О равномерной оценке скорости сходимости метода Галеркина для нелинейного уравнения третьего порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

Математические заметки СВФУ Апрель—июнь, 2014. Том 21, №2

УДК 517.9+519.6

О РАВНОМЕРНОЙ ОЦЕНКЕ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ МЕТОДА ГАЛЁРКИНА ДЛЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА П. В. Виноградова, Т. Э. Королева

Аннотация. Исследуется метод Галеркина для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Получена равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений к сильному решению, зависящая от собственных чисел главного оператора уравнения.

Ключевые слова: дифференциально-операторное уравнение, монотонный оператор, ортопроектор, скорость сходимости, метод Галеркина.

1. Введение

Многие краевые и начально-краевые задачи для уравнений с частными производными, возникающие в математической физике, механике, гидродинамике и других областях, могут быть сформулированы как краевые задачи для соответствующих дифференциально-операторных уравнений. Среди дифференциально-операторных уравнений наиболее детально изучены уравнения первого и второго порядков. В этой связи можно указать работы [1,2], посвященные исследованию сильных решений задачи Коши для линейных и нелинейных дифференциально-операторных уравнений первого порядка. Разрешимость краевых задач для операторно-дифференциальных уравнений первого порядка с различными нелокальными краевыми условиями исследовалась в [3]. Существование, единственность и непрерывная зависимость сильных решений задачи Коши для различных линейных уравнений второго порядка с переменными областями определения доказаны в [4,5]. Разрешимость различных линейных дифференциально-операторных уравнений третьего порядка исследовалась в [6-9].

В [10] изучалась краевая задача для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с главным самосопряженным оператором и подчиненным ему монотонным оператором. С помощью метода Галеркина с базисом специального вида доказаны существование и единственность сильного решения рассматриваемой задачи. Кроме того, для галеркинских приближений установлены интегральные оценки скорости сходимости. Данная работа является непосредственным продолжением [10]. Здесь для указанной задачи получена новая равномерная оценка скорости сходимости приближенных решений, построенных по методу Галеркина, которая не следует из результатов работы [10].

© 2014 Виноградова П. В., Королева Т. Э.

2. Постановка задачи и вспомогательные утверждения

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство, плотно и компактно вложенное в сепарабельное гильбертово пространство Н с нормой || • ||н = || • || и скалярным произведением (•, •). Рассмотрим задачу

и'''(*) + Аи(*) - К[и(*)] =

и(0) = и(Т) = и'(0) = 0,

(1) (2)

где и(£) — искомая функция, Л.(£) — заданная функция. Функции «.(£), Л.(£) определены на конечном отрезке [0,Т].

Будем предполагать, что оператор А удовлетворяет следующим двум условиям:

1) А — самосопряженный оператор в Н с областью определения С (А) = Н1;

2) существует постоянная в > 0 такая, что

(А-,-) < -в|М|2

для любого V € Н1.

Нелинейный оператор К[•] монотонен (см. [11]), т. е. для любых и -2 из Н1 выполняется неравенство

(К[-1] - К[-2], VI - -2) > 0.

Введем необходимые для дальнейших исследований пространства функций. Через Ь2(0,Т; Н) обозначим гильбертово пространство всех сильно измеримых на [0, Т] функций, для которых конечна норма

(т х 1/2

0 |К*)||2Л

Через Ж23(Н, Н1) обозначим пространство функций таких, что Ь2(0,Т; Н) (^ = 0,1, 2, 3), А- € Ь2(0,Т; Н). В ^23(Н, Н1) определим норму

ё? у (IV

||-(Г)||2,3

и=о 0

й3 -(*)

1/2

<И + / ||А-(«)П2 <И

(3)

Обозначим через Ж>3(Н, Н1) подпространство функций из Ж3(Н, Н), удовлетворяющих условию -(0) = -(Т) = -'(0) = 0.

В пространстве Н1) введем норму, эквивалентную норме (3) [10]:

|К*)||2,3 =

1/2

^ + / ||А-(*)||2 <И

(4)

Сильным решением задачи (1), (2) назовем функцию и(£) из Ж23(Н, Н1), которая удовлетворяет почти при всех * уравнению (1).

е

2

2

3. Метод Галеркина

В данном разделе получим равномерные оценки скорости сходимости приближенных решений, построенных с помощью метода Галеркина.

Из условия 1 следует, что оператор A имеет обратный A: H ^ Hi.

Обозначим через e1; e2,..., en,... полную ортонормированную систему собственных элементов оператора — A, а через А1; А2,..., An,... — соответствующие собственные числа такие, что 0 < А1 < А2 < • • • < An < ..., An ^ при n ^ ж.

Пусть Pn — ортопроектор в H на линейную оболочку Hn элементов e1; e2, ..., en. В подпространстве Hn рассмотрим задачу

<(t) + Aun(t) — PnK [un(i)j = Pnh(t), (5)

Un(0) = Un(T ) = <(0) = 0. (6)

Решения un(t) задачи (5), (6) назовем приближенными решениями задачи (1), (2), построенными по методу Галёркина.

В дальнейшем через C будем обозначать различные положительные постоянные, не зависящие от n и t.

В [10] доказана

Теорема 1. Пусть h(t) £ L2(0,T; H), K[0] = 0, выполнены условия 1, 2 и для любых Z1, z2 из L2(0, T; H1) верно неравенство

|\K[Zl\ - K[z2\||o,2 < ^(\\(-A)iZl\\o,2, |\(-А)Ь2\\о,2Ж-АП*1 ~ ^)||o,2, (7)

0 < a < 1,

где n) — положительная непрерывная функция на R+. Тогда при каждом n задача (5), (6) имеет единственное решение un(t) £ W|i(H, H1), последовательность {un(t)} сходится в W2 (H, H1), причем предельный элемент является сильным решением задачи (1), (2). Сильное решение задачи (1), (2) единственно.

Теперь установим равномерную оценку скорости сходимости приближенных решений задачи (1), (2), построенных по методу Галеркина.

Теорема 2. Пусть выполнены условия теоремы 1. Тогда верна оценка

sup ||un — u|| + ||< — u'||„,2 + ll(— A)1/2(un — u)||„,2 < CA-+/2. (8)

0<t<T

Доказательство. Положим zn(t) = u(t) — un(t), где u(t) — решение задачи (1), (2), un(t) — решение задачи (5), (6). Тогда

zn + Azn — (K [u] — K [un]) = (I — Pn)(h(t) + K [un]).

Умножив данное равенство скалярно на (—zn) и проинтегрировав от 0 до т < T, получим

т т т

— (zn',zn)|S +y"(zn',zn) dt + J ||(—A)1/2zn|2 dt + J(K[u] — K[un],zn) dt

0 0 0

т

< —J (h(t) + K [un], (I — Pn)zn) dt.

0

Отсюда, используя монотонность оператора К, находим

т т

-(4'(г),г„(г)) + 11 ^\К\\2М + I \\(-А)^гп\\2Л о о

т

< У ||Л(*) + КК]||||(/ - Р„Ы| Л < ||Л(*) + К[ип]11о,21(I - Рп)*п||о,2. о

Применив неравенство (7), имеем

т

- «(т),*„(т)) + / ||(-А)1/2£„||2 ^

о

< (||Л||о,2 + ^(|(-А)1/2 «„||о,2, 0)|Ааи„|о,2)|(/ - Р„)*п ||о,2.

Используя неравенство моментов для дробных степеней оператора (см. [12]), получим

т

- «(т),*„(т)) + / ||(-А)1/22„||2 ^

о

< (||Л||о,2 + ^(|(-А)1/2и„|о,2,0)|Аи„Уа,2У«пУ1Г2а)|(1 - Рп)^п|о,2. (9)

Далее, для любого - из Н верно неравенство

11( А)—1/2(I - ед|< Л—+(2||-||.

Поэтому

11( А)—1/2(I - Рп)(-А)1/2*п|| < Л—+/21| (-А)1/2г„ ||.

Следовательно, из (9) имеем

т

- «(т),^))+| ||(-А)1/2г„||2 Л

<(Ио,2 + ^(|(-А)1/2и„|о,2,0)|А«„Уа,2УипУ1Г2^ Л—^/12|(-А)1/2г„|о,2.

В работе [10] установлены оценки

|| ип12,3 < с, ||(-А)1/2(и„ - и)11о,2 < СЛ-+(2, (10)

поэтому

-«(т),г„(т)) < СЛ—^1. (11)

Интегрируя (11) по т от 0 до Т, находим

|К(т)11о,2 < СЛ-+(2. (12)

Проинтегрировав неравенство (11) по т от £ до Т, имеем

т

-У «(т ),г„(т)) йт < СТЛ,

1, п+1,

тем самым

(zn(C),zn(C)) < CTA-++1.

Интегрируя последнее неравенство по Z от 0 до получаем

€

/(zn(C),zn(0) dC < CT2A-+1.

0

Следовательно,

||z (¿)||2 < 2CT2 Л +

Из (10), (12) и (13) получаем (8). Теорема доказана.

zn(C)||2 < 2CT2A—++1. (13)

ЛИТЕРАТУРА

1. Vinogradova P., Zarubin A. Projection method for Cauchy problem for an operator-differential equation // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2009. V. 30, N 1—2. P. 148—167.

2. Vinogradova P. Convergence rate of Galerkin method for a certain class of nonlinear operatordifferential equations // Numerical Functional Analysis and Optimization. 2010. V. 31, N 3. P. 339-365.

3. Антипин В. И., Попов С. В. Исследование разрешимости краевых задач для оператор-но-дифференциальных уравнений смешанного типа // Мат. заметки ЯГУ. 2012. Т. 19, № 2. С. 8-19.

4. Ляхов Д. А., Ломовцев Ф. Е. Метод слабых решений вспомогательной задачи Коши для исследования гладкости решений гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2010. № 2. С. 75-82.

5. Ходос С. П. Уравнение Эйлера — Пуассона — Дарбу с переменными областями определения разрывных операторов // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2010. № 1. С. 81-87.

6. Василевский К. В. Граничная задача для двучленного дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с переменными областями определения неограниченных операторов // Вестн. БГУ. Сер. 1. 2010. № 3. С. 110-114.

7. Алиев А. Р. О разрешимости начально-краевых задач для одного класса операторно-дифференциальных уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2011. Т. 90, № 3. С. 323-339.

8. Мамедов А. М. О краевой задаче для одного класса операторно-дифференциальных уравнений третьего порядка // Мат. заметки. 2010. Т. 87, № 4. С. 632-635.

9. Kalantarov V., Tiryaki A. On the stability results for third order differential-operator equations // Turk. J. Math. 1997. V. 21. P. 179-186.

10. Виноградова П. В., Самусенко А. М. Проекционный метод для дифференциально-операторного уравнения третьего порядка с нелинейным монотонным оператором // Сиб. журн. индустр. математики. 2012. Т. 15, № 4. С. 64-70.

11. Вайнберг М. М. Вариационный метод и метод монотонных операторов в теории нелинейных уравнений. М.: Наука, 1972.

12. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.

Статья поступила 5 мая 2014 г.

Виноградова Полина Витальевна, Королева Татьяна Эдуардовна Дальневосточный гос. университет путей сообщения, ул. Серышева, 47, Хабаровск 680021 [email protected], [email protected]