Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.946

A.A. Папин; И.Г. Аносова

Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения

В работе доказана глобальная разрешимость модельной задачи непротекания двух взаимопроникающих жидкостей. Установлена сходимость при неограниченном росте времени решения нестационарной задачи к решению стационарной задачи.

Постановка задачи. В работе изучается следующая квазилинейная система дифференциальных уравнений составного типа.

ds ■ д

+ _(*„,.) = О,

¿=1,2,

(1)

PlSl

dvi

Vi

dvi дх

dpi

dvi

д_

дх v 1 1 дх

= -«i-^ + <Pi + Pisig,

др2 , n

--h = О,

дх

Si + S2 = l, <PI = K(v2 - Vi), <P2 = ~<Pl, Pl -P2 = Pc(si).

(2)

(3)

(4)

Здесь у, - скорость соответствующей фазы; - насыщенность (вг- = р1-/ р^] р% - приведенная плотность; р? - истинная плотность; -давление; рс - капиллярное давление; р,{ - коэффициент динамической вязкости фазы; <рх = К (у2 — ), <р2 = —<Р1", К - коэффициент взаимодействия фаз; д - ускорение силы тяжести.

Общая модель (р?2 ф 0,р2 ф 0) рассматривалась в работах [1; 2] - разрешимость задачи непротекания "в малом" по времени и по начальным данным, [3] - локальная разрешимость задачи протекания.

Система (1)-(4) дополняется начальными и граничными условиями

Щ U=0= о, Vi 1^=1= 0,

si |t=o= sî(«), |t=0= v°(x).

(5)

Для функции предполагается выполне-

ние следующих условий:

Рс(«1)>0, р'с = — > о, «1 е (0,1). «1

Для коэффициента межфазного взаимодействия принимается зависимость К = А'0(в)в~'3_1 (1 - в)"/3, /3 Е (-оо,+оо) и предполагается, что 0 < < А'0(в) < к о < оо при

«е [0,1].

Глобальная разрешимость. Приведем ряд вспомогательных утверждений.

Лемма 1. Для любого I £ [0, Т] выполняются соотношения ([4]):

0 < .%{х,г) < 1, же [0,1];

1 1

/«(..О* = /•?(«)*

о о

i = 1,2

(6)

и существует ораниченная измеримая функция a(t) такая, что

0<a(i)<l, Si(a(t),t) = s°(a(t)). (7)

Лемма 2. Для любого t Е [0,Т] справедливо неравенство (s = si)

j plsvldx + 2 j i j Pc(Ç)dÇ dx+

+2

[pi sv\x

+ -—-—K{vi — V2)2]dxdr <

< / p°iS0(v0iYdx + 2(p0i / s°(x)dx)x

(\g(x,0)\ + \g(x,t)\)dx-

\gT(x,t)\dxdr) = Ni(t).

(8)

Доказательство. Уравнение (2) с учетом (4) и (3) представим в виде

Pis

dvi

Vi

dvi dx

d f dvi dx v 1 dx

dpa , <PI , 0 ,0,

= ->-te+—8+Pi89- (9)

Уравнение (9) умножим на vi(x,t). С учетом соотношения

1svi{vit + VlVlx) = (sv\)t + (su^

получим: 1

2 (P°lsvl)t + Pis (V1 xf + YZ~SK К - v2) =

= -8У1(рс)х + у^вь^х - -p01svfj + р^Угд.

После интегрирования по £¿1 = [0,1] х [0,Т] имеем:

1 1

у р^ёх- I р°180{у°1)Чх +

1 t

+2 / / ( ßi sv\x + 1 К (vi - у 2) ) dxdr+

о о

1 / s

+2 I Ц й* =

1 4

2 j j рЧвУхдйхйт = 2/0(^). о о

Уравнение неразрывности представим в виде

X

д [

вУ 1 = -— /

о

/0(*) = I д(х, 0) I

-1 д{х,1) р1 I )

Тогда

о \ о

1 t

+ 11 9г{х,т) [р° I (1х(1т.

0 0 \ о )

С учетом (6) получим

1 1 Ш<(р°1 I 8°(х)с1х)(1(\д(х,0)\ + \д(х^)\)с1х-о о

í 1

+ J ! |дт{х,т)\(1х(1т). о о

Тем самым, приходим к (8). Лемма доказана.

Лемма 3. Для любого I £ [0,Т] справедливо неравенство

Pi

>(ж, i)

(sx(x,t)) +ipß(s(x,t))

1 t 1

+4II(sx)2p'cdxdT < I 0 0 0

+2i£l)ls°(x)(v°(x)f) + Wß(s°(x))]dx+

Р1

í 1

+М I I 8{у1х)2йхйт+ 0 0

4 1

+ 12/ 11[\д(х,т)\ + \дх(х,т)\]с1хс1т=М2(^.

о о

(10)

Доказательство. В уравнении (9) производную у\х заменим из уравнения (1), (г = 1). Умножим преобразованное уравнение (9) на вх/в и с учетом соотношений

IX / \аъх

2 {Sit + (viSix)x)

(Vit + У{У{х) Six = (yiSix)t-{viSit)x-Si{yix)2, г = 1 получим

' Pl (Sj;)2

2 s

■ plV1i

S(1 -s)

K(v2 - +

+ (рЦвУ^)* + У18х(р°1У1 + Р1 — П = V в / х

= Р°18(У1х)2 + др°18х - 8хрсх.

Последнее равенство проинтегрируем по (З^ Учитывая оценку

^ Р1 2 , (Рр2 2

4в1 рг

получим неравенство

1 1

4 .} s х ~ J 4s° v х' 2цх

о о

s у-, \ах-

1 t 1

1) f , „off „„,2

ш2

PI

sv1dx + p° J J svlxdxdr+ 0 00

4141 (1) к-1 (!) +Р°! J J sxgdxdr — J J .slpcdxdT + h(t), (И) ФР " 2/3(1 + ¿(1 - s)? ~ °P '

00 °° то, выбрав постоянную C0 в (13) из условия

в котором Со = с(о) + C(1)J получим

í 1

ш=-Цф7)к{п - * ЩТщ +uhw) > 15

Преобразуем в (11) слагаемое h(t), выразив При /3 = 0 имеем ф0 = фр |/з=о> к~1ф0, где V2(x,t) через i>i(a;,í). Получим

t ! ф0 = In —-г-—- + 2slns + 2(l —s) ln(l —s) + 2 > 0.

Я8Х ^ S' Í1 1 y¿KvidxdT.

sv s) При /3 < 0 существует ограниченное и положительное при всех s Е [0,1] решение уравнения

Рассмотрим семейство функций удовле- (12) вида (13). Поскольку в°(ж) £ [т0,М0], то

творяющих уравнению при всех ¡3 имеем

fíe. - К 1 У+/3 Ы8) \t=0=M8°(x)) <C(m0,M0,[],k0) <оо.

Пусть 4>p{s) - функция, определенная в (12), (13). Уравнение (1) умножим на 4>'p{s) и представим в виде

ds2 Vs(l-s)

se (0,1), /3 Е (0,1). (12)

При /3 > 0 правую часть уравнения (И) пред- { {g + (a(e)^(e)u)s = а(в)^(в)ивв.

^TÍlDTiM U D Т/Г ГТО г Г

ставим в виде

/" _ г(о) / \ i r(i)/ ^ Интегрируя данное уравнение по Qt и учитывая

1рд — Ó ^sj + О ^Sj,

1 вид h(t), получим

¿(o) (8) - A'°(S)_ + V С ■ А"° (S)

1 1

s2+/3(1_s)g 1^) = - Up(S(x,t))dx+ Up(S°(x))dx.

¿(i) w - A'°(s) + v &__-"o(s)

0 o

(1 — в)2+'3в9 (1 — 8у+181' В слагаемых, содержащих д(х,1), проведем ин-

тегрирование по частям, а затем оценим полу-где п - целая часть вещественного числа /3; д = ченное соотношение с помощью (6) и неравенст-/3 — и Е [0,1); с^-, Ьу - некоторые положительные ва числа. Тогда

1 1

фр{8) = С0 + ф{°)(8)+ф{р(8), (13) шах \д(х,г)\< [ \д(х,г)\<1х+ [ \дх{х,Щх.

0<ж<1 ] ]

где С0 - произвольная постоянная. 0 0

1/1 \ В результате получим

= / j¿i0)(y)dy \ d(,

t i

s ' \рл í ígsxdxdr\<

$\8) = í ( í Sil)(y)dy] d£.

Поскольку существуют зависящие только от /3 и к о такие положительные числа С^ и что

I Pi J J gsxdxdr\

о о t 1

<3 pi J J[\g{x, r)| + \gx{x, T)\]dxdr.

Тем самым приходим к (10). Лемма доказана.

к'1 (0) Пусть начальные данные задачи (1)-(5) и

— 2/3(1 + /5)в/0 ~ ' функция д(х^) таковы, что функции Л^(^) и

N2^) ограничены для всех ^ £ [0,Т]. В силу (7), т,- 21

(10) функция + J —-gyidx <

, > 0 s{x,t

Ф/зт

F(s)= J ^±j'2dT)

s(a(t),t) < / \svi\2ldx I I I \plsg\2ldx

21-1

1 \ / 1

\0 / \0

21 — 1

где Ф/з(т) = также ограничена для

всех (х,1) £ От. Поэтому при /3 > 1 существуют /1 \ 21 / 1

числа ш и М, зависящие от данных задачи иТ + ( / \8У\\2Ых ] [ / \врсх|2'йж

и такие, что

\0 / \0

0 < т < в(ж,г) < М < 1, (ж,^)Е<9т- (14) /1 х 1/2;

Для функции г/(г) = / и21" dx ) получим

Значения т и М можно указать конструктивно, если привлечь вытекающие из (10), (13) при неравенство /3 > 1 оценки:

1

frSl , 1 и™ / t^ +^2 , dt

ix < (

J S 8P{1 -sy1 - У fxltx2

0

< / K^I2'^ + (y is^i2'^

из которого следует (16).

^ Лемма 5. В условиях леммы 3 для всех I £

+ ~ )N2^) = N3^). (15) [0,Т] справедлива оценка

Лемма 4. В условиях леммы 3 для всех I £ вир |Д1(ж,^)| < вир |Д^(ж)| +

[0,Т] справедлива оценка

sup < С2[ sup (ж)| +

0<ж<1 0<ж<1

0<ж<1 0<ж<1

+ / sup \д(х, r)\dr + / sup \vi(x,T)\dT],

J 0<aKl J 0<аК1

0 ~ ~ 0

+ / вир \д{х,т)\в,т+ / вир \рс{х,т)\в,т], (18)

.] 0<ж<1 .] 0<ж<1

0 0 . , где постоянная С5 зависит только от т, М, ш,

(1б) = 1,2.

где С*2 зависит только от т, М, [3, р°, г = 1, 2. Доказательство. Из (2), (1) следует, что

Доказательство. Уравнение (9) умножим функция = р°1У1 + ^зх удовлетворяет урав-на г;2'_1(ж,^) , I > 1, и полученное равенство нению

проинтегрируем по ж £ [0,1]. В результате при- §

вНи + вьхК^ = -вр'^К 1 - Р1ух)--Ь

ходим к равенству

1

^ J {sv2l)tdx + (21 - 1) j plS(vlx)2v21l~2dx+ | +

0 0 (1 - s) 1

111 Уравнение (19) умножим на Д2п_1(ж,^) , п > 0,

/Ку21 Г 0 I 21-1 ^ и полученное равенство проинтегрируем по ж £

(1 _ §)2 х ~ ! Р18Уг)1 х ! 8РсхУ 1 ж. ^ ^ ц результате приходим к равенству ООО

(17)

— I (sR2n)tdx + ísn'R2n—dx =

Слагаемые правой части (17) оценим с помо- 2п J 1 .)

щью неравенства Гельдера. Тогда получим 0 0

1 1 1 1

о (' (' (' г- п2п-1

^ ] (8У21)^ж + (21 - 1) у ^(г^)2^'"2^ - j + у р°18дН21п-Ых+

0 0 0 0

1

+ Р± [ p>cRl"-lVldx, Pi J

(20)

в котором каждое слагаемое правой части оценивается по неравенству Гельдера. Тогда получим

±

i- J(sR{n)tdx <

vA2ndx +

C3[yj \sRi\2ndx

+ \sRi\2ndx} | / \p°lSg\2ndx

/1 \ j-/

Для функции y(t) = I J sR\ndx ) полу-

чим неравенство

dy{t)

dt

<C4[(j \p°lSg\2ndx\ +

+ (f\v i\2ndx\ ]y

2n — l

из которого следует (18).

Замечание 1. Из (16) и (18) для

т^) = вир 1^11+ вир |/?1| 0<аК1 0<аК1

вытекает неравенство

< С6[ги(0) + / вир \д(х,т)^т+ / w(т)dт].

] 0<ж<1 ]

о ~ ~ о

Следовательно, и Rl(x,t) являются огра-

ниченными функциями. После этого дальнейшее исследование гладкости решения становится стандартным [4].

Замечание 2. Под обобщенным решением задачи (1)-(5) понимается "сильное решение" [4, с. 49]. Следствием оценок (6), (8), (10), (14), (15), (16), (18) является теорема 1.

Теорема 1. Пусть начальные данные в?(ж), обладают следующими свойства-

ми гладкости:

(.ч^^ешЦЯ), <(0) = <(1) = 0.

Тогда существует единственное обощенное решение задачи (1)-(5), причем вг(ж,^)) строго положительные и ограниченные функции.

Если дополнительно s° Е C1+"(£l), v° Е С2+а(£!),0 < а < 1 и начальные данные согласованы с граничными условиями, то решение является классическим: S{(x,t) Е

c1+a(ci), Vi(x,t) ec2+«'1+f(0).

Стабилизация решения

Сформулируем постановку задачи. В области Q = [0,1] х [0, оо] ищется решение системы уравнений (1)-(5) в случае рс = 0, g = 0. По теореме 1 решение задачи (1)-(5) существует и единственно на каждом интервале времени (0,Т), где 0 < Т < оо. Наша цель состоит в доказательстве стабилизации решения. Стационарным решением задачи (1) - (5) является набор постоянных vi = 0, V'i = 0, s = А = const, 0 < А < 1.

Начнем с того, что из лемм 1, 2 имеем

11 ъ

J s(x,t)dx = J s°1(x,t)dx, U(t)+J V{r)dT = E.

0 0 0

Здесь

i

U(t) = J p^svidx,

/v К

1

E{t) = J pls°v{dx = 17(0). о

На следующем шаге докажем равномерную по t оценку для s(x, t).

Лемма 6. Существуют постоянные m > 0, М < оо такие, что справедливо неравенство:

0 j m < s(x,t) < М < оо для любого х Е [0, l],i > 0.

Доказательство. Используя равенства (леммы 2 и 3)

1 1 /^fs^2 + = / PiSVixdX'

(Pisvi)tdx + / {pis(vlx

VlR -)dx = 0,

(1-S)2

приходим к тождеству

1 1

К (« \2 | г )Лх = ^

о о

из которого получаем неравенство 1

1

- ] {^{8х)2 + 7гЬ) 14=0 ЛХ = Щ

и оценку

О < т < 8{х,г) < М < оо.

Лемма 7. Для скорости ^(ж,^) справедлива оценка

вир |г>1(ж,^)|< вир

0<ж<1 0<ж<1

Доказательство. Используя тождество 1 1

Р1 ¡,„..21 21

о

!{8У\1)^Х+{21-1) I рг8(у1х)2у11~2ёх+

Ку

(1-8)

-¿х = О,

/1 \ 1/2п

Тогда для функции у= I / вК\пйх ) получим неравенство

-ь 2/(0),

из которого следует утверждение леммы.

Оценим норму скорости ^(ж,^). Из (21) для

1

/(р18у'{)1(1х = ^ следует неравенство о

г' + С8г < 0, где С*8 = вир | к,2—- | не зависит от t. Сле-

0<х<1

довательно

^ < г„е

-С84

(22)

Уравнение (9) представим в виде

Р1 Р1

Уи + У\У\х--~У\хх--~&хУ\х = Тл-

р° р° (1 - ф

(23)

После умножения (23) на У1ХХ и интегрирования по х, получим

1 1

-1/2 J vlxdx- J ^(у1ХХ)2(1х = 12 + /з + и,

где

приходим к утверждению леммы.

Лемма 8. Для справедлива оценка

12= У1У1хУ1 хх(1х < вир \у\1 / \у1хУ1хх\(1х <

7 о<®<1 3

о ~ ~ о

вир |Д1(а:,*)|< вир |Д?(ж,*)| + I вир К^т. < ^2||г;1||1/2||г;1Ж||3/2||г;1та|| <

0<ж<1 0<ж<1 ] 0<ж<1 1

Доказательство. Воспользуемся равенст-

1

Ъг

\8Я1п)^х = - I К?Т

о о

и вытекающей из него оценкой

1

(I-®)2

^ I (8К1П)^Х <

2 п. — 1

1 \ / 1

< С7 | [ вП^ёх , , , ^

у2пёх

где С7 = вир

0<ж<1

Кв~с (1-е)

не зависит от t.

/я =

<е1\\у1хх\\А + -(Ы\А + \\У1х\\А), £1

У1У1хх 7/м 112 , Сэи 112

(1-8)28рО/*<ЫЫ1 +-1К11 ,

1

14 = / 8хУ1ххУ1хйх < вир <

J 0<ж<1

о ~ ~

< с10|ЫНК,||3/2|ЫГ/2 <

<ез||^||2 + — ||2-£з

\У 1х

Выбираем е8- >0, г = 1,2,3, настолько малыми, чтобы £\ + £2 + £з < ^.Тогда получим, что

1Ы|2 + /\\У1хх\\2(1т < I |К||2 + |К||2^г<С11,

о о

где Сц не зависит от t. уравнения (20) получим

В силу (22) имеем

г г

[ sup \Vl\dT<V2 f ||«H1/2||«i,ir/2dr

J 0<ж<1 J

l l

— / Ridx = / 'Ri dx

dt. 1 J 1-8

< 0 0 и, следовательно,

l

< Ci2 J e"C8T|lvlx\\1/2dT < C12 J e~CsTVCudr < j I ^ j

j-t I ^-\Sx\2dx\dt<C13.

oo

< y/CuCuf e~c&Tdr <

о о l

Поэтому J" ISa;12с/ж —)> 0 при t —>■ oo, т.е.

о

s(x,t) —>■ А при t —)> схэ Таким образом, решение (s, vi) нестационарной задачи (1)-(5) сходит-Следовательно из леммы 8 имеем, что ся при t —>■ оо к решению стационарной задачи

sup \Ri(x,t)\ ограничен равномерно по t. Из t;1=0,s = A. 0<аК1

1. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 1999. Вып. 114.

2. Папин A.A. Разрешимость "в малом" по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск, 2000. Вып. 116.

3. Папин A.A., Аносова И.Г. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей // Сиб. мат. журнал. Новосибирск, 2002. 39 с. Деп. в ВИНИТИ.

4. Антонцев С.И., Кажихов A.B., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск, 1983.