Гладкие решения краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2014. Том 21, № 3

УДК 517.633

ГЛАДКИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА

В. И. Антипин

Аннотация. Изучается разрешимость краевых задач для так называемых кинетических операторно-дифференциальных уравнений вида But — Lu = f, где L, B — семейства линейных операторов, определенных в комплексном гильбертовом пространстве E, при этом не предполагается, что оператор B обратим и спектр оператора L — AB включен в одну из полуплоскостей Re А < a или Re А > a (a £ R). При определенных условиях на вышеупомянутые операторы изучается вопрос о гладкости решений в весовых пространствах Соболева.

Ключевые слова: кинетические уравнения, операторно-дифференциальное уравнение, весовые пространства Соболева.

Работа посвящена исследованию операторно-дифференциального уравнения

где линейные операторы В, Ь определены в данном гильбертовом пространстве Е, причем оператор В самосопряжен. Краевые условия имеют вид

где Р +, Р- — спектральные проекторы оператора В, отвечающие положительной и отрицательной частям спектра. Здесь не предполагается, что оператор В обратим, в частности, В может иметь ненулевое ядро и спектр оператора В может содержать одновременно бесконечные подмножества положительной и отрицательной полуосей.

Таким образом, рассматривается уравнение (1), которое не является уравнением типа Соболева. Известно, что подобные уравнения возникают в физике, в особенности в задачах нейтронного переноса, радиационного переноса и разреженной газовой динамики [1-13], в геометрии, демографической динамике и гидродинамике [14-17] и в некоторых других областях [5,18].

В случае, если оператор Ь самосопряжен, уравнение (1) рассматривалось в [5]. В частности, в [18] можно найти ряд примеров, возникающих в приложениях.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2014—2016 гг. (проект №3047).

Au = But — Lu = f (x, t),

(1)

P+ u(0) = u0, P-u(T) = uT,

(2)

© 2014 Антипин В. И.

Оператор Ь называется Като-секториальным (см. определение в [19]), если |(Ьи, V)| < с||и||Н1 |М|Н1, и € ^(Ь), где ||и||Н1 = Ие( —(Ьи, и) + ||и||). Обобщение на случай диссипативного оператора, удовлетворяющего условию Като-секториальности, можно найти в [20]. Краевые задачи для уравнения (1) при наших предположениях на операторы Ь, В в случае, если условие Като-сектори-альности не выполнено, по-видимому, не рассматривались. Отметим, что класс уравнений вида (1) включает в себя многие важные классы дифференциальных уравнений в частных производных, например, в качестве оператора Ь можно брать операторы нечетного порядка [20, 21] или операторы со спектром, расположенным достаточно близко к мнимой оси.

1. Основные предположения

Даны гильбертовы пространства Е и Н1 С Е, причем последнее вложение плотно. Пусть (•, •) — скалярное произведение в Е. Тогда негативное пространство Н', построенное как пополнение Е по норме

||и||н; = йир К^^ИМ^! >

vEH1, у=0

совпадает с пространством непрерывных антилинейных функционалов над Н1, и скалярное произведение в Е допускает продолжение до отношения двойственности между Н1 и Н' [22].

Если X, У — гильбертовы пространства, то под Ь(Х, У) понимаем пространство линейных непрерывных отображений, определенных на X, со значениями в У. Если X = У, то пишем Ь(Х) вместо Ь(Х,Х).

Назовем оператор Ь : Е ^ Е диссипативным (равномерно диссипативным), если — Ие(Ьи,и) > 0 (— Ие(Ьи, и) > 5||и||2, 5 > 0) для всех и € ^(Ь). Здесь -О(Ь) — область определения оператора Ь. Оператор Ь называется максимальным диссипативным, если он совпадает с любым своим диссипативным расширением.

Через р(Ь), <т(Ь) обозначаем резольвентное множество и спектр оператора Ь. Основные предположения об операторах Ь, В состоят в следующем.

(I) Ь — максимально диссипативный оператор, найдется гильбертово пространство , плотно вложенное в Е, такое, что _0(Ь*) С —1 С Е, и существует постоянная 5о > 0 такая, что И,е( —Ь*и, и) > 5о|и|^1 для всех и € _0(Ь*), где Ь* — сопряженный оператор.

Из условия (I) вытекает, что оператор Ь* также максимальный диссипативный и 0 € р(Ь) П р(Ь*) [19, предложение С.7.2], более того, (Ие А > 0} С р(Ь) П р(Ь*).

(II) Оператор В самосопряжен в Е и — С ^(|В|1 /2) плотно.

Лемма 1. При выполнении условия (II) оператор В определяет непрерывное отображение пространства —1 в , где — негативное пространство, построенное по паре —1, Е.

Доказательство. Оператор В : Д(|В|) ^ Е (в Д(|В|) вводим норму графика), будучи определенным на _0(|В|), допускает продолжение до непрерыв-

ного отображения из D(|B|1/2) в (D(|B|1/2))'. Действительно,

,, ,, |(Bu,v)| |(|B|1/2u, |B|1/2v

M(B(|B|V*))' = sup J Л = sup 14 1 '' 1

veD(|B|V2) ||v||D(|B|1/2) veD(|B|V2) ||v||D(|B|1/2)

< SuP има<||В|."4 ,3,

veD(|B I1/2) llvHD(|B|1/2)

или

yBu^(D(|B|1/2))' < |||B|1/2u||. (4)

Имеем естественное вложение

F1 С D(|B|1/2) С E С (D(|B|1/2))' С F[ (5)

(двойственное к E отождествляется с E).

Таким образом, оператор B, определенный на D(|B|1/2), определен также на пространстве F1 и

||bu||F < c||u| (D(|B|1/2))' < c1||u| F1. (6)

Лемма 2. Пусть выполнено условие (I). Тогда D(L) плотно вложена в F1 и операторы L-1, (L*)-1 допускают продолжение до отображений класса L(F, F1).

Доказательство. Имеем

Re(-L*u,u) > ¿olMl^, (7)

| Re(—L*u,u)| < |(L*u,u)| < ||L*u|F/ ||u||f , u e D(L*). (8)

Используя неравенство (8) в левой части (3) и сокращая на ||u|f1 , получим

||L*u|k > ¿0||u||F1. Поскольку 0 e p(L*) [19], неравенство переписывается в виде

IMlFi > ¿o|(L*)-1v|F1, v e E. (9)

Так как F1 плотно вложено в E, то E плотно вложено в F1 , т. е. F1 С E С F{ и из (9) вытекает, что (L*)-1 допускает продолжение до оператора класса L(F{, F1). Имеем

(L-1u,u) = (u, (L*)-1v), u,v e E. (10)

Далее, для любого u e E выполняется соотношение

||L u\\f1 = sup ——--= sup ■

veE ||v||f veE ||v||F

откуда получается оценка

< sup-—- <sup——-¡-j—n—, (11)

v e E 11 v H F1 v

eH 00 11v 11 f{

11 u H F'

Il-'uWf, < (12)

1 00

Из (12) следует, что L 1 допускает продолжение до оператора класса L(F{, F1).

Рассмотрим равенство

(Е-1и,и) = (и, (Е*)-^), е Е. (13)

Имеем

|(и, (Е*)-М| < ||(Е*)-Ч^||и||^ < с|М|^ 1Мк. (14)

Если и фиксирована, то (и, (Ь*)-1«) — антилинейный непрерывный функционал над Е{ (по г>). Существует д е Е1 такой, что

(и, (Ь*)-1«) = (д, V) = (Е-1и, V), и, V е Е.

Таким образом, д = Е-1и, значит, Е-1и е Е1, и е Е. Возьмем ф е Е(Е). Тогда и = Еф е Е и ф = Е-1и.

Из доказанного следует, что ф е Е1. Таким образом, Е(Е) С Е1. Предположим, напротив, что Е(Е) не плотно в Е1. Тогда существует V е Е{, V = 0, такой, что

(Е-1и, V) = 0, и е Е.

Предельным переходом получим, что равенство (и, (Е*)-1г>) = (Е-1и,г>) справедливо и для V е Е{, и е Е. Поскольку Н плотно вложено в Е{ и (и, (Е*)-1г>) = 0, то (Е*)-1г> = 0. Отсюда V = 0; противоречие. Таким образом, Е(Е) плотно вложено в Е1. Лемма доказана.

Обозначим через Е2 класс функций и е Е1 таких, что и представимо в виде и = Е-1г>, где V е Е{, и

1Мк = ||Е-1^У^1 + = ||иУ^ + ||Еи||^.

Тогда Е(Е) С Е2 С Е1. Обозначим

Н1 = {V е Е2(0, Т; Е(Е*)), е Е2(0, Т; Е1)}.

Определение 1. Функция и е Е2(0,Т; Е1) называется обобщенным решением краевой задачи (1), (2), если найдутся щ,ит е Н такие, что Р-щ = щ, Р+йт = йт и выполнено равенство

т

J( —(Ви, - (и, Е*-у)) ^ + (Вит, v(T)) - (Вио, и(0)) о

т

+ (Вит,^(Т)) - (Вио,^(0)) = J (/, V) Л (15)

о

для любого V е Е2(0,Т; Е(Е*)), V* е Е2(0,Т; Е1).

Если и — обобщенное решение задачи (1), (2) в смысле определения 1, то и является обобщенным решением задачи (1), (2) в смысле следующего, более естественного, определения.

Определение 2. Функция и € Ь2(0, Т; Р1) называется обобщенным решением краевой задачи (1), (2), если выполнено равенство

т т

У (-(Ви, - (и, Ь*V)) + (ВР-ит, «(Т)) - (ВР + ио, и(0)) = J (/, V) (16) о о

для любого V € Ь2(0, Т; £(Ь*)), € Ь2(0, Т; РД Р+«(Т) = 0, Р-«(0) = 0.

Приведем некоторые следствия, вытекающие из определения обобщенного решения. Пусть Н2 = _0(Ь*). Тогда если и € Ь2(0,Т; Рх), то выражение Ьи имеет смысл и является элементом Ь2(0,Т; Н2).

Если V € Со°(0, Т; Н2), то равенство (15) перепишется в виде т т т

^(-Ви^) ^ = У(Ьи^) ^ + У С/>) V € С~(0,Т; Н2). (17)

О 0 0

Имеем Ьи + / € Ь2(0,Т; Н2). Отсюда и из определения обобщенной производной вытекает, что функция Ви € Ь2(0,Т; Рх') (по лемме 1) имеет обобщенную производную (Ви)4 € Ь2(0, Т; Н2). Поскольку Рх' С Н2, получим, что Ви € С([0, Т]; Н2), после, может быть, изменения на множестве меры нуль. Из (17) следует справедливость равенства Ви — Ьи = / в пространстве Ь2(0, Т; Н2).

Рассмотрим функции V € Сто([0, Т]; Н2) в (15). Интегрируя по частям и используя равенство Ви — Ьи = /, получим

(В(и(Т) - ит - ит), v(T)) - (В(и(0) - ио - ит), v(0)) = 0.

Поскольку функции v(T)^(0) могут быть произвольными, отсюда заключаем, что

Ви(Т )= В(ит + ит), Ви(0) = В(ио + ио).

Равенство имеет место в Н2, так как Ви € С([0, Т]; Н2), откуда вытекает, что следы Ви(0),Ви(Т) существуют, принадлежат (_0(|В|1/2))' и ВР-и(Т) = Вит, ВР +и(0) = Вио. В [23] доказана

Теорема 1. Пусть выполнены условия (I), (II). Тогда для любых / € Ь2(0,Т; Р1), ио,ит € Н существует обобщенное решение и € Ь2(0, Т; Рх) краевой задачи (1), (2) в смысле определения 1. Введем дополнительные условия:

(III) И,е(-Ьи, и) > ¿оНиН^, и € Я(Ь);

(IV) существуют постоянные с > 0 и в € (0,1) такие, что

|(Ви, и)| < сЦиЦЦ НЬ-1ВиН^11-б), и € Рх.

(V) В|л € Ь(Рх,Е).

Отметим, что ||Ь-1Ви||_р1 < сЦВиЦ^/ < ^ЦиЦ^ (см. лемму 1). Если выполнено условие Като-секториальности для оператора Ь и условия теоремы 1, то можно показать, что условия (III) и (IV) лишние, они всегда выполнены.

Пусть g(x) — положительная почти везде в области G функция. Определим пространство L2,g(G; H) (H — банахово пространство) как пространство сильно измеримых функций, определенных в G, со значениями в H и таких, что

||u||L2,s(G;H) = g(x)||u(x)||H dx) < ГО.

G

Пусть ipt(t) = 12га(Т - 1)2га, где а = щ^щ.

Теорема 2. Если выполнены условия (I)-(IV) и df e L2jVi(0,T; F{), i = 0,1, ..., m, то у обобщенного решения, полученного в теореме 1, существуют обобщенные производные d^u e L2jVi (0, T; F1), i = 0,1,..., m.

Если дополнительно выполнено условие (V) и df e L2jVi+1 (0,T; E), i = 0,1,..., m — 1, то u e L2,Vi+1 (0, T; D(L)).

2. Доказательство основного результата

Доказательство теоремы 2. Фиксируем числа T < T/2 < T2. Рассмотрим случай m =1. Имеем (в L2(0,T; H2))

But — Lu = f. (18)

Возьмем

it2ia(T2 — t)2ia, t e [0;T2), №(t) = U t e [T2;t], (19)

()= i 0, t e [0; T1], ( )

^0i(t) I (t — T1 )2ia(T — t)2-, t e (T1;T], (20)

где T1 < T2.

Пусть w1 (n),w2(n) — усредняющие ядра со следующими свойствами:

Wi > 0, Wi e C^(R), i = 1, 2, supp(w1) С (1/2,1), supp(W2) С ( —1, —1/2), J Wi(n) dn = 1, i = 1, 2.

R

Положим

T 1

.1 _ 1 f ... in — t\

,2 _ D2„ _ 1 Л.. i n — t

uip = P^u=-Jw1(^-^y(r1)dr1 = Jw1(0u(t + P0dt t G [0, T2], (21) 00 t 0

Jw2(^Z^ju(V)dV = J w2(0u(t + P0dt iG[TbT], (22)

ир = = - / w2

0 -1

p< min((T — T2), T.)/2,

1

Bupt =J W1(^)But(t + pC) dC 0

1 1

= J W1(C)Lu(t + pC) dC + У W1(0f (t + pC) dC = LuP + Pf, t < T2. (23)

Аналогичное равенство имеет место и для и2. Таким образом, на соответству-

ет

ющих промежутках имеем

Ви^ = Ьир + Рр1/, Ви^ = Ьир + Р/. (24)

В силу свойств усреднений и^ € СТО([0,Т2]; Р1), ир € СТО([ТЬТ]; Р1) . Из леммы 1 получаем Вд^и^ € Ь2(0,Т2; Р1) и Вд^и^ € Ь2(Т1;Т; Р1) для каждого г. Тогда из (24) имеем

д*ир = Ь-1^, V = Вд^1 ир - д*Р// € Ь2(0,Т; Р^, э = 1, 2, г = 1, 2,.... (25)

Таким образом, д^ир € Ь2(0,Т2; Р2) и д£и^ € Ь2(Т1,Т; Р2) для каждого г, и на соответствующих промежутках выполняются соотношения

Вд^1 ир - Ьд*ир = /, э = 1, 2. (26)

Имеем

Ие(-Ьи,и) > ¿оНиН|1, и € Я(Ь). (27)

Предельным переходом в силу плотности -О(Ь) в Р2 получим, что неравенство

И,е(-Ьи, и) > ¿оНиН!1 (28)

справедливо для всех и € Р2.

Так как (Е Р2(О, Т2; г = 0,1,... ,т, используя стандартные свой-

ства усреднений, можно показать, что

Рр/ € Сто([0,Т2]; Р1), Рр2/ € С~([ТЬТ]; Р1) (29)

и, более того,

т т

ЕИ^/ - /) (о.ВД) - ^ Е 11дК РР2/ - /) к,, (т! ,т;^') - 0 (30)

*=о *=о

при р — 0.

Умножим (26) при Э = 1 скалярно на возьмем вещественную часть

и проинтегрируем по (0, Т). Проинтегрировав по частям, получим

У Ие ( - Ьд>1 ,д>1)^о* ^

т

1

| ^ Ие М + I Ие Щи^ Л. (31)

Оценим правую часть, применив для этого условие (IV): т2 т2

1^о4(Вд1и1р,д1и1р)\М< I Ь^иХ^Вд^Х1^

оо

^т2 \ в / т2

|д>р (у ^о(*-1) |Ь-1Вд>Р|^1 , (32)

при этом воспользовались неравенством

„0 ,„1-0

1 < со^ог^о--1), * е (0,т2).

Из (26) вытекает оценка

||ь-1вд>Р^^(о,ад) < ^^Ч^Ч1/ (0,т2^)

+ 11дГ1р>||1 1) (0.Т,;*) ) < С1»^?-1^1/^2„0(1-1) (0.ЗД)

И^Я^ (0М)) • (33)

; , ,0(,-1)

Используя неравенство Коши с малым параметром е, из (32), (33) получим Т2

+ '(*)(||дг-1РР/1|^2, ,0(,-1) (0,Т2;^) + ИЗ"1 «Р||^2, ^-1, (0Д^)) • (34)

Аналогично Т2

< е|д>11|^2, (0М) + с^Ц^^1/1|^2, (0,ад)- (35)

Тогда из (31) и (34), (35), выбирая достаточно малое число е, получим

+ |дГ1рр1/||^2 , ,0(,-1) (0Д^) + ||дГ1иЦ^2 , ,0(,-1) (0,Т2 ;*)]> (36)

- - РЛ1Ь2 , ,0, (0,Т2;^') т II ^ , ,0(,-1) (0,Т2;^1)

1« 1 | 2

' ,0(,-1) 1

+ И^ЧИ^)> (37)

где с1 — не зависящая от и и р постоянная. Умножим (36) на дг, д е (0,1), и просуммируем по г от 1 до т. Получим

Ид>Р||^2,,о,(0,^2^1) <ЕсА ир,

* Р^ 11^2,,0, (0,Т2;^1)

2 ,,о, (0,Т2;^1 I II * р- 11^2,, о,

г=1 г=1

-1г:>1-Р ||2 I ||2

+ И^Ч1/К2.,0(1-1) (0,Т2^1) + Е ^ИГЧ ||22,,0(,-1) (0,Т2^1 ) • (38)

г=1 /

Это неравенство может быть переписано в виде

5>< - С19?+1)Ид>1И12^. (0,Т2 ;*) < ^ (Ид*р1/И2

^Р11Ь2,,01 (0,Т2;Л) < V\rt-pj ||Ь2,,0. (0,Т2^1)

г=1

+ Ид-Ч1/И

(39)

Выберем q = 1/(2ci). Тогда (39) можно переписать так:

Ell^lk™(0,22^) < С*Е ll^,(0,ЗД) + IIL2(0,T2F). (40)

Отметим, что имеет место очевидная оценка

1 II2 ^ „ ||„,||2

U

pllL2(0,T2;Fi) < c4||u||L2(0,T2;FI).

Из (40), последней оценки и (30) придем окончательно к неравенству

L„0I (0,T2;Fi)

(41)

i=1 i=0

Повторяя те же рассуждения для функции ир, получим оценку

т т

Е ||д>Р (Тх.Т^ СбЕ ||д/(ТХ.Т+ сгПиП|2(Г1,Т;Л). (42)

г=1 * г=0 *

Все постоянные в (42) и (41) не зависят от р. Отсюда вытекает, что существует последовательность ^ 0, к ^ то, такая, что

^ VI е ¿2,^0,(0, Тр; л), ^ V2 е (0, Т2; л), (43)

где сходимость слабая в соответствующих пространствах. В силу сходимостей ирк ^ и в ¿2(0,Т2; Р1) и ирк ^ и в ¿2(Т1,Т; Р1) легко понять, что существуют обобщенные производные д£и е (0,Т2; Р1), д^и е (Т1,Т; Р1), г = 1, 2,..., т. Отсюда уже легко получить, что существуют обобщенные производные д^и е (0,Т2; Р1). Теорема 2 доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Case K. M., Zweifel P. F. Linear transport theory. Reading, MA: Addison-Wesley, 1969.

2. Cercignani C. Mathematical methods in kinetic theory. New York: Pergamon Press, 1969.

3. Cercignani C. Theory and applications of the Boltzmann equation. New York: Elsevier, 1975.

4. Greenberg W., Van der Mee C. V. M., Zweifel P. F. Generalized kinetic equations // Integral Equations Oper. Theory. 1984. V. 7, N 1. P. 60-95.

5. Van der Mee C. V. M. Semigroups and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centrum, 1981. (Math. Centre Tracts; V. 146).

6. Van der Mee C. V. M. Exponentially dichotomous operators and applications. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser-Verl., 2008. (Oper. Theory Adv. Appl.; V. 182).

7. Hangelbroek R. J. Linear analysis and solution of neutron transport problem // Transp. Theory Stat. Phys. 1976. N 5. P. 1-85.

8. Kaper H. G., Lekkerkerker C. G., Heitmanek J. Spectral methods in linear transport theory. Basel; Boston; Stuttgart: Birkhauser-Verl., 1982.

9. Stephan H. Nichtgleichgewichtsprozesse: direkte und inverse Probleme. Aachen: Shaker, 1996.

10. Mokhtar-Kharroubi M. Mathematical topics in neutron transport theory. New approach. Singapore: World Sci. Publ. Co. Pte. Ltd, 1997. (Ser. Adv. Math. Appl. Sci.; V. 46).

11. Beals R. Indefinite Sturm-Liouville problems and half-range completeness // J. Differ. Equations. 1985. V. 56, N 3. P. 391-408.

12. Beals R. An abstract treatment of some forward-backward problems of transport and scattering // J. Funct. Anal. 1979. V. 34, N 1. P. 1-20.

13. Beals R., Protopopescu V. Half-range completness for the Fokker-Planck equation // J. Stat. Phys. 1983. V. 32, N 3. P. 391-408.

14. Latrach K. Compactness properties for linear transport operator with abstract boundary conditions in slab geometry // Transp. Theory Stat. Phys. 1993. V. 22. P. 39-65.

15. Latrach K., Mokhtar-Kharroubi M. On an unbounded linear operator arising in theory of growing cell population // J. Math. Anal. Appl. 1997. V. 211. P. 273-294.

16. Webb G. A model of proliferating cell population with inherited cycle length //J. Math. Biol. 1986. N 23. P. 269-282.

17. Ларькин Н. А., Новиков В. А., Яненко Н. Н. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука, 1983.

18. Karabash I. M. Abstract kinetic equations with positive collision operators // Oper. Theory Adv. Appl. 2008. V. 188. P. 175-195.

19. Haase M. The functional calculus for sectorial operators. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser-Verl., 2006. (Oper. Theory Adv. Appl.; V. 169).

20. Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифферен-циальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1419-1435.

21. Джураев Т. Д. Краевые задачи для уравнения смешанного и смешанно-составного типов. Ташкент: ФАН, 1979.

22. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук. думка, 1965.

23. Антипин В. И. Разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа // Сиб. мат. журн. 2013. Т. 54, № 2. С. 245-257.

Статья поступила 18 ноября 2014 г. Антипин Ввсилий Иванович

Северо-Восточный федеральный университет им. М. К. Аммосова, ул. Белинского, 58, Якутск 677000, Республика Саха (Якутия) [email protected]