Статистическая модель автопрогресса экономических систем Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ЭКОНОМИКЕ

УДК 338 И.Д. ГРАЧЕВ

ББК 65.У кандидат физико-математических наук,

депутат Государственной думы Федерального собрания РФ пятого созыва, г. Москва

e-mail: idg19@mail.ru

СТАТИСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ АВТОПРОГРЕССА ЭКОНОМИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Дано представление о рынке как естественной статистической машине. Определена главная задача рынка — максимально точное оценивание рыночных стоимостей. Выделено важнейшее свойство рынка — автопрогресс через механизм банкротств. Построена «простейшая» модель рыночного перераспределения.

Ключевые слова: статистические параметры рынка, рыночная стоимость, ошибка оценивания стоимостей, модель перераспределения.

Мы рассматриваем рынок как естественную статистическую машину, главной задачей которой является определение рыночных стоимостей. При этом предполагается, что неточные оценки рыночных стоимостей приводят к неоптимальному распределению ресурсов в системе (с использованием моделей перераспределения ресурсов по В.В. Леонтьеву1, Л.К. Эвансу2 и др.), а следовательно, к их потерям, пропорциональным ошибкам оценивания рыночных стоимостей. В такой ситуации главной задачей рынка является максимально точное оценивание рыночных стоимостей.

Второе важнейшее свойство рынка — автопрогресс через механизм банкротств, или, в рамках предложенной статистической модели рынка, дискриминация неэффективных оценщиков. Интуитивно понятно, что построить хорошую модель рынка, начав с попарного взаимодействия, очень сложно. Достаточно очевидно, что описание попарного взаимодействия участников рынка с учетом их «притяжений», «отталкиваний», корреляций и т.д. существенно сложнее, чем описание попарного взаимодействия ньютоновских масс, молекул и т.д.

В свою очередь, это означает, что построение динамической модели рынка, на-

чиная с попарных взаимодействий (сделок), окажется существенно сложнее решения до сих пор нерешенной задачи взаимодействия многих тел. Однако естественные науки, указывая на трудности, одновременно подсказывают и способ выхода из тупика.

В аналогичных по сложности ситуациях физики используют идею самосогласования полей, которая в применении к рынку как к естественной статистической машине выглядит следующим образом. N участников (оценщиков), взаимодействуя между собой, образуют некое новое качество — рынок, обладающий, в частности, способом формирования рыночной стоимости. Тогда, так же как и в физике, мы можем перейти от анализа попарных или групповых взаимодействий к анализу пары «оценщик-рынок» и на основе этого анализа как проследить судьбу оценщика, так и уточнить статистические параметры рынка в статике и динамике.

Ниже мы используем эту идею для построения простейшей модели рыночного перераспределения. По аналогии с концепцией самосогласования полей случайное взаимодействие участников приводит к формированию новой сущности, именуемой «рынок», который как статистический ансамбль характеризуется средним значением рыночной

стоимости с0 и погрешностью ее измерения Асц. В свою очередь, у-й участник характеризуется индивидуальной оценкой рыночной стоимости Су и погрешностью ее оценивания

АС = у

Судьба у-го участника при его взаимодействии с «полем» рынка зависит от соотношения погрешностей /Ас/ и /Асй/. Если участник ошибается больше, чем рынок в среднем, то он будет терять капитал, и наоборот. Одновременно с таким перераспределением должны меняться и свойства всего ансамбля участников, т.е. рынка.

Для этой ситуации простейшая модель рынка не может быть описана в приближении равновесных и равноошибочных участников. Как минимум, мы обязаны предположить, что ошибки оценивания у участников рынка различны и задаются некоторой диагональной матрицей (Над [52 ], где Б2 — М-мерный вектор дисперсий ошибок оценивания стоимостей.

Очевидно, что любая динамика предполагает перераспределение капитала между участниками рынка, и это проще всего описать дискретными векторами распределения капитала по участникам А, где i — индекс временного цикла. Тогда простейшая перераспределительная модель может быть записана в виде

- - - - Ат ■ Б -

А, +1 = А, - (1ад(Б) ■ А,. + ^ ■ А,, (1) _ А '1

где Б — вектор средних квадратичных.

Смысл соотношения (1) достаточно очевиден. Слева стоит А, +1 — новое распределение капитала среди участников рынка после /-го экономического цикла. А, — стартовое распределение капитала на входе в /-й цикл. Второй член справа характеризует «плату» каждого участника за ошибки в оценивании рыночной стоимости товара. Вполне естественно, что она в первом приближении пропорциональна ошибке Sj в цене и размеру вложенного с этой ошибкой капитала. Третий член, простейший из возможных, отражает условие полного сохранения капитала системы:

Ат+1 ■ 7 = Ат ■!. (2)

Выполнение соотношения (2) для выражения (1) легко проверить умножением последнего слева на I т:

■ А =

А, +1 ~

=V ■ А - 5т ■ а+ЯЩЛ=7т ■

(А ■ I)

I1 ■ А,.

Соотношение (1) мы ввели как простейшее перераспределение с учетом взаимодействия каждого у-го участника с рынком в целом. Можно показать, что оно имеет смысл и при интерпретации его в терминах купли-продажи.

Представим себе, что на рынке продается и покупается некий товар истинной стоимости с, оцениваемый с ошибкой Ъу, для определенности положительной. Средняя цена этого товара на рынке отличается от истинной и задается соотношением

. . А (сТ + 1) А ■%

<с} = ^—— = с + ъ

-т — А! ■ I

—т А! ■ I

С учетом того что у-й участник дает завышенную оценку рыночной стоимости товара, рынок «в среднем» ничего у нас не купит, а продаст товара на весь наш капитал, т.е. в результате ошибочной оценки у-й участник будет иметь товара (а) / (С + Ъу), реальная рыночная стоимость которого, а следовательно, и капитал у-го участника по результатам цикла будут заданы соотношением

—т ттЛ

а),,+1=^

с +

а),

с+

АЛ

—т — Ат ■ I

1 +

-т %

А! >

1+

—т — А, ■ I

(3)

Учитывая, что в прикладной статистике крайне редко работают с нелинейными функциями ошибок, запишем линейное приближение по Ъу для соотношения (3):

(а,), +1 ^ (а,

А+

—т

А,,

п л\

—т — А! ■ I

что эквивалентно предыдущему с точностью до нормировки ошибок оценивания товара по его цене и замены текущих ошибок Ъу на их средние квадратичные оценки. Это означает, по существу, достаточно большое количество обменных операций внутри

I

с

с

И.Д. ГРАЧЕВ

экономического цикла. Разумеется, данный вывод не может рассматриваться как строгий и полный, но в то же время он дает достаточную иллюстрацию осмысленности, постулированной из общих соображений перераспределительной рыночной модели и в терминах купли-продажи.

Несложно показать и то, что заданный в соотношении (3) перераспределительный механизм от цикла к циклу уменьшает сумму средних квадратичных ошибок оценок стоимостей (рынок прогрессирует):

АТ+1 • I < А • I. (4)

Для того чтобы избавиться от лишних индексов, заменим А, на А и перепишем выражение (4) в виде

или

Ат • 5 - Бт • сИад(А) • 5 + < Ат • 5

Ат • I

(51.;Д2 < Бт • сС1ад(А) • 5 Ат • I

либо в индексной форме:

( N N Л ( N

I I

а,

VI =1

I Si • а,

, = 1

<

I I

si

VI =1

( N

(I в1

V =1 .

что разбивается на две группы соотношений: при i = ] $2 • а* = $2 • а2, ] = 1, ..., Ы, при i Ф ] а, • а ¡(2• $, • $-) < а, • а($, + $2), i = 1, ..., Ы, ] = 1, ..., Ы, 0 < $2 -2• $, • $, + $2, что дает строгое неравенство для любых не всюду совпадающих S¡, S).

Следовательно, предложенный нами простейший перераспределительный механизм обеспечивает автопрогресс рынка в смысле уменьшения ошибок оценивания рыночных стоимостей.

Далее естественно предположить, что повышение эффективности решения главной проблемы рынка — проблемы оценивания — должно как-то сказываться на росте его суммарного капитала. Простейший результат можно получить, используя предположение о подсистемном характере рассматриваемого нами рынка и его конкуренции с другими аналогичными подсистемами. Тогда изменение суммарного капитала подсистемы, работающей на «большом рынке» с неизменной погрешностью оценивания, по аналогии с вышесказанным будет записываться в виде

д Q = (Ам

А)(Ъ

(А+1

А а, )5.

Менее очевидно распределение этого общего прироста капитала по участникам рынка i = 1, ..., N. Однако можно записать вполне разумное линейное распределение как линейную комбинацию из «всем поровну», «всем по капиталу», «всем по приросту капитала»:

АО = АА ' • Б

1 -

1 -

К. •— I + К2 ^^ А +

1 N 2 А т • I

+ К

_1Т _ АА (АА т • I)

где АА = А, +1 - А,, К + К2 + К3 = 1, К„ К2, К3 > 0.

Самая простая формулировка естественного роста предполагает, что К = 1, К2 = К3 = 0.

В этом варианте модель, включающая перераспределительный механизм и «естественный рост», имеет вид

А

- - - Ат • 5 -

, +1 = А - ¿¡ад(Б) • А +^гт ■ А +

А; • I

(5)

+ (Ат • 5) N1 • 7 - (Ат +1 • 5) N1 •|.

С точки зрения осмысленности сводной модели представляется интересным, сохраняется ли у нее свойство невозрастания суммарных потерь. Умножив выражение (5) слева на Бт, получим

б т • А +1 = б т • А +

Б т С1ад(5 )• А1 +

А: • |

+

+

I • А - (Бт • А +1)

N

(5т•I)

N

или (в несколько иной форме с учетом того, что в соответствии с ранее приведенным доказательством выражение в квадратных скобках всегда отрицательно)

(5Г ■ Д +,)(!+^ ) = (Г ■ Д )(+^)+

+

- Бт ■сИад^ )■ А, + . ' (АТ ■ I)

Отсюда следует

(Б7 • Аж) = (Б7 • А)+

-Б7 сИад(Б)• А, +

1 (А •')

+

(6)

)

С учетом того что 1 + ((5Г • I )/Ы) положительно по определению, выражение (6) означает, что построенная нами модель с перераспределением и естественным ростом сохраняет свойство уменьшения суммарных потерь в абсолютном смысле. Нетрудно показать, что и при К2, К3 ф 0 это свойство будет сохранено.

В выражении (5) новое распределение капитала А; +, стоит как слева, так и справа. С вычислительной точки зрения это не создает особенных проблем. Но можно устранить это, перейдя к несколько более громоздкой записи с учетом вспомогательных соотношений:

(Е + N ' ■Г)+1 ={Е + N ' ■Г)Л+ (7) где В(А) = -С1ад(5) • А + А,-, Ь = 5Т В.

А1'_)

С _ учетом (Е+1/N• I • 5Т)-1 = Е-Е• I X х(Ы+5Т• I )-1 •5Т•Е уравнение (7) имеет общее матричное решение: А, +1 = (А,) --(Ы+V • 5 )-1 Ь7.

Варьируя К1, К2, К3 в области отрицательных значений и значений больше 1, мы можем в рамках развитой перераспределительной модели с «ростом» учесть все реалистичные налоговые изъятия и задействование оценщиками разной эффектив-

ности природных ресурсов. При этом, по существу, шаблонным образом может быть применена вся развитая выше методология.

В совокупности осуществленные модельные численные эксперименты, лишь часть которых приведена выше, позволяют сделать два глобальных вывода:

- судьба участника рынка мало зависит от его стартового капитала и определяется его погрешностью оценивания;

- упрощенная модель перераспределения (1) отражает все важнейшие свойства рынка за исключением его зависимости от числа участников N в каждой группе.

Первый вывод подсказывает единственный выход из «рыночного тупика». Страна, присоединяющаяся к «глобальному» рынку с опозданием в 50-200 циклов, должна сосредоточиться на генерировании оценщиков (участников рынка), владеющих сверхсредними знаниями, а следовательно, меньшими погрешностями оценивания. По нашему мнению, в этом и состоит суть инновационного варианта преодоления рыночного отставания.

Примечания

1 Леонтьев В.В. Избранные статьи. СПб., 1994.

2 Колемаев В.А. Математическая экономика: учеб. для вузов. 2-е изд., перераб. и доп. М., 2002.