Статистическое моделирование факторинговых операций Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ФАКТОРИНГ

СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФАКТОРИНГОВЫХ ОПЕРАЦИЙ

A.B. ЛЕБЕДЕВ,

Орловский государственный технический университет

Одной из современных банковских технологий, которая достаточно активно внедряется в современную экономику Российской Федерации, является факторинг [1 — 5], представляющий собой переуступку (продажу) фирмой-поставщиком банку (фактору) дебиторской задолженности фир-мы-покупателя. В России в связи с довольно высокой степенью риска и недавней общей неустойчивой экономической ситуацией наибольшее распространение получили факторинговые операции с регрессом, когда кредитный риск несет фирма-поставщик. Однако в мировой практике, наоборот, больший объем занимают факторинговые операции без регресса, когда кредитный риск принимает на себя фактор. В этом случае фактор имеет больший доход, хотя риск потери кредита выше. Современная стабилизация российской экономики открывает перспективы внедрения безрегрессного факторинга и на отечественном рынке банковских услуг. Поэтому представляется целесообразным рассмотреть возможности компенсации кредитного риска при безрегрессном факторинге за счет оптимального выбора уровня предварительных выплат фирме-поставщику.

Естественно, что в любом случае факторинговая компания выплачивает фирме-поставщику не полную сумму договора, а некоторую гарантированную сумму, составляющую 70 — 90% от суммы договора, которую можно рассматривать как некоторую разновидность кредита. Разница между суммой договора и гарантированной суммой, выплачиваемой фирме-поставщику, является страховочной суммой и должна учитывать разнообразные риски. Из разницы между суммой договора и гарантированными выплатами удерживается комиссия за факторинговое обслуживание, плата за учетные операции и плата за кредит, которая взимает-

ся факторинговой компанией с суммы средств, предоставляемых поставщику досрочно. Оставшаяся часть разницы возвращается фирме-поставщи-ку либо полностью, после полной выплаты фир-мой-покупателем всей суммы долга, либо предусмотренными в договоре факторинга частями.

Поскольку размер гарантированных выплат связан с различными рисками, имеющими вероятностный характер, то будем рассматривать факторинговые операции как стохастические. При этом полученный в результате операции доход, естественно, также является случайной величиной, отрицательные значения которой будут соответствовать убыткам.

В соответствии с договором между фирмой-поставщиком и фирмой-покупателем выплата задолженности фирмой-покупателем обычно осуществляется частями в виде некоторой последовательности платежей /?,, Я2,..., происходящих в моменты времени /2, ..., причем

!>, = Кг, а /„ = г

i =i

дог'

(О

где Ядог — общая сумма договора поставки, которая должна быть выплачена фирмой-покупателем;

Тдог — продолжительность выплаты всей суммы договора поставки фирмой-покупателем.

Для дальнейшего анализа целесообразно аппроксимировать рассмотренную последовательность платежей некоторой непрерывной функцией, форма которой должна учитывать все возможные варианты процесса выплаты суммы договора. В качестве такой функции предлагается использовать степенную функцию вида:

R(t) = Rc

'дог

r -t

К1 дог 'l У

(2)

где II — время первой выплаты, данная величина определена на интервале 0 < ^ < Тдог.

Здесь параметр к определяет интенсивность возврата средств. Чем больше величина данного параметра, тем быстрее осуществляется возврат средств. Если к = 1, то платежи осуществляются равномерно в течение договорного периода. Если к < 1, то первоначальные платежи меньше последующих, а когда к > 1, платежи в конце срока кредитования больше, чем в начале. При к-> со возникает граничный вариант, когда возврат кредита осуществляется непосредственно после его получения. И, наконец, при к = 0 промежуточные платежи не осуществляются вообще, а вся сумма полностью выплачивается в конце периода Тдог.

Аналогично, может варьироваться и второй параметр, определяющий продолжительность выплаты полнрй суммы договора. Если Тдог = 0, то вся сумма возвращается сразу, если же Т^-юо, то возврат кредита отсутствует.

Очевидно, что в условиях риска факторинговых операций параметры Т, и к являются случайными величинами, характеризующими динамику выплаты договорной суммы фирмой-покупа-телем. Поскольку эти параметры могут принимать только положительные значения и, кроме того, имеются некоторые вполне конкретные значения их, имеющие определенную вероятность, то для их статистического моделирования можно использовать обобщенное распределение вероятностей [6]. Подобные распределения содержат «атомы» с некоторыми «массами», соответствующими величинам вероятностей отдельных конкретных реализаций, и участки, на которых присутствует непрерывное распределение вероятностей.

Определим параметры аппроксимирующей зависимости из условия равенства дохода от размещения поступающих в промежуточных выплатах средств для исходной (ступенчатой) и степенной (аппроксимирующей) зависимостей. Доход П от поступающих долей выплат за период времени Т^ может быть определен как:

/=1

(3)

В свою очередь

1 ^

(0 л

дог /,

()ог л

' ««

т

V ' дог у

л.

(5)

Решая совместно (3), (4) и (5), получим выражение для определения величины параметра к, соответствующей выполнению условий договора.

Д)а> ' ^(Юг

кцог -

Кое

(6)

¿=1

Зависимость (6) можно упростить, если перейти к безразмерным переменным (долям)

Я

(7)

г,

Я

'дог

Г , =

и -_

лдог ~ N

N

1 - 5>, т,

1=1

(8)

(9)

/=1

Поскольку процесс возврата средств может не совпадать с договорным графиком, величины Т, и А: являются случайными. Тогда можно определить объем средств, возвращенный к моменту окончания периода кредитования

= я,

1с)ог

Т-1

(10)

1 У

Естественно, что при этом соблюдается условие Т > Тдог, так как полный досрочный возврат средств маловероятен. Переходя к безразмерным

переменным и обозначив ® ~ (10) можно записать в виде:

7

Тл

дог

выражение

где с6 — банковская ставка для безрискового помещения средств.

С другой стороны, для аппроксимирующей зависимости величина дохода может быть определена, как:

П = сб ■ Яср ■ ТЛ)г.

(4)

= Д

дог

1-т,

(П)

Учитывая кредит фирме-продавцу в размере к/ар (3Десь кгар — некоторый коэффициент, определяющий объем гарантированных выплат фир-

ме-продавцу), можно определить среднюю доходность факторинговой операции за период Тдог. Однако при этом необходимо учесть также размер комиссии за факторинговое обслуживание и плату за учетные операции. Эти отчисления идут в доход фактора и могут быть определены как

Дф = к

Д)»г ' Тдог

(12)

К(Тдог)-Дф > кя

я

дог'

(13)

г, л*, -т,

- Кар + кф ' >

(14)

ч /

Дф + пф

к Т ■ /?

Лгар 1 дог 1\)ог

(15)

где Пф - доход от поступающих долей выплат. Тогда:

1. При т, > 1 или т, > 0 (отсутствие каких-либо выплат в договорной период)

1

(16)

2. При т, < 1, х, < 0 и невыполнении условия (14)

1

1 _+М1_г')

Т

1 л

дог

к +1

1-г,

1

дог

(17)

3. При х < 1, х <0 и выполнении условия (14)

где кф — некоторый коэффициент, определяющий желательную доходность факторинговой операции.

Необходимо учесть также дополнительные выплаты фирме-продавцу после возврата кредита фирмой-покупателем. Однако эти выплаты производятся только после удержания суммы Д , поэтому при недостаточном объеме возвращенных средств эти выплаты не осуществляются. Тогда можно сформировать условие, при выполнении которого будет происходить возврат средств, в виде:

к

гар

■ р-г.)

(к3+1)

1-Г,

• (18)

Подставляя в условие (13) выражения (11) и (12), преобразуя и вводя для удобства вычислений вместо параметра интенсивности к возврата средств, параметр задержки возврата средств, рав-

- ь 1 ныи к3 = — 5 получим:

В выражениях (16 ... 18) случайными являются параметры 0, х, и кз. Для осуществления статистического моделирования методом Монте-Карло [7] необходимо задать их законы распределения вероятностей. Выше уже отмечалось, что будем использовать обобщенные распределения. Эти распределения будут содержать «атом», соответствующий исполнению договорных обязательств, которому будет соответствовать некоторая вероятность Рдог = Р(Адо), и участки с непрерывным распределением. Пример формы подобного распределения представлен на рис. 1.

На рисунке и в дальнейшем под обобщенным параметром А понимаются значения параметров 0, X! и кз, которые для случая выплат в соответствии с договором вычисляются по следующим зависимостям:

дог

= 1;

А

дог

(19)

Полученное условие проверяется только при х, < 1 и т, < 0. В противном случае имеет место полное отсутствие выплат в договорной период. Этот вариант можно рассматривать как существенную предпосылку полной потери фактором предварительной выплаты фирме-поставщику в условиях отсутствия регресса.

Средняя доходность факторинговой операции может быть вычислена по следующей зависимости:

N /=1

''/и*-

N

1 - Ег(.г,

(=1

Р(А„ПЗ)

р(А),Р(А)

дог

Рис.1. Пример обобщенного распределения для случайных параметров

Вероятность Р{Адо^ может быть оценена на основе выражения:

Р(Адог) = 1 - (20)

к=1

где Рк{А) — вероятность реализации к-й рисковой ситуации.

На участке с непрерывным распределением плотность распределения вероятностей может быть аппроксимирована экспоненциальным законом вида:

л

/ ,ч 1

р(А) = - ■ е а

(21)

где а - параметр распределения, равный математическому ожиданию.

Чтобы задать экспоненциальное распределение, достаточно определить только один его параметр а, который можно определить из соотношения:

1 -V

п *

Лог Л_

е " ¿А.

(22)

Преобразуя, получим:

а = --

дог

1п [1 -Р{Адог)]

(23)

Соответственно, для перечисленных параметров операции факторинга выражение (23) перепишется в виде:

аа =

1

1" (1-^) а =--Ъ**- ;

1П(1" Рдог)

= -

1п (1 ~Рдог)

(24)

(25)

(26)

Потоки случайных значений параметров 9, ^ и кз при статистическом моделировании формируются с помощью генератора случайных чисел в соответствии с зависимостями вида [7]:

Д. = - д-1п ШБ (г),

(27)

принимать значения в соответствии с зависимостью (27). При этом для каждого набора реализаций случайных параметров 9, т, и кз по зависимостям (16... 18) вычисляются значения средней доходности факторинговой операции сф и строится статистическая гистограмма частоты попадания значения сф в различные интервалы. Необходимое количество интервалов /V можно определить по заданной величине шага интервалов Д, начальному

Сф0 и конечному сфк значениям средней доходности. В качестве этих величин целесообразно выб-1

рать СФ0 ~ ~ т , что соответствует потере всей

1 дог

суммы кредита в случае отсутствия выплат, и

Фк

= сб + кф, что соответствует максимально

возможному доходу от операции. Тогда

N = ШТ&-(28)

А

здесь ШТ(Ф~ -целая часть С* .

Для некоторого случайного значения сфг, полученного по зависимостям (16 ... 18), можно определить номер интервала, которому это значение принадлежит:

/г = ттф^—+ 1.

(29)

Если ¡г< 1, принимается /. = 1, а если /. > Ыи, принимается /. = Ыц. В результате статистического моделирования определяются частоты попадания исследуемой величины в сформированные интервалы и строится статистическое распределение вероятностей. На основе этого распределения может быть вычислена величина риска потерь — вероятность получения значений с. < 0.

Рриск ~ / {Сф) )>

Сф< о

(30)

где ЛЩг) - равномерно распределенная в интервале от 0 до 1 случайная величина.

Для статистического моделирования обобщенного распределения достаточно для величин Аг < А^ принимать значения Аг = Адог, а для Аг > Адог

где / (сф.) — частота попадания сф ву'-й интервал.

В качестве примера рассмотрим результаты статистического моделирования для следующих договорных параметров: Ядог = 1 млн руб.; Л, = 500 тыс. руб.; Я2 = 400 тыс. руб.; Я3 = 100 тыс. руб.; Тдог = 90 дней; tí = 30 дней; ?2 = 60 дней; = Тдог = 90 дней. После статистического моделирования при

-а—Рдог = 0,7

10 тыс. циклов расчета были получены зависимости риска потерь от уровня гарантированных выплат кгар для различных значений вероятностей Рдог, представленные на рис. 2.

Данные зависимости позволяют по допустимому для фактора уровню риска потерь кредита выбрать соответствующее значение уровня гарантированных предварительных выплат фирме-поставщику. Таким образом, статистическое моделирование факторинговых операций дает банку или факторинговой компании дополнительный полезный механизм для выбора их оптимальных параметров, компенсирующих кредитный риск при безрегрессном факторинге.

Литература

1. Ковалева A.M., JIanycma М.Т., СкамайЛ.Г. Финансы фирмы. - М.: ИНФРА-М, 2000. -416 с.

2. Панкратов Ф.Г., Серегина Т.К. Коммерческая деятельность. — М.: «Маркетинг», 2000. — 580 с.

3. Правила выдачи резидентам разрешений на отсрочку платежа на срок более 90 дней по экспорту товаров (работ, услуг, результатов ин-

• Рдог = 0,8

1,00

•Рдог =0,9

Рис.2. Зависимости риска потерь от уровня гарантированных выплат при различных вероятностях выполнения договорных обязательств

теллектуальной деятельности). Утверждены постановлением Правительства Российской Федерации, от 24.09.2002 № 699.

4. БакларянЛ.А., Трейвиш М.И. Модель функционирования факторинговых операций // Экономика и математические методы. - 1997. — Том 33, вып. 4. - С. 55 - 65.

5. Егельская Е.В. Моделирование факторинговых операций. Автореф. дис. ...канд. экон. наук. — Санкт-Петербург, 1995. — 18 с.

6. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения. В 2-х томах. Т.2. — М.: Мир, 1984.-738 с.

7. Соболь И.М. Метод Монте-Карло. - М.: Наука, 1985. - 80 с.