CC BY
27
Математические структуры и моделирование 2004, вып. 13, с. 53-61
УДК 517
СТАБИЛИЗАЦИЯ РЕШЕНИЯ НЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОГАЗОДИНАМИКИ В СЛУЧАЕ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА
In this article one problem of stability the non-stationary solution electrogasdynamics is presented.
В статье доказан факт стабилизации нестационарного решения задачи ЭГД к стационарному в норме пространства W21(0,1) при t -А ос. При получении априорных оценок, независящих от величины Т промежутка времени, на котором строится решение использовалась техника, разработанная А.В. Кажиховым [1].
Рассмотрим одномерную математическую модель ЭГД, описывающую двухкомпонентную среду, состоящую из нейтрального газа и ионов одного сорта при отсутствии внешнего магнитного поля [2].
где v - удельный объем, р - давление, и - скорость, Е - напряженность электрического поля, Ъ - коэффициент подвижности заряженных частиц, в - абсолютная температура.
В работе [3] была изучена корректность этой модели для конечного интервала времени [0,Х]. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы получить оценки, равномерные по t. Сформулируем постановку задачи.
В области Q = (0,1) х (0, оо) ищется решение системы уравнений (1). Решение удовлетворяет граничным условиям
Н.Т. Копылова
(і)
в
и(0, t) = и(1, t) = 0, Е(0, t) = 0,0^(0, t) = вх(1, t) = 0
(2)
© 2004 Н.Т. Копылова
E-mail: Kopyl@alt.ru
Алтайский государственный технический университет
54 Н.Т. Копылова. Стабилизация решения нестационарной задачи ЭГД
и начальным данным
и(х, 0) = щ(х), v{x, 0) = г/0(х), 0(х, 0) = 0о(х), Е(х, 0) = Е'о(х). (3)
Функции щ(х), г/0(х), 9q(x), Eq(x) считаются бесконечно дифференцируемыми, кроме того - строго положительные, ограниченные и
1
/
is0(x)dx = 1,
+ Щ + SHpPl)dx =!
(4)
Стационарным решением системы (1), удовлетворяющим условиям (2), (3), является набор постоянных
v = 1, и == 0, 9 == 1, Е = 0
Сформулируем основной результат.
Теорема 1. Решение нестационарной задачи (1)-(3) существует при всех t > 0 и сходится к стационарному при неограниченном возрастании времени в норме пространства ИДО, 1).
Доказательство. Заметим, что выполняются тождества
1
/
udx = 1,
(9 Н———I——^dx — 1, Vt > 0,
Lj Lj
t 1
Д^ + (в_м_1) + (,_іга,-і)Щ + f Г1£ + ^ + ь-ЕД](Ыг =
0 0
1
/
■ ul El uq
+ (0q — ln0Q — 1) + (щ — Ihuq — l)]dx = const.
(5)
Отсюда имеем первую априорную оценку, равномерную по t
/1.2 E2t
sup
t> о
1Ґ Е^ У
/ [----1-----1- (9 — Іпв — 1) + (н — 1пи — 1)]сЬ+
J о 2 2
2
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
55
ОО 1
. U
01 ЬЕХЕ2
X | Wx | ^
Он Он
Є
-\dxdt < Со.
(6)
О о
Изучим свойства функции Е. Из [3] известно, что ЪЕХ > 0 всюду в Q. Так как. b > 0, то Ех > 0 и напряженность возрастает по х. Значит, max Е2 =
E2(x,t).
Умножая четвертое уравнение в (1) на Е и интегрируя по Q = (0,1) , имеем
і
jt || Е ||2 + f ЬЕХЕ2 = 0.
Отсюда получим равномерную оценку
ОО 1
sup II Е ||2 + J J bExE2dxdt < с\
(7)
о о
Интегрируя в (1) четвертое уравнение по ж от 0 до 1, а затем по т, выводим
1 1
/Е 2 Г ^
max —dr = / --ІЕ — En)dx. o<x<i 2 J bK '
Учитывая (6), заключаем, что
Е2
max — Є I/! (0, оо).
0<ж<1 Z
(8)
Воспользуемся вспомогательной леммой, доказательство которой аналогии-но [1].
Лемма 1. Существуют постоянные М\ u mi такие, что 0 < т\ < u(x,t) < Mi < оо для любых х Є [0,1], t > 0. -
Получим оценки для производных от искомых функций. Умножим четвертое уравнение в (1) на Ехх и проинтегрируем по Vt
1 d
ш11 11 +- ' bE'dx =
ЬЕЕІ,
2 ' ' х о
г=1 < 0,
(9)
так как ЬЕ > 0 всюду в Q. Интегрируя по t, имеем
оо 1
sup || Ех ||2 + / / bEldxdt < С?. t>о J J
о о
(10)
56 Н.Т. Копылова. Стабилизация решения нестационарной задачи ЭГД
Продифференцируем уравнение для Е в по ж дважды и умножим на Ехх и проинтегрируем по
d
dt
1
1 ЕХ | |2 +5 / b.
J 0
ПО С получим
sup t>0 1 Е1х | +
%х‘
ї2 I
XX I
оо 1
J J bExElxdxdt < Cs-
о о
Вычислим Ех\х=0. Продифференцируем уравнение для Е по х один раз и рассмотрим его при х — О
±F |
7, ^Х .£ = 0
dt
-ЬЕ2Х
х=о < 0.
Следовательно,
Ех |ж=0 < ^о(О), |^Сс|ж=о| ^ Сд.
Заметим, что
х
\ЕХ\ = | J E^d^ + Ех\х=о\ <|| Ехх || +Сд < Сю.
о
Тогда max \ЕХ\ < Сю, Vt > 0. Введем вспомогательную функцию из
X
U3 —
E2v
~1Г'
Умножим первое уравнение в (1) на второе - на и, четвертое - на Ей и сложим вместе с третьим
Ач , ,иих ви E2v
“'• = (У' + (— “ т + —'*■
Умножим это уравнение на со, интегрируя по П, имеем
1 d
2 dt E2uv
со
+ J ~ — J[—~(2и«і + EExv +
0И+
+
) + (EExio +
о
. . ШтЧ1 ,
2
Оценим правую часть с помощью неравенств Юнга, Коши и простейших теорем вложения, используя предыдущие оценки
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
57
at J v J v J v
0 0 0
2 2 uzux
+C'n[max£'2 || (lnv)x ||2 +maxit2 || со ||2 УтиакЕ2.
X XX
Умножим второе уравнение в (1) на и3 и проинтегрируем по 12
і
(П)
1 d
+3
4 ей 11 U IIl4(0’1} j v о
u2u2x -----dx
f 0U2U2X 3 f 2 2 2 7 ^3 f U2U2X
3 / ------dx-----/ E u utdx < - -----dx
J v 2 J x ~ 2 J v
0 0 0 0
г v2ru2 Г 02v2
/ ----dx + 3 / ----dx + C12 max£2. (12)
J V J V x
Умножая (12) на 4С$/Ъ, складывая с (11) и выбирая 8 достаточно малым, имеем
і
d
dt
Q2
(II w II2 +« II u lll4(o,i)) + Л / -fdx <
< C max E12 (|| (lnu)x ||2 +1) + max и2 || ||2 . (13)
X X
Умножая второе уравнение в (1) на (и — (lnv)x) и интегрируя 12 по х, получим
і
1 d
2 dt
/Q
— (lnv)xdx =
1
= J (EExu — EEx{lnv)
9xu 0vxu 9X
-----1---H-------(lnv)x)dx.
v vl v
Оценим правую часть
і
/С
\EExu\dx < —-(max£2 + maxu2),
2 X X
(14)
/Гв Г E2E v
\EEx[lnv)x\dx < 8 / —(lnu)2dx + C$ / —dx,
Єї
J \^—dx\ < 8 J — dx + Cg maxu2,
і і
f , Ovxu, , ^ ґ f в ., \o , „ 2
/ I----1 dx < 8 / —(lnu)dx + Csmaxu ,
J v J V X
58 Н.Т. Копылова. Стабилизация решения нестационарной задачи ЭГД
[ 9х(1пр)х . г [ 9{1пр)2х [ 91 [ @1,
I ---------\dx ^ 5 / -------dx -Ь CS I ———dx -Ь 51 / —dx.
J v J v J 02v J v
О О 0 0
Складывая (13), (14) и выбирая 5, Si достаточно малыми, получим неравенство
і
— (II и ||2 +а || и |і£4(0,і) + || и -
/л2
—dx+
/в Г в2
— (lnp)2dx < CufmaxE12 + max и2 + / —f-dx+ Р х х J 92p
1
/
E2EXV 2 .. I|2 „2 II /7 \ Il2\
—-—ах + тахи || uo || +maxE || (lnp)x || ).
Ox X
Для функции
2 =11 W II2 + I\u - (lnv)x II2 +a || u ||14(0,1) имеем дифференциальное равенство
dz
dt
Az + В,
А, В є ІДО, сю).
Интегрируя no t, по лемме Гронуолла выводим z < СД. Таким образом, имеем следующие оценки
sup || 0 |ц + / || вх |f dt < Сіз,
t>0 J
0
(15)
sup || px
t> 0
zpx ||2< Cm.
Умножим второе уравнение в системе (1) на и и проинтегрируем по
1 d
2 dt
и Г +
J Дх = J(-9Д
0Tu 0uTu
+
V V
E1ux)dx.
о о
Оценим правую часть следующим образом
і
J\вД\dx<
Cis II 9Х ||2 +1 J ^dx,
о
(16)
/ іДі*<
С-16 || 9*рх ||2 +(7і7тахи2,
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
59
і і
[ |E2ux\dx<- [ — dx + Ci8 maxi?2. І 4 j v x
Отсюда получим оценку
оо
SUp \\u\\2 + / |Ы|2^ < Сі9.
t>0 J
о
Умножая второе уравнение в (1) на ихх и интегрируя по заключаем
Id м 9
—Г" ^ж Н-
2 dr
і і
, f /Ох^хх dvxUxx UX1SXUXX \ ,
“г ^ xL 1^х^хх)4Х.
J ^ydx = J (
z/
z/
о о
Оценим интеграл справа с помощью неравенства Юнга с S
і
a 12 \ ґ~і Мл М2
'9xUxx\dx<5\\u,
V
Сь\\ЄХ\\\
О
(17)
(18)
1
/
6uru«
-\dx < 811 uxx 112 + Csdl^H2 + 11 ^2 112)
так как в силу (5)
в2 < 2[в+\\в..
,,21
X 11 J j
U х ^х r^j хх
\dx < ^Ци^Ц2 + Cg\\ux||2,
1
/
0
1
/\EExuxx\dx < 5||глжж||2 + Cs таx£2
ж
Выбирая S достаточно малым и интегрируя по і, имеем
sup\\ux\\ + / \\uxx\\ dt < C20.
t>0 J
0
Умножая третье уравнение системы (1) на вхх, получим
(19)
(>■=*/W
_ bvExE20xx)dx. (20)
Z2z
Z2
Z2
Оценим правую часть аналогично (18)
60 Н.Т. Копылова. Стабилизация решения нестационарной задачи ЭГД
I @х@хх^х
V
Idx < £||0ЖЖ||2 + Cs\\0x
і
/
, виДг
-\dx < 5||0ЖЖ||2 + С£І|иж||2(1 + ||^ж||2)
І ^х^ХХ
V
\dx < 5||0®®||2 + С'д||и|||,4(0)1)
\ExE29xxv\dx < 5||0жа;||2 + Cgm&xE2
С помощью неравенства шахи2 < ||нж|| • \\ихх\\ из (20), выбирая S достаточно малым, выводим
ДТІІ^жЦ2 + Ц^жжЦ2 < С2і[||^а;||2 + П1ИХ Е2 + ||мж||2 • (1 + ||#2|| + Ци^Ц2)].
at х
Интегрируя по t с учетом (15) и (19), заключаем
оо
sup\\вх\\2 + [ \\вх\\2(Ы < С22. t> о J
о
Из (18) и (20) так же следуют оценки
ОО
/ / l|lk№ < с23,
ОО
/\Дг\л
< с
24-
Вместе с (15) и (17) это означает, что
1М*)|| ~^ о? ||<Ш1 ~^ о
при t оо.
Верна также оценка
Вместе с оценкой
|^|K||2H < С24-
оо
/
^||2di < С25
(21)
она дает ||цЛ)|| —>• 0 при t —> оо.
Математические структуры и моделирование. 2004. Вып. 13.
61
Заметим, что из (9) следует
d ,, „ ||9 — \\ЕХ 2 < 0. dt
Тогда оценим интеграл
оо оо
[\i\\Exf\dt = - [ ^-\\Ex\\2dt = - lim || Е.
J at J at a—^oo
=a + ||-Е'п(з:)||2 < ^26-
x 11 I t=a
Используя оценку (9) и уравнение для Е, оценим интеграл
оо 1
оо 1
оо 1
/ II Я* II2 dt = J J < \b j j E^dxdt + — // Exdxdt < 2C7
о о
о о
о о
оо 1
Iff dlnE
2¥JJ ~HTdxdt ~2Сі~ж 0 0 0
уд [(lim (lnE\t=a) - lnE0(x))d:
0 J a^oo
0
<С27(1 + ||Д||)<С28.
\X <
Таким образом,
II Ex(t) II—^ 0
при t —^ 00.
В силу граничных условий для гц Е, а также равенств (5) ясно, что сходимость имеет место к стационарному решению и = 0. 7у = 1,# = 1,Е = 0 в норме пространства ИД1 (£4). ■
Литература
1. Антонцев С.Н., Кажихов А..В., Монахов В.Н.Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск.: Наука, 1983.
2. Бортников Ю.С., Рубашов И.Б.Электрогазодинамика. М.: Атомиздат, 1971.
3. Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. 1990. Вып.97 С.135-148.
