Структура полуопределенных решений однородного обобщенного уравнения Ляпунова и частотная теорема в гильбертовом пространстве Текст научной статьи по специальности «Математика»

С. В. Гусев

СТРУКТУРА ПОЛУОПРЕДЕЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ ОДНОРОДНОГО ОБОБЩЕННОГО УРАВНЕНИЯ ЛЯПУНОВА И ЧАСТОТНАЯ ТЕОРЕМА В ГИЛЬБЕРТОВОМ ПРОСТРАНСТВЕ

1. Введение

Общеизвестна роль положительно полуопределенных решений неоднородного уравнения Ляпунова в исследовании устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений. В работе [1] показана связь свойств положительно полуопределенных решений однородного уравнения Ляпунова с частотной теоремой1. Как известно, эта теорема является важнейшим инструментом исследования устойчивости нелинейных систем [2].

В данной статье рассматривается обобщенное уравнение Ляпунова в пространстве вполне непрерывных операторов конечного порядка в гильбертовом пространстве, исследуется конус его положительно полуопределенных решений. Доказано, что этот конус есть замыкание выпуклой оболочки одномерных решений уравнения.

Это свойство позволяет дополнить формулировку частотной теоремы новыми предложениями. Рассматривается обобщенная формулировка теоремы, относящаяся к системам управления, не разрешенным относительно производной, и включающая частотное неравенство, заданное на произвольной прямой или окружности в комплексной плоскости. Доказательство опирается на формулировку частотной теоремы в гильбертовом пространстве, предложенную в [3].

Полученные результаты обобщают работу [1], где рассматривается конечномерный случай и стандартная формулировка частотной теоремы. Идея обобщения частотной теоремы на случай произвольной прямой или окружности высказана В. А. Якубовичем в редакционном примечании к [4]. В конечномерном случае эта идея реализована в [5].

2. Геометрия конуса положительно полуопределенных решений однородного обобщенного уравнения Ляпунова

Пусть Н, Но сепарабельные гильбертовы пространства. Обозначим В(Н, Но) —пространство линейных ограниченных операторов действующих из Н в Но, В(Н) = В(Н, Н), В(Н) С В(Н) —подпространство самосопряженных операторов, СР(Н) С В(Н) —пространство вполне непрерывных операторов порядка р (0 < р < ж) (в частности С1(Н) есть пространство ядерных операторов, Сч(Н) есть пространство операторов Гильберта—Шмидта), СР(Н) С СР(Н) —подпространство самосопряженных операторов, С+(Н) С СР(Н) —конус самосопряженных положительно пулуопределенных операторов. Пусть К, И, С суть множества натуральных, вещественных и комплексных чисел соответственно.

Рассмотрим уравнение

(Ы,Я)(в ® Б)(Ы,Я)* = 0, (1)

1 Частотная теорема известна также как лемма Якубовича—Калмана или как лемма Калмана— Якубовича—Попова.

© С.В.Гусев, 2005

заданы, Б є

В случае 0=1 і о І, Н = Но, Я = Ін — тождественный оператор в Н, уравнение

Поэтому естественно назвать (1) однородным обобщенным уравнением Ляпунова. Множество положительно полуопределенных решений (1) есть выпуклый конус. Геометрию этого конуса описывает

где одномерные операторы Бг = згз*, зг € Н = В(С, Н), г € N С К, являются решениями уравнения (1). Если матрица 0 имеет собственные числа разных знаков, то векторы зг € Н,г € N, суть решения уравнения

Доказательство. Пусть Т — квадратная матрица второго порядка (detТ = 0), а = ±1. Рассмотрим следующее преобразование переменных:

Из (6), (7), (8) следует, что утверждения теоремы для переменными 0,М, Я, р, р выполнены тогда и только тогда, когда они выполнены для преобразованных значений этих переменных 0, М, Я, р, р. Это позволяет ограничиться рассмотрением четырех специальных случаев.

1. При 0=0 утверждение теоремы тривиально.

(1) есть однородное уравнение Ляпунова

МБ + БМ* = 0.

Теорема 1. Каждое решение Б є С+(Н), 0 < р < ж, уравнения (1) имеет вид

(2)

(Рім — РіЯ)Зі — 0 при некоторых рі,рі є С, \рі\ + \рі \ = 0, удовлетворяющих уравнению

(3)

(р,р)0(р,р)* = °.

(4)

0 = аТ-10(Т-1)*, (М, Я) = (М, Я)(Т ® Ін), (р, р) = (р, р)Т.

(5)

Для любого Б є В(Н) имеют место равенства

(ММ, Я)(0 ® Б)(М, Я)* = а(М, Я)(0 ® Б)(М, Я)*,

(6)

(р,р)0(р,'р)* = а(р,р)0(р,р)*,

(7)

(М,Я)(Т ® Ін)^еЛ ТТ-1 ® Ін) = det Т(рМ - рЯ). (8)

2. Матрица 0 полуопределенная. Достаточно рассмотреть 0 = ^ ^ 0 ^. Тогда

уравнение (1) принимает вид ЫБЫ* = 0. Поскольку 5 — компактный оператор его можно представить в виде Б = ^згз*, зг €Н,зг = 0. Тогда (Ыз{)(Ыз{)* = 0,

и, следовательно, Ызг = 0,г € N. Откуда следует (2).

3. Матрица 0 знакоопределенная. Достаточно рассмотреть 0 = ^ ^ ^ ^. Уравне-

ние (1) принимает вид ЫБЫ* + НБК* = 0. Тогда ЫБЫ* = 0 и КБВ* = 0. Повторяя предыдущие рассуждения, получим утверждение теоремы.

4. Матрица 0 знаконеопределенная. В этом случае утверждение теоремы менее очевидно. Рассмотрим 0 ^ ^ ^. Уравнение (1) эквивалентно уравнению

ЫБЕ* — ЕБЫ* = 0, (9)

а уравнение (4) принимает вид

!ш(рр) = 0. (10)

Пусть Б — решение (9), тогда операторы Ы = ЫБ1/2, В = КБ1/2 удовлетворяют уравнению

Ы Й* = ЯШ *. (11)

Рассмотрим операторы Ш = Й*Ы, V = К*Я,Ш € СР(Н),У € С+(Н), которые в силу (11) удовлетворяют уравнению

ШУ* = УШ *. (12)

Пусть V = ^2,@ъ > 0^' С N — спектральное представление оператора V. Определим подпространство Н1 = со1шУ, равное замкнутой линейной оболочке векторов VI, г € N', и линейное многообразие V = \шУ = [шУ*. Тогда сЮ = Н1, [шШ С тД* = [шУ = V.

Рассмотрим неограниченный оператор Л = ^*=1 6-1г01г0* = У-1, который определен на V. На многообразии V определим оператор Е = ЛШ\-р. Тогда Ш\-р = УЕ. Представим Е в виде

Е = Л + Л(Ш - I)^. (13)

Оператор Л самосопряженный и имеет полную в Н1 систему собственных векторов VI, г € N'. Возмущение Л(Ш — I)\^ удовлетворяет условию Л-1Л(Ш — I)\т>Л-1 = (Ш — I)У € СР(Н\). В силу теоремы о спектре возмущенного неограниченного самосопряженного оператора [6] спектр Е состоит из собственных чисел конечной кратности и имеет полную в Н1 систему корневых векторов. Покажем, что корневые векторы Е являются его собственными векторами.

Для этого докажем сначала, что Е — симметрический оператор, т. е. для любых х,у €О

(Ех,у) = (х,Еу). (14)

Выберем произвольные х,у € V и определим Х1,у1 € Н1 так, что х = У * Х1,у = У * у1. Используя (12) и равенство Ш\-р = УЕ, получим цепочку равенств (Ех,у) = (ЕУ * х1,У*у1) = (УЕУ * х1,у1) = (Ш\хУ *х1у) = {ШУ *х1у) = (хиУШ*у1) = (хиШУ* у1) = (х1 ,Ш\ъ У * у1) = (х1 ,УЕУ*у1) = (У*х1 ,ЕУ*у1) = (х,Еу).

Пусть Нк корневое подпространство Е, соответствующее собственному числу Є к, АшіНк = . Тогда в Ни найдется ортонормальный базис {ек,1,..., еи,ик К в котором Е

имеет треугольный вид:

Еек,і = £,к,1,] ек,1 + . .. + £,к,]-1,] ек,]-1 + ек ек,і , 3 = — . ^к . (15)

Отсюда следуют равенства

{£>к,і,і , І < І,

ек, І 3т (16)

0, І > 3.

С другой стороны, в силу (14) (Евк,і,ек,г) = (ек,і,Евк,г) = {Евк,г,Єк,і). Следовательно

Ск,і,з = 0, при І ^ Єк = Єк Є її-

Таким образом, все корневые векторы Е в Нк являются его собственными векторами, соответствующими вещественному собственному числу Єк.

Пусть {еі}іе^1 С V — полная в Ні ортонормальная система собственных векторов Е, {еі}і£м1 —соответствующие собственные числа, N1 С — 1. Тогда при всех і Є N1 выполнены равенства Шег = Ш\-рег = УЕвг = егУвг, т. е.

Е*(Еег — егМ ег)=0. (17)

Покажем, что при всех і Є N1

М ег — ег Еег = 0. (18)

Выберем произвольное І Є N1. Поскольку ег Є ітУ* С ітЕ*, то в силу (11) Мег Є

ітМЕ* С ІтЕ. Таким образом, Мег — егЕег Є ІтЕ. Следовательно (17) влечет (18).

Пусть {е1}г^м2 —ортонормированный базис в подпространстве Н2 = кег У = Н 0 Н1, N2 С 2^ Тогда при всех і Є N2 Е*Еег = Уег = 0, и, следовательно,

Еег = 0. (19)

Пусть N = N1 и N2, тогда ег, і Є N ортонормированный базис в Н. Положим зг =

Я 1/2ег, Яг = згз*, і Є N. Тогда Б = ^геМ Яг.

Если і Є N1, то в силу (18) вектор зг удовлетворяет (3) с рг = 1,рг = ег. Если і Є N2,

то в силу (19) вектор зг удовлетворяет (3) с рг = 0,рг = 1. Поскольку в обоих случаях рг,рг —вещественные, они удовлетворяют (10).

Для завершения доказательства покажем, что если рг, рг удовлетворяют (10), а зг — (3), то Яг = згз* есть решение уравнения (9). В силу (3)

рМзг = рЕзг.

и, следовательно,

рМ зг(рЕзг)* = рЕзг (рМзг)*. (20)

В силу (10) рр = рр, поэтому из (21) следует

рр(МЯг Е* — ЕЯгМ *) = 0, (21)

откуда следует (9) при р = 0,р = 0. Пусть р = 0,р = 0, тогда в силу (3) Езг = 0 и (9) выполнено. Аналогично рассматривается случай р = 0,р = 0.

Теорема доказана.

3. Расширенная формулировка частотной теоремы в гильбертовом пространстве

Пусть X, и — сепарабельные гильбертовы пространства, 2 = X ®и, А, С € В(Х), В, О € В(и, X), 0 — самосопряженная матрица второго порядка, det 0 < 0. Определим оператор Ф, который каждому Б € С1(2) сопоставляет оператор Ф(Б) = (А, В, С, О)(0 & Б)(А, В, С, О)*. При этом сопряженный оператор Ф' для каждого

Н € В(Н) определяется равенством Ф'(Н) = ^ А (0Т & Н) ^ А В^ € В(2).

Рассмотрим функцию ф : С2 ^ И, заданную соотношением ф(р, р) = (р, р)0(р, р)*, где р,р € С. Кривая Г = {Л € С \ ф(Л, 1) = 0} — это окружность или прямая на комплексной плоскости. Варьируя 0, можно задать любую прямую или окружность.

Теорема 2. Предположим, что существуют операторы ,1± € В(X) (Бр^ ^ 0), К± € В(X, и) такие, что из неравенства ^ф(р, р) > 0 следует, что оператор р(С.1± + ОК±) — р(А.1± + ВК±) обратим. Тогда для любого О € В(2) равносильны следующие утверждения:

1) существуют Н € В(X), Н € В(X, и) удовлетворяющие обобщенному уравнению Лурье

Ф'(Н) — О = —Н*Н; (22)

2) существует Н € В(X), удовлетворяющий обобщенному неравенству Лурье

Ф'(Н) — О < 0; (23)

3) неравенство

г*Ог > 0 (24)

выполнено при всех г €2, для которых найдется Л € Г такое, что выполнено уравнение

Л(С, О)г — (А, В)г = 0; (25)

4) неравенство (24) выполнено при всех г €2, для которых найдутся р, р € С такие, что ф(р, р) = 0 и

р(С, О)г — р(А, В)г = 0; (26)

5) неравенство (24) выполнено при всех г €2, удовлетворяющих уравнению

Ф(гг*)=0; (27)

6) неравенство

^(ОБ) > 0 (28)

выполнено при всех Б € С+(2), удовлетворяющих уравнению

Ф(Б) = 0. (29)

Замечание. В специальном случае С = IX, О = 0 условие теоремы можно сформулировать следующим образом: существуют операторы К± € В(X, и) такие, что Бр(А + ВК±) С , где = {Л € С\± ф(Л, 1) > 0} — области, на которые Г делит комплексную плоскость.

Доказательство. Равносильность утверждений 4, 5 и 6 очевидно следует из теоремы 1. Докажем равносильность утверждений 3 и 4. Очевидно 4 влечет 3. Рассмотрим обратную импликацию. Пусть вектор г удовлетворяет (26) при некоторых

Положим хо =

р, р : ф(л, р) = 0. Если р = 0, то х удовлетворяет (25) с Л = р/р Є Г и, следовательно, х удовлетворяет (24).

Пусть р = 0, тогда 0ід = 0, поскольку ф(р, 0) =0 и р = 0. Следовательно Г есть прямая.

I- 0 ) 1

т х, тогда (СІ- + ПК-,П)хо = 0, причем в силу К ±и )

условия теоремы оператор СІ- + ПК- имеет обратный. Пусть хо = хо ® ио, хо Є X, ио Є и, тогда хо = — (СІ- + ПК-)-1 Пио. По условию теоремы оператор Л(СІ- + ПК-) — (АІ- + ВК-) обратим при всех Л Є Г. Рассмотрим вектор х(Л) = — [Л(СІ- + ПК-) — (АЗ- + ВК-)]-1(ЛП — В)ио, Л Є Г. Легко видеть, что х(Л)

ПК-)-1Пио = хо.

I- 0 \ / х(Л)

К- 1и ) \ ио

ПК-) — (АІ- + ВК-)]х(Л) + (ЛП — В)ио = 0. Следовательно, в силу 3 х(Л)*Ох(Л) >

З- 0 хо

К- Іи ) \ ио

удовлетворяет неравенству (24). Таким образом справедливо утверждение 4.

Пусть П квадратная невырожденная матрица второго порядка, Т Є В (Я )(БрТ ^ 0). Рассмотрим следующее преобразование Т входящих в формулировку теоремы пере-

Пусть х(Л)

^А^то (СІ +

тогда Л(С, П)х(Л) — (А, В)х(Л) = [Л(СІ- +

0 при всех Л Є Г. Поскольку Иша^то х(Л) =

= х, то вектор х

менных:

От = П-10(П-1)*, фт (л,р) = (л,р)0г (л,р)*, (Ат,Вт,Ст,Пт) = (А,В,С,П)(П ® І2)(ІС* ® Т-1), Фт(Я) = (Ат, Вт, Ст, Пт)(От <8> Я)(Ат, Вт, Ст, Пт)* Ст = (Т-1)* ОТ-1,

(30)

(рт ,рт) = (л,р)П, Ят = ТБТ*, хт = Тх,

±

Нт = НТ-1, нт = н.

-Г )= т(

К± '

К ±

Тогда имеют место равенства

Фт (н) =

Ат Вт СП

фт (лт ,рт) = ф(л,р), Фт (Ят) = Ф(Я),

Ат Вт

(&т ® ни Ст Пт

іт(От Ят) = іт(ОЯ),

= (Т-1)*Ф'(Н )Т

1

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

рт (Ст + БК±) — рт (Ат + ВК±) =

= det(П)(р(CJ± + БК±) — р(А1± — ВК±)). (36)

Отсюда следует, что каждое из утверждений 1, 2, 4, 5, 6 при замене переменных (30) переходит в равносильное утверждение. В силу доказанной ранее эквивалентности 3 и

4, то же верно и для утверждения 3 при замене Г на Гт = {Л € С\фт(Л, 1) = 0.

Выберем П1 так, что П- 10(П- 1)* = ^ ° 0 ^ . Рассмотрим преобразование Т1,

определяемое операторами П1 и Т1 = (З-)-1 1 0 . Преобразованные пере-

V —К (Ь ) Іи )

менные будем отмечать индексом 1. Тогда 01 ^ ^ д ^ ,ф1(р,р) = 2Керр, Т-1 =

^ К- І ^ , І- = Іх,К- = 0. Положим ро = 1,ро = 0. Поскольку ф1(ро,ро) = 0, в силу предположения теоремы и равенства (36) операторы

С1 = ліа+ПК-)—рЧ(А11-+В1К-),

(37)

С1І+ + П1К+ = л°(С1+ П1К+) — р°(А 11+ + В1К+)

являются обратимыми.

Рассмотрим преобразование Т, определяемое операторами П2 = І с2 и Т2 = С1П1

0 I ! . Переменные полученные последовательным применением преобразований Т\, Т2 будем отмечать индексом 2. Тогда .1— = С\,К- = 0, J+ = С\^ +

]Э\К1+,К2+ = К+, и в силу (37) операторы J± обратимы. Поскольку Т—1 =

С} С\ ^1 | , имеем С2 = 1х, &2 = 0. Поскольку ©2 = ©1 = ( 0 1 ) , имеем

0 ±и ] V 1 0 у

ж.,тт, ( НА2 + А2Н НВ2\ ^

Ф2(Н) =1 В*Н 0 ) . Таким образом, после преобразования утверждения

1, 2 и 3 представляют собой утверждения частотной теоремы для гильбертова пространства, доказанной в [3]. Покажем, что условия этой теоремы выполнены, т. е. найдутся операторы К± € В(Х,и) такие, что при ^И,еЛ > 0 операторы Л1х — (А2 + В2К±) являются обратимыми. В силу (??) и условия теоремы операторы р21х— р2(А2-1± + ВК±) обратимы при ^ф2(р2,р2) = ^с2Ке(р2р2) > 0. Поскольку операторы ,1± обратимы, отсюда следует требуемое условие при р2 = Л, р2 = 1, К± = К± ^±)-1.

Теорема доказана.

Summary

S. V. Gusev. The structure of semidefinite solutions of homogeneous generalized Lyapunov equation and frequency theorem in a Hilbert space.

A generalized Lyapunov equation in a space of compact finite order operators in a Hilbert space is considered. It is proved that the cone of positive semi-definite solutions of the equation is a closure of the convex hull of one-dimensional solutions. The result is used to complete with a new statements the Kalman—Yakubovich—Popov lemma in a Hilbert space. An extended version of Kalman—Yakubovich—Popov lemma is proposed that can be applied to descriptor systems and includes the frequency inequality defined on arbitrary line or circle on the complex plane.

Литература

1. Rantzer A. On the Kalman—Yakubovich—Popov lemma // Syst. and Contr. Letters. 1996. Vol. 28. P. 7-10.

2. Якубович В. А. Частотная теорема в теории управления // Сиб. мат. журн. 1973. Т. 14, №2. С. 384-420.

3. Якубович В. А. Частотная теорема для случая, когда пространства состояний и управлений— гильбертовы, и ее применение в некоторых задачах синтеза оптимального управления. II // Сиб. мат. журн. 1975. Т. 16, №5. С. 1081-1102.

4. Попов В. М. Гиперустойчивость автоматических систем. М., 1970. 456 с.

5. Чурилов А. Н. О разрешимости некоторых матричных неравенств // Вестн. Ленингр. ун-та. 1980. №7. С. 51-55.

6. Гохберг И. Ц., Крейн М. Г. Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов. М., 1965. 448с.

Статья поступила в редакцию 16 января 2004 г.