Об одном проекционно-разностном методе для параболических уравнений в области с меняющейся границей Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.633

ОБ ОДНОМ ПРОЕКЦИОННО-РАЗНОСТНОМ

МЕТОДЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ В ОБЛАСТИ С МЕНЯЮЩЕЙСЯ ГРАНИЦЕЙ

П, В, Виноградова

Введение

Многие задачи, возникающие при моделировании различных процессов, приводят к начально-краевым задачам для параболических уравнений в нецилиндрических областях. Обзор аналитических методов решения краевых задач для уравнения теплопроводности в области, меняющейся во времени, приведен в [1]. В [2] изучается асимптотическое поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрической области в зависимости от коэффициентов уравнений, а также описаны весовые пространства, в которых справедлива коэрцитивная Ьр-оценка. Построению функций Грина для уравнений параболического типа в областях с движущимися границами посвящена работа [3]. В [4] получены результаты о разрешимости краевых задач для волнового уравнения с нелинейной диссипацией в некоторых расширяющихся областях. В работе [5] изучаются одномерные нестационарные движения вязкого теплопроводного газа в области, сужающейся со временем, получены теоремы об однозначной разрешимости исследуемых задач в пространствах Гёльдера. Вопросам разрешимости краевых задач для параболических уравнений второго порядка в пространствах Гёльдера в нецилиндрических областях посвящены работы [6,7]. Численное решение уравнения теплопроводности в одномерной области с заданным законом изменения границы

© 2010 Виноградова П. В.

исследовалось в [8]. В указанной работе рассматривалась схема типа Кранка — Николсон, для которой доказана устойчивость и приведена оценка скорости сходимости. Целью настоящей работы является изучение проекционно-разностного метода для линейного параболического уравнения второго порядка в двухмерной области, изменяющейся со временем. Данный метод приводит на каждом временном слое к решению системы линейных алгебраических уравнений. При определенных условиях гладкости входных данных получены оценки скорости сходимости приближенных решений к точному решению порядка 0(т2 + Апп4), где через \/А„„ обозначен п-й нуль функции Бесселя Зп. Данная работа является непосредственным продолжением [9-12].

1. Постановка задачи

В Д3 рассмотрим область, ограниченную поверхностью X + у2 = Ф2(Ь) и плоскостями Ь = 0, Ь = Т, где Ф(Ь) — непрерывно дифференцируемая функция такая, что Ф(Ь) ^ ^о > О, Т < то. Данную область обозначим через В, а ее замыкание — через Сечение области плоскостью Ь = Ья обозначим через .

В области Б исследуем начально-краевую задачу ди ди ди

— - г/2 Дм + а(х,у,г)— + Ъ(х,у,г)— + с(х,у,Ь)и = /(ж, г/, г), (1)

и(х,у,Ь) = 0 при х2+у2 = Ф2(Ь), О <Ь < Т, (2)

и(х,у,0) = 0 ирих2 + у2 <Ф2(0), (3)

здесь у — постоянная. В цилиндре <3 = {(£, '■ £2+'112 ^1,0 ^ ^ ^ Г} рассмотрим задачу

ди; г/2 А«; ( ^ £Ф'(1)\ди) 1 ^ г/

ч ' (ьЬ)\дю / _

дЬ Ф2(Ь) V Ф(Ь) ) де V ) дп

+ с1(£,п,Ь}ш = /1(£,п,Ь), (4)

ад(£,п,Ь)=0 нри£2 + п2 = 1, 0 <Ь<Т, (5)

Ц£,П,0) = 0 нри£2 + п2 < 1. (6)

Здесь

«i(s,v,t) =-щ-, Мб »?,*) =-щ-,

ci&v,t) = c(£$(t),^(t),t), /i(£,n,í) = f(£$(t),n*(t),t).

Пусть коэффициенты a(x,y,t), b(x,y,t), c(x,y,t) непрерывны в D. Если f(x,y,t) G L2(D), то fi(£,n,t) G L(Q) и задача (4)-(6) имеет единственное решение из пространства (Q) (см., напри-

мер, [13]).

Нетрудно видеть, что функция

"(х>у>*) = ш(щ>щ>г) ^

принадлежит пространству W22(D) и является решением задачи (1)-(3). Верно и утверждение: если u(x, y, t) G (D) является решением задачи (l)-(3), то функция п, t) = n^(t), t) будет решением

задачи (4)-(6).

Для задач (1)-(3) и (4)-(6) построим проекциоппо-разностпые схемы и установим связь между их приближенными решениями.

В круге S = {(£, п) : £2 + П2 < 1} рассмотрим спектральную задачу d2e d2e

e(t,n) = o пРИе2 + п2 = 1. (9)

Известно (см., например, [14]), что данная задача имеет полную ортогональную систему собственных функций {ek¿(t, n)} из пространства W|(S), удовлетворяющих нулевым условиям на границе. Собственные функции задачи (8), (9) имеют вид (см., например, [15, с. 434])

efc¿ (£, rj) = Jk (мГ' v^2 + í?2) sin arctg |

efc¿ (£, ri) = Jk (/4*° V^2 +í?2) eos ^ arctg | k = 0,1,... , i =1,2,...,

Где Jk — функция Бесселя первого рода к-го порядка, собственные числа задачи (8), (9) имеют вид А^ = , — 1-й корень уравнения

Jk( м) = о.

Обозначим через Б) линейную оболочку системы функций

{ёйг(£,??), ёы(£,г])}, к = 0,1,... ,п, г= 1,2,..., п.

Пусть Рп — ортопроектор в пространстве Ь2(Б) на Щ(Б). Функцию

Wn( = t)eki{ e,n) +ßfci( t)ehi{

fc=0 i=l

назовем приближенным решением задачи (4)-(6), построенным по методу Галёркпна, если неизвестные коэффициенты aki{t), ßki(t) являются решением задачи Коши

ди>„ dt

t

(А

Wn, eriJ

0-1 \i,rj,t)--l~^r,eri

m ) de

(10)

dion dt

t

(A

Wn, erlJ

/ = 0,1,..., n, r = 1, 2,..., n,

m ) de

(И)

aw(0) = ßiw(0) = 0,

Где ^ — скалярное произведение в L(S). Функции

( x y

(12)

«n( x,y,t) = Wn

tt

назовем приближенными решениям,и задачи (1)-(3), построенными по методу Галёркина.

, eri

, erl

Задача Коши (10)—(12) равносильна следующей задаче в Б):

д* Ф2(*)

АШп + Рп

аА^Ц,*) -

т ; де

01 (£, V, Ч - —ГТ7Г --Ь С1 (£, Г],

Ф(*) У д'п шп(£,п,0) = 0 при (£,г]) € 5. На отрезке [0, Т] введем равномерную сетку

ш = {¿8 = вт, в = 0,1,... , Ж, тЖ = Т}.

Рассмотрим для задачи (13), (14) разностную схему

(е, п) - (е, п) ^ А (е, п) + ш— (е, п)

= рпМе,пЛ (13) (14)

т

Рп

Ф2(^)Л" 2

еф' а д*п( е,п)

«1(6 пЛ) -

де

ЬДСлД«) - ^-7—Г -Б--НсД^Л)^ (£,»?)

Ф(М У дп

е,п) = о, е,п) = т2ё01(е,п).

Вектор-функцию

{<(х,у)= {шп

х У

N

= ргл(е,пл),

(15)

(16)

(17)

назовем приближенным решением задачи (1)-(3), построенным по проекционпо-разностпому методу.

2. Оценки погрешности проекционно-разностного метода

При установлении оценок скорости сходимости приближенных решений к точному решению задачи (1)-(3) будем пользоваться результатами работы [12]. В указанной работе для операторного уравнения в

сепарабельном гильбертовом пространстве Н рассматривалась задача Коши

Л (ь) + Л(ь)ш(ь) + К(Ь)^(Ь) = Ц(Ь), ^(0) = 0 (18)

в предположении, что операторы Л(Ь) и К(Ь) удовлетворяют следующим условиям:

1) Л(Ь) (0 ^ Ь ^ Т) — самосопряженный положительно определенный оператор в Н с областью определения Б(Л(Ь)) = Н, где Н —

Н

Л ь К ь

цируемы па [0, Т] (см. [16, с. 218]); производные Л^(Ь), К^(Ь) определены на Н то значениями в Н (г = 1, 2,3), причем для любого г € Н существует число 7 > 0 такое, что

зир ||Л«{Ь)г\\ < ф||н, вир ||К«(ф|| < 7||гУн;

3) существует число в ^ 0 такое, что для всех г € Н выполняется неравенство (А'(Ь)г, г)н ^ /?|| А^ (0)г||2;

4) оператор К(Ь) подчинен оператору Л(0) с порядком а, т. е. (см. [16, с. 176]) для любого г € Н существует положительная постоянная М такая, что

вир ||К(Ь)г|| < МЦЛ(0)г11а11гЦ1 —а, а < 1;

5) оператор В сходный с оператором Л(0) (см. [17, с. 292]), и операторы Л(Ь), В образуют острый угол, т. е.

(Л(Ь)г,Вг)н > т||Л(0)г||||Вг||,

где постоянная т > 0 те зависит от выбора г из Н и Ь.

Предполагается, что В- и Л-1 (0) вполне непрерывны в Н. Для задачи (18) рассматривался следующий проекционно-разност-ный метод:

, ,8 + 1 /, ,8 + 1 I , ,8 — 1

"" ~тШп + РПА&)

+ Р„К(Ь8)< = , = 0, = т^ь (19)

где = ^ а?щ е Нп, Нп — линейная оболочка первых п собствен-3=1

пых элементов щ, щ, ..., щп оператора В, которым соответствуют собственные числа 0 < А1 ^ А2 ^ ... ^ Ап (Ап ^ ^ ^и п ^ го), Рп — ортопроектор Н на Нп.

Установлена следующая

Теорема 1. Пусть функция принадлежит С3 (О, Т; Н), МО) = 0, й'(0) е ЩВ3/2), 0 < а < 1 /2, операторыЛ(г), К{Ь), В удовлетворяют условиям 1-5, операторы К(0) и В-/2 перестановочны. Тогда

а-1

вир <-^(¿5) < то^т2 + А,^), зир ЦА1/2«-^))!! ^ш^г^ + г-^аД),

где положительные постоянные Ш2 не зависят от п н е.

Положим Н= £2(Б), Нп = ЩБ), Рп = Рп, Н = Щ2(Б) П Щ(Б),

о

где Б) (г = 1,2) — пространство Соболева (см. [18, с. 61]), "Щ(Б) — подпространство функций из Щ^Б), обращающихся в пуль па границе круга Б, С3(0, Т;Н) — пространство трижды непрерывно дифференцируемых по £ функций то значениями в Н. Н

А^ = -ЩГ)А> В = ~А> т = (а1 к, *) _ ) | + (ь + С1

Тогда задачи (4)-(6) и (15), (16) примут соответственно вид (18) и (19) при щ = е01(£,п), н{г) =

В дальнейшем через Ы^ (г = 1, 2,...) будем обозначать положительные постоянные, не зависящие от п и е.

Теорема 2. Пусть /(х,у,Ь) € С3 (15), /(ж,у,0) = 0, Ф(*) € С4[0;Т], Ф'(0) = 0, функции а(х, у, £), Ъ(х, у, £), с(х, у,£) принадлежат пространству С3(£>), причем а(х,у, 0) = Ь(х,у, 0) = с(ж, г/, 0) = 0 для всех (.х,у) €= (А,).

Тогда справедливы оценки

вир ||<(ж, у) - м(ж,у,^

^ПП

(20)

вир ||У«(ж,у)< М2(т" +т 2/хпп4), (21)

где и(ж, у, ¿) — решение задачи (1)-(3), ж, у) — приближенное решение задачи (1)-(3), построенное по проекциопио-разпостиому методу.

Доказательство. Для задач (4)-(6) и (15), (16), записанных в виде (18), (19), проверим выполнение условий теоремы 1.

В силу предположений теоремы 2 относительно функций /(ж,у,£) и Ф(г) функция Н(г) = /1 (£,??,£) = /(фщ, фЩ^) удовлетворяет условиям теоремы 1.

Проверим выполнение условий 1-5.

1. Очевидно, что операторы и В являются самосопряженными и положительно определенными в Н с областью определения Н •

2. Так как Ф(£) € С4[0; Т], Для любого г € Н имеем

1|А4>(фЦн = V5

н

< V"' вир

У АгУн < ММн, •

Далее, в силу условий данной теоремы на функции а(ж,у,£), Ь(ж, у,£), с(ж, у, £), Ф(£) и теорем вложения (см., например, [19]) получаем

дг

Тп1

дг д¥

уК^(*)гЦн < вир

вир

м&п,*) -

д^

т) н

ФЩ д^

т) дп н

вир

|| г У н < вир

д< ( (с

вир

а< ^ к

• вир

\г< М< МУгУн• (22)

3. Верны соотношения

,л„. , /2VФ'(г) л \

(А'(1)г, х)н = г) < вир

V ф3(г) /и

2&2Ф '(г)

< вир

Ф3(г) 2Ф'( г)

Ф3(г)

\\^\\И

4. Покажем, что оператор К(г) подчинен оператору Л(0) с порядком а = Из (22) при i = 0 следует, что

\\К(1)х\\и < Ы\\г.

Отсюда, используя мультипликативные неравенства (см., например, [19]), получаем

Ф(0)

\\Кт\н^М6\\Аг\\1\\г\\1 = М6-

Ф2(0)

Дг

\и

и

= М7\\А(0)г\\1\\г\\1.

5. Покажем, что операторы Л(г) и В образуют острый угол. Действительно,

уд

и

Ф2(0)

вир Ф2(г)

\\Л(0)г\\и\\Вг\\и.

Очевидно, что операторы К(0) и перестановочны. Таким образом, выполнены все условия теоремы 1, поэтому верны оценки

вир - и{£,г!,г.

(Я)

<М8(т2+М„„2), (23)

вир (24)

Положим

е =

х

Ф&)' 77 Ф(^)"

у

Тогда из (7), (17), (23) и (24) получаем оценки (20) и (21). Теорема доказана.

Замечание. Результаты статьи можно перенести на случай n пространственных переменных, а также линейных параболических уравнений высших порядков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Карташов Э. М. Аналитические методы решения краевых задач нестационарной теплопроводности в областях с движущимися границами // Изв. РАН. Энергетика. 1999. № 5. С. 3-34.

2. Алхутов Ю. А. Поведение решений параболических уравнений второго порядка в нецилиндрических областях // Докл. АН. СССР. Математика. 1995. Т. 345, № 5. С. 583-585.

3. Карташов Э. М. Метод функций Грина при решении краевых задач для уравнений параболического типа в нецилиндрических областях // Докл. АН СССР. Мат. физика. 1996. Т. 351, № 1. С. 32-36.

4. Кожанов А. И., Ларькин Н. А. Волновое уравнение с нелинейной диссипацией в нецилиндрических областях // Докл. АН СССР. Математика. 2000. Т. 374, № 1. С. 17-19.

5. Каляев И. А., Подкуйко М. С. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференц. уравнения. 2006. Т. 42, № 10. С. 1256-1374.

6. Бадерко Е. А. Краевые задачи для параболического уравнения и граничные интегральные уравнения // Дифференц. уравнения. 1992. Т. 28, № 1. С. 17— 23.

7. Черепова М. Ф. О разрешимости краевых задач для параболического уравнения с растущими вблизи границы коэффициентами // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 1. С. 110-121.

8. Jamet P. Stability and convergence of a generalized Crank — Nicolson scheme on a variable mesh for the heat equation // SLAM J. Numer. Analysis. 1980. V. 17, № 4. P. 530-539.

9. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. О методе Галёркина для квазилинейных параболических уравнений в нецилиндрической области // Дальневост. мат. журн. 2002. Т. 3, № 1. С. 3-17.

10. Виноградова П. В., Зарубин А. Г. О скорости сходимости метода Ротэ для параболического уравнения в нецилиндрической области // Дальневост. мат. журн. 2004. Т. 5, № 1. С. 5-11.

11. Виноградова П. В. Об одной трехслойной схеме для параболического уравнения в области с подвижной границей // Сиб. журн. индустр. математики. 2006. Т. 9, № 2. С. 12-19.

12. Виноградова П. В. Оценки погрешности проекционно-разностного метода для линейного дифференциально-операторного уравнения / / Дифференц. уравнения. 2008. Т. 44, № 7. С. 942-951.

13. Солонников В. А. Об оценках в Lq решений эллиптических и параболических систем // Тр. МИАН СССР. 1967. Т. 11, № 5. С. 137-160.

14. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalue of general elliptic boundary value problems // Commun. Pure Appl. Math. 1962. V. 15. P. 119-147.

15. Тихонов A. H., Самарский А. А. Уравнения математической физики. M.: Наука, 1972.

16. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховых пространствах. М.: Наука, 1967.

17. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Наука, 1970.

18. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

19. Глушко В. П., Крейн С. Г. Неравенства для норм производных в пространствах Lp с весом И Сиб. мат. жури. I960. Т. 1, № 3. С. 343-382.

г. Хабаровск

19 апреля 2010 г.