Линейная обратная задача для операторно-дифференциального уравнения смешанного типа с параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

УДК 517.95

ЛИНЕЙНАЯ ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ОПЕРАТОРНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА С ПАРАМЕТРОМ Н. Л. Абашеева

Аннотация. Исследуется вопрос о существовании и единственности решения обратной задачи

But + pLu = ^(t) + f (t,p), u(0,p) = u(T,p) = 0.

Операторы B, L самосопряженные в гильбертовом пространстве E, спектр оператора L полуограничен. При выполнении конечного числа условий согласования установлена однозначная разрешимость такой задачи с помощью разложения в ряд по собственным и присоединенным элементам пучка L — AB. Ключевые слова: обратная задача, уравнение смешанного типа.

Рассмотрим следующую линейную обратную задачу. Требуется найти функции u(t,p) и удовлетворяющие уравнению

But + pLu = <^(t) + f (t,p), p e D, t e (0,T), (1)

и краевым условиям

u(0,p) = u(T,p) = 0. (2)

Здесь T < то, D С C — измеримое множество, имеющее предельную точку po e C, L, B — самосопряженные операторы в данном комплексном гильбертовом пространстве E со скалярным произведением (•, •) и нормой || • Ц. Оператор B имеет произвольное расположение спектра, а спектр оператора L полуограничен.

Теория обратных задач для дифференциальных уравнений — интенсивно развивающаяся область математики. Обратные задачи для уравнений вида (1) в случае, когда B = I, являются предметом изучения многих исследователей. Задача определения правой части изучалась как для модельных уравнений в частных производных, так и для абстрактных уравнений. Случай, когда от

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 15-01—06582).

© 2016 Абашеева Н. Л.

оператора B не требуется положительной определенности, рассматривался, например, в [1,2]. Обратные задачи для уравнения с параметром для случая B = I были исследованы в [3,4].

В данной работе на основе известных результатов для прямых задач изучена обратная задача нахождения свободного члена для уравнения с параметром (1). Здесь доказательство проводится методом разложения в ряд по собственным и присоединенным элементам соответствующей спектральной задачи

Lu = ABu (3)

и дано явное представление решения. Свойства собственных функций задачи (3) подробно изложены в монографии [5].

1. Основные предположения. Определения пространств Ck([0,T]; X), Lp(0, T; X), Wg (0, T; X) (X — банахово или гильбертово пространство) обычные и могут быть найдены в [6]. Через X' обозначаем негативное пространство, построенное по банахову пространству X и гильбертову пространству E.

Следующие определения и предположения аналогичны данным в [5]. Пусть P +, P- и P0 — спектральные проекторы оператора L, отвечающие положительной, отрицательной и нулевой частям спектра соответственно.

(A). Спектр оператора L, лежащий на полуоси A < 0, состоит из изолированных собственных значений конечной кратности, dim R(P-) < ж, P0 = 0.

(B). Пространство H = D(|L|1/2) плотно вложено в D(|B|1/2) (в D(|L|1/2), D(|B|1/2) вводим норму графика).

Очевидно, L допускает расширение как непрерывное отображение из H1 в Hi. Также оператор B допускает расширение до ограниченного оператора из D(|B|1/2) в H1 и, следовательно, B е L(HbH1).

Заметим, что в пространстве H1 можно ввести скалярное произведение и индефинитную метрику посредством равенств

(u, v) 1 = (|L|1/2u, |L|1/2v), [u, v] 1 = (nu,v)1,

n = P + — P-. При этом пространство H1 превращается в пространство Понт-рягина с рангом индефинитности к = dim R(P-) < ж [7].

Определим F0 как пополнение фактор-пространства D(|B|1/2)/kerB по норме ||u||o = |||B|1/2u||. Пусть E+, E- и E0 — спектральные проекторы оператора B, отвечающие положительной, отрицательной и нулевой частям спектра соответственно. Положим J = E + — E-. Вводя в F0 индефинитную метрику

[u,v]o = (J|B|1/2u, |B|1/2v),

получаем пространство Крейна. Определения и свойства пространств с индефинитной метрикой можно найти в [7].

Говорят, что A е C принадлежит резольвентному множеству p(L — AB) пучка L — AB, если оператор L — AB : H1 ^ H1 ограниченно обратим. Положим

— АВ) = С \ р(Ь — АВ). Под собственным элементом задачи (3) понимаем функцию и € Н (и = 0) такую, что для некоторого А € С выполнено равенство (3). Множество (и € Н.) есть цепочка собственных и присоединенных

элементов длины п + 1 (с.п.э.) пучка (3), соответствующих А € С, если

(Ь — АВ)щ = Вщ-1, и-1 = 0, г = 0, п.

Корневое подпространство пучка (3), соответствующее некоторому А € С, т. е. замыкание в Н линейной оболочки с.п.э. задачи (3), соответствующих данному А, будем обозначать через Ьд.

Говорят, что {иг}™о, где и € Н (г = 0,т — 1), ит € Д(|В|1/2), есть цепочка с.п.э. длины т + 1 пучка (3), соответствующих А = то, если

Вщ = Ьщ-1, г = 0, то, = 0.

Обозначим через замыкание в ^о линейной оболочки элементов вида {/оиг}™о, где {иг}т=о — цепочка с.п.э. пучка (3), соответствующих А = то, /о — канонический гомоморфизм, сопоставляющий элементам и € -0(|В|1/2) фактор-классы /ои = и + кег В.

Дополнительно введем следующие предположения.

(С). Спектр пучка (3) имеет не более чем счетное множество предельных точек.

(О). Не существует и € и = 0, такого, что [и,г>]о = 0 для любого V € Ьх.

Пусть А = Ь-1В. Очевидно, А € Ь(Н1) — п-самосопряженный оператор в пространстве Н1, т. е. [Аи, V] 1 = [и, Av]1 для любых и, V € Н1. Через Ьд(А) обозначаем корневое подпространство оператора А, соответствующее А € С. Отметим, что Ьд = Ь1/д(А) при А = 0, то и корневые подпространства Ьд(А), ЬМ(А) ортогональны относительно п-метрики при А = /л. Кроме того, невещественный спектр оператора А симметричен относительно действительной оси и состоит из конечного числа нормальных собственных значений конечной кратности, а все корневые подпространства, соответствующие вещественным собственным значениям, за исключением не более к из них, являются собственными положительными подпространствами [5, лемма 2.2.6]. Точка А € о"(А) П М называется критической для п-самосопряженного оператора А, если А не является нормальным собственным значением и кег(А — А/) вырожденно в Н1 (линеал К С Н1 вырожденный, если существует и € К такой, что [и, V]! = 0 Vv € К). Таким образом, из вышесказанного следует, что множество критических точек оператора А Б (А) состоит из конечного числа точек. Введем еще одно предположение.

(Е). Подпространства Ып{Ьд(А), А € Б (А), А = 0} и Ьо(А) невырожденны в Н1 .

Пусть Н\ = ДхДкег В П Построим пространство Д—1 как пополнение ^о по норме

«ея 1 11

Предположим, что

№■¿1)1,2 = ^0 (4)

(через (X, У)д,р обозначаем пространства, построенные с помощью метода вещественной интерполяции [6]).

2. Вспомогательные утверждения. Сформулируем леммы 2.3.5 и 2.3.6

из [5] в виде следующего утверждения. Напомним, что базис Рисса гильбертова пространства — это базис, ортонормированный относительно некоторого эквивалентного скалярного произведения [8].

Лемма 1. Пусть выполнены условия (А)-(Е). Тогда

а) в любом корневом подпространстве Ь\ (А € К, А = ж) найдется базис Рисса, состоящий из элементов цепочек с.и.э. (г = 1, М\, к = 0М\ < оо, р£ < ж), такой, что

Нк,и^]0 = к = 1 = °'Р3' 1=

где ££ = ±1. При этом если г = 1, то р£ > 0, если г = N + 1, N2 < ж), то р£ = 0 и £ £ = -1, если г = N2 + 1, N\, то р£ = 0 и ££ = 1.

Ь) найдется набор цепочек с.и.э. щ& (г = 1, N, к = 0,pi, N < ж, pi < ж), соответствующих А = ж, такой, что

[Щк,и^]0 = к=1,рг, 1=1,р^, г, ] = 1, N,

где £1 = ±1. Набор {1<зЩк} (г = к = 1 N1 < N, N1 < ж) является

базисом в Ьоо и элементы Щк при г > N1 собственные. Набор {щ(к = 0,Pi при i = 1, А2 и i = + 1, N3; к = 0,рг - 1 при i = А2 + 1, Аь А2 < < А3 < А) является базисом Рисса в ¿о(А). Кроме того, для всех п^, €

с) в Ь\ и Ь^ (А ^ К) найдутся базисы, состоящие из элементов цепочек с.и.э. г>Д, (г = 1, Ад, к = 0, р£, М\ < ж, р£ < ж) соответственно такие, что

Пусть Ра — п-самосопряженные проекторы на корневые подпространства Ь1/\(А) = Ь\ при А (Е М, А ф^ 0, ж, или на Ьо(А) при А = ж, или на Ь\ + Ьу при А € К. Справедлива следующая лемма [5, лемма 4.1.2].

Лемма 2. Пусть выполнены условия (А)-(Е) и равенство (4). Проекторы Рд € Ь(Н1) допускают представление в виде

Nл Р1

Рди = ЕЕ еД [и,и,др?—к] оидк, А € М, А = то,

— ^ о

г=1 к=о

/N2 р* N1 р* —1 N3 р* \

Ртои = ЕЕ + Е + е»[и,иг,р; —к Ьигк,

\г=1 к=о г=^ + 1 к=о г=^ + 1 к=о/

Nл рЛ

рд и = ЕЕ ([и^-рЛ —к] о^к + [и,иг^рЛ—к] о^к), А € М

г=1 к=о

где {и,к} — базисы в соответствующих корневых подпространствах, определенные в лемме 1. При этом операторы РД € Р(Н1) представимы в виде

Nл рл

РДи = ЕЕеД(и,иДрЛ —к)Видк, А € М, А = то,

г=1 к=о *

/N2 р* N1 р* —1 N3 р* \

Р~и = (ЕЕ + Е Е + Е Е ) £г (и,и»,р* —к )Ри*к,

\г=1 к=о г=^ + 1 к=о ¿=^ + 1 к=о/ Nл рЛ

"Ди = ЕЕ((^ ^ДрЛ — к)Видк + (и,иДрЛ—

г=1 к=о

Для любого А справедливы равенства

РДР = РРД Vu € Н1, РДВ = ВРД Vu € Н—1.

Согласно [5], если выполнены предположения (А)-(Е) и равенство (4), то пространство Н1 допускает представление в виде п-ортогональной (ортогональной относительно п-метрики) прямой суммы

Н1 = Р1 [+]Ро(А),

где Р1 инвариантно относительно оператора А.

Далее, пусть {щк} (г = 1, Ы, к = 0, р^) — набор цепочек с.п.э., соответствующих Л = оо, из леммы 1. Положим Л^ = 1лп{гцк, к = 0,Pi при г = 1, N2, к = при г = N2 + 1,^1} и Мто = Ып{ил, г = + 1,Ж3} С (кег В П Ях).

Тогда Ро(А) разлагается в п-ортогональную сумму

Ро(А) = ЖТО[+]МТО

и определены п-самосопряженные проекторы , на эти подпростран-

ства, которые обладают теми же свойствами, что и проектор Рто.

По лемме 2.3.2 из [5] пространство Р1 представимо в виде п-ортогональной прямой суммы

Р1 = N [+]М1,

где N конечномерно и инвариантно относительно оператора А,

М1 С Ьш{кег(А - А/),

А € о"(А) П М} — равномерно положительное подпространство Р1 (линеал К называется равномерно положительным, если [и, и^ > бНиН^ для всех и € К, 6 > 0). Обозначим через Р^ и Рм1 проекторы на N и Мх соответственно.

Уточним вид подпространства N. Прежде всего, Ра С N, если Л € М, обозначим эти невещественные Л (Е <т(Р — АР) через /х,- = 1,К, К < оо). Далее, обозначим через А^ £ М {] = 1, М, М < оо) те собственные значения,

для которых РАз = ¿а3 П Ж ^ {0}. Тогда Рд3 = Ьшг = 1, к = 0 Таким образом,

N = 1лп{Рд, А^М; РАз, 3=Т^М}-Введем еще некоторые пространства. Пусть Мо — замыкание Мх в Ро и М—1 — пополнение Мо по норме

1М|м_! = йир ——-.

с£М1 1М|М1

Заметим, что в силу леммы 4.1.1 из [5] равенство (4) выполнено тогда и только тогда, когда

(МЬМ_1)12 = М0. (5)

По теореме 2.3.3 из [5] при выполнении условий (А)-(Е) и (4) пространство Мо разлагается в ^ортогональную прямую сумму

Мо = М+[+]М—,

где М+ равномерно положительное и М— равномерно отрицательное подпространства Мо. Обозначим через проекторы на М+, М— соответственно.

Рассмотрим оператор А на Мо. Поскольку кег А = {0}, можем определить оператор

5 = А-1 = В-1Р = В-1Р : Мо ^ Мо. Очевидно, 5 € Р(М1,М-1). Пусть и+ (и-) — собственные элементы оператора Б, соответствующие положительным (отрицательным) собственным значениям А+ (А—), пронумерованным с учетом кратности. Считаем, что элементы и± нормированы равенствами [и±,и±]о = ±1 и А+, -А— образуют неубывающие последовательности. Элементы {и±} образуют базис Рисса в пространстве М1 [5, лемма 2.3.1]. Кроме того, согласно теореме 2.3.1 из [5] они образуют базис Рисса в пространстве Мо и безусловный базис Шаудера в пространстве М—1. Любой элемент V € М8 (в = -1, 0,1) представим в виде ряда

v = Е^'и+]ои+ - ЕКиЛои—,

г=г г=г

сходящегося в М5, причем норма в пространстве М3 эквивалентна норме

£|А+1 ^ | [V, и+]о|2 + | А— |в | [V, и— ] о |2

1М3

г=1

[5, теорема 2.3.1, лемма 2.3.4]. Отметим, что

= ±]Т [V, п± ]оп±.

г=1

Покажем, что выполнено равенство

РМ1Н = {Вп : п € М_1>. (6)

Очевидно, РМ1Н = Кгде К = Ро(А)[+^. По построению пространства М-1 подпространство О = {Вп : п € М-1} замкнуто в Н[. Далее, для п € О^ имеем равенство (Рм1 п,Вг>) =0 V« € М1. В то же время (Рм1 п, В«) = 0 для любого V € К. Используя самосопряженность оператора В, получаем, что О^ С К. Кроме того, легко получить вложение К С О^.

3. Представление решения. Пусть выполнены условия (А)-(Е) и равенство (4).

Будем искать решение п(4,р), ^ задачи (1), (2) из класса п(4,р) € Р2(0,Т; Н1), п4(£,р) € Р2(0,Т; ^ € Н1 для всех р € Д. Тогда в силу равенства (4) опре-

делены следы п(0,р), п(Т, р) € Ро для всех р € Д.

Пусть /(¿,р) € Р2(0,Т; Н1) для всех р € Д. Из вышесказанного следует, что функция п(£) представима в виде

п(£,р) = Р^ п(*,р) + Рм^ п(*,р) + Р^ п(*,р) + Рм1 п(*,р), (7)

где Р^п(*,р) € Р2(0,Р; Рм^п(*,р) € Р2(0,Р; Мто), Р^п(*,р) € Р2(0,Р; N)

и Рм1 п(4,р) € Р2(0,Т; М1) (во всех подпространствах рассматриваем топологию, индуцированную из Н1 ).

Пусть

Рм^ ¥>(*) = 0 и Р^ <^)=0. (8)

Применяя проекторы Р^г , РМ к уравнению (1), получаем

Рм^ п(*,р)= Р-1РМте / (*,р), (9)

/ N2 р N1

Р^ п(^р)= + ]Т ]Г ^(¿,р)пгй, (10)

\г=1 А=о г=^ + 1 &=о / где коэффициенты с^ удовлетворяют системе уравнений (см. [5, лемма 4.1.3])

сг,А+1 + РС^ = £г(/(£>р),пг,р;-*0 (11)

(/г = 0,Pi и = 0 при г = к = 0,Pi — 1 и = 0 при г = Ж2 + 1,^)

и краевым условиям

сгй(0,р) = сгй(Т,р) = 0, ¿ = 1,^1 (12)

(к = 1 при г = 1, N2, к = — 1 при г = N2 + 1, N1).

Если Р^ / € ^21(0,Т; Н') и выполнено конечное число условий вида

(/(0,р),пгй ) = (/ (Т,р),п^) = 0 (13)

(если г = то к = 0,Pi — 1; если г = N2 + 1,^1, то к = 1,— 1), то из

(11), (12) в силу (8) можем единственным образом найти компоненту решения и(4).

Из определения подпространства N вытекает, что

К М

и(^р) = £ РМз и(*,р) +£ Рд, и(*,р), (14)

¿=1 ¿=1

где Рд (А = ^ € М) — проекторы из леммы 2, Рд3 — п-самосопряженные проекторы на подпространства Рд3.

Согласно лемме 4.1.3 из [5] для каждого X = Xj, j = I, М,

N2 рл

рли = ЕЕ 4 (¿,Р)иДк (15)

г=1 к=о

где {и^} (г = к = 0,рА) — базис Рд из леммы 1, а коэффициенты

удовлетворяют системе уравнений

+ РАса + рсА,+ 1 = еА(^) (16)

и краевым условиям

cik (0,p) = егАК<рл_к]0 = 0, cik (T,p) = егА[ит ]0 = 0, (17)

г = 1,^, к = 0,рЛ.

При к = рл из уравнения (16) и первого краевого условия (17) находим коэффициенты

= еАу e-pA(t-s) (^(s),uA) ds + егА J e-pA(t-s) (/(s,p),uA) ds. (18) 00

Затем из второго краевого условия (17) получаем интегральное уравнение

т

J epAVAo(s) ds = FA(p), (19)

0

где

т

^Ao(s) = (^(s),uAo), Fio(p) = "/ epAs(/(s,p),uAo) ds.

t

t

Далее при к = р£ — 1 из уравнения (16) и первого краевого условия (17)

находим коэффициенты <

<рЛ-1 = £гл| е-рА(*-з) ('(*), пА) о

+ £.А/ е-рА(<-з)(/(*,р),пА) ^ — р| е-рА(*-я)с£р. (а,р)

оо Из второго краевого условия (17) получаем интегральное уравнение т т

I в^М = рА(р)+ £,Ар| ерАзСАрЛ (5,р) оо

где

'А (5) = ('(*),^1), ^А(р) = (/(5,р),пА1)

о

Из формулы (18) находим т Те

| ерА*сАрЛ (5,р) = £А 11 ерАт ['Ао(т) + (/(т,р), пАо)] ^ о о о

т

= £А I(Т — т)ерАт ['Ао(т) + (/(т,р), пАо)] ¿т = 0, о

последнее равенство получено из уравнения (19) с помощью дифференцирования по параметру р.

В итоге получим формулы для нахождения коэффициентов разложения компоненты Р\и (для X = Xj, j = I, М)

А

сАк(*,р) = £А/е-рА(4-з) ('(*), пАрл-к) о

+ £А/е-рА(<-8) (/(5,р),пАрЛ-к) — р| е-рА(*-з) сАк+1 (5,р) (20)

и интегральные уравнения для функций 'Ак(з) = (^(в),пА

о

уерАз^Ак(5) = рА (р), (21)

о

где

т

= - / еРАя(/(3,р),^) к = ~0~р^. (22)

о

По той же лемме 4.1.3 из [5] для \ = ] = 1, К, имеем

РЛ

Рли = Е Е (сДк (*, Р)иДк + 4 (*, РкЛк), (23)

г=1 к=о

где {и^,}, (г = 1, Жд, к = 0, — базисы Ьд, Ьд соответственно из леммы 1,

и коэффициенты ск, 4 находятся из систем уравнений

^<4+рА<&+рс£к+1 = Ыг) + №,р),у*р}_к), с1Рг+1 = О, г = ТЖ, Л =

= + + 1 =0, г = ТЖ, к =

и краевых условий

<4(0,р) = [ио,У^_к]0 = о, 4(Т,р) = = 0, г = 1,ЖА, /г = 0,ргА.

4(0,р) = [щ,и*р,_к]0 = 0, 4(Т,р) = = 0, г = 1,Кх,к = 0,р1

Из этих систем и краевых условий точно так же, как для задачи (16), (17), находим коэффициенты разложения компоненты Р\и при А = /х,- ^ И, ^ = 1, .К": г

е^-) (*>(*),-¿„л —к) ¿в

о

г г

+ / е^^Ч/(^р),-^ —к ) ¿в - р| е^^ сАк+1 (в,р) ¿в, (24) о

г

(Л

4 (*,Р) = / е^^^)

в), и, „л _ к) ¿з

Л

г,„Л —к/

о

г г

+ / е^^ (/(*,р),иД1рл_к) ¿в - р| е—рЛ ( ¿Л,к+1 (в,р) ¿в, (25) оо

и интегральные уравнения для функций хЛк(в) = (^(й),иЛк), ^(в) = (^(й),-^) :

т

/ерЛ8хЛк(в) ^ = СЛк (Р), (26)

о т

|ерЛ^^ (в) ^ = НЛ (р), (27)

о

где

т

СЛк(Р) = ерЛ8(/(в,р),иЛк) ¿в, (28)

НкЫ = -/ ^ (/)

(29)

к = 0, рА-

Таким образом, решив интегральные уравнения (21), (26), (27), найдем компоненты решения Р^и

к м

^ V = Е р;т V + Е рАт V,

т=1 т=1

где в силу леммы 2

N2 рЛ

при Л = Лт, т =1, М,

Р> = ЕЕ еАЧРл-к ¿=1 к=0

N Р

(30)

(31)

РАV = ЕЕ -кВ«Ак + 4рЛ_*

(32)

¿ = 1 к=0

при Л = т = 1, К -

Осталось определить компоненты решения Рм1 р) и РМ1 v(t) - Поскольку

и(*,р) е Р2(0,Т; Я1), е Р2(0,Т; Н-1), то

Рм1 и(*,р) е ^ = е Р2(0,Т; М1) : е Р2(0,Т; М-1)}.

Считаем, что в пространстве Ш введена естественная норма Тогда в силу (5) (см- [6]) = Рм1 е С([0,Т]; М0) и

ОО ОО

= + = Е с+ (4,р)и+ + Ес_

П=1 П=1

причем

Е (|А+1 / 1с+(^)|2 ^ + А-1 / |с_(¿)|2 < ж,

"=Л 0 0 /

(33)

Е ( |л+ г

Л + |Л_1-1

I < оо.

Из равенства (6) получаем, что найдется (причем единственная) функция е М_1 такая, что

РМ1 V(í) = В^), = Е (¿)«+ + Е (¿)«_.

(34)

2

2

П=1

П=1

П=1

Также для функции /(4, р) е Ь2(0,Т; Н1) существует функция д(4) такая, что Рм1 / = Вд и д е Ь2(0,Т; М_1). Следовательно, функции = Рм1 и(4,р) и

удовлетворяют уравнению

V + = ^(4) + д(4,р).

Пусть

ОО

д(4,р) = Е д+(4,р)и+ + Е д_(4,р)и_.

П=1 П=1

Тогда из уравнения (1) и условий (2) получаем следующую систему дифференциальных уравнений для коэффициентов с±(4,р):

дС±

Р' Ч ^п 1 1 Уп 5 ^п ^' ^п

= -pAl±c±± + V±(t)+ ds, c±(0,p) = c±(T,p) = 0, n e N,

dt

из которой находим

t

с±(*,р)=/в_рА±(*_я)(^(*) + д±(5,р)) п е N. (35)

0

Для коэффициентов из второго краевого условия получаем систему инте-

т

|ерА = С±(р), (36)

гральных уравнений

т

e " ^n (s) — G

0

где

T

< 1 p A ±

Tn I ^ Xn

G±±(p) — -J epA ± (s,p) ds, n e N. (37)

0

Рассмотрим теперь интегральное уравнение

т

| epAf(t) dt — G(p). 0

Согласно лемме 2 из [3] для разрешимости этого уравнения в пространстве L2(0,T) необходимо и достаточно, чтобы были выполнены условия:

(I) функция G аналитична в D и допускает аналитическое продолжение в C до целой функции;

(II) выполнены соотношения

lim [min{1,eAT£} sup |G(£ + ¿n)|] — 0, £—

sup

min{1, e2A£T} J |G(£ + ¿n)|2 dn

< oo;

(HI) E |С(г^)|2<00.

Теорема. Пусть выполнены условия (A)-(E) и равенство (4). Пусть f £ C(D; Р2(О, Т; Н[)), P^f G C(D; О, Т; Н[)), выполнено конечное число условий вида (13), P*Mlf = Bg, g(t,p) G C(D; Р2(0, Г; M_i)). Пусть Py{t,p), g(t,p) — аналитические функции по переменной p на множестве D, допускающие продолжение до целых функций по переменной p таких, что g(t, ip) £ W2(R; Ьг(0, Т; М_2)) и для каждой из функций Fjk{p) (где А = Ат, то = 1, М, j = 1, Wjf, * = G%(p), ЯД(р) (где А = то = М?, j = 1, ЖА, к = 0

G±(p) (n £ N), которые определяются по формулам (22), (28), (29) и (37), выполнены условия (II), (III).

Тогда существует единственное решение {u, обратной задачи (1), (2) такое, что v = PMlu G С(Р; Р2(0, Т; Mi)), vt G C(P; P2(0, T; M_i)), ip(t) G L2(0, T; H') и выполнено (8).

Доказательство. Согласно вышесказанному решение u(t, p) обратной задачи (1), (2) имеет вид суммы четырех компонент (7), причем компонента Pm^u находится по формуле (9), компонента Pn^u — по формуле (10). Компонента Pnu имеет вид суммы (14) конечного числа слагаемых вида (15) и (23) с коэффициентами, находящимися по формулам (20) и (24), (25). Последняя компонента Pmi u = v имеет вид ряда (33) с коэффициентами, находящимися по формулам (35).

Далее, в силу (8) решение ^(t) обратной задачи (1), (2) имеет вид суммы PN^(t) и PM ^(i). Компонента PN^(t) имеет вид суммы (30) конечного числа слагаемых вида (31) и (32) с коэффициентами, являющимися решениями интегральных уравнений (21), (26) и (27). Компонента ^(t) = B^(t) имеет вид ряда (34) с коэффициентами, являющимися решениями интегральных уравнений (36).

Таким образом, вопрос о разрешимости рассматриваемой обратной задачи свелся к вопросу о разрешимости уравнений (21), (26), (27) и (36). Так как функция f (i,p) аналитическая по переменной p на множестве D и допускает аналитическое продолжение до целой функции, очевидно, что условие (I) для всех функций РД, (для А = А т, то = 1, М, j = 1, k = 0,Pj), G$k, ЯД (для A = fJ.m, то = 1, K, j = 1, N\, k = 0,Pj ), G^ (n G N) выполнено. Кроме того, по условию для каждой из этих функций выполнены условия (II), (III).

Следовательно, согласно лемме 2 решения уравнений (21), (26), (27) из L2(0,T) существуют и имеют вид

^k(t) = 7f

Ж

Е

2тг I АТ

pi2nit/T

J

1,na2,

k = 0,pA

для A = Am, m = 1, M 1

xAk (t) =

21

,2тгг AT

i2nit/T

J = 1,Na, k = 0,p

= ± £ ЯД e^7, j = 1,NX, k = 0

для Л = р,т, т = 1, К.

Также согласно лемме 2 решение уравнения (36) из Ь2(0,Т) существует и имеет вид

1 ^ / 2nk V

fc= — c

(38)

Поскольку Ж^а, 6) непрерывно вложено в С [а, 6], существует постоянная С, не зависящая от п, такая, что

HV'n 11|2(0,Т) — у

т

k= — c T

2nk

n 1 Л±Т

( г

1c

21

k= — c

2-rrkt i

e T ( i, ¿^p 1 di

< E

k= — c "i

, , 2nk \

С

lA^I'

dt < -^\\gt(t,ip)\\2L2{0tT.wi{m), neN.

Следовательно,

c1

IIV>IIL(O,T;M_O = E TT+TII^IIL

п=Л |A" 1

n=1

1

№

\ w r n \ \ L2{0,T) I \ — I n NL2(0,T)

1 |An 1

1

¿2(0,7;^ (К)) + |д-|2 НУ" ^Я1ь2(0,Т;И'21(К))

\\9i(t,ip)\\l9(0,T-w}(K))

с I|g(t,ip)|

Кроме того, нашлась функция V, определяемая по формуле (33) с коэффициентами, которые находятся по формулам (35), (38)- Оценим коэффициенты с±(4,р), используя неравенство Юнга и (39):

max ||c±(i,p)||2 0 < 2 тах ||е-Л^ * + 2 тах* дЖ2(0,т)

PeD PeD PeD

?±|:L2(0,T )

TTTTilIffn (*>{Р)\\Ь2(0,Т;\¥1(к)) + TTiTi mai llffn (*,Р)\\Ь2(О,Т)

|An| 2 |An| peD

где постоянные Ci, C2 не зависят от n. Тогда

lklll2(0,T);Mi) - IIIe™ Ilb2(0,T) т \лп llPn \\l2(o,t))

ped ped n=1

+ |A— |||c— 112

< C2 E

1

№

2W , 1 T7T^\\9n(t,ip)\\l2{0,T-wèm +

1

2™ |A— |2

||g— (t,ip)|L2(0,T ;W21(R))

c1

+ max V —-\\gn(t PeD fri V lA«l

IL(0,T) + pgllffn(i,p)||i2(o,T)

c2{\\9(t,ip)\\2wi{K;L2{0,T;M-2)) +ma?llâ'(iIP)llL(0,T;M_1)}-

peD

2

2

2

n=1

Аналогично можно показать, что

тах|Ы1ь2(о,Т;М-1)

peD

max

pED

n=1

|A+1

dc+

dt

+

L2((0,T )xD)

|A-|

dc„

dt

2

< C3{ ||g(t,ip)HW2i(R;

2 1 max ||5r(i,p)||22(oiT;M_i) }•

(R;L2(0,T ;M-2))

peD

L2((0,T )xD),

2(0,T;M_i),

Единственность решения доказывается точно так же, как в работе [3] (см. теорему 1).

Теорема доказана.

2

1

1

ЛИТЕРАТУРА

1. Abasheeva N. L. Determination of a right-hand side term in operator-differential equation of mixed type //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2002. V. 10, N 6. P. 547-560.

2. Fedorov V. E., Urazaeva A. V. An inverse problem for linear Sobolev type equations //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2004. V. 12, N 4. P. 387-396.

3. Абашеева Н. Л. Линейная обратная задача для операторно-дифференциального уравнения с параметром // Неклассические уравнения математической физики. Тр. Междунар. конф. «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения». Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2007. С. 5-14.

4. Abasheeva N. L. Identification of a source in parabolic and hyperbolic equations with a parameter //J. Inverse Ill-Posed Probl. 2009. V. 17, N 6. P. 527-544.

5. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические дифференциально-операторные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

6. Трибель Х. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

7. Азизов Т. Я., Иохвидов И. С. Основы теории линейных операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

8. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1965.

Статья поступила 30 сентября 2016 г. Абашеева Нина Леонидовна

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090; Новосибирский гос. университет, ул. Пирогова, 2, Новосибирск 630090 [email protected].ги

Математические заметки СВФУ Октябрь—декабрь, 2016. Том 23, № 4

UDC 517.95

A LINEAR INVERSE PROBLEM FOR A MIXED TYPE OPERATOR-DIFFERENTIAL EQUATION WITH A PARAMETER N. L. Abasheeva

Abstract: We study the inverse problem But + pLu = <p(t) + f (t, p), u(0,p) = u(T,p) = 0. The operators B, L are selfadjoint in the Hilbert space E and the spectrum of the operator L is semibounded. The unique solvability of this problem is proved with using a series expansion in eigen and associated elements of the pencil L — AB. Keywords: inverse problem, mixed type equation.

REFERENCES

1. Abasheeva N. L. "Determination of a right-hand side term in operator-differential equation of mixed type," J. Inverse Ill-Posed Probl., 10, No. 6, 547-560 (2002).

2. Fedorov V. E. and Urazaeva A. V. "An inverse problem for linear Sobolev type equations," J. Inverse Ill-Posed Probl., 12, No. 4, 387-396 (2004).

3. Abasheeva N. L. "A linear inverse problem for operator-differential equation with a parameter," in: Nonclassical Equations of Mathematical Physics. Proc. Int. Conf. "Differential Equations, Theory, and Applications." Sobolev Inst. Math., Novosibirsk, 2007, pp. 5-14.

4. Abasheeva N. L. "Identification of a source in parabolic and hyperbolic equations with a parameter," J. Inverse Ill-Posed Probl., 17, No. 6. 527-544 (2009).

5. Egorov I. E., Pyatkov S. G., and Popov S. V., Nonclassical Operator-Differential Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (2000).

6. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, Berlin, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften (1978).

7. Azizov T. Ya. and Iokhvidov I. S., Foundations of the Theory of Linear Operators in Spaces with Indefinite Metric [in Russian], Nauka, Moscow (1986).

8. Gohberg I. C. and Krein M. G., Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators in Hilbert space. Vol. 18, Amer. Math. Soc., Providence, RI (1969).

Submitted September 30, 2016

Nina Leonidovna Abasheeva Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, Novosibirsk 630090, Russia; Novosibirsk State University, 2 Pirogov Street, 2, Novosibirsk 630090, Russia [email protected]

© 2016 N. L. Abasheeva