Обобщенная разрешимость краевой задачи для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956.4

ОБОБЩЕННАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА*)

В, И, Антипин

Введение

Работа посвящена исследованию краевых задач для операторпо-дифференциальных уравнений вида

Au = But — Lu = f (x, t), (1)

где B, L — линейные операторы, определенные в данном гильбертовом пространстве E, причем оператор B самосопряжен. В качестве краевых условий возьмем

P+u(0) = u0, P-u(T) = ut , (2)

где P+,P- — спектральные проекторы оператора B, отвечающие положительной и отрицательной частям спектра. Мы не предполагаем, B

В случае, если операторы L, B те зависят от параметра t и спектр пучка L + AB содержится в одной го полуплоскостей вида Re А < a, Re А > а или при выполнении условия D(B) С D(L), такие уравнения обычно называют уравнениями типа Соболева [1,2]. Теория полугрупп для

*) Работа выполнена в рамках реализации фцп «Научные и научно-педагогпче-ские кадры инновационной России» на 2009^2013 гг. по мероприятию 1.3.1 и при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации (код проекта № 02.740.11.0609).

© 2011 Антипин В. И.

уравнения вида (1) соболевского типа в случае необратимого оператора В имеется, например, в [3]. Сошлемся также на книгу [4], где можно найти подробную библиографию и ряд результатов. Для уравнений типа Соболева корректна обычная задача Коши или задача, близкая к ней. Иная ситуация, как мы увидим, в случае, если уравнение не является уравнением типа Соболева (как правило, это означает, что В

ства положительной и отрицательной полуосей). Подобные уравнения возникают во многих областях физики, в геометрии, популяционной генетике и некоторых других областях. В случае, если оператор Ь самосопряжен, уравнение (1) рассматривается в [5,6]. В частности, в [5] можно найти ряд примеров, возникающих в приложениях. Оператор Ь

кЬи,у)| < е|Н|Я11М1н Уп е б(Ь),

где ||п|Н = Т1е( — (Ьп,п) + ||п||2). Обобщение на случай диссипативного оператора, удовлетворяющего условию Като-секториальности, имеется в работах С. Г. Пяткова и Н. Л. Абашеевой [8]. Краевые задачи для уравнения (1) при наших предположениях па операторы Ь, В в случае, если условие Като-секториальности не выполнено, по-видимому, не рассматривались. Однако в класс уравнения (1) входят многие важные классы дифференциальных уравнений в частных производных, на-

Ь

рядка или операторы со спектром, достаточно близко расположенным к мнимой оси.

В § 1 мы приводим некоторые вспомогательные утверждения и формулируем теорему существования решения. В § 2 приводится доказательство теоремы.

§ 1. Вспомогательные утверждения

Норму и скалярное произведение в Е обозначаем через || • || и (•, •). Пусть вложение Н С Е плотно. Через Н' обозначаем негативное

пространство, построенное как пополнение Е по норме ||и||Н = вир ИМ1Я!.

Если X, У — гильбертовы пространства, то под Ь(Х, У) понимаем пространство линейных непрерывных отображений, определенных на X то значениями в У. Если X = У, то пишем Ь(Х) вместо Ь(Х, X).

Назовем оператор Ь : Е ^ Е диссипативным (равномерно диссипативным), если — Ие(Ьи, и) > О (—Ие(Ьи, и) > 5||и||2, 5 > 0) для всех и е Е(Ь). Здесь Е(Ь) — область определения оператора Ь. Опера-Ь

любым своим диссипативным расширением.

Через р(Ь),<г(Ь) обозначаем резольвентное множество и спектр оператора Ь. Основные предположения об операторах Ь, В состоят в следующем.

Ь

тово пространство Е1, плотно вложенное в Е, такая, что Е(Ь*) С Е С Е и существует постоянная 5о > 0 такое, что 11е(—Ь*и,и) ^ 5оНиЩ^ для всех и е Е(Ь*), где Ь* — сопряженный оператор.

Из условия I вытекает, что оператор Ь* также максимальный дис-сипативпый оператор и 0 е р(Ь) П р(Ь*) [7, предложение С.7.2], более того, {Ие А > 0} С р(Ь) П рЬ*).

II. Оператор В самосопряжен в Е и Е С Щ|В|*/2) плотно.

Лемма 1. При выполнении условия II оператор В определяет непрерывное отображение пространства Е в Е{, где Е/ — негативное пространство, построенное по паре Е, Е.

Доказательство. Оператор В : Щ|В|) ^ Е (в Щ|В|) вводим норму графика), будучи определенным на Щ|В|), допускает продолжение до непрерывного отображения из Щ|В|*/2) в (Е(|В|*/2))'. Дей-

ствительно,

ПС II КВп,«) 1

|в|1/1) /2)

11|5|1/2м|| • |||В|1/2«||

уЕщ | б11 /2) |Р||В( |В|!/2) уЕщ | б11 /2) |Мш( 1в1г/2)

< |||В^/2п||, (3)

или

||Вп||/2)у < |||В^/2п|. (4)

Имеем естественное вложение

^ С б|ВГ/2) С Е С (Б(|В^/2))' С ^ (5)

ЕЕ

Таким образом, оператор В, определенный на Б|В|*/2), определен и на пространстве и имеем

^^ < CНnН (М/2)у < ^ ||п|^ • (6)

Лемма 2. Пусть выполнено условие I. Тогда Б(Ь) плотно вложен в и операторы Ь-1, (Ь*)-1 допускают продолжение до отображений класса Ь(Е1/,

Доказательство. Имеем

Т1е(—Ь*п, п) > ¿оНЩ^, (7)

|Ке(-Ь*п,п)| < КЬ*п,П| < ||Ь*п||^||п|^ Уп е Б(Ь*)• (8)

Используя это неравенство в левой части (3) и сокращая па ЦпЦ^, получим

||Ь*п||^ > <50||и|^•

Поскольку 0 е р(Ь*) [7], неравенство переписывается в виде

|Мк' > <50||(Ь*)-1 ^ е Е. (9)

Поскольку F плотно вложено в E, то E плотно вложено в F[, т. е. F С Е С F/, и из (9) вытекает, что (L*)"1 допускает продолжение до оператора класса ¿(F/, Fi). Имеем

(L"1 u,u) = (u, (L*)"1v) Vu,v G E. (10)

Далее, для любого u G E имеем

! IK (¿*)~MI

L 'и Fl = sup —г-,,-= sup-г-,,-

veE ||v||F veE ||v||F

\\u\\Fi\\(L*)-4)\\Fl \\u\\f;\\v\\f; < sup-—¡i- < sup —J—LT—i—L, 11)

veE IIv M F' veH ¿o 11v M F-i

откуда получим оценку

||u||F'

ll^lk < iL-p. (12)

Из (12) следует, что L"1 допускает продолжение до оператора класса ¿(F/, Fl).

Рассмотрим равенство

(L"1u,u) = (u, (L*)"1 v) Vu, v G E. (13)

Имеем

|(u,(L*)-1 v)| < || (L*)"1v|f IIuIIf < cMvMf' MuMF/. (14) Если u фиксирована, то выражение (u, (L*)"1 v) есть антилинейный непрерывный функционал над F/ (по v). Существует g G Fl такой, что

(u, (L*)"1 v) = (g, v) = (L"1u, v) Vu, v G E.

Таким образом, g = L"1u, и, значит, L"1 u G F для всех u G E. Возьмем ф G D(L). Тогда u = L^ G E и ф = L"1 u.

Из доказанного получим ф G F- Таким образом, D(L) С Fi. Предположим напротив, что D(L) не плотно в Fi. Тогда существует v G F/, v ф 0, такой, что

L" u, v Vu G E.

Предельным переходом получим, что равенство

(и, (Ь*)-1«) = (Ь-1и,«)

справедливо и для у е Е[, и е Е. Поскольку Н плотно вложено в Е/ и (и, (Ь*)-1 у) = 0, то (Ь*)-1« = 0. Отсюда следует, что « = 0; противоречие. Таким образом, ЩЬ) плотно вложено в Е\. Лемма 1 доказана.

Обозначим через класс функций и е Е таких, что и предста-вимо в виде и = Ь-1 у где у е Е/, и

Ик = ||Ь-+ = Ик + ||Ьи||^.

Тогда Е(Ь) С Е С Еь

Пусть У — комплексное векторное пространство и В, В2 — комплексные банаховы пространства. Пусть М^ (Л. = 1,2) — линейные отображения из V в пространство В^.

Рассмотрим следующий вопрос. Вектор ф е В* задан, требуется найти ф е В* такой, что

(^.М«) (15)

для любого « е V, где (•, •) обозначают отношения двойственности между соответствующими пространствами.

Теорема А (принцип существования) [9]. Необходимым и достаточным условием существования решения задачи (15) для любого Ф е В* является то, что найдется к > 0, для которого

||МН| < к||М2«|| V« е V.

Определим пространство Н как пополнение Щ|В|*/2) по норме

|||В^/2 «|| = |М|н.

| В | / е Ь Н, Е Обозначим Н = {« е Ь2(0, Т; ДЬ*)), « е Ь2(0, Т; Е)}•

Определение 1. Функция и е называется обобщен-

ным решением краевой задачи (1), (2), если найдутся и$, ит е Н такие,

что Р= щ, Р+й>т = й,т и выполнено равенство т

J(-(Ви, уг) - (и, ь*у))аь + (Вит, у(Т)) - (Ви0, «(0)) о

т

+ (Вит, ь(т)) - (Вщ, у(о)) = I и, у) аь (16)

о

для любого V е Ь2(0,Т;В(Ь*)), у е Ь2(0,Т;Е). и и

следующего, более естественного, определения.

Определение 2. Функция и е называется обобщен-

ным решением краевой задачи (1), (2), если выполнено равенство т

J (-(Ви, «г) - (и, ь*у))аь + (ВР-ит, у(Т)) - (ВР+щ, у(0)) о

т

= 1(1,у)аь (17) о

для любого V е Ь2(0,Т;ДЬ*)), «г е Ь2(0,Т;Е), и Р+у(Т) = 0, Р-у(0) = 0.

Приведем некоторые следствия, вытекающие из определения обобщенного решения. Пусть Н2 = В(Ь*). Тогда если и е Ь2(0, ТЕ), то выражение Ьи имеет смысл и является элементом Ь2(0, Т; Н2). Если V е С^(0, Т; Н2), то равенство (16) перепишется в виде т т т

J(-Bu,vt) ¿ь = J (Ьи,у)аг +J(f,v)dt Уу е С^(0,Т;Н2). (18) о оо

Имеем Ьи + / е Ь2(0,Т; Н'). Отсюда и из определения обобщенной производной вытекает, что функция Ви принадлежит Ь2(0,Т; Б') (по лемме 1) и имеет обобщенную производную (Ви)г е Ь2(0,Т;Н').

Поскольку Р/ С И', имеем Вм € С([0, Т]; И') после, может быть, изменения на множестве меры нуль. Из (18) вытекает, что справедливо равенство Вм4 — Ьм = / в пространстве Рг(0, Т; И').

Теперь рассмотрим функции v € Сто([0, Т]; Н2) в (16). Интегрируя по частям и используя равенство Вм4 — Ьм = /, получим

(В(м(Т) — мт — мт), — (В(м(о) — м0 — йг), ^^ = 0.

Поскольку функции v(0) могут быть произвольными, отсюда заключаем, что

Вм(Т) = В(мт + йт), Вм(0) = В(м0+ м0).

Равенство имеет место в И', поскольку Вм € С^О, И').

Отсюда вытекает, что следы Вм(0), Вм(Т) существуют, принадлежат (Д|В|*/2)) ' и

ВР-м(Т) = Вмт, ВР+м(0) = Вм0.

/€

мо,мт € И существует обобщенное решение м € краевой задачи (1), (2) в смысле определения 1.

§ 2. Доказательство основного результата

Доказательство теоремы существования решения. Пусть м = (м, м0, мт) € Р1 х И х И и / = (/, м0, мт) € Рг(0, Т; Р/) х И х И. Обозначим М^ = —Bví — Р*^. Далее, определим 5 : И ^ Р/ х И х И такой, что ^ = (Mv,P-и^ : И ^ х И х И

такой, что = -^Т)).

Рассмотрим вопрос о нахождении функций м(ж) € ¿2(0,Т;Р1), щ,мт € И : Р-^о = = мг, таких, что / = [/,5^] для

всех v € И, где

т

= ^(0))я + (мт,Р"МТ))н, (19)

о

т

[f,S0v} = J\f,v)dt + (ut ,P-v(T)) h + (uo,P+v(0) )и. (20) o

Здесь (u,v)h = (|B|u,

Возьмем u = (v,v(0),v(T)). Тогда

Re[u, Sv]

(T N

J(u, Mv)dt + (Bu(T), P+v(T)) - (Bu(0), P-v(0))

Ít т

- У (Bu, vt) dt - J(u, L*v) dt

+ (Bu(T), P+v(T)) - (Bu(0), P-v(0)) I . (21) Подставив u = (v,v(0),v(T)) в (21), получим Re[u, Sv] = Re¡- J (Bv, vt) dt

o

т

- *

- J(v, L*v) dt+ (Bv(T), P+v(T)) - (Bv(0), P-v(0)) т

dt - J Re(v, L*v) dt + (Bv(T), P+v(T))

o

t t

/ dt 2

- (Bv(0), P-v(0)) = -\(Bv(T), v(T)) + l-(Bv(0), «(O))

т

(Bv(T), P+v(T)) - (Bv(0), P-v(0)) + J - Re(v, L*v) dt

o

(BP+v(T),P+v(T)) (BP-V(T),P-V(T)) (BP+v(0),P+v(0))

2 2 + 2

о

1

+ 2

Отсюда

j - Re(v, L*v) dt = Iqb^MT), \В\^2у(Т))

t

(IB1 /2v(0), Щ1/2v(0)) + f — Re(v,L*v)dt. (22)

ReP,^] = i|||B|1/2i;(T)||2 + i|||B|1/2i,(0)||2 + j -Re(v, L*v) dt

о

> i|||S|1/2«(T)||2 + ^|||5|1/2г;(0)||2 + ¿|Mll2(0,T;Fl)

= ^1Ь(Т)11Я + ^1Ь(0)ГЯ + ^Ь1112(О,Т;Е1)- (23)

Имеем

ReKSv] < (\\v(T)\\H + ||v(0)\\H + И^т^1^

x (\\v(T)\\H + \\v(0)\H + WMvf^TFFo)V2• (24)

Используя это неравенство в левой части (23) и производя сокращение, получим неравенство

¿0 (\\v(T)\\H+ \\v(0 )\H+ \М\|2(0,Т^) f

< 2(\\v(T)\\H + \\v(0)\\H + \\Mvr^T,F{) f/2, (25)

или

\\S0v\\l2(0,T;Fi) xHxH < c\Sv\^0,T;Fi) xHxH • (26)

Итак, в силу теоремы А существует обобщенное решение задачи (1), (2) в смысле определения 1. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Barbu V., Favini A. Periodic solutions for degenerate differential equations // Rend. Inst. Mat. Univ. Trieste. f996. V. 28. P. 29-57.

2. Руткас А. Г. Задача Коши для уравнения Ax'(t) + Bx(t) = f(t) // Днфференц. уравнения. 1975. Т. 11, №11. С. 1996-2010.

3. Sviridvuk G. A., Fedorov V. Е. Linear Sobolev type equations and degenerate semigroups of operators. Utrecht; Boston; Köln; Tokyo: VSP, 2003.

4. Favini A., Yagi A. Degenerate differential equations in Banach spaces. New York: Marcel Dekker, 1999. (Pure Appl. Math.; V. 215).

5. Van der Мее С. V. M. Semigroup and factorization methods in transport theory. Amsterdam: Math. Centrum, 1981.

6. Karabasb I. M. Abstract kinetic equations with positive collision operators // arXiv:0708.2510v2 [math.SP]. The University of Calgary, Canada. 2 Oct. 2007. P. 1-20.

7. Haase M. The functional calculus for sectorial operators. Basel; Boston; Berlin: Birkhauser Verl., 2006. (Operator theory: Adv. and Appl., V. 169).

8. Пятков С. Г., Абашеева Н. Л. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа. // Сиб. мат. журн. 2000. Т. 41, № 6. С. 1419-1435.

9. Ficbera G. Linear elliptic differential systems and eigenvalue problems. New York: Springer-Verl. The Johns Hopkins University, Baltimore, MD: 1965.

г. Якутск

1 августа 2011 г.