Реально-виртуальный рынок и его оптимизация Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

18 (321) - 2013

Стратегия экономического развития

УДК 334.024 (167.7)

РЕАЛЬНО-ВИРТУАЛЬНЫЙ РЫНОК И ЕГО ОПТИМИЗАЦИЯ*

И. Д. ГРАЧЁВ,

доктор экономических наук, депутат Государственной Думы Федерального Собрания Российской Федерации E-mail: idg19@mail. ru

И. Н. МИТИН,

студент факультета инноваций и высоких технологий Е-mail: mitin. ivan@gmail. com Московский физико-технический институт (государственный университет)

Авторы статьи основывают расчеты на описанной в более ранних работах комбинированной модели реально-виртуальных рынков. Учтены наиболее существенные черты взаимодействия реальных и виртуальных рынков, к которым авторы относят резкое ускорение обменных операций, определяющее полезность виртуального рынка, а также отвлечение части реального капитала и резкую мультипликацию ошибок агентов, определяющие его кризисную «вредность».

Ключевые слова: реальный и финансовый рынки, нерациональный агент, ошибка оценивания, рыночная стоимость, оптимальный объем, виртуальный рынок.

Введение. Взаимодействие между реальным и финансовым рынками и методология построения модели реально-виртуального рынка частично уже описаны в более ранних работах [1-3, 4]. Повторим некоторые исходные положения. Рынок рассматривается как статистический ансамбль нерациональ-

* Материал подготовлен по результатам исследования, поддержанного Российским фондом фундаментальных исследований (проект № 11-06-00390).

ных агентов, главной задачей которого является определение рыночных стоимостей. Неточные оценки рыночных стоимостей приводят к неоптимальному распределению ресурсов на рынке и, следовательно, к их потерям, пропорциональным ошибкам оценивания рыночных стоимостей. Главная задача рынка заключается в максимально точном оценивании рыночных стоимостей.

Все участники рынка являются нерациональными агентами. Основными параметрами описания агента являются его капитал1 а. и ошибка оценивания результатов использования этого капитала в обменных операциях с другими агентами Ъ>..

Модель реально-виртуальных рынков. Построение модели, основанной на парном взаимодействии агентов, довольно сложно. Рынок рассматривается как совокупность всех взаимодействий агентов между собой. Поэтому происходит переход от анализа по парным или групповым взаимодействиям агентов к анализу пар агент - рынок.

1 Под капиталом подразумевается измеренная в деньгах собственность, включающая вещи, информацию и энергию.

Простейшая дискретная модель динамики реального рынка (перераспределительная модель), с учетом взаимодействия каждого j-го агента с рынком, выглядит следующим образом:

_ _ __AT1 -

AM = A, - diag (1) A, + , (1)

где Ai+1 - вектор распределения капитала между агентами к концу i-го (на начало (i + 1)-го) цикла; 1 - вектор ошибок агентов; diag(1) - символ формирования диагональной матрицы на основе вектора 1; Т - символ транспонирования; I - единичный вектор.

Второй член уравнения (1) характеризует плату каждого агента за ошибки оценивания результатов использования собственного капитала. Третий член, который по своей сути является средневзвешенной ошибкой рынка, отражает выполнение условия сохранения капитала рынка от цикла к циклу, т. е.

AT+J = AJI. (2)

Таким образом, модель, представленная уравнением (1), описывает закрытый рынок без доступа к внешним ресурсам. В рамках данной модели уменьшается сумма ошибок оценивания рыночных стоимостей2 и, соответственно, ошибка рынка:

AJJ< AJ1. О)

В данной модели агент, чья ошибка меньше, чем ошибка рынка, постепенно накапливает капитал. Агент, чья ошибка больше, чем ошибка рынка, со временем теряет свой капитал. Таким образом, происходит перераспределение капитала рынка между его участниками.

С помощью перехода к непрерывному времени можно получить аналитическое решение уравнения (1) и записать модель реального рынка в виде

+i = (IТД )(ITde(1) A )-1 de(1) At, (4) где de(1) - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются числа de(1)j = exp(-(1) j).

Не вызывает сомнения, что закрытый рынок без доступа к внешним ресурсам никак не может увеличить своего капитала, так как выполняется условие сохранения капитала. Далее в модель вводится дополнительный агент «природа», который обладает огромным количеством капитала по сравнению с капиталом рынка

По >> ATI, (5)

где П0 - капитал (ресурсы) природы на начало 1-го цикла.

Тогда модель, описанная ранее уравнением (1), после добавления природы принимает следующий вид:

A+1 = A - diag)A

AT

AT I + Я. '

(6)

П1+1 = П, - цЯ,.

AT 4 + П, ц

п...

(7)

(8)

2 Любые действия агентов с капиталом могут быть описаны в терминах предполагаемой рыночной стоимости этих действий.

A.I + П,

где ц - ошибка природы.

В рамках модели реального рынка, описываемого уравнениями (6) и (7), под прогрессом рынка понимается монотонный в среднем рост капитала рынка. Стоит отметить, что рынок будет прогрессировать, т. е. капитал рынка будет расти, при выполнении следующего условия:

AT I ATI *

Формулы (1) - (8) были получены для случая, когда агенты обладают неизменными, фиксированными от цикла к циклу ошибками. Такое рассуждение не согласуется с реальностью. Агент может корректировать свою ошибку, стремясь сделать ее как можно меньше или, по крайней мере, меньше ошибки рынка, чтобы увеличить или, по крайней мере, сохранить свой капитал соответственно.

Считается, что ошибка агента имеет две составляющие: систематическую и случайную ошибки. Систематическая ошибка агента жестко связана с ним, она всегда постоянна и не меняется от цикла к циклу. Случайная ошибка рассматривается в виде реализации случайной величины. Тем самым совершается переход от детерминированной ошибки агента на каждом цикле к недетерминированной ошибке агента за счет случайной составляющей. Таким образом, ошибку «-го агента на i-м цикле можно представить в следующем виде:

у _ рисг . рлуч ^>«J S« S«,¿ 5

где ^ист - систематическая ошибка «-го агента;

- случайная ошибка «-го агента на i-м

цикле.

Предполагается, что ошибки агентов меняются от цикла к циклу. Далее ошибки агентов на цикле i будут описываться вектором ^ Все определенные выше уравнения сохраняются и не теряют смысла при переходе к изменяющимся ошибкам.

В современном мире продажа и покупка многих объектов реальных рынков (например недвижи-

мости) происходят очень редко. Поэтому перераспределение капитала в модели (1) осуществляется медленно. Обычно такие объекты формально разбивают на части и пускают в оборот на виртуальный рынок, на котором число сделок по обменным операциям в несколько раз больше по отношению к одной сделке на реальном рынке.

Описание виртуального рынка не отличается от предложенной модели реального рынка (1). Особый интерес представляет взаимодействие виртуального и реального рынков и их совместное описание.

Результат перераспределения капитала на виртуальном рынке зависит от последней доходности реального рынка ДА,. = Л1+1 - Л1. Для агента виртуального рынка основным фактором является относительная доходность

ДВ = diag (ЛЛ )-1 ДА.. = diag (Л. )-1 - - ЛТЁ - - ЛТ £ -

(-diag (Лг )£ ) = -£ +-01.

Л. Т Л1 Т Таким образом, способ перераспределения капитала на виртуальном рынке с учетом последней доходности реального рынка эквивалентен фиксации ошибок агентов реального рынка на 1-м цикле на все подциклы виртуального рынка, имеющие место в интервале от 1-го до (1 + 1)-го цикла. С учетом формулы (7), распределение капитала на виртуальном рынке к концу 1-го цикла выглядит следующим образом:

Вм = (ТТВ1 )(TTde(llV щ У МЪУ) В1,

где V - число сделок по обменным операциям на виртуальном рынке по отношению к одной сделке на реальном рынке (далее - скорость виртуального рынка).

Для построения совместной модели реально-виртуального рынка предполагается, что все доступные ресурсы распределены между реальным и виртуальным рынками. Доля ресурсов реального рынка - а, доля виртуального рынка - 1 - а. Считается также, что природа не участвует в сделках на виртуальном рынке. Окончательно модель реально-виртуального рынка с доступом к внешним ресурсам можно представить в следующем виде:

ёчТ , + МД „7

Ai+i = aA. -adiag (£,.)A + ^

аЛ,

oa;I + п. +(1 -а)( ATI )(ITde(lV) Л У de(lV) Л,

Д+i = п, - мД +-=

A 4 + Пр

AI + п,

п,.

где Ai+1 - вектор распределения капитала по агентам к концу 7-го (на начало i + 1-го) цикла; Е7 - вектор ошибок агентов на i-м цикле; diag(E) - символ формирования диагональной матрицы на основе вектора Е7; I - единичный вектор; Т - символ транспонирования; а - доля реального рынка; 1 - а - доля виртуального рынка; П.+1 - ресурсы природы к концу i-го на начало (7 + 1)-го цикла; ц - ошибка природы; V - скорость виртуального рынка; de(E) - диагональная матрица, диагональными элементами которой являются числа de( | )jy= exp(-(I ),)•

Оптимизация виртуальных рынков. Основными чертами взаимодействия реального и виртуального рынков являются ускорение обменных операций между агентами, которое определяет полезность виртуального рынка, отвлечение части реального капитала и резкая мультипликация ошибок агентов, которые могут спровоцировать наступление кризисного состояния на рынке.

Оптимизация отвлечения капитала на виртуальный рынок предполагает, прежде всего, качественную оценку его вклада в рыночный прогресс. Рыночный прогресс осуществляется через обменные операции. Следовательно, темп рыночного прогресса зависит от темпа обменных операций. Именно это и послужило объективной основой развития виртуальных рынков.

На реальном рынке многочисленные объекты не участвуют в обменных операциях годами и десятилетиями, задавая чрезвычайно низкие скорости прогресса. Их виртуальное разбиение на доли (акции и т. п.) позволяет ускорить обменные операции и, следовательно, рыночный прогресс, что отражено в общей модели реально-виртуальных рынков параметром V. Однако даже в гипотетическом детерминированном мире, где один агент всегда умнее других, т. е. 4- = const, этот агент всегда выигрывает и наращивает капитал в обменных операциях. Доля и объемы виртуального рынка ограничены неизбежным отвлечением капитала от взаимодействия с природой, которая наряду с трудом является реальным источником энергии, информации и вещей, растущее накопление которых и есть прогресс. Тем самым оптимальный объем виртуального рынка в

детерминистическом приближении определяются мерой между дифференцированным ускоренным сосредоточением капитала у эффективных агентов и интегральным отвлечением капитала от реальных взаимодействий с природой и трудом [4].

Учет случайной составляющей в ошибках агентов const должен кардинально менять картину оптимизации, так как в дополнение к существующим проблемам ускоренное мультиплицированное сосредоточение капитала у неэффективного агента кардинально искажает распределение ресурсов. Из общих соображений это должно приводить к дополнительным ограничениям на допустимые масштабы виртуальных рынков.

Модель реально-виртуального рынка содержит параметр а, который определяет распределение капитала рынка между реальным и виртуальным рынками в долях а и 1 - а соответственно. Учитывая положительное и отрицательное влияние виртуального рынка, должно существовать оптимальное значение параметра а, при котором достигается максимальное значение капитала рынка на определенном временном промежутке для случая, когда ошибки агентов зафиксированы ^ = = const, т. е. должно существовать решение следующей задачи:

A^I ^ max а е [0;1] .

(9)

7 = 1, Г

Решением задачи (9) является оптимальное значение параметра а, который в свою очередь определяет оптимальное значение доли реального рынка, следовательно, и оптимальное значение доли виртуального рынка, так как доля виртуального рынка составляет 1 - а.

Перед выводом аналитического решения приведенной задачи был проведен численный эксперимент, который показал существование оптимального параметра а. Для численного эксперимента были взяты следующие начальные значения параметров рынка:

- рынок представляет собой взаимодействие 100 агентов;

- начальный капитал каждого агента составляет 100 у. е.3;

- капитал природы равен 100 00 у. е.;

- ошибка природы равна 0,15;

- количество циклов равно 100;

- скорость виртуального рынка составляет 50;

- случайная составляющая в ошибках агентов

отсутствует.

Систематическая ошибка агентов построена следующим образом. Ошибка агента линейно зависит от номера агента. Агенту под номером 1 присваивается ошибка, равная 0,1. Агенту под номером 100 присваивается ошибка, равная 0,2. На основе этих двух пар (номер агента, ошибка агента) строится линейная зависимость систематической ошибки агента от его номера. Искомая зависимость систематической составляющей ошибки агента от его номера имеет вид

„ n + 98

с =-,

Sn 990

где n - номер агента;

Е - систематическая ошибка n-го агента.

Наглядное представление систематических ошибок агентов в зависимости от их номера приведено на рис. 1.

Для каждого значения параметра а от 0 до 1 с шагом 0,01 было вычислено значение капитала рынка в конце 100-го цикла. Зависимость капитала рынка от значения доли реального рынка (значения параметра а) представлена на рис. 2.

Видно, что существует оптимальное значение доли реального рынка. Максимальное значение капитала рынка 93 665 у. е. достигается при значении доли реального рынка, равной 0,87. Соответственно, оптимальное значение виртуального рынка равно 0,13.

Оптимальное распределение капитала между реальным и виртуальным рынками позволяет увеличить капитал рынка на 43 % относительно рынка, в котором отсутствует виртуальный рынок, т. е., иначе говоря, рынок является чисто реальным (капитал рынка при а = 1 составляет 65 383 у. е.).

При значении параметра а < 0,51 чисто реальный рынок с точки зрения максимального значения накопленного капитала работает лучше, чем реально-виртуальный рынок. В рамках модели реально-виртуального рынка построена оценка оптимальной доли реального рынка для случая, когда ошибки агентов зафиксированы, т. е. ЪА = £ = const. Приближенно оптимальная доля реального рынка, которая является решением задачи (13), имеет вид

3 Здесь и далее капитал измеряется в условных единицах

(у. е.).

а

opt

= 1 -.

[лёУ [(V - 1)t+у]у-у (V -1 )t '

(10)

£ 0,25-

§

ю

| 0,2 О

0,15--

0,1 --"■'

0,05--

10

20

+-

30

40

50

60

70

80

Рис. 1. Распределение систематических ошибок по агентам

90 100

Номерагента

0

г.

<я а

1

Я

Л -

л £

=

й

100 000 -Г

90 000

80 000

70 000

60 000

50 000 40 000

30 000

20 000

10 000

0

Т-1-1-1-1-г

0 0,05 0,1 0,15 0,2 0,25 0,3 0,35 0,4

Рис. 2. Зависимость капитала Д£ £тах ^т^ ДЦ' Ц ^т^

где V - скорость виртуального рынка; 7 - номер цикла;

у - подгоночный параметр, величина которого зависит от структуры ошибок агентов (для структуры ошибок агентов в приведенном примере данный параметр равен 4); £тах - максимальное значение ошибки среди всех агентов;

£гтп - минимальное значение ошибки среди всех агентов; ц - ошибка природы.

0,45 0,5 0,55 0,6 0,65 0,7 0,75 0,8 0,85 0,9 0,95 1

Доля реального рынка, %

рынка от доли реального рынка

Далее оценивается точность формулы (10). Оптимальное значение параметра а, вычисленное по формуле (10), сравнивается с оптимальным значением параметра а', полученным экспериментальным путем. Сравнение происходило при различных значениях параметров V и 7 для рынка, который был описан ранее. Зависимость оптимального значения параметра а', полученного экспериментальным путем от значений параметров Vи (, приведена на рис. 3.

Зависимость оптимального значения параметра а, полученного по формуле (10), от значений параметров V и 7 показана на рис. 4.

0

0

V

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 0,6 0,63 0,66 0,67 0,68 0,69 0,69 0,7 0,7 0,7

20 0,68 0,71 0,74 0,75 0,76 0,77 0,77 0,78 0,78 0,78

30 0,73 0,76 0,78 0,79 0,8 0,81 0,81 0,82 0,82 0,82

40 0,76 0,79 0,8 0,82 0,83 0,83 0,84 0,84 0,84 0,84

г 50 0,78 0,8 0,82 0,83 0,84 0,85 0,85 0,85 0,86 0,86

60 0,8 0,82 0,83 0,84 0,85 0,86 0,86 0,86 0,87 0,87

70 0,81 0,83 0,84 0,85 0,86 0,86 0,87 0,87 0,87 0,87

80 0,82 0,83 0,85 0,85 0,86 0,87 0,87 0,87 0,88 0,88

90 0,82 0,84 0,85 0,86 0,86 0,87 0,87 0,88 0,88 0,88

100 0,82 0,84 0,85 0,86 0,87 0,87 0,87 0,88 0,88 0,88

Рис 3. Зависимость а' от V и 1

V

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 0,76 0,82 0,85 0,87 0,88 0,89 0,90 0,91 0,91 0,92

20 0,82 0,87 0,89 0,91 0,92 0,92 0,93 0,93 0,94 0,94

30 0,85 0,89 0,91 0,92 0,93 0,94 0,94 0,94 0,95 0,95

40 0,87 0,90 0,92 0,93 0,94 0,94 0,95 0,95 0,95 0,96

г 50 0,88 0,91 0,93 0,94 0,95 0,95 0,95 0,96 0,96 0,96

60 0,89 0,92 0,94 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,96 0,96

70 0,90 0,93 0,94 0,95 0,95 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97

80 0,90 0,93 0,94 0,95 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97

90 0,91 0,93 0,95 0,95 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,97

100 0,91 0,94 0,95 0,96 0,96 0,96 0,97 0,97 0,97 0,97

Рис. 4. Зависимость а от V и t

На рис. 5. приведена зависимость разности а' и а от значений параметров V и

Анализ рис. 3-5 показывает, что оценка оптимального значения параметра доли реального рынка по формуле (10) завышает действительное оптимальное значение параметра. Причем формула (10) хорошо работает при значениях ^ > 60, отклонение от действительного значения составляет в среднем

0.09. Зависимость капитала рынка при оптимальном значении а', полученном экспериментальным путем от значений параметров V и (, представлена на рис. 6.

На основе результатов, представленных на рис. 3, 6, можно сделать ряд выводов относительно оптимального распределения капитала между реальным и виртуальным рынками с точки зрения максимизации рынком капитала.

1. Чем больше скорость виртуального рынка, тем меньшая доля капитала от всего рынка должна

на нем находиться, это не зависит от временного интервала.

2. При выборе между двумя реально-виртуальными рынками, находящимися в оптимальном состоянии, предпочтение отдается тому рынку, на котором виртуальный рынок имеет наибольшую скорость обменных операций, так как на нем достигается наибольшее значение капитала.

3. Чем больше временной интервал, на котором решается задача максимизации капитала, тем меньше доля виртуального рынка. Следовательно, в долгосрочной перспективе доля виртуального рынка должны быть меньше, чем в краткосрочной перспективе.

Все приведенные результаты были получены для случая, когда ошибки агентов имеют только систематическую составляющую.

Рассмотрим влияние уровня случайной ошибки на оптимальное значение параметра а. Случайная

V

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 0,16 0,19 0,19 0,20 0,20 0,20 0,21 0,21 0,21 0,22

20 0,14 0,16 0,15 0,16 0,16 0,15 0,16 0,15 0,16 0,16

30 0,12 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,13 0,12 0,13 0,13

40 0,11 0,11 0,12 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,11 0,12

г 50 0,10 0,11 0,11 0,11 0,11 0,10 0,10 0,11 0,10 0,10

60 0,09 0,10 0,11 0,10 0,10 0,09 0,10 0,10 0,09 0,09

70 0,09 0,10 0,10 0,10 0,09 0,10 0,09 0,09 0,10 0,10

80 0,08 0,10 0,09 0,10 0,10 0,09 0,09 0,10 0,09 0,09

90 0,09 0,09 0,10 0,09 0,10 0,09 0,10 0,09 0,09 0,09

100 0,09 0,10 0,10 0,10 0,09 0,09 0,10 0,09 0,09 0,09

Рис. 5. Зависимость а- а' от V и t

V

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

10 10 889 11 358 11 646 11 836 11 965 12 058 12 125 12 177 12 217 12 249

20 13 284 14 556 15 287 15 758 16 079 16 309 16 477 16 607 16 708 16 789

30 16 971 19 275 20 584 21 425 22 001 22 414 22 720 22 954 23 139 23 287

40 22 094 25 704 27 737 29 040 29 930 30 574 31 047 31 416 31 704 31 933

г 50 28 855 34 001 36 858 38 667 39 902 40 780 41 441 41 940 42 335 42 657

60 37 348 44 088 47 715 49 973 51 500 52 576 53 383 53 991 54 468 54 859

70 47 414 55 463 59 617 62 136 63 803 64 977 65 836 66 496 67 007 67 411

80 58 507 67 219 71 459 73 952 75 581 76 702 77 525 78 137 78 616 79 004

90 69 749 78 234 82 122 84 325 85 724 86 689 87 378 87 894 88 300 88 620

100 80 131 87 608 90 813 92 572 93 665 94 413 94 939 95 337 95 644 95 884

Рис. 6. Зависимость капитала рынка от V и t

ошибка имеет уровень в тогда, и только тогда, когда ошибка любого п-го агента на i-м цикле предста-вима в виде

£ _ ксисг . орлуч

Ъп УЪп^ '

где ^™ст - систематическая ошибка п-го агента; в - число из интервала [0; 1], ^«У4 - случайная ошибка п-го агента на i-м цикле, представимая в виде равномерно распределенной случайной величины на интервале

[— ^сист. ^сист]

Влияние уровня случайной ошибки рассматривалось для рынка, который был описан выше при различных значениях V (10, 50, 100) и t (10, 50, 100). Уровень случайной ошибки в варьировался от 0 до 1 с шагом 0,1. Для каждого значения V, t и в было проведено 10 численных экспериментов. В качестве значения доли реального рынка было взято среднее значение по результатам 10 численных экспериментов. Результаты расчетов приведены на рис. 7.

Из анализа рис. 7 следует, что при уровне случайной ошибки в < 0,5 значения доли реального рынка стабильны и незначительно отклоняются (± 0,01) от значения доли реального рынка в случае, когда случайная составляющая отсутствует. При в > 0,5 отклонения становятся значительными (до ± 0,1). Таким образом, при больших значениях уровня случайных ошибок (больше 0,5) возникает трудность в определении оптимального значения доли реального рынка, так как возможны отклонения как в сторону увеличения доли реального рынка, так и в сторону уменьшения относительно доли реального рынка, когда в ошибках агентов отсутствует случайная составляющая.

Заключение. Данные численных экспериментов демонстрируют возможность предсказания предкризисных ситуаций и причин возникновения кризисов, связанных с чрезмерной долей виртуального рынка и соответственно мультипликацией

Уровень случайной ошибки ß

t V 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1

10 10 0,60 0,60 0,60 0,60 0,60 0,59 0,61 0,61 0,60 0,61 0,62

10 50 0,68 0,68 0,68 0,68 0,68 0,67 0,67 0,70 0,67 0,66 0,62

10 100 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,70 0,72 0,73 0,73 0,75

50 10 0,78 0,78 0,78 0,78 0,77 0,76 0,76 0,77 0,75 0,74 0,73

50 50 0,84 0,84 0,84 0,84 0,83 0,82 0,82 0,80 0,80 0,78 0,76

50 100 0,86 0,86 0,86 0,85 0,86 0,85 0,84 0,84 0,84 0,83 0,82

100 10 0,82 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,83 0,84 0,84 0,85

100 50 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87 0,87 0,88 0,87 0,89 0,95

100 100 0,88 0,88 0,89 0,88 0,89 0,89 0,90 0,89 0,89 0,91 0,99

Рис. 7. Зависимость доли реального рынка от ß, V и t

ошибок виртуальным рынком, вызывающей ошибочное перераспределение ресурсов на рынке реальном. Показано качественное соответствие предложенных моделей эксперименту. Представленные аналитические результаты и численные расчеты позволяют при развитии модели и наполнении ее экспериментальной информацией дать обоснованные управленческие решения по ограничению и регулированию виртуальных рынков.

Список литературы 1 . Грачев И. Д. Вероятностно-статистическая модель рынка. Методология и эконофизический инструментарий моделирования экономического прогресса. Саабрюкен: Lambert, 2011. 340 с.

2. Грачев И. Д. Законодательное обеспечение экономического прогресса: экономико-математические основы. Казань: Каз. гос. ун-т., 2008.

3. Грачев И. Д., Елисеева Е. А. К вопросу о точности оценивания рыночных стоимостей на реально-виртуальных рынках // Национальные интересы: приоритеты и безопасность. 2011. N° 38. С.15-21.

4. Грачев И. Д., Митин И. В., Берестнев Д. А. Оптимизация виртуальных рынков // Экономический анализ: теория и практика. 2012. № 28. С. 14-22.

5. Грачев И. Д., НоаккН. В. Комбинированная модель реально-виртуальной экономики // Аудит и финансовый анализ. 2011. № 1. С. 92-101.