Исследование разрешимости краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений смешанного типа Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

ИССЛЕДОВАНИЕ РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ СМЕШАННОГО ТИПА*

В, И, Антипин, С, В, Попов

1. Введение

Рассматривается операторно-дифференциальное уравнение вида

Б(г)пг - Щп = /, г е (о, т), т < то, (1)

где Б(г), Ь(г) — линейные операторы, определенные в данном гильбертовом пространстве Е Предполагается, что оператор Б необратим, в частности, он может иметь ненулевое ядро.

Для уравнения (1) рассматривается полная матрица нелокальных краевых условий, а также рассматривается случай Т = то.

Исследованию локальных краевых задач для уравнения (1) с помощью ряда свойств соответствующей спектральной задачи посвящены работы [1-3]. Нелокальные краевые условия с постоянными коэффициентами исследованы в монографии [4].

2. Определения и вспомогательные утверждения

Как обычно, под СО, Т]; Б), Ьр(0, Т; Б) (Б — банахово или гильбертово пространство) понимаем пространства к раз непрерывно диф-

* Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проекты № 4402, № 5562) и фцп «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. (ГК 02.740.11.0609 и Согл. 14.132.21.1350, 14.А18.21.0367).

© 2012 Антипин В. И., Попов С. В.

ференцируемых функций со значениями в В с нормой

к

1М1сН[о,Т;В) = У) 8иР

¿=о Т

¿1

-—и(т)

А1 К '

(предполагается, что функция и и все ее производные допускают непрерывное продолжение на замыкание интервала (О, Т)) и пространство сильно измеримых функций, определенных на (О, Т), со значениями в В, снабженное конечной нормой

1 /р

\и\\ьр(0'Т-,В) =

Iи(т)\В Лт

1 ^ р ^ то,

\\и\\ьте(о,ТВ)= ^¿"Т^ \\и^)\\в.

Пространство ^2к(0, Т; В) состоит из функций и € Ь2(0,Т;В), имеющих обобщенные производные (в смысле теории распределений) до порядка к, которые принадлежат пространству Ь2(0,Т;В). Через Ь(Л, В) обозначаем пространство линейных непрерывных операторов, заданных па данном банаховом пространстве Л, со значениями в В. Под ст(Ь), р(Ь) понимаем спектр и резольвентное множество оператора Ь. Всегда, если те оговорено противное, вводим в ЩЬ) норму графика. Символом Д(Ь) обозначаем область значений оператора Ь.

Пусть даны комплексные гильбертовы пространства С

Е, причем вложение плотно. Пусть (•, •) — скалярное произведение в Е. Тогда негативное пространство Н', построенное как пополнение Е по норме

к и,у)1

\Щ\н[ = эир

УЕН'УФО

совпадает с пространством непрерывных антилинейных функционалов над Н и скалярное произведение в Е допускает продолжение до отношения двойственности между Н и Н' [5,6]. Пусть Л, В — комплексные банаховы пространства, непрерывно вложенные в некоторое комплексное топологическое линейное пространство. Через (Л, В) в,р

обозначаем пространство, построенное с помощью метода вещественной интерполяции [7].

Рассмотрим операторы Ь(Ь),Б(Ь) : Е ^ Е. где Е — комплексное гильбертово пространство со скалярным произведением (•, •) и нормой || • у. Предполагаем в этом разделе, что Ь(Ь),Б(Ь) удовлетворяют следующим условиям.

(I) Найдутся гильбертовы пространства Х\, У, И, плотно вложенные в Е, такие, что X С И С Е, У С И С Ей каждое из вложений плотно, при почти всех г е [0, Т] оператор Ь(г) : Е ^ Е замкнут, плотно определен п Ь(Ь) е Ьто(0, Т; Ь(Х1; И')), Ь*(г) е Ьто(0где знак * означает сопряжение. Оператор Б обладает свойствами: Б(Ь) е ,Т;Ь(И1,И{)) (т. е. без ограничения общности можем считать, что Б(Ь) е С([0, Т]; Ь(И\, И'))). Операторы Б(0) п Б(Т) (если Т < <х) самосопряжены в Е. Операторы Б(Ь) спм-

,Т

(Б(Ь)п,у) = (п,Б(Ь)у) при всех п,у е И. Пространство И плотно вложено в П(|Б(0)|*/2) н в П(|Б(Т)^/2), кегБ(О) = кегБ(Т) = {0}.

Условия (I) гарантируют, что для любой п(Ь) е (0, Т; И) функция В(Ь)и(Ь) имеет обобщенную производную и справедливо равенство

^-Б(г)и(г) = Б(г)щ(г) + вг(г)и(г), ш,

где — обобщенные производные от функций и(1),Б(£). Кроме

того, (Бг(г)и,у) = (и,Бг(при всех и,у е И и почти всех г е (0,Т).

Ь Ь, Ь*

торов класса Ьто(0, Т; Ь(И1,У{)) и Ьто(0, Т; Ь(Н,Х{)) соответственно.

Дополнительно предположим, что

(II) Найдется постоянная 6 > 0 такая, что

к> б\\и\\2Н1

для всех и е И п почти всех г е (0, Т).

Определим пространства Б0, С0 как пополнения Б(БО)^/2) и Б(\Б(Т)/2) по нормам ||и||0 = |||Б(0/2и|| и ||и|^ = |||Б(Т)/2и||,

соответственно. Пусть также Е± = {и € Ео : Е±(0)и = и} С± = {и € С0 : Е±(Т)и = и}, где Е±(0), Е±(Т) — спектральные проекторы операторов В(0) и В(Т), соответствующие положительной и отрицательной частям спектра. Например, если Ед(0) — спектральное семейство оператора В(0), то Е_(0) = Е_0, Е+(0) = I — Е (I — тождественный оператор). Определим скалярные произведения в Со с помощью равенств (и,-у)= (В(0) 7(0)и, у), (и, у)с0 = (В(Т) 7(Т)и, у), где 7(0) = Е+(0)—Е_(0) и 7(Т) = Е+(Т) — Е-(Т). В подпространствах Е<±, С± вводим нормы и скалярные произведения, индуцированные из Ео, Со, соответственно. Построим также пространства Е_1, С_1 как пополнения Ео, Со по нормам

Н^ = \\В(0)и\\у/, \M\g- = \\В(Т)и\\у/.

Имеем Ео С Е_1, С С С_.

Приведем некоторые вспомогательные результаты, считая, что условия (I), (II) выполнены. Ниже через с обозначаем, вообще говоря, различные постоянные, не зависящие от функций, участвующих в неравенствах. Введем вспомогательные пространства

\¥ = |и(г) е ¿2(0, Т; Н\) : € Ь2(0,Т;У/)| ,

Ш* = |и(*) €

с естественными нормами

\\и\\^ = \\и(^> НьгСО'ТЯ!)

Л

в(*)и(*) € ь2(о,т;х{;

-В(^)

ЫО'Т-у')

1\и\\^* = \\и(^> Н^ТН)

Ь2(0,Т;Х')

Лемма 1. Если Т < то, то классы Сто([0,Т];Х!) и СТО([0,Т]; плотны в Ш н Ш*. Если Т = то, то множество функций из класса Сто([0, то); X) (Сто([0, то); имеющих ограниченный носитель, плотно в Ш (Ш*).

Доказательство проводится одинаково в обоих случаях, поэтому приведем его только для пространства Ш. Рассмотрим случай Т < то. Пусть <1(6), <2(6) — вещественные функции класса Сто([0, Т]), первая из которых равна единице в некоторой окрестности точки 0, а вторая — в некоторой окрестности точки Т, и такие, что <(6) + <(£) = 1 для всех 6 £ [О, Т]. Пусть и £ Ш. Положим щ = 6) £ Ш (г = 1,2). Первую из этих функций продолжим нулем на весь интервал (0, то), а вторую нулем на весь интервал (-то,Т). Построим функции

сю сю

Щр{ь) = У^Ои^ + рО^е, Щр(г) = - рО

где € Сто(Мп), вирр^ £ (0,1), / ¿£ = 1. Стандартным обо

разом проверяется, что ||ир — и^Ц^о,ТН) — ^ (г = 1,2) при Р — О, ||Вир — и^||^0 тн^ —^ 0 (г = 1, 2) при р — 0. Имеем представление

(I

о о

Из этого представления вытекает оценка

< с||и<Уж. (2)

ь2(0 ,т-у Аналогично

(3)

а ь2(0 ,Т;У1/)

Возьмем последовательность ри — 0, к — то. Из оценок (2), (3) вытекает, что найдется подпоследовательность рцп) такая, что

^-{Вигрк ) —> -^-(Вшрг) при п —> то слабо в Ь2(0,Т; Н[).

Тогда найдутся и выпуклые комбинации и«, и« элементов этих подпоследовательностей такие, что

|В(и« — и\) |

ЫО,Т-,У{)

|В(и« — иг) |

Ь2(0 ,Т\И[\ 2

ЫО,Т-,У() 0

при п ^ ж. Построили приближение ип = и^ + и« € Сто([0, Т];#1) функции и € Ш. Теперь утверждение вытекает из плотности X в И\. В случае Т = ж искомое приближение можно построить в виде

М«

СЮ

где — бесконечно дифференцируемая функция равная единице при £ € [0,1] и нулю при £ >2, а р(п) — некоторая последовательность вещественных чисел. □

Ниже предполагаем, что Т < ж. Соответствующие переформулировки для случая Т = ж очевидны, а доказательства в этом случае только упрощаются.

Лемма 2. Пусть и(Ь) € Ш. Тогда после может быть изменения на множестве меры 0 функция В(£)и(£) принадлежит классу С([0, Т];У{). Единственным образом определены функции щ € В—, ит € б— (которые можно назвать следами функции и(£) при £ = 0 п £ = Т соответственно), обладающие свойством: для любой последовательности ип € СС([0, Т]; Хх), сходящейся к и(Ь) в норме пространства Ш имеют место сходимости

||и„(0) — щ ^ 0, ||и„( Т) — ит Ус— прпп ^ ж.

Доказательство. Первое утверждение леммы очевидно, поскольку в(г)и(г) е ь2(о,Т;У{) и ^в(г)и(г) е ь2(о,Т;У{) [7, гл. 1, п.1.8.з]. Второе утверждение вытекает из первого и определения пространств В_1. .

Как вытекает из определения пространств Е0, во операторы Е±(0), Е± (Т) принадлежат классам Е(Ео) и соответственно. □

В дальнейшем будем обозначать функции щ, ит, определенные в лемме 2, через и(0), и(Т) соответственно.

3. Теоремы существования и единственности

Для операторно-дифференциального уравнения (1) рассмотрим следующие краевые задачи: при Т = ж найти решение уравнения (3) такое, что

Е+(0)и(0) = и+ Нт и(Ь) = 0, (4)

и при Т < ж найти решение уравнения (3) такое, что

Е+(0)и(0) = НпЕ-(0 )и(0) + Н12Е+(Т)и(Т) + и+,

(5)

Е- (Т)и(Т) = Н21Е-(0 )и(0) + Ь22Е+(Т)и(Т) + и-, где операторы Н^ обладают свойствами:

Ни е ь(Е0, Е+), Н12 е ь{с+, Е+), н21 е ЦЕ0,с0), н22 е ь{с+, с0).

Определим понятие обобщенного решения. Пусть Т = ж.

Определение 1. Функция и е Ж называется обобщенным решением задачи (1), (4), если найдется функция и0 е Е0 такая, что Е+(0)ио = щ и

СЮ

J [-(и,Вуг)(¿) - (и, Вгу)(г) - (и,Ь*ю)(Ь)]скЬ - (ВЕ-(0)и%(0)) о

СЮ

= у"(/,*)(тНт + (В^(0)ио,*(0)) (6)

о

для всех V е ф = сто([о, ж); ^1).

Положим Е = ¿2(0, ж Н) х Е0, V = Ж х Е0. Пусть скобки [•, •] обозначают скалярное произведение в ¿2(0, ж Е) х Е), определяемое

равенством [й,Щ = /(и,у)(Ь) А + (|Б(0)|и0^0). Это скалярное пронз-о

ведение может быть продолжено до отношения двойственности между В и В' = ^2(0, ж; И') х Во, при этом двойственное к Во отождествляем с Во. Определим операторы 5 : Ф ^ В= (И*у,Е-(0)^(0)) (И*ю = -Буг{г) - Бгу{г) - Ь*V) и 50 : Ф ^ В = В2(0, ж; И) х В0, = ^,Е+(0М0)). Тогда равенство (6) может быть записано в виде

[й,5Ц = [¡,5^] Vv е Ф, й = е В, / = (Я^ио).

Пусть Т < ж.

Определение 2. Функция и е Ш называется обобщенным решением задачи (1), (5), если найдутся функции и0 е В0, ит е Со такие, что Е+(0)ио = и0, Е- (Т)ит = ит и

т

У -(Ц^, И^ + (|Б(Т)|Е+(Т)ит, ^^^ (|Б(0)|Е-(0v(0)) о

- (|Б(Т)КЬ21Е-(0)и0 + Н22Е+(Т)ит)Т))

- (|Б(0Ж)и0 + Н12Е+(Т)ит), v(0))

СЮ

= ¡Я^){г)<1т+{БЕ+Щи^Щ)- (БЕ-(Т)итМТ)) (7) о

для всех V е Ф = СС([0, У).

Положим В = Ь2(0,Т;И1) х В0 х С0, У = Ш х В х С0. Пусть скобки [•, •] обозначают скалярное произведение в Ь2(0, Т; Е) х В х С0, определяемое равенством

СЮ

= + (|Б(о)|и0У) + (|Б(Т)|ит.

о

Как н ранее, это скалярное произведение может быть продолжено до отношения двойственности между В и В' = Ь2(0, Т;И') х Во х СоПри этом двойственные к Во, С отождествляем с Во, Со- Определим

операторы

5 : Ф ^ Е', Яи = (И*V, Е"(ОМО) - Ъ*21 Е-(Т)и(Т)

- Н*!Е+(0)и(0), Е+(Т)и(Т) - Н*2Е"(Т)и(Т) - Н**2Е+(0М0))

и

Я0 : ф ^ Е = £2(о, Т; Н) х Е х Я0и = (V, Е+и(0), Е"V).

Тогда равенство (7) может быть записано в виде

[и,я-и] = [¡,я0-и} Уи еФ, и = (и(г),и0,ит) е Е, / = (¡(г),щ,ит).

(8)

где и = (и(Ь), и0, ит) е Е.

Приведем некоторые следствия из определений.

и

или определения 2, то и(€) есть решение уравнения (1), которое выполняется в пространстве Ь2(0,Т;У{), следы решения и(0), и(Т) определены в смысле, указанном в лемме 2, причем и(0) = и0 е Е> и{Т) = ит е Со, Е+(0)ио = щ, Е"{Т)ит = ит.

Схема доказательства разрешимости краевых задач (1), (4) и (1), (5) близка к использованным, например, в [8,9].

Краевые задачи (1), (5) в случае постоянной диагональной матрицы {Н^-} исследованы в монографии [4]. В случае локальных краевых условий (5) отметим работы [1-3].

Тж

Теорема 1. Пусть / е ¿2 (0, Т\Н[), е Ео" и выполнены условия (I), (II). Тогда существует решение краевой задачи (1), (4), принадлежащее пространству Ж, причем и(0) е Е) и первое из равенств (4) имеет смысл.

Доказательство. Для и, и е Ф зададим билинейную форму

СЮ

а(й,у) = ! [-{и,ВиЬ) (г) - (и,ви(г) - (и, 1*и){-Ь)]<й - (ВЕ-(0 )и°, и(0)), о

где м = (u(t),u0), v = (v(t),v(0)). Имеет место оценка

|a(u,v)| < C||u||fИ|у, u,v £ф.

При фиксированном v форма a(u, v) определяет линейный ограниченный функционал в гильбертовом пространстве F. В силу теоремы Рисса имеем представление

a(u, v) = [u, Sv], Sv £ F, u £ F.

С другой стороны, интегрируя по частям, будем иметь неравенство

сю

Re[o,Sv] > <5 J |\v(t)fHi dt + i|b(0)|||o > ó^, = min (ó, 1/2),

o

(9)

где v = (v(t),v(0)), v £ Ф. Отсюда следует оценка ||Sv||F ^ C11v|F, v £ Ф. Оценка гарантирует замкнутость ñ(S), а условие I гарантирует, в свою очередь, что ñ(S) = F. Таким образом, Sсуществует и ограничен, тем самым R(S*) = F. Легко видеть, что интегральное тождество

a(u, v) =S0v] Vv £ф, (10)

эквивалентно операторному уравнению

S*u = f, f £ F, (11)

где

сс

[f, S0v] = J(/, v)(t) dr + (БЕ+(0)щ, v(0)). о

Стало быть, уравнение (11) имеет решение u = (u(t),u°) из пространства F. Из тождества (10) следует, что u(t) принадлежит W и удовлетворяет уравнению (1). Следовательно, функция u(t) принадлежит W

v£

E+(0)v(0) = uí, lim v(t) = 0. (12)

t—►с

Тогда из (10) следует, что для функции и(1) выполнены краевые условия (4) в пространстве Е- Теорема 1 доказана. □

Перейдем к случаю Т < ж. Определим оператор н=(£ ^х ^ ~*х

В силу условий па операторы Н^ оператор Н является линейным непрерывным отображением из Е- х О^ в х О-. Обозначим норму этого отображения через рн.

Теорема 2. Пусть / £ £ Е^, и— £ О-, выпол-

нены условия (I), (II) н рн < 1. Тогда существует решение краевой задачи (1), (5), принадлежащее пространству такое, что и(0) £ Е0, и Т £ О

Доказательство полностью совпадает с доказательством теоремы 1. Неравенство (9) в данном случае запишется в виде

т

ыт^^ + ^т^ + мт)^)

о

- НЕЩ-«(0) + Н12Е{Т)+«{Т),«{Т))Со(НпЕ(0)-«(0)

+ Н12Е(Т)+«(Т),«(0)> ¿2\\4р,

где 32 — некоторая положительная постоянная, зависящая от величин

6,рн- Из этого неравенства вытекает, что доказательство может быть

□

ЛИТЕРАТУРА

1. Пятков С. Г: Некоторые свойства собственных функций линейных пучков / / Сиб. мат. журн. 1989. Т. 30, № 4. — С. 111-124.

2. Пятков С. Г: Свойства собственных функций одной спектральной задачи и некоторые их приложения // Некоторые приложения функционального анализа к задачам математической физики. Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР. 1986. — С. 65-84.

3. Пятков С. Г: О некоторых свойствах собственных функций линейных пучков // Мат. заметки. 1992. Т. 51, вып. 1. С. 141-148.

4. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

5. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967.

6. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Киев: Наук, думка, 1965.

7. Трибель X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

8. Кислов П. В. Неоднородные краевые задачи для дифференциально-операторного уравнения смешанного типа и их приложения // Мат. сб. 1984. Т. 125, вып. 1. С. 19-37.

9. Egorov I. Е. Solvability of a nonlocal boundary value problem for an operatordifferential equation of mixed type // Мат. заметки ЯГУ. 1995. V. 2, № 2. P. 61-72.

г. Якутск

31 мая 2012 г.