Разрешимость неоднородной задачи для уравнений магнитной электрогазодинамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

РАЗРЕШИМОСТЬ НЕОДНОРОДНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ МАГНИТНОЙ ЭЛЕКТРОГАЗОДИНАМИКИ Искендерова Д.А.1, Токторбаев А.М.2 Email: [email protected]

'Искендерова Джамиля Абыкаевна - доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой,

кафедра естественнонаучных дисциплин, Международная академия управления, права, финансов и бизнеса, г. Бишкек; 2Токторбаев Айбек Мамадалиевич — преподаватель, кафедра программирования, Ошский государственный университет, г. Ош, Кыргызская Республика

Аннотация: исследуется система дифференциальных уравнений, описывающая одномерное нестационарное течение вязкого теплопроводного газа с учетом магнитного и электрического полей. Изучается начально-краевая задача с неоднородными граничными значениями для температуры. Доказательство теоремы существования единственного обобщенного решения проводится методом априорных оценок. Наша цель заключается в нахождении глобальных априорных оценок, положительные постоянные в которых зависят только от данных задачи и величины T интервала времени, но не зависят от промежутка существования локального решения. Эти оценки позволяют продолжить локальное решение на весь промежуток времени. Единственность решения может быть получена составлением однородного уравнения для разности двух возможных решений.

Ключевые слова: скорость, плотность, температура, магнитное поле, электрическое поле, обобщенное решение, априорные оценки.

SOLVABILITY OF INHOMOGENEOUS PROBLEM FOR EQUATIONS OF MAGNETIC ELECTROGAZODINAMICS Iskenderova D.A.1, Toktorbaev A.M.2.

'Iskenderova Dzhamilia Abykaevna - doctor of Sciences, assistant professor, head, NATURAL-SCIENCE DISCIPLINES DEPARTMENT, INTERNATIONAL ACADEMY OF MANAGEMENT, RIGHT, FINANCES AND BUSINESS, BISHKEK; 2Toktorbaev Aibek Mamadalievich — teacher, PROGRAMMING DEPARTMENT, OSHSTATE UNIVERSITY, OSH, REPUBLIC OFKYRGYZSTAN

Abstract: the system of differential equations describing one-dimensional nonstationary flow of a viscous heat-conducting gas in the magnetic and electric fields is considered. An initial-boundary value problem with inhomogeneous boundary values for temperature is study. The proof of the theorem existence of a unique generalized solution is based on the method of a priori estimates. Our aim is to find global a priori bounds, in which the positive constants depend only on the data and the length of the time interval T, but not on the interval of existence of the local solution. These estimates permit us to extend the local solution to the whole time interval. The uniqueness of the solution can be derived by constructing a homogeneous equation for the difference between the two possible solutions. Keywords: speed, density, temperature, magnetic field, electric field, generalized solution, apriori estimates.

УДК 517.957 DOI: 10.20861/2304-2338-2017-90-002

Система уравнений магнитной электрогазодинамики в массовых лагранжевых координатах имеет вид:

vt - Ux = 0 v=-'

J_

р

иг = ох -—еИИх + вЕЕх, р = г—, <у = —их -р,

х

V V

— =[ 1 + и^ + ——Ии1 + Ь^Е2Е' (1)

г i х

v )х v

(уИ ) =| ^И

х V

Ег = -ЬЕЕх ■

Здесь и, р, V, —, р, И, Е - соответственно скорость, плотность, удельный объем, температура, давление, напряженность магнитного поля, напряженность электрического поля. Коэффициенты —, ¿7, 2,—,—И, Ь, Г - положительные постоянные. Рассмотрим задачу в области ^ = { (х, г); 0 < х < 1, 0 < г < Т }. В начальный момент ? = 0 все характеристики среды известны:

(и, V, —, Е, И)г=0 = (ио (х), Vo (х), —о (х), Ео (х), Ио (х)), (2)

причем 0 < Ш0 <^0 (х),—0 (х))< М0 < да. Искомые функции удовлетворяют граничным условиям:

^ = И| = И I = 0, Е = Е\ = 0 (3)

1х=0 1х=1 1х=0 I х=1 1х=0 х1х=0

— 1х=0 =^0 (г), — 1х=1 = *1(0,

X,(г)еЖ1(0,Т), х,(г)>Ш0 >0, х,(0) = —0(), / = 0,1.

ТЕОРЕМА. Пусть начальные данные (2) обладают следующими свойствами гладкости:

( и0, —0,И0, Е0 )^(О), Е0(х) > 0.

Тогда в области ^ = О X (0, Т) с любым конечным Т существует единственное

обобщенное решение задачи (1) - (3), которое удовлетворяет уравнениям и начальным данным почти всюду, причем

(у(г), Е(г))е Ьда (0, Т;^(О)), (V,, и,, —, Иг, Е( )е ¿2(6),

(и(г), —(г), И (г)) е (0, Т; ^ (О)) п ¿2 (0, Т; Г22 (О)), Q = 0х(0, Т), О = (0,1),

v(x, г), —(х, г) - строго положительные, ограниченные функции. Доказательство теоремы проводится методом априорных оценок. Выводятся глобальные априорные оценки, положительные постоянные С^, в которых зависят только от данных

задачи и величины Т интервала времени, но не зависят от промежутка существования локального решения. Локальная теорема существования доказывается аналогично [1, с.68]. На основе полученных глобальных априорных оценок локальное решение продолжается на весь промежуток времени [0, Т] 0 < Т < да .

Выведем априорные оценки. Примем все положительные постоянные в системе (1), для простоты, равными единице. Предположим, что существует решение задачи (1) - (3).

Из уравнений системы (1) и ограничений на данные задачи видно, что функции неотрицательны. Из [5, с.129] имеем, что

Е(х,г)>0, Ех(х,г)>0, |е2(х,^<N, V(x,г)е£. (4)

0

Введем вспомогательную функцию

, как решение краевой задачи [1, с. 88].

х

д в

д (1 д в

(х, X) е 0 =(0,1)х(0,Г)

(5)

д X д х ^ V д х в\х=0 =^0 (х), в\ х=1 =^1(х)' в1I,=0 =в0(х)-

По принципу максимума имеют место оценки:

0 <т<в(х)<М <да, х еО.

Вместо в(х,Х ) введем новую функцию

в(х,г )=ф(х,г )в1 (х, х).

Преобразуем систему уравнений (1) с учетом (5), (6).

(6)

V,

0,

1

v= —, р

вФ

V

- ННх + '

вт = | ] Фх Их + 1 «2 + 1Н2 +

V х V х V х V

(vH )х =| ^

Н

V

Е = ЕЕх .

Граничные условия (3) перепишутся следующим образом:

И

х1х=0

(х \

(7)

Н\ = Н = 0,

1х=0 Iх=1

=1 = *1(х), ф| х=0 = Ф1 х=1 = 1

Ех=0 = Е

х х=0

х=0 = 0.

(8)

Из первого уравнения системы (7) вытекает X

v(х, х } х=0 = \Х0 + Vo (0)= А(х),

v(х, х) х=1 (г)^Г + Vo (1) = А2 (X)

0<т1 <(А0(х), А (х))<М1 <о>, Xе[0,Г]

причем 0 < Априорная оценка

|| 1 и2 + ^Н2 + ^Е2 + в1(ф- 1пф-1) +

0 I 2 2 2 ]

X 1 ( и 2

00

^ + + вф! + ЕхЕ 2У ^

(9)

vф vф vф

2

Ф

Ы2, VX е[0,Г ]

(10)

У

находится аналогично [1, с. 89]. В виду некоторых отличий приведем ее вывод. Умножим третье уравнение системы (7) на I 1__1 |. После некоторых преобразований

ФУ

3 дв д

—(в1(Ф-^Ф-оь-в- (ф-]пФ-1)=д

Ш д X д х

д (Viв (-ф|2 +

Ф У V д х

Vф

д х

и

х

«X =

V

х

х

V

х

х

0

+д[ I ^ 1п^-1)1-(^-1 ^1-| 1 - - —+

д х[ V дх 1 ^ - *•

+ ■

1

(

V

1 -

1 V

д и

' + д х I V

или, с учетом (5):

|(—1 (V- 1п^-1))=д

1-

V

д И

д х

д х V V д х 2 ( 1

1 1 —1 V д и V | V д х

+

1-

V.

vE ■

д Е д х

((

VV

1 -1 V.

+ д( 1—1х (V- 1п V-l))-вlV их +—1 их +

д х V V у V V

—1

— Vх V

—

—1 2 -т Vx2 + vv

(11)

?2

+1 их2 - и2 +1 и2х - -!-И2х + vE2е - —Е

V vv V vv

X X

V

Второе уравнение системы (7) умножим на и , четвертое на И , пятое на Е V. Сложим их и проинтегрируем по ^ = (0,1) x (0, Т).

11 1 и 2 + 1уИ 2 + 1уЕ2 +— (V- 1п V-1) +

0 г 1

+ 11

00

2 2

и1 Их —У2Х ЕхЕ 2у + + 2 + V V УV УV V

dxdz =

(12)

= |{ 1 и2 + IуоИ 2 + Iуо Е02+ 1 UxdX'

Второй интеграл в правой части (12) оценим по неравенству Коши

Л „. 2

1 Д 1 1/2 1 [

— uxdX < |^dx

Л

1/2

dx

v 0

V V

у v 0

1 и2

цу

<е{ —^dx + С^}^dx, 0 <е< 1.

)VV

и подставим в (12). С учетом условий на начальные данные и (5), имеем

|| 1 и2 + ^И2 + IvE2 +— (V- 1п V -1) +

о

2

2

+

г 1

1I

00

+ И1 + —1^2 + ЕхЕ Хv

VV VV VV

2

V

( 1вV ^ dxdт< С1 1 + [—1— dx

I о v

(13)

Второе уравнение системы (1)

д и д ( 1

— 1

1

-и„----И 2 +-Е'

д г д х V V х V 2 2 проинтегрируем по х от 0 до произвольной точки х .

дх д г

> х 1 и(§, г № = -г 0 у

= 1 их- — -1И 2 +1Е2 V V 2 2

Затем проинтегрируем по г , используя первое уравнение системы (1).

|(и(#, г)-и0 (#)у# = ^ -i (— +1И 2 ](х,т)^^т +1 |е 2 (х,т)Лт

о ^(х) о

Пропотенцируем полученное равенство

1

V

V

V

0

0

V

1 х ( в 1 ^ 1 х х 1 —ехр П—+1Н |Ут = —ехр|(и0(£)-и(^,х))/£ • ехр|1Е (х,т)Ут-

0

^ 0

Обозначая

х X 1

В(х, X) = ехр |(«0 (£) - и(£, X' 7(х, X) = ехр |1Е2 (х, т)Ут

(14)

имеем

1 ехр Гг-+1Н2 1ут = — В(х, X)• 7(х,х). (15) v 0 Vv 2 У ^

Умножим (15) на | в + 1 vH2 I и проинтегрируем его по X от 0 до X . 2

0

ехр Г +1Н 2 = 1 + — Г (в +1 у# 2 ]в(х, т) • 7(х, т)Т ■

(16)

Прологарифмируем (16).

X Г п 1 Л IX

+

V ^0 *

Л

(6).

Г +1Н2 /т = !п 1 + — Г (в + 21 В(х, т) • 7 (х,т)т

Оценим правую часть, используя неравенство Коши, условия на начальные данные и (4),

Г +1Н2 ]ут < 1п 1 + С2 ехр шах| |и(^)| • | (ф +1 vH 2 |(х,т)У

.V + 2 Известно, что [1,с.90]

(17)

фск <|(1 + в1 (ф- 1п ф - 1))Ух. (18)

л

1 1

<|(1 + <

0 0 Используя неравенство

1п(1 + аеЬ)< а + Ь, Va > 0, Ь > 0,

из (17), после интегрирования по О, получим неравенство

X 1 в Ф ( X 1( 1 ^

Ц-1фУхУт< С3 1 + шах||и(7)| + Л| в1(ф- 1пф-1)+ —vH2 \Ух4т 00 V V 0<^<х 0 0' °

Подставляя его в (13) и применяя лемму Гронуолла, находим необходимую оценку (10). Из (6), с учетом (10), (18), имеем оценку 1

в(х,X)Ух < Ы3, Vх е[0,Г]. (19) 0

Равенства (15) и (16) дают вспомогательное соотношение между искомыми функциями

и 1 Л I

0(л) + _||-+-V,2 1д(г т)-7(г т)/т ■ (20)

Из (4), (10), (14) вытекают оценки

0 < С-1 < В(х,х)< С4, 0 < С5-1 <7(х,х)< С5, V(х,X)е 0. (21)

Проинтегрируем (20) по О с учетом (21) и условий на начальные данные ( х 1/ л Л

v(х,X) = В_1 (х, X) • 7 _1 (х, X v0 (х) +1 |в + ^Н 2 ^ В(х, т) • 7 (х, т)У

1 ( х 1( 1 Л

|v(х, X< С6 1 + Я— + 1 vH2 iУт А v 00^ 2 '

у 10

0

0

Используя (10), (19), имеем 1

I v(x г)dx < Ы4, уг е [о, Т]. (22) о

Соотношение (20) с учетом (21) и условий на начальные данные дает ограниченность снизу удельного объема.

^х, г )> N5, У(х, г )е 0.

Аналогично [4, с.32] выводятся оценки Т1

||2 . г 1^3

0<t <т

шах|| Ех (г )|2 + II еЗ dxdт < Ы6, м|(г) < Ы7, У г е [0, Т].

и проинтегрируем по О .

00

Умножим третье уравнение системы (7) на

вlVx2 + + ExEХУ1

( 1 О

vV/2 (у

dx = 2-dJ61 (1/2 -ln(1/2 -1) dx +

+

2y(3/2 ( ( (1/2 y o

H,2 EXE 2v j' 1 9(1/2

0

u.

+ —- + -

V( V( v(

+

dx - J— uXdx + J v

v

uxdx

0 * 0

Оценим интегралы в правой части по неравенствам Коши и Юнга с учетом полученных выше оценок. После некоторых преобразований выводим оценку 2

t1 9(1 + + + ЕхЕ\Л

JJ

00

3/2 1,

V( V(

1/2

V(

1/2

1/2

Из соотношения

11

тах—1/2(г) < N1/2 +11

х 2„

9

912

dx < N\'2 +1 2

у

1

dxdr< N8' Vt e [0, T] ■

л r*2 у/2л V/2

(23)

4

92

v9

dx

J9 dx

v 0 у

maxv

x

1/2

(t)

и (19) вытекает оценка

тах—(г) < С7 ¿(г) maxv(г) + С8, где ¿(г) = Г

х х о

Далее,

1 9x2 ,

x dx ■

v9

2

(24)

Л Н2

V/V1

У/2

maxН2(t)<2j|HHx| dx<2 J-^dx JvH2dx max(1/4(t)<

V 0v(

лv2/1 j1/2(

< 2 J H^dx J vH 2dx С +

v0v( j v0

Л Hx2

У V 0 У Л л 2 у/2 Л

91(x

. 3/2

v 0v(

NV2 л

dx

у

J—dx

091 .

J max H 2 (t) dr < N9, v t e[0,T]-

Используя (5), (10), (22), (23) и неравенство Коши, находим г

г

0 х

Представление (20) и оценки (21), (24) дают неравенство г

г 2

(25)

maxvl

(t )< С

10

0

1 + J| A(t) + maxH2(t)Jmaxv(r)dr

Применяя к нему лемму Гронуолла, с учетом оценок (10), (25), выводим ограниченность удельного объема сверху

x

v(x, t )< N10, V(x, t )e Q.

Рассуждая так же, как в [3, 4], можно вывести остальные априорные оценки для искомых функций, необходимые для доказательства существования решения. Единственность решения доказывается составлением однородного уравнения для разности двух возможных решений. Теорема доказана.

Список литературы / References

1. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 319 с.

2. Ватажин А.Б. и др. Электрогазодинамические течения. М.: Наука, 1983. 344 с.

3. Смагулов Ш.С., Искендерова Д.А. Математические вопросы модели магнитной газовой динамики. Алматы: Гылым, 1997. 166 с.

4. Искендерова Д.А., Токторбаев А.М. Краевая задача для уравнений магнитной газовой динамики с учетом электрического поля // Инновации в науке, 2016. № 2 (51). С. 22-35.

5. Файзуллина Н.Т. Корректность краевой задачи электрогазодинамики для модели вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды, 1990. Вып. 97. C. 124-145.

КРАТНОЕ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО РЕШЕНИЮ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРОМ В КРАЕВЫХ УСЛОВИЯХ Намазова Н.М. Email: [email protected]

Намазова Наиля Магаммед - преподаватель, кафедра математического анализа, механико-математический факультет, Нахчыванский государственный университет, г. Баку, Азербайджанская Республика

Аннотация: в работе для двучленного уравнения 4-го порядка со спектральным параметром в краевых условиях найден явный вид характеристического определителя, корнями которого являются собственные значения рассматриваемой краевой задачи, разбивая плоскость комплексного параметра на секторы, получена асимптотика функции Грина вне малой окрестности собственных значений и доказано что она убывает с определённом ростом по спектральному параметру. Получено 4-кратное разложение гладких функций по собственным и присоединенным функциям краевой задачи.

Ключевые слова: волновое уравнение, смешанные задачи, вычеты, собственные значения, функция Грина.

THE MULTIPLE EXPANSION IN SOLVING BOUNDARY VALUE PROBLEM WITH A PARAMETER IN THE BOUNDARY CONDITIONS Namazova N.M.

Namazova Naila Maqammed - assistant of professor, DEPARTMENT OF MATHEMATICAL ANALYSIS, MECHANICS AND MATHEMATICS FACULTY, NAKHCHIVAN STATE UNIVERSITY, BAKU, REPUBLIC OF AZERBAIJAN

Abstract: in this work, we obtained that for the two-term equation of 4th order with spectral parameter in the boundary conditions found explicit form of the characteristic determinant, whose roots are the eigenvalues of the boundary value problem, breaking the plane of the complex parameter in the sectors obtained asymptotic Grin function outside a small neighborhood of eigenvalues. Generally proved that, it decreases to a certain increase in the spectral parameter. In the conclusion, we obtained that 4-fold expansion of the smooth functions on its own and associatedfunctions of the boundary value problem. Keywords: wave equation, mixed problems, deductions, eigenvalues, the Grin function.

УДК 517.43

Рассмотрим следующую спектральную задачу на отрезке [0, l]:

У(x )-ХУ(х) = h(x) (1)