Применение метода Ритца к симметричным функционалам в теории дифракции Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК519.21

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА РИТЦА К СИММЕТРИЧНЫМ ФУНКЦИОНАЛАМ В ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ

ДИКАРЕВ В.А.___________________

Исследуется применимость метода Ритца для вычисления спектров несамосопряженных краевых задач, отвечающих распределенным системам с потерями. Установлено, что для симметричных функционалов метод Ритца в случае вещественных координатных функций можно свести к методу Галеркина. Приводятся необходимые сведения из функционального анализа. Формулируются и доказываются критерии сходимости и расходимости метода Ритца.

1. Симметричные функционалы. Сведение метода Ритца к методу Галёркина

Функционал F(u, X) (вообще говоря, нелинейный по и), зависящий от комплексного параметра X, называется аналитическим в области G, если при любом фиксированном значении u F(u, X) есть аналитическая функция X, X є G

В дальнейшем рассматриваются симметричные функционалы, аналитически зависящие от параметра (спектральный параметр), определенные на линейных пространствах функций.

Функционал Ф(и, v;X) называется симметричным, если для любых u,v из его области определения Df[)

Ф(и, v; X) = Ф(у, u; X)

и Ф(и, v) билинеен (те. линеен по и ипоу).

Пусть Ф(и, v) - билинейный функционал, и є Н|, v є Н2, Hi и Н2 - гильбертовы пространства. Будем говорить, что функционал Ф(и, v) ограничен (в Hj и Н2), если существует с > 0, такое, что для любых и и v

8

|ф(ил)|<с||и||нГІМ|н2.

Здесь I • ||Нк (к = 1,2) - норма в пространстве Нк .

Всякому ограниченному билинейному функционалу ф , определенному на произвольном гильбертовом пространстве н - можно сопоставить определенный на всем н, ограниченный линейный оператор А, определив его посредством равенства

<t(u,v) = (Au,v)H,

верного для всех u,v из Н. Символ (•, -)н обозначает скалярное произведение в Н.

Целью работы является: исследование применимости метода Ритца к вычислению спектров несопряжённых краевых задач в теории дифракции; выяснение условий, при выполнении которых метод Ритца можно свести к методу Галёркина.

Задача работы состоит в выяснении условий, при выполнении которых метод Ритца применим. Приведены также условия, при выполнении которых метод Ритца может привести к неверным результатам.

Рассмотрим функционал F(u), заданный на линейном многообразии М. Возьмем его первую вариацию SF. Функция Uq є М называется стационарной функцией функционала F(u), если 5F(u0) = 0 при любой 5и0 є М. Пусть теперь задана некоторая краевая задача. Функционал F(u) называется стационарным для этой краевой задачи, если стационарные функции функционала совпадаютс решениями данной краевой задачи.

Пусть Ф(и,у;Х) -ограниченный симметричный функционал. Будем искать стационарную функцию и формы Ф(и, и,'к) методом Ритца. Приближение un для и ищем в виде

Un = Е СкФк k=l

РИ, 2010, № 3

где {фк)к=і - базис некоторого подпространства En с H. Для дальнейшего существенно предположение En = En. Последнее означает, что если f є En , то и f є En. Черта над функцией обозначает, как обычно, операцию комплексного сопряжения.

Как известно, метод Ритца требует, чтобы величина Ф(%,%; X) была стационарна при un є En . Приравнивая нулю вариацию 5Ф(% ,un ;X), получаем уравнение

бФ^,^;X) = Ф(%,5un;X) + Ф(5un,un;X) = 0 ,

где 5un - любая функция из En . Полагая здесь 5un = фк (k = 1, m) и учитывая симметрию функционала Ф(^у; X), имеем

Ф(%,Фк;X) = 0 .

Полученное равенство можно записать так:

(A(X)un,Фк) = 0; к = 1,...,m; un є En . (1)

Здесь {фк>т=1 - базис в En ; A(X) - оператор-функция, порождаемая функционалом Ф(^у;X). Из (1) следует, что функцию un можно получить, решая уравнение

A(X)u = 0 (2)

методом Г алёркина.

Таким образом, для симметричных функционалов метод Ритца с помощью указанной выше схемы можно свести к методу Галёркина.

2. Достаточные условия сходимости метода Ритца

Обоснуем один признак сходимости метода Ритца для симметричных функционалов. При этом будем использовать установленное в п.2 сведение метода Рит-ца к методу Г алёркина. Для формулировки признака введём некоторые обозначения и определения.

2.1. Класс изучаемых функционалов. Доказательство дискретности их спектров

Рассмотрим последовательность {En}”= конечномерных подпространств из H. Спектры уравнений (1), (2) обозначим, соответственно, через Qn и Q . (Спектром однородного уравнения, содержащего параметр X, называется множество значений X, при которых это уравнение имеет нетривиальные решения.) Спектром функционала будем называть спектр порождаемой им оператор-функции. Рассмотрим произвольный компакт К комплексной плоскости X, содержащий конечное число точек из Q. Будем говорить, что спектры Qn сходятся к спектру Q, если части спектров Qn IK сходятся, с учетом их кратности, к части спектра QIK .

Сформулируем теперь один критерий применимости метода Ритца к симметричным функционалам

РИ, 2010, № 3

Ф(^у; X). Допустим, что исследуемый функционал представим в виде

Ф(^ v;X) = Ф0 (u, v;X) + Ф1 (u, v; X), (3)

где функционалы Ф0 , Ф1 (а значит и Ф) ограничены на H и удовлетворяют следующим условиям:

1. Ф0^^; X) и Ф^^; X) - голоморфны по X в некоторой области G комплексной плоскости X.

2. При любом X є G оператор A^X), порождаемый функционалом Ф1 , компактен (вполне непрерывен). Т акие функционалы будем называть компактными.

3. Существует такое ct = ct(X) >0, что для любого

X є G

^0(u,u;X) >ст||u||H (4)

для всех u є H , І • І - норма в H.

4. Существует такое X0 є G, что оператор A(X0), порождаемый формой Ф^^; X0), обратим.

Покажем, что если функционал Ф^^; X) удовлетворяет условиям 1 -4, то его спектр дискретный в G, т.е. точки сгущения спектра могут лежать лишь на границе области G. Воспользуемся следующим предложением из [1, с.39].

Пусть T(X) - голоморфная в области G операторфункция, такая, что при любом X из G оператор T(X) компактен.

Тогда для всех точек X є G , за исключением, быть может, некоторых изолированных точек, число d(X) линейно-независимых решений уравнения

ф- Т^)ф = 0

имеет постоянное значение:

d(X) = n ;

в упомянутых изолированных точках d(X) > n .

В частности, если хотя бы в одной точке d(X) = 0 , то для всех X є G , за исключением, быть может, некоторых изолированных точек, оператор I - T(X) (I -единичный оператор) имеет ограниченный обратный.

Чтобы проверить с помощью этого предложения дискретность спектра функционала Ф^^; X), сопоставим функционалам Ф^^; X), Ф0^^; X), Ф^^; X) оператор-функции A(X), A0 (X), A1 (X) соответственно. Очевидно, что A(X) = A0 (X) + A1 (X).

Из условия 1 вытекает [2, с.459] голоморфность в G оператор-функций A(X), A0(X), A^X). Из условия 3 следует обратимость при всех Xє G оператора A0(X). Поэтому оператор-функцию A(X) можно представить в виде

9

A(X) = (I - T(X))Ao(X),

где T(X) = -A^X)A-1(X). В силу условия 2 при любом Хє G оператор T(X) компактен. Кроме того, оператор-функция T(X) голоморфна в G. Из цитированного предложения и условия 4 следует дискретность спектра оператора I - T(X), а значит, в силу обратимости в G оператор-функции A0(X) дискретность спектра функционала Ф(и, v; X).

2.2. Формулировка критерия. Доказательство дискретности спектров аппроксимативных уравнений Ритца

Последовательность конечномерных подпространств {En }”=i из H называется предельно плотной в H, если любой элемент f є H можно, при достаточно больших n, сколь угодно близко аппроксимировать соответствующими элементами un из En . Последнее означает, что

lim ||un - fn||H = 0 n —<ю

Предложение 1. Пусть функционал Ф(и^;X) удовлетворяет условиям 1-4 и {En}”=i - любая последовательность, предельно плотная в H, такая, что En = En. Тогда:

1) при достаточно больших n спектры Qn дискретны;

2) спектры Qn сходятся к спектру Q.

Т аким образом, если имеют место условия 1-4, то при вычислении спектра функционала Ф(и^; X) может быть использован метод Ритца.

Доказательство 1. Докажем первую часть сформулированного предложения. Пусть по-прежнему A(X) , Ao(X), A1(X) - оператор-функции, порождаемые функционалами ф , Фо, Ф1, и Xo - такая точка из G, что оператор A(Xo) обратим. Перепишем (4) в виде

|(Ao(X)u,u)| >ст| UH. (5)

Известно [3, с.114], что числовой образ линейного оператора является выпуклым множеством. (Числовым образом оператора A называется множество всех комплексных чисел, являющихся значениями квадратичной формы (Af,f) , где f принимает все значения из гильбертова пространства H , такие, что ||f I = 1). Отсюда и из (5) следует, что существует такое число а , |а| = 1, что

Re(aAo (Xo)u,u) > а

и 2 H.

В этом случае оператор aAo(Xo) можно записать так:

a Ao (Xo) = B + iC, (6)

где C - самосопряженный, а B - положительно определенный оператор:

10

(Bu,u) > а

H.

Обозначим через Pn ортопроектор на En . Известно [4, с.92], что если оператор Ao(Xo) можно представить в виде (6), то уравнение

PnA0(X0)Pnx = У

для любого у є En, начиная с некоторого no, однозначно разрешимо. Это свойство оператора Ao(Xo) сохраняется при возмущении его любым вполне непрерывным оператором (см. теорему 3.1 из [4, с.94]).. Таким образом, уравнение

PnA(X0)Pnx = У

(для любого у є En), начиная с некоторого no, также однозначно разрешимо. Отсюда следует, что определитель fn(Xo) матрицы

||A(Xo )Фі , Ф j || = I |PnA(Xo )Pn Фі , Ф j

где {фі }-=1 - базис в En , отличен от нуля при n > no. Но определитель fn (X) является аналитической функцией в области G. Значит, множество его нулей дискретно в G . Последнее означает, что при достаточно больших п спектры Qn дискретны в G.

2.3. Доказательство вспомогательных предложений

Доказательство 2. Перейдем к доказательству второй части предложения 1. Оно распадается на несколько частей.

Введем одно понятие, необходимое для дальнейшего. Пусть H - гильбертово пространство, H1 и H2 -подпространства из H и P1 , P2 - соответствующие им ортопроекторы. Положим P(1) = I - P1 и P(2) = I - P2. Раствором ©(HbH2) подпространств H1 и H2 называется [5, с. 199] число

©(H1,H2) = max{ sup P(2)x , sup P(1)x

хєИ1, хєИ2,

}.

(7)

Лемма 1. Пусть линейный оператор B, определенный на гильбертовом пространстве H, для всех и є H удовлетворяет условию

|(Bu,u)| >S| |u||H, (8)

где 5 > o и {En }”= - произвольная последовательность подпространств из H. Тогда

lim ©(BEn,En) = q < 1

n—— ^

Доказательство. Оценим

sup p(x,BEn).

хєИі,

IIXI=1

РИ, 2o1o, № 3

Здесь p(x,BEn) - расстояние от x до подпространства BEn. Любой элемент x є En можно представить в виде

x = aBx + y ,

где y L Bx . Очевидно, что a

(x,Bx)

IN2 .

Отсюда имеем

|(x,Bx)|2

INI2

Но в силу (8) и неравенства ||Bx|| < ||в|| -||x||, где ||B|| -норма оператора B ,

|(x,Bx)|2 > 52 ||x||4 > 82 ||х||2

iibxi2 > нТ> W

Используя последнее неравенство и полагая x = 1, получаем оценку

|y| 1 -82ib г2 .

Но p(x,BEn) < p(x,aBx) = ||y|| . Поэтому

p(x,BEn) <^/1 -s2||B|-

sup

-En

И=1

(9)

Оценим теперь sup p(Bx,En). Запишем Bx в

,rEn,

INI=1

виде Bx = Px + z , где z L x , p =

(Bx, x)

2

x

Учитывая это, имеем при ||Bx|| = 1

INI=>/1 - |(Bx,x)|2 ||xi-2 .

Но в силу (8)

|(Bx,x)|2||x|| 2 >S2||x||2. (10)

Кроме того, ||Bx|| < I|b|| ||x||, что при ||Bx|| = 1 дает

||x|| > ||b||-1. Используя это неравенство, получаем из (10)

|(Bx,x)|2||x||-2 >S2||b||-2.

Отсюда получаем ||z|| 1 -S2 ||в||-2 .

Последнее неравенство приводит к оценке

sup p(Bx,En) < ^ 1 -S2||B||

1—2

хєБп.

INN

(11)

Утверждение леммы 1 вытекает теперь из (9) и (11).

Лемма 2. (Эта лемма является операторным аналогом известной в теории функций комплексного переменного теоремы Монтеля). Пуст ь последовательное ъ аналитических по X в области G оператор-функций фп (X) сходится по норме при любом X є G к аналитической в G оператор-функции ф(Х) .Пусть, кроме того, на произвольном компакте K с G последовательность норм ||фп(Х)|| равномерно ограничена: ||фп(Х)|| < c для всех n и всех Хє K. Тогда на любом компакте из G последовательность ||фп (X) — ф(Х)|| сходится к нулю равномерно.

Доказательство. Пусть L - произвольная замкнутая кривая из G, содержащая компакт K строго внутри. Из аналитичности в области G операторфункций фп(Х) , ф(Х) вытекает справедливость представления

ф(Х>— Фп (z) = т^ J

2ni;

ф(Х) — Фп (X)

X — z

dX

для любой точки z из K . Отсюда получаем, что

||ф(Х) — Фп(Х)| < max |X — z| 1 J ||ф(Х) — фп (X)|| |dX|

2п XєL, т .

zєK

Утверждение леммы 2 следует теперь из равенства

lim Л|ф(Х) -Фп(Х^ЛХ = 0 п ^ l

Переход к пределу под знаком интеграла здесь возможен в силу равномерной ограниченности последовательности ||ф(Х) — фп (X)|| и теоремы Лебега.

2.4. Доказательство сходимости спектров в методе Ритца

Рассмотрим уравнение

Pn(Ao(X) + A1(X))x = Pnf ,

где x є En, а f - произвольная функция из H. Перепишем его так:

Pn(I — T(X))yn = Pnf. (12)

Здесь по-прежнему

T(X) — A1(X)A—1(X);

Уп = A0 (X)x є Fn ; Fn = A0 (X)En .

Из леммы 1 следует, что для всех n

©(En,Fn) <q<1. (13)

РИ, 2010, № 3

11

Пусть P„ - сужение оператора Pn на подпространство Fn . Из (13) следует, что оператор Pn допускает обращение (см., например, [6, с. 117]). Обозначим через Pn"1 оператор, обратный к Pn . Из (13) и [5, c.23l] вытекает, что

_________1_________< 1

ф -[©(E„,F„)]2 .

Положим Pn = P„ 1Pn . Оператор Pn есть проектор, отображающий н на Fn .

Действительно, р„

-1

lPn|| и

P2 = P-1p ^-1p = P-1p = p An An AnAn An An An An

так как P„P„ 1 есть единичный оператор, действующий в En .

Лемма 3. P„(X) есть аналитическая по X в области G оператор-функция.

Доказательство. Пусть {фі}m—1 - базис в En и Уі (X) = A0 (X). Векторы у і (X) аналитичны по X в G. Поскольку отображение Pn :Fn ^ En взаимно-однозначно, векторы Pn yi(X) = Pnyi(X) линейно-независимы и, значит, образуют базис в En . Зафиксируем f є H и положим h = Pnf є En . Тогда

m

h = Ё ck(X)pn у k(X). k=1

Покажем, что функции ck (X) аналитичны. Для этого возьмем дифференциал в последнем равенстве. Имеем

m m

—Ё ck(X)8pn у k(X) = Ё 8ck(X)pn у k(X),

k=1 k=1

т.е. величины Sck(X) являются коэффициентами разложения левой части по yk (X). Выражая дифференциалы Sy k (X) через производные по комплексному переменному X , имеем

m m dc, (X)

—Ё ck(X)pnyk(X) = Ё Pnyk(X).

k=1 k=1 dX

Таким образом, функции ck(X) аналитичны, а значит, аналитичен и вектор

Pnf = Pn-1h = Ё ck(X)Pn—:lPnФk(X) = Ё ck(X)yk(X),

k=1 k=1

что и требовалось проверить.

Перепишем (12) так:

Pn(I — T(X))y„ = Pnf. (14)

Рассмотрим уравнение

(I — P„T(X)P„)y = g, y,g є н. (15)

Пусть

y = z + ю, (16)

где z є ImPn , иє KerPn . Перепишем (15) в виде

и + z — P„T(X)P„z = Png + (I — P„)g. (17)

Здесь

z — P„T(X)P„z є ImP„,

P„g є ImP„, (I — P„)g є KerP„. (18)

Из (17), (18) и единственности представления произвольного вектора у в виде (16) следует

P„(I — T(X))z = P„g.

Таким образом, разрешимость уравнения (15) эквивалентна разрешимости аппроксимативного уравнения (14).

Изучим (15). Проверим, что последовательность ||T(X) — P„T(X)P„|| ^ 0

на любом компакте K c G . Положим P(n) = I — p Тогда

P„TP„ = (I — P(n))T(I — P(n)) =

= t — p(n)T — TP(n) + p(n)TP(n) ^ t при n для любого фиксированного X є G , так как P(n) ^ 0 сильно, а оператор T(X) вполне непрерывен и, значит, операторы P(n)T , TP(n), p(n)TP(n) при n сходятся к нулю по норме. Отсюда и из леммы 2 следует, что слагаемые P(n)T , TP(n), P(n)Tp(n) стремятся к нулю равномерно на K . Таким

образом, последовательность ||т (X) — P„T(X)P„|| сходится к нулю равномерно на K .

Теперь нам потребуется следствие из теоремы В.М. Ени [7].

Пусть последовательность голоморфных в области G оператор-функций A„(X) сходится равномерно на любом компакте K c G к оператор-функции A(X) и при любом X є G операторы A(X), A„ (X) вполне непрерывны. Тогда последовательность спектров оператор-функций I + A„ (X) сходится к спектру оператор-функции I + A(X).

Применим следствие из теоремы В. М. Ени к оператор-функциям

I — P„(X)T(X)P„(X), I — T(X).

Учитывая, что спектры оператор-функций A(X) и I — T(X) совпадают, получим, что спектры Q„ сходятся к спектру Q . Предложение 1 доказано.

12

РИ, 2010, № 3

3. Условия расходимости метода Ритца

Опишем теперь один класс функционалов, отыскание собственных значений которых по методу Ритца может привести к неверному результату.

Пусть по-прежнему Ф(ц,у; X) - симметричный функционал и при некотором значении X = Х0 форма Ф(и,и;Х) вещественна, а область определения Бф функционала удовлетворяет условию Бф = Бф. Это равенство означает, что если f є Бф, то и f є Бф . Предположим также, что существуют гильбертово пространство H и бесконечномерные линейные многообразия F], F2 из Бф такие, что: Бф всюду плотно в H, функционал ф(и,у;X) в н ограничен и ф(и, U; X) < 0 , если и принимает значения из ] , и ф(и, U; X) > 0 , если и принимает значения из F2.

Предложение 2. Пусть ф(и,у;Xo) удовлетворяет перечисленным выше условиям. Тогда существует предельно плотная последовательность конечномерных подпространств (En}”=1 из Бф , удовлетворяющая условиям

En с En+b En = En (n = U.-h

такая, что при всех n уравнения

(A(Xo)%, Фк) = 0, k = 1,...,m, n = 1,2,...;

{фк }m=1 базис в En, имеют нетривиальные решения.

Таким образом, в указанной ситуации X0 является точкой спектров Qn аппроксимативных уравнений (1). Может однако случиться, что X0 не является точкой спектра функционала ф(и,у; X) (см., например, функционалы из (7)).

Доказательство. Пусть A - оператор, порождаемый билинейной формой ф(и,у; X0). Так как при всех и из H форма ф(и,и; X0) вещественна, то оператор A самосопряженный. Чтобы доказать предложение 2, достаточно проверить, что существует последовательность конечномерных подпространств

{En }п=1, En = En, En с En+1, (n = предельно плотная в н и такая, что при n = 1,2,... оператор PEnAPEn имеет нуль своим собственным значением. Здесь PEn - ортопроектор в н на En .

Будем строить последовательность {En}n=1 по индукции. Обозначим через G1, G2 замыкание множеств HIF1, HIF2 соответственно. Зафиксируем последовательность векторов {хп}П=1 полную в H и такую, что xn = xn (n = 1,2,...). Положим E1 равным одномерному подпространству, натянутому на х1 . Пусть подпространство En уже построено. Будем строить подпространство En+1.

Выберем в G1 такой вектор f1, что f f

f1 1 (En + Xn+1), Af 1 (En + Xn+1). (19)

Здесь через En + xn+1 обозначена прямая сумма подпространства En и одномерного пространства, натянутого на xn+1. Чтобы выполнялось условие

Af1 1 (En + xn+1),

f1 достаточно, в силу самосопряженности оператора A , выбрать так, чтобы

f1 1 A(En + xn+1).

Аналогично в G2 возьмем такой вектор f2, что

f2 = f2 ,

f2 1 A(En + Xn+1), Af2 1 (En + Xn+1). (20)

Покажем, что в подпространстве, натянутом на векторы f1 и f2 , существует вектор У0, У0 ^ 0, такой, что

(Ay0, У0) = 0 . Это очевидно, если выполнено одно из равенств

(Afbf1) = 0, (Af2,f2) = 0.

Если же

(Afbf1) < 0, (Af2,f2) > 0, (21)

то положим

y = tf1 + (1 - t)f2

Yt ||tf1 + (1 - t)f^|, 0 <t <ь

Здесь ||tf1 + (1 - t)f^| * 0 , так как f1 и f2 , очевидно, не коллинеарны. Если t пробегает все значения из отрезка [0,1], то величина (Ayt,yt) изменяется на некотором отрезке вещественной оси, содержащем точку 0 . Это следует из (21). Значит, существует число

t0 є [0,1], такое, что (Ayt0 ,yt0) = 0, т.е. Ayt0 1 yt0 . Положим En+1 = En + xn+1 + yt0 . Отметим, что в силу

(19) и (20)

yt0 1 En + xn+1. (22)

Из (19) и (20) следует также, что Ayt0 1 En+1 .

Кроме того, yt0 = yt0 , так как f1 = f1, f2 = f2 , En = En. Из (22) вытекает, что

PEn+1APEn+1yt0 = PEn+1Ayt0 = 0.

Это значит, что 0 является собственным значением

оператора PEn+1APEn+1, что и требовалось проверить. Таким образом, если выполняются условия (21), то предложение 2 доказано.

Отметим, что векторы f1 и f2 можно взять из F1 и F2 . Действительно, рассмотрим ортогональное дополнение в G1 к подпространствам

РИ, 2010, № 3

13

En+xn+b A(E + xn).

Обозначим его через L - подпространством конечной размерности в Gt.

Известно [8, с.46] следующее предложение. Если L - подпространство конечной коразмерности в гильбертовом пространстве Gj, a Fj - всюду плотное линейное многообразие в Gj, то пересечение L П Fi плотно в L. Поэтому пересечение Lf|Fi непустой ^ можно взять из L П F|.

4. Заключение

Научная новизна. Обоснована применимость метода Ритца к классу функционалов, отвечающих несамосопряженным задачам в теории дифракции. Указаны условия, при которых такое применение законно. Описан класс функционалов, применение метода Ритца ккоторым может привести к неверному результату. В некоторые функционалы спектральный параметр входитнелинейно.

Практическая значимость исследования состоит в разработке критериев сходимости и расходимости метода Ритца для симметричных функционалов в теории дифракции. Для симметричных квадратичных функционалов доказано, что если координатные функции, используемые в методе Ритца, вещественные, то вопрос о сходимости метода Ритца можно свести к исследованию метода Галеркина.

Получен критерий применимости метода Ритца для одного класса симметричных функционалов. Доказано, что спектры таких функционалов дискретны и могут быть вычислены методом Ритца по любой полной последовательности вещественных базисных функций.

Литература: 1. ГохбергИ.Ц., КрейнМ.Г. Введение в теорию линейных несамосопряжённых операторов. М.: Наука, 1965. 448 с. 2. КатоД. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с. Ъ.Халмош П. Гильбертово пространство в задачах. М.: Мир, 1970. 351 с. 4. Гохберг И.Ц., Фельдман И.А. Уравнение в свёртках и проекционные методы их решения. М.: Наука, 1971. 352 с.

5. Краснополъский М.А. и др. Приближённое решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969. 455с. 6.Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966. 544 с. 7. Ени ВМ. Об устойчивости корневого числа аналитической оператор-функции и о возмущениях её характеристических чисел и собственных векторов. Докл. АН СССР, 1967. Т. 173. №6. С. 1251-1254. 8. Глазман ИМ. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: Физматгиз, 1963. С. 46-57.

Поступила в редколлегию 12.09.2010

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Кривуля Г.Ф.

Дикарев Вадим Анатолиевич, д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры прикладной математики ХНУРЭ. Научные интересы: теория вероятностей, случайные процессы. Адрес: Украина, 61164, Харьков, пр. Ленина, 66, кв. 21, тел. 343-57-03.