести некоторого числа точек и отрезок, соединяющий её со следующей точкой.

Стереометрическую задачу четвертого уровня сложности рассмотрим подробно.

Условие задачи следующее. Дана проекция тетраэдра и даны три точки A, B, C на трех его ребрах a, b,

c. Указать точку пересечения ребра d с плоскостью ABC (рис.5а).

Естественно, что изображение исходных данных - тетраэдра и точек на его ребрах генерируется случайным образом, то есть точки могут быть расположены всякий раз в другом месте или на других ребрах. Точку пересечения всякий раз необходимо указать на одном из трех оставшихся ребрах.

Если допустить, что выбрано общее решение задачи, то будут сгенерированы скрытые нечеткие образы, то есть нечеткая точка на ребре d с ядром, соответствующем точному решению, и её область

реагирования (рис. 5 б).

Если допустить, что выбрано поэтапное решение, то, опуская подробности диалога, будет предложено указать точку пересечения прямой AB с ребром f и будут сгенерированы соответствующие скрытые

нечеткие образы: нечеткая прямая ABzcoreAB = АВ, нечеткая прямая f~-core f — f, нечеткое множество

14/ 1Ч/14У 14/

F=ABf\f (рис. 5в). Далее будет предложено представить прямую FC и указать её пересечение с прямой

d. На чертеже будут сгенерированы скрытые нечеткие образы - нечеткая прямая p¡c и нечеткая точка D = FCV\d (рис. 5г).

Можно предположить, что будет выбрано другое решение. Например, если решающий задачу захочет найти точку пересечения прямых ВС и е, то будет сгенерирована нечеткая точка ВС f]e = E, которая может

оказаться вне поля чертежа (на рисунке не показана). После этого будет сгенерирована нечеткая прямая КА и нечеткая точка D=EAf]d (рис. 5д).

Список литературы

1. Bertoline G. R. Visual Science: An emerging discipline / G. R. Bertoline // Journal for Geometry and Graphics. - 2(2). - 1998. - P. 181 - 187.

2. Murr L. E. In the visual culture / L. E. Murr // Engineering Education. - December. - 1998. - P. 170 -172.

3. Кофман А. Введение в теорию нечетких множеств / А. Кофман. - М.: Радио и связь, 1982. - 432 с.

4. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и измерения нечеткости / А.П. Рыжов. - М.: Диалог-МГУ, 1998. - 82 с.

5. Наук П. Е. Тенденции формирования новых интегральных дисциплин в образовании / П. Е. Наук // Математика и информатика: наука и образование. - Межвузовский сборник научных трудов. Ежегодник. - Омск, 2001. - Вып. 1. - С. 281 - 286.

6. Алефельд Г. Введение в интервальные вычисления: Пер. с англ. / Алефельд Г., Херцбергер Ю. -М .: Мир, 1987. - 360 с.

Публикации с ключевыми словами: геометрия - интеллект - системы обучения Публикации со словами: геометрия - интеллект - системы обучения См. также:

УЧАСТНИК

maiL.ru

■ Основы функционального программирования

■ Сайт журнала "Прикладная геометрия"

■ Из истории развития начертательной геометрии Написать комментарий >>

Журнал | Портал | Раздел Copyright © 2003 «Наука и образование. Инженерное образование» E-mail: magazine@xware.ru | тел.: +7 (495) 263-68-67

Вход для редакторов