Векторнозначные аналоги S-процедуры и леммы Якубовича Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.9+62.50

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 4

С. В. Гусев

ВЕКТОРНОЗНАЧНЫЕ АНАЛОГИ S-ПРОЦЕДУРЫ И ЛЕММЫ ЯКУБОВИЧА

1. Введение

Работа посвящена обобщению на векторнозначный случай теоремы о неущербности 8-процедуры [1] и одного из утверждений частотной теоремы (леммы Калмана— Попова—Якубовича) [2], а именно равносильности строгого линейного матричного неравенства и строго частотного условия. Это утверждение как для односвязных [3], так для многосвязных [4] систем было получено В. А. Якубовичем и в работе Р. Калмана [5] названо леммой Якубовича.

Рассматривается векторнозначный вариант 8-процедуры в случае строгого неравенства. Получены достаточные условия, при выполнении которых векторнозначная 8-процедура неущербна. Показано, что в отличие от более изученного случая нестрого неравенства 8-процедура для строгого неравенства неущербна как в обычном, так и векторном вариантах без предположения о выполнении условия Слейтера. Приводится пример применения векторнозначной 8-процедуры к неравенствам, нелинейным относительно входящих в них квадратичных форм.

В [6] предложен метод доказательства леммы Калмана—Попова—Якубовича, основанный на применении утверждения о неущербности 8-процедуры для ограничений-равенств специального вида. Этот подход получил развитие в [7-10].

Доказанная в статье теорема о неущербности векторнозначной 8-процедуры применяется для вывода векторнозначного аналога леммы Якубовича. В отличие от других утверждений леммы Калмана—Попова—Якубовича, касающихся нестрогих неравенств и разрешимости уравнения Лурье, лемма Якубовича справедлива без предположения об управляемости рассматриваемой системы или ослабленных вариантов этого предположения, накладывающих ограничения на неуправляемую часть спектра матрицы системы. Доказанный векторнозначный вариант леммы Якубовича справедлив без каких-либо предположений о системе, что связано с отсутствием условий Слейтера в доказанной теореме об 8-процедуре.

2. Разрешимость векторнозначных линейных неравенств с выпуклыми ограничениями на переменные

Пусть R — топологическая векторная решетка, конус неотрицательных элементов которой обозначим R+. Для любого r gR неравенство r > 0 равносильно включению r G R+, а неравенство r > 0 — включению r G intR+.

Будем говорить, что последовательность конечномерных линейный подпространств Ri С R С ... CR является аппроксимирующей в R, если для любого r gR найдется последовательность векторов rn G Rn, n = 1, 2,..., такая, что r = limn^TO rn.

Для произвольных топологических векторных пространств P, Q через C(V, Q) обозначим пространство линейных ограниченных операторов, действующих из P в Q.

Теорема 1. Предположим, что R — банахово пространство, в котором .замкнутый выпуклый нормальный конус R+ определяет структуру векторной решетки,

© С. В. Гусев, 2006

= V, О — конечномерные векторные пространства, Р+ — собственный выпуклый .замкнутый конус в V, К — непустой выпуклый .замкнутый конус в О, Р €

, О). Тогда для любого О € С(Р, К) следующие утверждения равносильны:

Т.1.1. При всех р € \ {0}, удовлетворяющих включению Р(р) € К, выполнено

О(р) > 0. (1)

Т.1.2. Существует Н €С(О, К) такое, что Н(К) С и при всех р € \ {0}

О(р) > Н(Р(р)). (2)

Если в пространстве К существует аппроксимирующая последовательность подпространств и конус К собственный, то указанные утверждения равносильны следующему:

Т.1.2а. Для любой аппроксимирующей последовательности подпространств К С К-2 С ... С К существуют натуральное п и оператор Н € С(О, Кп) такие, что Н(К \ {0}) С и при всех р € \ {0} выполнено (2).

Доказательство. Импликация Х.1.2 ^ Х.1.1 очевидна. Действительно, пусть выполнено Х.1.2. Тогда Н(Р(р)) > 0 для любого р € П Р-1(К) \ {0}, и, следовательно, выполнено (1).

Докажем более содержательную импликацию Х.1.1 ^ Х.1.2. Поскольку — собственный выпуклый замкнутый конус, существует линейный функционал /+ € V такой, что /+(Р+ \ {0}) С (0, +ж), и множество Т = /-1(1) П компактно.

Рассмотрим два случая.

1. Пусть Р(Т) ПК = Тогда найдется линейный функционал Н € О', разделяющий компактное выпуклое множество Р(Т) и конус К такой, что Н(К) С [0, +ж), а = шш Н(Р(Т)) < 0, Н(Р(Р+ \ {0})) С (0, —ж). В силу компактности Т существует вектор т- < 0 такой, что т- < О(р) при всех р € Т. Определим оператор Н : О ^ К соотношением Н(д) = а-1Н(д)т-. Для любого д € К, Н(д) = Н(д) ■ (а-1т-) € Для произвольного р € \ {0} имеем р = /+(р)ро, где ро € Т,/+(р) > 0. Поэтому Н(Р(р)) = /+(р)Н(Р(ро)) = /+(р)а-1Н(Р(ро))т- < /+(р)т- < /+(р)О(ро) = О(р), т.е. выполнено (2).

2. Пусть Р(Т) ПК = %. Тогда множество Тж = ТП Р-1(К) не пусто и компактно.

Рассмотрим сначала случай, когда пространство К конечномерно. Тогда К — полная

векторная решетка.

При г = 1, 2,..., определим множества Кг = У\ \д — д'\ < 1/г}, Кг = {(С, д) € К хО \ С > 0,д € СК}. Тогда Кг —замкнутые выпуклые множества, Кг —выпуклые конусы, шЦСг = $, Кг Э Кг+1, г = 1, 2,..., К = р|Кг.

Рассмотрим отображение Р = (/+,Р) : V ^ К хО. При г = 1, 2,..., определим множества Тг = Р-1(Кг) ПТ = Р-1(Кг) ПТ. Эти множества образуют цепочку вложенных компактов Т1 Э Т2 Э ..., и Тж = р|Тг. Следовательно аналогичную цепочку вложенных компактов образуют множества О(Т1), О(Т2),..., и О(Тж) = р|О(Тг). В силу условия Х.1.1 С^) С . Поэтому найдется г такое, что С(^) С и

тЮ^г) > 0. Пусть г+ = > 0. Положим С_(р) = С(р) — тогда

С ЫК+.

Рассмотрим отображение Ф(р) = МО-(Р-1(р) П Р+). Из неравенства О-(р) > 0, выполненного при всехр € Р_1(/Су)ПР+, следует, что Ф(</) > 0 при всех д € /СуПР(Р+).

Покажем, что dom^ = F(P+ ). Пусть qo = F (po ) G F (F) П K, тогда Fo = (1,qo) G int/Cj. Следовательно для произвольного q G F(V+) найдется a G (0,1) такое, что Ça = otq + (1 — a)qo G ICj. Рассмотрим произвольное p G FП и определим Pa = ap + (1 - a)po. Тогда G-(p) = a-1G(pa) + G((1 - a-1)po) > G((1 - a-1)po), поскольку F(pa) = qa G 1Сj, и, следовательно, G(pa) > 0. Таким образом, множество G- (F-1(q) nV+ ) ограничено снизу и Ф($) определено. Легко видеть, что Ф(а</) = аФ(</) и + ) < ^(Fi.) + ^(q2) при всех q, F1, G dom^, a > 0.

Поскольку Ф(</) >0 при всех q G /С-ПскяпФ и intAC-П скяпФ ^ 0, выполнены условия теоремы о сэндвиче [11]. Поэтому найдется H G L(Q, R) такое, что

Ф(5) > H (q) Mq G dom^, (3)

H(q)>0 VqeÎCj. (4)

Оператор H можно представить в виде H ((£, q)) = £r + H (q), где r gR, H gL(Q, R). Тогда из (4), полагая £ =1, q = 0, получим r > 0. Поскольку для произвольных q gK и натурального г > г выполнено (1 /i,q) G 1С-, из (4) следует H(q) > —(1 /г)г при всех i >г. Таким образом, H(q) > 0 при всех q G 1С.

Из (3) следует, что при всех p G P+ выполнены неравенства G-(p) > H(F(p)) = f+(p)r + H (F (p)) > H (F (p)). Тогда G(p) > f+(p)r+ + H (F (p)) > H (F (p)). В конечномерном случае утверждение доказано.

Рассмотрим общий случай. В силу предположений о свойствах конуса R+ найдется компактное множество T такое, что решетка R изоморфна решетке C(T) непрерывных функций на T [12]. Поэтому, не умаляя общности, положим R = C(T). Пусть 1 G R — функция, тождественно равная единице. Поскольку G(Fœ) компактно и не пусто и G(Fœ) С intR+, найдется число S > 0 такое, что условие T.1.1 выполнено для оператора Gg = G — Sf+(.)1. Кроме того, G(p) = Gg(p) + S для любого p gF .

Поскольку G g (F ) компактно и не пусто, для каждого t G T найдется открытая окрестность E такая, что

sup |r(t') — r(t")| <S. (5)

t',t"e£, reos(F)

Указанные окрестности образуют покрытие T. Выберем из него конечное подпокрытие {£i}n=1. Построим разбиение единицы pi G R+, i = 1, 2,...,n, подчиненное этому подпокрытию. В каждой окрестности Ei выберем вектор ti такой, что p(ti) = 1, i = 1,...,n.

Пусть R = Rn, R+ = {r = ^т'1,..., rn^ | ri > 0, i = 1,..., n}. Рассмотрим отображение Gg : P ^ R, действующее по правилу Gg(p) = ^Gg(p)(t1),...,Gg(p)(tn. Оно удовлетворяет условию T.1.1, поэтому, в силу уже доказанного, найдется оператор H : Q^R такой, что H (K) С R+ и при всех p G P+ \ {0}

Gg (p) >H(F(p)). (6)

Пусть q1,... ,qm —базис пространства Q, (q) — j-ая координата вектора q при разложению по базису q1,..., qm, тогда q = j=1 (q)qj. Положим H(qj) = (r:1,j,. .., ,

j = 1,...,m. Определим заданные на T функции rj(t) = ri,jpi(t), j = 1,...,m.

Построим оператор H : Q ^ R, который действует на вектор q G Q по формуле

Н(д) = С1 (д)т1 + ... Ст(д)тт. Покажем, что оператор Н тот, существование которого утверждается в Х.1.2.

Пусть д €К, тогда £тг,зСз (д) > 0 при всех г = 1,...,п в силу определения оператора, Н. Следовательно Н (д)(г) = Т,™=1 С3 (д)Т, п=1 тг,з Рг(г) = Е П=1 Рг (г) Е^ тг,з Сз (д) > 0 при всех г €Т, т. е. Н(К) С

Проверим неравенство (2). Определим оператор Е : К ^ К, который каждой функции т € К сопоставляет ее аппроксимацию функциями из разбиения единицы: Е(т) = ЕП=1 т(гг)рг. Тогда при всех т € О$(Т), г € Т имеем \Е(т)(г) — т(г)\ = 12п=1 т(и)рг(г) — т(г)\ = \Еп=1 (т(и) — т(Ь))рг(г)!, причем рг(г) = 0 только для тех г,

для которых t e Ei. Поскольку для этих значений i \r(ti) — r(t)\ < S, получаем оценку \E(r)(t) — r(t)\ < S.

Для произвольного p eF положим Gg (p) = r e Gg (F), F(p) = q. Рассмотрим разность E(r) — H(q). Для любого t e T получим E(r)(t) — H(q)(t) = E"=1 r(ti)pi(t) —

Yjjh j (q)rj(t) = ЕГ=1 r(ti)Pi(t) — YjLi j (q)J2 Г=1 ri,j Pi(t) = ЕГ= 1 Pi (t)(r(ti) —

EmU r'ijZj(q)). В силу (6) r(ti) —Yjj=1 ri,jZj(q) > 0 при всех i = 1,...,n, поэтому E(r)(t) — H(q)(t) > 0 при всех t e T. Тогда [G(p) — H(F(p))](t) = [G(p) — Gg(p) + Gg(p) — E(Gg(p)) + E(Gg(p)) — H(F(p))](t) > S + [Gg(p) — E(Gg(p))](t) > 0 при всех p e F и t eT, откуда следует (2).

Докажем, что T.1.2 влечет T.1.2a. Как и ранее полагаем, что R = C(T). Пусть R-1 С R С ... CR — аппроксимирующая последовательность в R. Поскольку конус K собственный, найдется линейный функционал h+ e Q такой, что h+(K\{0}) С (0, и множество H = h—1(1) П K компактно. В силу T.1.2 найдутся оператор Ho и число S0 > 0 такие, что [G(p) — H0(F (p))](t) > S0 и H0(q)(t) > 0 при всех p eF, q eK, t eT. Пусть y = 1 + \ max h+ (F(F))\. Выберем S1, 0 < S1 < S0, и положим S2 = (S0 — S1)/y. Определим оператор H = H0 + S2h+1. Тогда H(q)(t) > S2 и [G(p) — H(F(p))](t) > S1 при всех p eF, q eK, t eT.

Пусть q1,...,qm — базис пространства Q, rj = H(qj) e C(T), j = 1

, m.

Для произвольного £ > 0 найдутся п = п(£) и функции т 3 € Кп(Е) такие, что — т з У < £,2 = 1,...,т. Определим оператор Н, положив Н (д) = Е т=1 Сз (д)т з. Пусть а = шах{Е™1 \Сз (Р(р))\ \ р € Т}, в = шах{Е™1 \Сз (д)\ \ д € Н}. Тогда \[Н(Р(р)) — Н(Р(р))](г)\ < а£, \[Н(д) — Н(д)](г) < в£ при всех р € Т,д € Н, г €Т. Выберем £ = ш\п(б1/а,§2/в) и определим соответствующий оператор Н : О ^ Кп(е), тогда [О(р) — Н(Р(р))](г) > 0 и Н(д)(г) > 0 при всехр €Т, д €Н, г €Т. Следовательно Н — искомый оператор. Теорема доказана.

3. Векторнозначная Я-процедура

В этом разделе мы дополним утверждения теоремы 1, предположив дополнительно, что пространство V имеет специальный вид. Пусть НМ^ —пространство эрмитовых и —пространство симметричных вещественных матриц размера к, НМ+(8М+) — конусы положительно полуопределенных матриц из НМ^ ). Определим множества НМ| = {хх* \ х € Сй}, = {хх* \ х € Кй}, которые состоят из матриц ран-

га 1, принадлежащих экстремальным лучам конусов НМ+ и 8М+ соответственно. Рассмотрим два случая: комплексный и вещественный. В комплексном случае положим V = НМЙ, Р+ = НМ+, V® = НМ®, в вещественном — V = , Р+ = 8М+, V® = ВМ®.

Определим составное отображение Р = (О, Р) : V ^ К х О. В дальнейшем используются следующие предположения.

(A) Множество Е(Р®) выпукло.

(B) Для всякогор € Е-1(К)ПГ+ найдутся векторы г^ (г^ € Ск в комплексном случае и XI € К в вещественном), г = 1, 2,...,к, такие, что р = ^К=1 и г^г* € Е-1(К) при всех г = 1, 2,...,к.

В рассматриваемом специальном случае теорему 1 дополняет

Теорема 2. Пусть выполнены условие теоремы 1 и условие (А) или (В), тогда утверждение Т.1.1 теоремы 1 равносильно следующему утверждению:

Т.2.1. При всех г = 0, г € С в комплексном случае и г € К в вещественном случае, удовлетворяющих включению Е(гг*) € К,

О(гг*) > 0. (7)

Доказательство. Пусть выполнено условие (А). Известно, что Р+ = сопуР®, следовательно Е(Р+) = сопуЕ(Р®). Поскольку Е(Р®) выпукло, Е(Р+) = Е(Р®). Тогда [С(р) \ р €Р+, Е(р) €К} = {г €П\(т,ц) € Е(Р+), д €К} = [С(р) \ р €Р®, Е(р) € К}. Таким образом, неравенство (1) выполнено при всех р : Е(р) € К тогда и только тогда, когда (7) выполнено при всех г : Е(гг*) € К. Отсюда следует утверждение теоремы.

Пусть выполнено условие (В). Очевидно, из Т.1.1 следует Т.2.1. Докажем обратное. Пусть выполнено Т.2.1. Рассмотрим произвольное р € Е-1(К). В силу (В) найдутся векторы г^ такие, что р = ^К=1 Х1Х* и г^г* € Е-1 (К) при всех г = 1, 2,...,к. Тогда все г% = 0 удовлетворяют неравенству (7). Поскольку отображение О линейно, следует, что р удовлетворяют неравенству (1). Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть д, / € НМ^ ). Тогда следующие утверждения равносильны:

С.1.1. Выполнено неравенство г*дг > 0 при всех г = 0,г € СЙ(КЙ) таких, что г*/г = 0 (или г*/г > 0).

С.1.2. Существует т € К такое, что д — т/ > 0. В случае ограничения-неравенства найдется т > 0, для которого выполнено указанное неравенство.

В вещественном случае при ограничении-равенстве сформулированное утверждение известно как лемма Финслера [14]. При ограничении-неравенстве утверждение представляет собой теорему о неущербности 8-процедуры в случае строгого неравенства. Эта теорема доказана (см. [1]) при дополнительном предположении о существовании вектора г такого, что г */г > 0 (условие Слейтера). Это условие оказывается излишним.

Доказательство. Положим О(р) = ^(др), Е(р) = ^(/р). Тогда г*дг = О(гг*), г */г = Е(гг*). Произвольный линейный оператор Н, действующий из 2 = К в ^ = К, имеет вид Н(д) = тд, где т € К. Следовательно Н(Е(гг*)) = т(г*/г). Таким образом, утверждения С.1.1 и С.1.2 представляют собой иные формулировки утверждений Т.2.1 и Т.1.2 соответственно. Согласно [13] следует, что выполнено условие (В). В силу теоремы 2 получаем требуемое.

Следующий пример иллюстрирует приложение полученных результатов в случае нелинейных ограничений на формы.

Следствие 2. Пусть д1,д2,дз,/ € НМ^). Тогда следующее утверждения равносильны.

С.2.1. Выполнено неравенство

г*д3г > Л/(г*д1г)2 + (г*д2г)2 (8)

при всех г = 0,г € Ск(Кк) таких, что г*/г > 0.

С.2.2. Существует тригонометрический полином г^) = ^п_п в^1, где o^j € С, а^ = — п < ; < п, ( € [0, 2тг], такой, что при всех г ^ 0, г € Ск(Шк), t € [0, 2и]

выполнены неравенства

г(t) > 0, г*д3г — сов^)г*д1г — вт^)г*д2г > г^)г*/г. (9)

Доказательство. Неравенство (8) равносильно условию г* д3г — сов^)х*д1г — 8ш^)г*д2г > 0 при всех t € [0, 2п]. Выберем в качестве Я пространство непрерывных периодических функций на интервале [0, 2п]. Его можно отождествить с пространством непрерывных функций на единичной окружности. Определим Яп как линейную оболочку функций 1, соэ^), бш^),..., cos(nt), siп(nt). Поскольку непрерывная периодическая функция может быть равномерно на [0, 2п] приближена частичными суммами своего ряд Фурье (суммирование по Чезаро) [15], последовательность пространств Яп,п = 1,2,... является аппроксимирующей в Я. Определим операторы О(р) = ^(дзр)1 — со8(.Мд1р) — вт(.^г(д2р), Е(р) = ^(/р)1, р € НМд(8Мд), где 1 — функция тождественно равная единице на [0, 2п]. Применяя теоремы 1 и 2, получим неравенства (9).

4. Векторнозначная лемма Якубовича

Пусть Мт_к —пространство комплексных матриц размера т х к, Мд = Мдд. Рассмотрим линейный оператор Л : НМд ^ НМт, заданный уравнением

Л(р) = (М,Ы)(© ® р)(М,Ы)*, (10)

где М,Ы € Мт,к, © € НМ2.

Предположим, что det© < 0. Пусть Г = {Л € С \ (Л, 1)©(Л, 1)* = 0}. Множество Г есть прямая или окружность на комплексной плоскости. Обозначим через Г замыкание множества Г в расширенной комплексной плоскости. Определим множество Ь(М, Ы, ©), состоящее из векторов г € Ск, для которых существует Л € Г такое, что

(ЛЫ — М)г = 0, если Л = то, и Ыг = 0, если Л = то.

Пусть НМ+ —конус положительно полуопределенных матриц из НМд, Я — векторная решетка, упорядоченная конусом Я+. В пространстве £(НМд, Я) введем отношение порядка, индуцированное упорядочением НМд и Я. Для оператора О € £(НМд, Я) будем писать О > 0, если О(р) € при всех р € НМ+ \ {0}.

Пусть Л' : £(НМт,К) ^ £(НМк,К) —оператор сопряженный к Л. Отождествим линейный функционал на НМт с матрицей Н € НМт в соответствии с формулой Н(д) = ^(Нд) при всех ч € НМт. Тогда Л'(Н) = (М*,М*)(©Т ® Н)(М*,Ы*)*. По аналогии с сопряженным отображением Л' определим линейное отображение Лv : £(НМт, Я) ^ £(НМк, Я), которое каждому Н € £(НМт, Я) сопоставляет оператор ЛУ(Н) € £(НМк, Я), отображающий р € НМк в Н(л(р)).

Теорема 3. Пусть К — банахово пространство, в котором .замкнутый выпуклый нормальный конус определяет структуру векторной решетки, \т\ХЖ+ = оператор Л имеет вид (10), к > т, det © < 0. Тогда для любого О € £(НМк, К) равносильны следующее утверждения.

Т.3.1. Выполнено строгое частотное условие, т.е. при всех х € Ь(М, Ы, ©), х = 0

О(хх*) > 0. (11)

Т.3.2. Существует Н € £(НМт, К) такое, что

О> ЛУ(Н). (12)

Т.3.3. Неравенство (11) выполнено при всех х € Ск, х = 0, удовлетворяющих уравнению Л(хх*) = 0.

Т.3.4. Неравенство О(р) > 0 выполнено при всехр € НМ+, р = 0, удовлетворяющих уравнению Л(р) = 0.

Если в пространстве К существует аппроксимирующая последовательность подпространств, то указанные утверждения равносильны следующему:

Т.3.2а. Для любой аппроксимирующей последовательности подпространств К С К-2 С ... С К существуют натуральное п и оператор Н € £(НМт, Кп) такие, что выполнено (12).

Доказательство. Докажем цепочку импликаций 2 ^ 1 ^ 3 ^ 4 ^ 2. Доказано [16], что Ь(М,Ы, ©) = {х € Ск \ Л(хх*) = 0}. Поэтому Лу (Н)(хх*) = 0 при всех х € Ь(М, Ы, ©), Н € £(НМт, К). Из указанных соотношений следуют импликации 2 ^ 1 ^ 3. Там же доказано, что множество Л-1(0) удовлетворяет условию (В). Применяя теоремы 1 и 2, получим импликации 3 ^ 4 ^ 2. Равносильность утверждений Т.3.2 и Т.3.2а следует из соответствующего утверждения теоремы 1. Теорема доказана.

В случае К = М выполнено равенство Л^ = Л', и равносильность утверждений Т.3.1 и Т.3.2 следует из результата [8]. Для иллюстрации рассмотрим частный случай, непосредственно обобщающий лемму Якубовича [3]. Пусть N = (1т, 0), М =

(А, В), А € Мт, В € Мт,к—т, © = ^ 1 1 ^ . Здесь и далее 1т —единичная матрица размера т. Тогда Г есть мнимая ось, Л(р) = (А, В)р(1т, 0)* + (1т, 0)р(А,В)*, Лу(к) = ( НА+А*Н Т) . Пусть О(р) = Мдр), где д € НМк, W(А) = (Х1т — А)-1 В,

П(А) = ( W(ХХ) ) д ( W(ХХ) ) . Если матрица А не имеет собственных чисел на мни-

у ^к—т у у 1к—т )

мой оси, то утверждение Т.3.1 при всех ш € М равносильно условию П(1ш) > 0, которое при к = т +1 представляет собой частотное условие из [3].

Используя теорему 3, можно придать утверждению С.2.2 из следствия 2 удобный для проверки вид линейного матричного неравенства.

Следствие 3. Для того, чтобы при всех г € [0, 2п], х € Ск, х = 0, были выполнены неравенства (9), необходимо и достаточно чтобы существовали матрицы Н € НМп, Н € НМпк, удовлетворяющие линейным матричным неравенствам

* > (0 Н) — (Н 0)1 о—* - <> (0 Н) — (Н 0 ) Ч3>

где S ^

G

( 00

0-1

\ O-n

01 0

On \ 0

G HM

■n+1j

0 ... 0 /

~é(ffi - m)

e HM2fc. (14)

Доказательство. Полагая А = ви, ет = (1,А, . ..,Ап)Т, и = иет е Сп+1, и е С, Z = ет ® г е С(п+1)к, г е Ск, можно записать неравенства (9) следующим образом: и*Ш > 0, Z*(С-Т® /)Z > 0. Рассмотрим матрицы N = (1п, 0), М = (0,1п) е Мпп+1,

© = ^ 1 ) . В этом случае множество Г, определяемое матрицей ©, есть еди-

ничная окружность, а множества векторов и и Z указанного вида суть Ь(М, N, ©) и Ь(М ® 1к, N ® 1к, ©) соответственно. Применяя теорему 3, получим требуемое утверждение.

Следующее утверждение представляет собой вариант леммы Якубовича для случая, когда частотное неравенство нелинейно относительно входящих в него квадратичных форм.

Следствие 4. Пусть оператор Л имеет вид (10), к > т, det © < 0. Тогда для любых §1,92,93 е НМк равносильны следующие утверждения.

С.4.1. При всех г е Ь(М^, ©), 2 = 0,

z*g3z > \](z*g1z)2 + (z*g2z)2.

(15)

С.4.2. Существуют натуральное п, матрицы во е НМт, в1,...,вп е Мт, Н е НМпк такие, что выполнено линейное матричное неравенство

G — S >

0 0 0 H

H 0 0 0

(16)

где S

( Л'(зо) Л'(в1) ... Л'(вп)\ Л'З ) 0 ... 0

G HM(n+1)fc, G имеет вид (14).

\Л'(зП) 0 ... 0 /

Следствие 4 доказывается аналогично следствиям 2 и 3.

Summary

S. V. Gusev. The vector-valued versions of the S-procedure and Yakubovich lemma.

The sufficient conditions are obtained for the vector-valued version of the S-procedure to be lossless. The vector-valued S-procedure is used to prove the vector-valued version of the Yakubovich lemma.

Литература

1. Якубович В. А. Я-процедура в нелинейной теории регулирования ун-та. Сер. 1. 1971. №1. С. 62-77.

Вестн. Ленингр.

2. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. №2. С. 384-419.

3. Якубович В. А. Решение некоторых матричных неравенств встречающихся в теории автоматического регулирования // Докл. Акад. наук СССР. 1962. Т. 143. №6. С. 1304-1307.

4. Гантмахер Ф. Р., Якубович В. А. Абсолютная устойчивость нелинейных регулируемых систем // Труды II Всесоюзного съезда по теоретической и прикладной механике. М.: Наука, 1965.

5. Kalman R. E. Lyapunov Functions For The Problem Of Lur'e In Automatic Control // Proc. Nat. Acad. Sci. USA 1963. Vol. 49. P. 201-205.

6. Rantzer A. On the Kalman—Yakubovich—Popov lemma // Syst. and Contr. Letters. 1996. Vol. 28. P. 7-10.

7. Iwasaki T., Meinsma G., Fu M. Generalized S-procedure and finite frequency KYP lemma. Math. Prob. Eng. 2000. Vol. 6. P. 305-320.

8. Iwasaki T., Hara S. Generalized KYP Lemma: Unified Frequency Domain Inequalities With Design Applications // IEEE Trans. Automat. Control. 2005. Vol.50, N1. P. 41-59.

9. Gusev S. V. Extended Kalman—Yakubovich—Popov Lemma in a Hilbert Space and Fenchel Duality // Proc 44 IEEE Conf. on Decision and Control and ECC'05. Seville, 2005. P. 1565-1570.

10. Гусев С. В. Двойственность Фенхеля, S-процедура и лемма Якубовича—Калмана // Автоматика и телемеханика, 2006. №2. C. 135-153.

11. Кусраев А. Г., Кутателадзе С. С. Локальный выпуклый анализ // Итоги науки и техники. Сер. Современные проблемы математики. 1982. Т. 19. С. 155-206.

12. Функциональный анализ / Под общ. ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1972.

13. Фрадков А. Л. Теоремы двойственности в некоторых невыпуклых экстремальных задачах // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14. №2. С. 355-383.

14. Finsler P. Uber das Vorkommen definiter und semidefiniter Formen in Scharen quadratischer Formen // Comment Math. Helv. 1936/37. Vol.9. P. 188-192.

15. Харди Г. Х., Рогозинский В. В. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1959.

16. Гусев С. В. Структура полуопределенных решений однородного обобщенного уравнения Ляпунова и частотная теорема в гильбертовом пространстве // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 3. С. 16-23.

Статья поступила в редакцию 22 июня 2006 г.