Некоторые свойства незнакоопределенных операторов Штурма-Лиувилля Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.95

НЕКОТОРЫЕ СВОЙСТВА НЕЗНАКООПРЕДЕЛЕННЫХ ОПЕРАТОРОВ ШТУРМА — ЛИУВ1/1ЛЛЯ*)

В, Г, Марков

§ 1. Введение

Мы рассматриваем дифференциальные операторы вида

Ьи = ¿ои1 х & (а1 Ь), (1-1)

9\х)

где — обыкновенный дифференциальный оператор порядка 2т, который определен дифференциальным выражением

^ ¿1 & и

г,0=0

и граничными условиями

2т-1

Бки = ^ (а* и г (а)+ вгк и{- г (Ъ)) = О (к = 1, 2,... ,2т),

г=0

2т-1

Бк и=^аки{-г (а) = 0 (к =1,2, ...,т), (1.3)

г

2т-1

Бк и = ^ вгк иг (Ъ) = 0 {к=\,2,...,т),

г

Работа выполнена при поддержке Минобрнауки России в рамках государственного задания на выполнение НИР на 2012-2014 гг. (проект № 4402) и фцд «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 20092013 гг. (ГК № 02.740.11.0609).

©2012 Марков В. Г.

Здесь первое условие используется в случае ограниченного интервала (а, Ь), второе — в случае Ь = а третье — при а = —ж. Возможен случай (а, Ь) = М. Вещественная функция д(х) из (1.1), вообще говоря,

а, Ь

оператор Ь равномерно ./-диссипативен в пространстве Крейна Я0 = Ь,д(а, Ь), в котором скалярное произведение и индефинитная метрика определяются с помощью равенств

Таким образом, Т1е[—Ьи,и]о ^ 0 для всех и € ЩЬ). Спектральные задачи Штурма — Лиувилля с незнакоопределенной весовой функци-дх

исследований. Эти проблемы возникают во многих областях физики и прикладной математики. Достаточно полная библиография может быть найдена в [1,2].

Другие вопросы, возникающие при исследовании дифференциальных операторов вида (1.1) — вопрос о существовании максимальных семидефинитных (т. е. определенного знака) инвариантных подпространств оператора Ь в пространстве Крейна ^о и вопрос подобия данного оператора вида (1.1) самосопряженному или нормальному оператору. Эти два вопроса тесно связаны, а в случае самосопряженного Ь

гда оператор Ь0 самосопряжен в Ь (а, Ь) и оператор Я : Ь2,д(а, Ь) ^ Ь,д(а, Ь), Яи = Ь— д(х)и, вполне непрерывен, вопрос о существовании максимальных семидефинитных подпространств в пространствах Крейна также эквивалентен базисности по Риссу в пространстве Ь,д(а, Ь) собственных функций спектральной задачи Ьои = Ад(х)и. Особенно трудными являются сингулярные случаи, когда 0 € р(Ь).

Вопрос о существовании максимальных инвариантных подпространств для операторов, заданных в пространствах Крейна или Понтрягина, начал исследовать Л. С. Понтрягин. Его результаты впоследствии

|д(х)|и(х)-у(х) ¿х, [и,-у]о = / д(х)и(х)-у(х) ¿х.

ь

а

обобщались многими авторами, в частности, в работах М. Г. Крейна, Г. X. Лангера, Т. Я. Азизова, А. А. Шкаликова и др. Можно отметить работы [4,5], содержащие достаточно полную библиографию и ряд интересных результатов. В случае существования этих подпространств оператор допускает разложение на сумму коммутирующих операторов, определенных в соответствующих подпространствах, при определенных условиях эти операторы с точностью до умножения на —1 являются генераторами аналитических полугрупп. Последний факт позволяет исследовать самые разные вопросы, связанные с разрешимостью уравнений, в которых этот оператор входит.

Работ, посвященных приложениям результатов к теории операторов вида (1), крайне мало в силу значительных трудностей, возникающих при исследовании подобных задач. Изучен лишь ряд простейших операторов (см. [6-18]) и зачастую в ситуации, когда оператор Ь0 самосопряжен в В последние годы возник ряд интересных приложений, связанных с исследованием операторов Шредингера с точечными 6- и ¿'-взаимодействиями. В случае д(х) = 1 (т. е. рассматривается знако-

определенный случай) этому посвящены, например, работы [19-23], а д

область определения Ь содержит, вообще говоря, разрывные функции, удовлетворяющие определенным условиям склейки в точках взаимодействия.

Вопросы, рассматриваемые в данной работе, исследованы частич-

Ь

При доказательстве основных теорем будем использовать результаты из [1,2,24].

В § 2 содержатся определения и вспомогательные результаты. Для

удобства читателя в § 3 приводятся условия регулярности точек пово-

§

(теорема 4.1), что почти во всех случаях существование максимальных инвариантных подпространств не зависит от вида граничных условий (1.3). Почти все обозначения стандартны (см. [29]).

§ 2. Определения и вспомогательные результаты

Гильбертово пространство И, где наряду с обычным скалярным произведением (•, •) задано также индефинитное скалярное произведение (индефинитная метрика) [х, у] = (Jx, у), где J = Р+ — Р- и Р ±_ ортопроекторы в И, Р++Р- = I (см. [31]), называется пространством Крейна.

Плотно определенный оператор А : И ^ И назовем диссипа-тивным (строго диссипативным, равномерно диссипативным), если — Ие(Аи,и) > О (—Ие(Аи,и) > 0, — Т1е(Аи, и) > 3||и||2, 3 > 0) для всех и € ЩА), и (строго J-диссипативным, равномерно

7-диссипатшн»ш), если оператор JA диссипативен (строго диссипативен, равномерно диссипативен). Оператор А : И ^ И назовем максимальным диссипативным (максимальным J-диссипативным), если он диссипативен (J-диссипативен) и не допускает нетривиальных дисси-пативных (J-диccипaтивныx) расширений. Определения соболевских

, о

пространств а, Ь) (а, Ь € М) и ^£(а, Ь) (1 < р < ж), используемых ниже, могут быть найдены в [7]. Если А, В — некоторые банаховы пространства, то под (А, В)0,2 понимаем пространство, построенное при помощи метода вещественной интерполяции [15]. Символом Ь(А, В) будем обозначать пространство линейных ограниченных операторов из А в В. Если А = В, т0 вместо Ь(А, А) пишем Ь(А). Область определения и область значений оператора М обозначаются через ЩМ) и Я(М). Пусть И, И0 (И С И0) — гильбертовы пространства и вложение И в И плотно. Под И' понимаем негативное пространство к И±, т. е. пополнение Щ относительно нормы ||и||Н' = 8иР |(и,«)|/1М|яц

1 УЕИг

где скобки (•, •) обозначают скалярное произведение в Ио- Напомним [29], что

(И, И')1 /2,2 = И„. (2.1)

Пусть J — каноническая симметрия в некотором пространстве Крейна К. Пусть — гильбертово пространство и вложение ^ С Ро плот-

но. Вместе с негативным пространством можно построить J-негативное пространство как пополнение Fq относительно нормы

|M|f_! = sup 1 [u,v]o VMf, .

veFi

Положим Fs = (Fi,Fo)i_s,2-

Будем использовать следующую лемму (см. [1, леммы 3.17, 4.1; 2,30]).

Лемма 2.1. Если существует s0 > 0 такое, что J G L(FSo, FSo) (P+ G , Fs0) или P_ G ,Fs0 j), то

(Fi,F-i) i/2,2 = FQ. (2.2)

Любое из вложений (Fi, F_i)!/2,2 С Fo, (Fi, F_i)1/2,2 D Fo влечет (2.2).

Предполагаем, что найдется число ^ G [1, го] такое, что g(x) G Lqo (a, Ъ), и существуют открытые подмножества G+ и G_ множества G = (а,Ъ), состоящие из конечного числа непересекающихся интервалов, такие, что д(х) > 0 п. в. в G+, д(х) < 0 п. в. в и G+UG+ = [a, b]. Точка xo G 3G+ П dG_ называется точкой поворота. Обозначим точки поворота через Каноническая симметрия J в пространстве L,д(а, Ъ) задается равенством J = хс+ — Xg_> где Xg± — характеристические функции соответствующих множеств. Для простоты счи-

L

ции; более точно, aifc G W™^ (а,Ъ) Уг,к, ат,т, 1/ат,т G L™ (а,Ъ) и ( —1)тат,т > 0 п. в. Эти условия гладкости могут быть ослаблены (см., например, [32,33]). Пусть {yk}N1 — набор точек из (а,Ъ), часть которых может совпадать с точками поворота. Если Ъ = го, то считаем,

что N = го, последовательность {yk} неубывающая и lim yk = Ъ (ана-

k—>™

логичные условия на точки взаимодействия рассматриваются в [21]). Если Ъ ф го, то считаем, что число точек {yk} конечно. Положим Уо = а.

Обозначим через а, Ъ) пространство функций u G Lq(а,Ъ) та-

ких, что и € Уг—\, у^) для всех г = 1, 2,...

N

|и||~ , .. = ]С||и||^(у*- ,у<) < ж.

а,Ь)

¿=1

Легко проверить, что а, Ь) — банахово пространство. Приведем ряд вспомогательных утверждений. В лемме ниже приведены простейшие интерполяционные неравенства и теоремы вложения для классов разрывных функций а, Ь).

Лемма 2.2. Пусть и € а, Ь). Тогда найдется постоянная с > О такая, что

1к(а,ь) < сУиУ|^.(а,ц 1|и||£(а,ь), 0 = г/^ 8 > г.

Прн ц € [ 1, ж) не ^ 1/ц имеет место вложение а, Ь) С Ьр( а, Ь) для всех р € [ц, ж].

Утверждение леммы доказывается с использованием соответствующих вложений па каждом из интервалов , y¿), замен переменных (растяжения интервала) и суммированием соответствующих оценок.

Обозначим через а, Ь) класс функций и € Ьд(а, Ь) таких, что и € а1, Ь^ для каждого ограниченного интервала Ь1) такого,

а , Ь С а, Ь и склейки

2т—

Пки = ]Т Ни(¿} (у* + о) — 0 (у* — 0)) = 0, (2.3)

¿

где = 0,1,... ,2т — 1, к = 1, 2,... и матрицы {а^}^т=о\ № ^т-невырожденны для любого к.

Возьмем ро = 2цо/(1+Цо)- Зададим область определения оператора Ь как класс функций и € Ь,д(а, Ь) таких, что и € а, Ь) П (а, Ь) и Ьи € Ь2,д(а, Ь). Обозначим норму в а, Ь) символом || • ||т.

Пусть (и, у) = / и(х)у(х) д,х. Рассмотрим полуторалинейную фора

му

т оо т—1

а(и,у) = ]Г + 0)),

],к=0 ¿=1 ¿=0

где каждый из операторов и*и, У^и — линейная комбинация величин И^ + О ),и(у1 — 0 ),и'( у 1 + 0 )Х( у* — 0),..., и т —(у4 + 0 )У т —(у -0)). Считаем, что форма а(и,V) удовлетворяет условию

[-Ьи,у] = а(и,у) (2-4)

для всех функций и,ги € В.Ь), имеющих ограниченный носитель, и найдутся постоянные >0 такие, что

омт Жеа{и,и) > ¿0||и||т Vu € ВЩ. (2.5)

Нетрудно увидеть, что если равенство (2.4) выполнено для всех и,у, имеющих ограниченный носитель, то оно верно и для всех € О(Ь). Более того, это равенство будет выполнено, например, и для функций и € В П Wm(а, Ь). Действительно, пусть, например, (а,Ь) = (—го, го). Рассмотрим в (2.4) вместо V функцию вида у<р(х/Я), где < € М), <(х) = 1 при |х| <1, <(х) = 0 при |х| >2. Интегрируя по частям и затем переходя к пределу при Е ^ го в (2.4), получим требуемое.

Лемма 2.3. Оператор Ь : Ь2,д(а,Ь) ^ Ь2,д(а,Ь) максимальный .1-диссниатнвиый, и 0 € р(Ь).

Доказательство. Достаточно показать, что 0 € ^Ь) (см. [31]). Обозначим через WUа, Ь) замыкание ВЬ в норме || • ||т. Для всех и^ € В(Ь) выполнено (2.5). Таким образом, форма а(и,ю) удовлетворяет условиям теорема Лакса — Мильграма. Отметим, что / € Ц). Имеем оценку

КяМ| < ||/||0|М|0 < ||/|Мк1(а,Ь) < спи

где р\ = 2qo/(qo _ 1) и Pi = го при q0 = 1. По теореме Лакса — Мильграма существует единственное решение u G Wm(a, b) задачи

a(u, v) = (gf, v)o Vv G Wom(a, b).

Используя неравенство Гёльдера, получим fg G LPo (a, b). Таким образом, па каждом из интервалов , yj) функция и есть обобщенное решение уравнения Low = gf G LPo(yi— , y«). Из известных свойств обыкновенных дифференциальных операторов и условий гладкости на коэффициенты L вытекает, что и G Wpom(Уг-i, y«) и Low = gf п- в-на (yi— ,yi). Обычным образом, используя формулу Грина (см. [2]), записанную в том числе с учетом условий склейки в точках yi5 показывается, что функция и удовлетворяет краевым условиям и условиям склейки. Тем самым и G D(L), значит, L — максимальный диссипа-тивный оператор.

Пусть M С (a, b) — открытое множество и

(u,v)m = J u(x)v(x) dx, [u,v]m = (д(х)и,у)м ■

m

Если выражение B&w содержит значения функции и и ее произ-

ab

вие Bfc и = 0 локальным, Если все граничные условия B& w = О при k = 1,..., so локальны (они всегда локальны в случае неограниченного a, b

тивном случае называем граничные условия нелокальными. Пусть F = Wm(a, b) и F—i — J-негативное пространство, т. е. пополнение F по норме = sup |[u, v]o|/||v||Fl.

veFi

Будем использовать следующие результаты из [1,2] (см. также леммы 9, 10 в [24]).

Теорема 2.1. Прп выполнении вышеприведенных условий на ко-

gL

выделение максимальных равномерно дефинитных подпространств тогда и только тогда, когда

1 Л/2,2

(2.6)

Если условие (2.6) выполнено, то существуют максимальные равномерно положительное и равномерно отрицательное подпространства М± пространства Яд, инвариантные относительно Ь, такие, что

С± с р(Ь|м±), Р0 = М+ + М

где сумма прямая п операторы ±Ь|М± — генераторы аналитических полугрупп.

§ 3. Условия регулярности

Используем условия регулярности точек поворота из [25-28].

(1) Для каждой точки хк € дС+ П дС- существует правая окрестность (хк, хк + 3) = I или левая окрестность (хк — 3, хк) = I этой точки такие, что I С и С- и для некоторого ш € (0,1) при любых п € (0, 3) или п € (—3, 0) выполнено

Хк+ "П

ЬМ I ^Т

<

Хк+ П

ЬМ I ^Т

.

В некоторых случаях нужно дополнительное условие регулярности граничной точки.

(2) Граничная точка а ф —ж (6 ф ж) регулярна в следующих случаях:

(а) существует правая окрестность I = (а, а + 3) точки а (левая окрестность I = (6 — 3, 6) точки 6) такая, что для некоторого ш € (0,1) выполнено

а+"п а+П

/ ЬМИт^ | |д(г)Иг Ут7 € (0, 3) (3.2)

(соответственно

ь ь

I ЬМИт^ I Iд{т)\<1т УГ1&(0,6)). (3.3)

Ь—шп Ь—п

(Ь) (а,х0) С О ((ха,Ь) С С0) для некоторого х0 € (а,Ь) и существует правая окрестность I = (щ, хд + 6) точки хд (левая окрестность I = (хд — 6,хо) точки хо) такая, что I С О+ и О- и для некоторого ш € (0,1) выполнено

хо +шп х0+п

I I \д(т)\с1т Ут,е(0,6) (3.4)

хо X

(соответственно

х0 х0

I II \д(т)\д,т УГ1&(0,6).) (3.5)

хо —шп х0 —п

Нетрудно проверить, что условия регулярности (1) и (2) намного слабее использованных в [34]. В следующей теореме опишем эквивалентные условия регулярности из [25-28]. Чтобы упростить изложе-

х,

п

ства (3.1)-(3.5) /{п) = / |я(т) | Лт, сформулированное для произвольной о

точки.

Теорема 3.1. Для неубывающей функции / : (ОД) ^ Е+ следующие условия эквивалентны:

(a) V7 € (ОД) Зш € (ОД) : Vе € (ОД) /(ше) < 1/{е)-

(b) Зш € (ОД) : Vе € (ОД) /{ше) < /(е)/2;

(c) Зв € (ОД) Зш € (ОД) : Vе € (ОД) /(ше) < /е); (а) Зс, <1 > 0 : /У0 < 1! < £ < 1 (л) < с(| )"/(£);

(е) не существует последовательностей ап, Ьп таких, что 0 < ап < Ьп < 1 и

ап/Ьп ^ 0, /(а^//{Ьп) при п ^ го.

Эквивалентность (Ь), (с1) и (е) доказана в теореме 6 из [25]. Полное доказательство может быть найдено в [28].

Пусть д(х) € Ь1(0,1) и д(х) > 0 п. в. на (0,1). Обозначим через 1) подпространство И7"™^,1), включающее функции и(х) такие, что и^ (0) = 0 при 0 ^ % ^ т — 1.

Теорема 3.2. [27,28] Любое из условий (а)--(е), сформулировам-

п

иое для функции /(п) = / |д(т) | ¿т, эквивалентно следующему: суще-

о

ствует в € (0,1), для которого

1), Ь2>а(0,1))^ = (ТГ™(0,1), ь2,3(0,1))^.

Следствие 3.1. При выполнении условий теоремы 3.2 существует в € (0,1), для которого

(1¥?(0,1), ¿2,а(0,1))1_012 = (ЖГ2(0,1), £*,д(0,1))1_в,2>

где ^(0 , 1) = {и € ЖТ(0 , 1) : = 0, % = ОД,. ..,т — 1}.

§

Теорема 4.1. Пусть выполнено одно пз следующих условий:

a) граничные условия локальны н каждая из точек хк (к = 1,2, ..., N регулярна;

b) граничные условия нелокальны, одна из граничных точек и каждая из точек хк (к = 1,2,...,Ж) регулярны.

Тогда существуют максимальные равномерно положительное п равномерно отрицательное подпространства М± пространства Яо> инЬ

С± с р(Ь|м±), Я0 = М+ + М-,

где сумма прямая п операторы ±Ь|М± — генераторы аналитических полугрупп.

Доказательство. Вначале проведем доказательство для случая локальных краевых условий. Пусть хк — произвольная точка такая, что хк € дО+ ПдО—. Тогда либо на интервале О— = (хк — е, хк), либо на

6

интервалов. В случае второго интервала рассуждения не меняются. Тогда, уменьшая е, если необходимо, можем считать, что (хк — е, хк] € О+ или [хк — е,хк) € О— причем (хк+ е] € О— или (хк,хк + е] € О+ соответственно. Положим Ок = Ок и О— и |хк|, определим пространство Wl как подпространство функций из и € Wm(Ок) таких, что найдется функция V € Wm(а, Ь) такая, что v|ok = и. Легко увидеть, что если хк те является точкой взаимодей ствия, то ^ = О к). Если же хк — точка взаимодействия, то Wl состоит из функций и € Ь,д{Ок) таких, что и € Wm(Ок) П Wm(О—) и в точке хк выполнено определенное количество условий вида (2.3), содержащих лишь производные от и до порядка т — 1. Положим Ws = (Wl,Wo)г—3,2- Покажем, что найдется во > О такое, что операторы

, Г и, х € О± П Ок, Ь±и = < к I 0, х € ОТ П Ок,

непрерывны как операторы из Ws в Ws при всех в € [0, во]- Определим вспомогательные пространства. Положим А = Wm(О—), А = Ь2,д(0~), А\ = {и € Аг : и^(хк) = 0 (/ = О, то - 1)}. Из следствия 3.1 и условия (1) вытекает, что найдется во > О такое, что

Определим оператор р : Ws ^ Ац , Рои = и|с-. Очевидно, что р €

к

Ь^,!,, АД для вс ех в. Определим также оператор

Также очевидно, что р € ь^а^.^^ для всех в € [0,1]. Тогда рр € Ь^Д при в < в0. Но то построению рр^ = б—и или рр^ = и.

Ок = (хк, хк + е) выполнено условие (1) (считаем, что параметр е мень-

А^ (АЪА0)í—s,2 — А°3 = (А1А0) 1—^.

Тем самым операторы и принадлежат классу при всех

в < в0.

Построим для каждой точки хк € дС+ П дС- окрестность Ок с вышеприведенными свойствами. Затем построим функции ук € С™(О^) такие, что ук = 1 в некоторой окрестности хк и вирр € С+ и С-. По построению окрестностей Ок это возможно. Без ограничения общности можем считать, что различные окрестности О^ не пересекаются и их замыкания не содержат граничных точек а, Ь. Покажем, что найдется во > 0 такое, что оператор

непрерывен как оператор из —Я в —Я для всех в < во- Возьмем в качестве во минимальную го тех постоянных во, которые были определены в процессе доказательства. Зафиксируем в < в0. Рассмотрим операторы £ки = и. Очевидно, что € Ь(р) П Ь(—о) и, следовательно, € Ь(—Я) Для всех в € [0,1]. Кроме того, носители функций Дки лежат в соответствующих окрестностях Ок. Отсюда € ¿(—Я,"^) (пространства ^ меняются от окрестности к окрестности). Тогда по доказанному , € Ь(—Я, ). Построим функцнп р € С^ (Ок) такие, что р = 1 в некоторых окрестноетях виррук. Легко увидеть, что операторы : и ^ и, где функции ри действуют па весь интервал (а, Ь), обладают свойством € —Я). Отсюда € Ь(—Я).

Рассмотрим оператор

Исходя из определений, легко показать, что Р € Ь(—Я) для вс ех в € [0,1]. Кроме того, го построения вытекает, что £Р € Ь(—Я) для всех в € [0,1]. Тогда оператор

£ : и

и, х € С+, О, х € С-,

N

обладает свойством S G L(Fs). Воспользовавшись леммой 2.1 и теоремой 2.1, получим требуемое.

Рассмотрим случай нелокальных краевых условий. Пусть, например, точка x = a регулярна. Пусть (a, a + ö) — искомая окрестность из определения регулярности. Без ограничения общности считаем, что (a, a + ö] С G+ или (a, a + ö] С G~. Возьмем p(x) G C[a, a + ö] такую, что supp x) С [a, a + ö) и ^(x) равна 1 на некотором множестве вида [a, a + öi] (öi < ö). Покажем, что найдется so > О такое, что оператор Su = ^(x)u(x) непрерывен как отображение из Fs в Fs щи s < sg-Построим оператор Pi, сопоставляющий u G F функцию ip(x)u G VF™(a,a + Ö) = {u G W2m(a,a + ö) : u^(a+ Ö) =0, i = 0, 1,. .., то - l}. Очевидно, что Pi G L(F\,W2 (a,a+ ö)) П L(L2jS(a, 6), L2jS(a, a + ö)). Следовательно, Pi G L(FS, W™s(a, a + ö)), где

WT2(a, a + ö) = (VF™(a, a + ö), L2,g(a, a + <5))i_r/m2-В силу регулярности a найдется so > 0 такое, что W2 (a, a + ö)) =

о

W 2m(a, a+ö) при всех s < s0. Итератор P2, сопоставляющий функции

о

u G W |m(a, a + ö) ее продолжение нулем на весь интервал (a, Ь), обла-

. о ^

дает свойством P2 G L\W 2m(a, a + ö), Fs) для всex s. Тогда оператор P2Piu = Su обладает свойством S G L(Fs) при вс ex s < sq. Далее повторяем рассуждения для случая локальных краевых условий. Опе-

P SP

P, SP G L Fs s < s ЛИТЕРАТУРА

1. Егоров И. Е., Пятков С. Г., Попов С. В. Неклассические оиераторио-дифференциальные уравнения. Новосибирск: Наука, 2000.

2. Pvatkov S. G. Operator theory. Nonclassical problems. Utrecht, Boston, Köln, Tokyo: VSP, 2002.

3. Karabasb I. M. Abstract kinetic equations with positive collision operators. Spectral theory in inner product spaces and applications // Oper. Theory, Adv. Appl. 2008. V. 188. P. 175-196.

4. Sbkalikov A. A. On invariant subspaces of dissipative operators in a space with an indefinite metric // Proc. Steklov Inst. Math. 2005. V. 248, N 1, P. 287-296.

5. Sbkalikov A. A. Dissipative operators in the Krein space. Invariant subspaces and properties of restrictions // Funct. Anal. Appl. 2007. V. 41, N 2. P. 154-167.

6. Karabasb I. M., Kostenko A. S. Similarity of ( sign ж () +c<S)-type operators to normal and self-adjoint operators // Math. Notes. 2003. V. 74, N 1. P. 127-131.

7. Karabasb L, Kostenko A. Spectral analysis of differential operators with indefinite weights and a local point interaction // Oper. Theory, Adv. Appl. 2007. V. 175. P. 169-191.

8. Kostenko A. S., Malarnud M. M. Schrodinger operators with ¿'-interactions and the Krein-Stieltjes string // Dokl. Math. 2010. V. 81, N 3. P. 342-347.

9. Faddeev M. M., Sbterenberg R. G. On the similarity of some differential operators to self-adjoint ones // Math. Notes. 2002. V. 72, N 2. P. 261-270.

10. Faddeev M. M., Sbterenberg R. G. Similarity of some singular operators to self-adjoint ones 11 J. Math. Sci. 2003. V. 115, N 2. P. 2279-2286.

11. Karabasb i. M. On the similarity of J-self-adjoint differential operators of odd order to normal operators // Math. Notes. 2002. V. 71, N 3. P. 436-440.

J

tors // Math. Notes. 2000. V. 68, N 6. P. 943-944.

J

Liouville operator to a self-adjoint operator // Funct. Anal. Appl. 2009. V. 43, N 1. P. 65-68.

,2

14. Curgus В., Najman B. The operator (sign x) is similar to self-adjoint operator in L(R) Ц Proc. Amer. Math. Soc. 1995. V? 123. P. 1125-1128.

J

with operator potential and self-adjoint operators // Math. Notes. 2005. V. 78, N 4. P. 581-585.

16. Kostenko A. S. Similarity of indefinite Sturm-Liouville operators with singular potential to a self-adjoint operator // Math. Notes. 2005. V. 78, N 1. P. 134-139.

J

// Math. Notes. 2006. V. 80, N. 1. P. 131-135.

/ d'2

18. Karabasb I. M., Malarnud M. M. Indefinite Sturm-Liouville operators sign x \ + q(x)) with finite-zone potentials // Operators and Matrices. 2007. V. 1, N 3. P. 301-368.

19. Goloscbapova N., Oridoroga L. On the negative spectrum of one-dimensional Schrodinger operators with point interactions // Integral Equations Oper. Theory. 2010. V. 67. P. 1-14.

20. Ismagilov R. S., Kostyucbenko A. G. Spectral asymptotics for the Sturm-Liouville operator with point interaction//Funct. Anal. Appl. 2010. V. 44, N4. P. 253-258.

21. Kostenko A. S., Malarnud M. M. One-dimensional Schrodinger operator with 6-interactions // Funct. Anal. Appl. 2010. V. 44, N 2. P. 151-155.

22. Гологцапова H. If., Заставный В. П., Маламуд М. М. Положительно определенные функции и спектральные свойства оператора Шрёдингера с точечными взаимодействиями // Мат. заметки. 2011. Т. 90, вып. 1. С. 151-156.

23. Ismagilova R. S., Kostyucbenko A. G. Asymptotics of the spectrum of the Sturm-Liouville with local interaction // Dokl. Math. 2010. V. 82, N 1. P. 596-598.

24. Пятков С. Г., Абашеева П. Л. Разрешимость краевых задач для дифференциально-операторных уравнений смешанного типа. Вырожденный случай // Сиб. мат. журн. 2002. Т. 43, № 3. С. 678-693.

25. Парфенов А. И. Об одном критерии вложения интерполяционных пространств и его приложении к индефинитным спектральным задачам // Сиб. мат. журн. 2003. Т. 44, № 4. С. 810-819.

26. Парфенов А. И. Об условии Чургуса и индефинитных задачах Штурма — Лиувилля // Мат. тр. 2004. Т. 7, № 1. С. 153-188.

27. Парфенов А. И. Сжимающий оператор и граничные значения. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева, Омега Принт, 2005. Препринт № 155.

28. Парфенов А. И. Базисность по Риссу собственных функций индефинитных эллиптических задач: дисс. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.02. Новосибирск: Ин-т математики им. С. Л. Соболева СО РАН, 2005.

29. Triebel Н. Interpolation theory, function spaces, differential operators. Berlin: VEB Deutcher Verlag Wiss, 1977.

30. Pvatkov S. G. Elliptic eigenvalue problems with an indefinite weight function // Sib. Adv. Math. 1994. V. 1, N 2. P. 87-104.

31. Азнзов Т. Я., Похвндов И. С. Основы теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой. М.: Наука, 1986.

32. Curgus В., Langer Н. A Krein space approach to symmetric ordinary differential operators with an indefinite weight function //J. Differ. Equations. 1989. V. 7, N 5/6. P. 1241-1252.

33. Паймарк M. А. Линейные дифференциальные операторы. M.: Наука, 1969.

34. Pvatkov S. G. Interpolation of some function spaces and indefinite Sturm-Liouville problems // Oper. Theory Adv. Appl. 1998. V. 102. P. 179-200.

г. Якутск

9 февраля 2011 г.