Граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических возрастающих по времени областях Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1863 Уфимский математический журнал. Том б. № 4 (2014). С. 83-101.

УДК 517.957

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ВЯЗКОГО ТЕПЛОПРОВОДНОГО ГАЗА В НЕЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ВОЗРАСТАЮЩИХ ПО ВРЕМЕНИ ОБЛАСТЯХ

И.А. КАЛИЕВ, А.А. ШУХАРДИН, Г.С. САБИТОВА

Аннотация. В данной работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилидрических возрастающих по времени областях. Локальная теорема существования и единственности рассматриваемых задач доказана в более ранних работах Кажихова А.В. и Калиева И.А. Поэтому доказательство теоремы существования и единственности "в целом" по времени связано c получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения. Исследования проводятся в эйлеровых переменных.

Ключевые слова: Система уравнений Навье-Стокса, теплопроводный газ, глобальная разрешимость, нецилиндрические возрастающие по времени области.

Mathematics Subject Classification: 35Q30, 76D05,76N10

ВВЕДЕНИЕ

Полная система уравнений движения вязкого теплопроводного газа, или система уравнений Навье-Стокса представляет собой интересный и важный класс дифференциальных уравнений в частных производных. В теории таких систем одной из центральных является проблема однозначной разрешимости "в целом" как по времени, так и по данным.

Изучение вопросов корректности начально-краевых задач для системы уравнений Навье-Стокса началось с работы Дж. Серрина 1959 г. [1]. В ней были сформулированы постановки основных краевых задач и доказаны теоремы единственности в классе гладких решений. Отметим также более раннюю статью Д. Граффи 1953 г. [2] о единственности классических решений для баротропного газа.

Первый результат по разрешимости для уравнений Навье-Стокса получил в 1962 г. Дж. Нэш [3]. Он доказал существование классического решения задачи Коши "в малом" по времени. Этот результат несколько иными методами был повторен и обобщен в работах Н. Итая [4], А.И. Воль-перта и С.И. Худяева [5].

Для начально-краевых задач локальные по времени теоремы существования и единственности установлены В.А. Солонниковым [6] и А. Тани [7].

Первый результат по однозначности разрешимости "в целом" по времени и по данным был установлен в 1968 г. Я.И. Канелем [8] в случае задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого баротропного газа (р = Rp1). Для модели Бюргерса (р = const) разрешимость задачи Коши и начально-краевых задач были доказаны в работах Н. Итая [9], [10] и А. Тани [11].

В 1976 г. А.В. Кажихов [12] впервые получил результат о глобальной разрешимости для уравнений одномерного движения вязкого теплопроводного газа. В дальнейшем цикл работ А.В. Ка-жихова [ ]-[16], В.В. Шелухина [ ]—[19], С.Я. Белова [20], В.А. Вайганта [ ], [22] позволил

I.A. Kaliev, A.A. Shükhardin, G.S. Sabitova, Boundary value problems for equations of viscous heat-conducting gas in time-increasing non-cylindrical domains.

© Калиев И.А., Шухардин А.А., Сабитова Г.С. 2014.

Поступила 4 июля 2014 г.

построить довольно полную теорию по глобальной разрешимости основных начально-краевых задач и задачи Коши для уравнений движения вязкого газа.

В работах И.А. Калиева, А.В. Кажихова [23], [24] исследованы вопросы однозначной разрешимости задачи со свободной границей, моделирующей процесс фазового перехода между вязким газом и твердым телом. При этом возникает вспомогательная задача, описывающая движение вязкого теплопроводного газа в криволинейной области, доказывается единственность и существование ее локального решения.

Как правило, область, в которой доказывается существование решения "в целом" по времени, является либо полосой {(х,Ь)1 — ж < х < ж, 0 < Ь < Т}, либо цилиндром {(х, Ща < х <Ъ, 0 < Ь < Т}; а,Ь,Т — заданные постоянные. В нашей работе для полной системы уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа доказывается глобальная разрешимость начально-краевых задач в нецилиндрических возрастающих со временем областях {(ж,£)|0 < х < в^), 0 < Ь < Т}, где х = в^) — заданная гладкая возрастающая функция.

Для вязкого газа известны результаты по глобальной разрешимости задачи со свободной границей об истечении газа в вакуум [12], [25] и задачи о поршне, который двигается по заданному закону [25]. В обеих задачах скорость движения границы ,в(1) области, занятой газом, совпадает со скоростью движения материальной точки с координатой т.е. и(з(Ь),Ь) = йэ^/сИ, 0 <Ь <Т. Другими словами, газ через границу ,в(1) не течет, и этот факт играет решающую роль при доказательстве теорем существования, поскольку область определения решения в лагранжевых координатах становится фиксированным цилиндром.

В настоящей работе и= 0,йз(1)/(И > 0, т.е. и(в^)^) — йз(1)/(И < 0, и газ втекает через подвижную границу области х = в(Ь). В статье исследование проводится в эйлеровых переменных.

Случай, когда йз(1)/сИ ^ 0, рассмотрен в работах Калиева И.А. и Подкуйко М.С. [26], [27].

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ. ФОРМУЛИРОВКА ОСНОВНЫХ РЕЗУЛЬТАТОВ

Пусть нецилиндрическая область От = {(ж,£)|0 < х < в^), 0 <1< Т}, где х = в^) - известная гладкая функция, занята вязким теплопроводным газом. В работе изучается случай, когда область расширяется со временем, т.е. (18(1)/(И > 0. Одномерное нестационарное движение вязкого теплопроводного газа в области описывается системой уравнений [25]

Здесь р(х,Ь),и(х,Ь),р(х,1) и 0(х,Ь) - плотность, скорость, давление и абсолютная температура газа; ¡л,,К,п - положительные константы: вязкость, газовая постоянная и коэффициент теплопроводности газа соответственно.

В начальный момент времени задаются и, в, р:

£ + ^=0, М € ,

(1)

(2)

(3)

и(х,1%=0 = ио(х), в(х,г)^=о = 0о(х), р(х,£)^=о = ро(х), X € [0, «о], где в о = й(0). На известных границах х = 0 их = в^) задаются условия:

и(х, ¿)и=о = 0, и(х, *)|л=в(4) =0, Ь € [0,Т ],

(4)

(5)

в(х,¿)|ж=о = вх(1), в(х, 1)1Х=8(Г) = е2(1), I € [0,Т],

(6)

р(х, *)1х=аы =Ш, t€ [0,Т]. Предполагается, что для всех £ € [0, Т] их € [0, «о] выполняются неравенства:

0 <т < ро(х),р2(Ь), во (х), вх^), вЖ) ^М < +ж,

(7)

ds

0 < so, 0 <т (t) ^ М, (9)

где т,М — некоторые положительные константы.

Задача Gas. Требуется найти функции р(х, t),u(x, t), в(х, t), удовлетворяющие системе уравнений (1)—(3), если в начальный момент и на известных границах выполняются условия (4)-(7).

Теорема 1. Пусть начальные и краевые данные задачи Gas принадлежат пространствам Гельдера

ро(х) G С 1+а([0, soi), uo(x) G С2+а([0, soi), во(х) G С2+а([0, *,]), s(t),p2(t) G С 1+а([0,Т]), di(t), e2(t) G С(2+a)/2([0,T]), 0 < a = const < 1; выполнены условия (8), (9) и условия согласования нулевого и первого порядков в точках (0, 0), (s0, 0).

Тогда задача Gas имеет единственное классическое решение, обладающее свойствами

р(х, t) G С1+а (ПТ), u(x, t) G С2+»,(2+»)/2(äT), д(х, t) G С2+»,(2+»)/2(äT),

причем

0 <mi < р(х, t) < Mi < 0 <т2 < в(х, t) < М2 < +го, (10)

(х, t) G QT;

где т1,М1,т2,М2 - некоторые положительные константы.

Локальная теорема существования и единственности задачи Gas доказана в [ ], [ ]. Поэтому доказательство теоремы связано с получением априорных оценок, постоянные в которых зависят только от данных задачи и величины интервала времени Т, но не зависят от промежутка существования локального решения.

ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ И АПРИОРНЫЕ ОЦЕНКИ

Предположим, что р(х, t) > 0, в(х, t) > 0 (в малом по времени имеется теорема существования с соответствующими оценками) [23], [24].

Лемма 1. Для любых t G [0, Т] выполняются оценки

fs(t) fso fl ds (т)

р(х, t)idx = р0(х)с!х + р2(т)—-— ^ М0, Jo Jo Jo dT

где

Г° , ч , iT / ,ds(T) , Mo = po(x)dx + р2(т)—-—dr. Jo Jo dT

Доказательство. Используя условия (5), (7), проинтегрируем уравнение (1) по x от 0 до s(t)

dit Г')р(х,t)dx -р2(1) I = °.

Интегрируя по t, получаем утверждение леммы 1:

ГW / л , f s° , s , /"* ds (т) ,

р(х, t)dx = ро(х)dx + р2(т)—:— dT ^ Jo Jo Jo dT

is0 , [T , \ ds(r) 1 Mo = po(x)dx + р2(т)—-—dr. Jo Jo dT

В дальнейшем при получении оценок на функции р,и,в в области, занятой вязким газом, используются методы, разработанные В.А. Вайгантом [21]. Заметим, что в [21] область, занятая газом, является прямоугольником (0,1) х (0,Т), а у нас область, занятая газом, является криволинейной трапецией QT = {(х, i)|0 < х < s(t), 0 < t < Т}, где х = s(t) — заданная возрастающая функция. Тем не менее, все необходимые априорные оценки удается доказать и в нашем случае. Введем в Qt вспомогательную функцию В(х, t), определенную следующим образом:

dB 1 дВ ди 1 „ „ 1 2

-тг- = -ри, — = ----Яро--ри ,

dx ß dt dx ß ß

1 Г

В\= = Во(х) = - Po(Ouo(OdC, 0 < ж < So. ß Jo

РЗ о

Для функции В(х, Ь) в [21] были получены равенства:

д д 1

— (В + Ыр)+и—(В + Ыр) + -Кр9 = 0, (11)

от ох /л

В В 1

- (рев) + и—(рев) + -Кр2в ев = 0, (12)

| (-£-В) + и^- {-е-в) — -Кве-в = 0. (13)

т р ох р ^

Лемма 2. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных, и Т, такая, что для любых (х, Ь) € От справедливо неравенство

\ 1/2

С

( fS(t) V^ f* fS(T) (4 fS(T)

\B(x, i)\ ^ С |1+ / pu dx \ ++ pddxdr + pu dxdr

yJo J Jo Jo Jo Jo

Доказательство. Проинтегрируем функцию dB/dt по области

Qt = {(х, т)\0 <х< s(r), 0 <т< ¿}. Нам иногда будет удобнее описывать область Q в другой форме: Q = {(х, т)\0 < х < s(t), h(x) < т < t}, где h(x) = 0 при х Е [0, so] и s(h(x)) = х при so < х ^ s(t). Тогда имеем

Btdrdx = В(х, т) nt Jo

х =

rs(t)

dx + B(x, т) l Jso

¡■so rs o rs(t) r- s(t)

/ В(x, t)dx — B(x, 0)dx + B(x, t)dx — В(x,h(x))dx =

Jo Jo J s0 Js0

T=h(x) S(t)

rs(t)

Ю Jso

1 rs0 ex

B(x, t)dx----po(£)uo(£)d£dx — I B(x,h(x))dx.

ß Jo Jo Jso

'so rs(t)

С другой стороны,

Btdxdr =11 i ux nt J Jnt \ ß

^ux — —Rpd — —pu2 ) dxdr =

ß

R f fS(T) а л Л 1 f fS(T) 2 J ,

— pt)dxdr----pu dxdr.

ß Jo Jo ß Jo Jo

В итоге получаем

Г s(t) 1 ¡so rx ns(t)

В(x, t)dx = — po(£)uo(£)d£dx + B(x,h(x))dx—

Jo ß Jo Jo Jso

oo R f* (s(r)

1 ft rs(r)

p0 dx dr----pu dxdr.

ß Jo Jo ß Jo Jo

Отсюда с учетом (8), (9) получим неравенство

,s(t)

В(х, t)dx

<

4м_

2 ß xifo

R Г* Г sirf

max \uo(£)\ +----pddxdr+

e[o,soV ß Jo Jo

1 Г* Г{т) 2 +— pu dxdr +

ß o o

rs(t)

В(x, h(x))dx

o

В последнем интеграле заменим переменную х = s(r),dx = j^dr, B(x,h(x)) = В(s(t), т) и используем (9):

o

o

гзЦ)

В(х, ^йх

Д Г* Г 8(т) 1 г* г 8Н

^ С +----рдйхйт +— ри йхйт+

№ Jo ./0 № ■>0 ->0

+М I |В( з(т), т)\ йт. 0

(14)

Здесь и в дальнейшем через С обозначаем константы, зависящие от граничных данных и Т. Так как при каждом £ е [0,Т] существует точка х0 = х0(Ь) € [0, з(Ь)] такая, что

1 г<*)

В(х0(1), 1) = —— В(х, £)йх, ( ) 0

то получаем

г Ф)

\В(х, I )| < \В(х0(1), í )| + \ Вх\йх <

0

<

8(1)

гФ)

В(х, ^йх

0

1 ( Г\1/2 (г\1/2

+— I у рйх I I J ри йх ] ^

1

^ — 0

Г8Ц)

В( х, ) х

№ \ .)0 1

~ , (г8® 2 V2

+ -\/М01у ри2йх\ ,

М0 - константа из леммы 1.

Для х = ,в(т) и £ = т из (15) используя неравенство Коши, имеем:

(15)

\В(з(т), т)\ < 1 0

Подстановка (16) в (14) дает

Г8(Т)

В(х, т)йх

М0 [8(т) 2л + —+ ри2ах. 4/л2 У0

Г8Ц)

В( х, х)

Д г* г 8(т) (1 \ г* г8(т)

^ С + — I I рвйхйт + [-+ М ) J ! ри2йхйт+

№ .)0 -)0

+М ['

0 0

Г8(т)

В(х, т)йх

йт.

Отсюда с использованием неравенства Гронуолла для функции

Г8®

( )=

В(х, Ь)йх

получим оценку

Г8№

В( х, ) й х

/ г* г8^ г* г8(т) \

^ С 1+ ри2 йх йт + рвйхйт .

0 0 0 0

Подставляя последнее неравенство в (15), получим утверждение леммы 2

(■Ь Г 8(т) Н Г8(т)

00

\В(х, ■£)! < С

1+

г* г8(т) г* г8(т) ( г8(1) \ /

и2 й х + р й х й + и2 й х

0 0 0 0 0

(16)

Лемма 3. Существует постоянная С, зависящая от граничных данных и Т, такая, что для любых £ € [0, Т] справедливо неравенство

/"8№ Д Г* Г8(т)

(р 1пр - р+1)йх + — / р2вйхйт ^ С(1 + тах \В(х, г)\). (17)

]0 № Jo Jo (х,т)еПг

0

1

0

0

0

0

0

0

0

Доказательство. Умножим уравнение (11) на р(х, ¿) и проинтегрируем по х в пределах от 0 до

в (Ь). Тогда в силу уравнения (1) имеем:

й 8( ) й ( )

- р(В + 1пр)йх - -0^Ш[ВШ, 1)+\ир2(1)] +

х=ф) - ^ й [8(ь) , й8(г) и. , й Г« л п

+ — р20йх -— рйх +--У~р2(Ь) ±— йх = 0.

х=0 ^ Л а ]0 а м ]0

Отсюда с учетом (5) и (7) следует

+ [ри (В + 1пр)]

й

Интегрируя по времени, получаем

й [8(г) К [8(г)

— ( рВ + р 1пр — р + 1)йх +-- р вйх—

й У0 ^ ./0

й(1)[В(з(1), 1)+1пр(з(1), I) — 1] + 1} = 0.

[8(1:) К [8(т)

(р 1пр — р + 1)йх +----р в йхйт =

./0 Л Jo ./0

й ( ) 8( )

й ( ) 8( )

-^[р2 (т)1пр2(т) —р2 (т) + 1]йт— рВйх+ Л йт Jo

[8° йв(т)

+ У (р0В0 + р01п р0 — р0 + 1)йх + у йт рз(т)В(з(т), т)й7

Обозначим:

Г1 йз (т) [8°

С = —-—[р2 (т)1пр2 (т) — р2 (т) + 1]йт + (р0В0 + р01пр0 — р0 + 1)йх. 0 й 0 Учитывая, что р 1пр — р +1 > 0, йв/ОЪ > 0, получим

Г 8(*) ^ К ^ [8(т) ^ ^ 1-8(1)

Т г1е(г\ Г8о

г8(1) к г [8(т) [8(г)

(р 1пр — р + 1)йх + —\ р в йхйт ^ С + р\В\йх+

./0 Л Jo ./0 Jo

+ р2(т)\В(8(т), т)\йт ^ С (1 + гтах \В(х, т)\) .

70 йт \ (х,т)еъ )

0 й ( х, )

В результате получаем утверждение леммы 3.

Лемма 4. Для любых £ € [0, Т] справедливы оценки

тах р(х, ^ ^ М ехр{2 тах \В(х, г)\}, (18)

8^) (х,т)еПь

тах -1—- ^ С 8^) р(х, £)

ехр{2 тах \В(х, г)\}+

(х, т)епг

+ ехр{4 тах \В(х, т)\} тах в(х, т)йт (х,т)еПг ,/0 0^х^8(г)

(19)

Доказательство. Умножим равенство (12) на р(рев)п 1, где п - натуральное число, проинтегрируем по х от 0 до ( ), воспользуемся (1)

пй Г**В№—п^мь»)]п + П'

х= ( )

+

х=0

К Г8(^) +К р2(реВ )п0 йх = 0. Л ./0

11 р(реВ)пйх — 1 ^ШЫЪеВ(8(^]п + - Г р2е(реВ)пйх = 0. п йт ]0 п йт ¡Л ]0

Л .)0

С учетом (5) и (7) получим

Третье слагаемое неотрицательно, тогда

d fs(t)

, , r enBdx - , dt Jo dt

Отсюда, интегрируя по времени от 0 до t, имеем:

Г pn+l enBdx - d()p2(t)[p2(t)eB(a(t)'t)]n £ 0. Jo d

rs(t)

pn+l enBdx

£ iS0 Pn+lenB°dx + i enB(s(r)'T)dr £

Jo Jo dT

£ Mn+l(s0 + TM)

max e (x, r)ent

B(x, r)

Тогда

,s(t)

/ pn+ldx £ CMn+l o

£ CMn+l

max eB(x'r) n min eB(x,T)

_(x,r)ent _(x,r)ent

£

exp{2 max lB(x, r)|} (x,r)ent

Переходя к переделу при п ^ то, используя

/рЬ \ l/n

/ |/(x)lndx = max |f(x)l, n^^\Ja J xe[a, b]

получаем оценку (18) леммы 4:

max p(x, t) £ M exp\2 max | B( x, )| .

0£x£ s(t) I (x,r)eQt )

Чтобы доказать оценку (19), умножим равенство (13) на p(peB)-n, где п - натуральное число, проинтегрируем по x от 0 до s(t), воспользуемся (1), (7)

1 d_ fs(t) /n+ п + 1 dt Jo р\реB)

{pi?)

+--pu

п +

В силу (5) и (7) получаем

d x

1 d ( )

п + 1 d

p2(t) {p2(t)eB«t),t))

n+l

+

1

п + 1 p B

n+l

x = S(t) r p s(t) x=0 V Jo

fs(t)

/ pe-Be(peB)-ndx. o

d fs(t) ( 1 У 1 ds (t) ' 1 1 —FTdx =

i f 1 \

dt Jo \peB J e

dt (p2(t)eB(s(t)' eB(s(t),t)

+

R(n + 1) fs(t\_2B0( 1

, , , ¡S(t) —2B Q N

V Jo \peBJ

n l

Отсюда, интегрируя по времени от 0 до , имеем

rs(t) ( 1 ^ (1

. m ,

n

i (—B) —Rdx £ so(—) Jo \pe / eB \mj

max

(x, r)ent

dx.

—B(x, t)

n+l

+

+MT (—^ \m J

max

(x, r)ent

—B(x, t)

n+l

+

+

R(n + 1)

max e 2B(x,T) (x,r)ent

/Пpbt 1

o o p

x d .

Тогда

f( pTBiix £ + MT K;m)

R(n + 1)

o o p

B(x, t)

max

(x, r)ent

max

(x, r)ent

—B(x, t)

n+l

+

+

max e 2B(x,T) (x,r)ent

max eB(x'T") (x,r)ent

£cimy e4<n+2) dm ^+

ft rs(T) / 1 \n~l

H Ы edxdr£ , )|

(20)

o

n

n

n

n

1

n

R(n +1) Г 1 (l fs(T) ( 1 \п~1

+--exp < 3 max |В(х, т)| } max 9(x, т) [—dxdr.

Л I (x,r)ent J Jo o*x*s(r) Jo \peB J

Обозначим

п \ 1/п

m=( C\7eB)"dx)

Применяя неравенство Гельдера к последнему интегралу в (20), используя неравенство ,§(т) ^ ,в(Т), получим

n-1 , , 1

гs(t) / 1 \п~1 i rs(t) / 1 \(п~^"" \ n / rs(t) \

I (ив) dx ПI (ив) чI 1Пл1 *

n

* уп-:(t) •

Подставляя полученную оценку в (20), имеем

уп(Ъ ) *с(exp{(n + 2) max 1В(х, т)|) + (21)

\т/ У (х, r)ent )

+ R(n + ^ "ЖХ^ ex^3 max 1В(х, т)|1 [' max в(х, т)уп~ \т)(т.

Л { (x,r)ent J Jo 0*x*s(r)

Л I (х,т)&1 ) J0 0^х^8(г)

Для оценки функции ( ) потребуется следующая лемма.

Лемма 5. [22] Если непрерывная неотрицательная на [0, Т] функция у(Ъ) удовлетворяет неравенству

уп(г) ^ а + Ь [\(т)уп- 1(т)йт, 0

где а,Ь = сош£ > 0, п = сош£ > 1, с(Ь) - заданная неотрицательная функция класса Ь1[0,Т], то справедлива оценка

Ь *

п J 0

Если применить оценку (22) к неравенству (21), то получим

^ b

y(t) * Па + - с(т)(1т. (22)

n o

y(t) * " П) Ш+

+ R " s( ) / + ex^3 max 1В(х, т)|1 f max 0(х, т)(1т. Л V п) У (х,т)ent J Jo 0*x*s(T)

Переходя к пределу при п ^ то, имеем

max * — expi max 1В(х, т) |1 + .......B — 1(х, T)ent "J

o*x*s(t) реB ' m |^(x,r)ent

+R exp<3 max |В(х, т)|1 i max 6(х, t)(t. Л { (x,T)ent ) J0 0*x*s(r)

Отсюда следует оценка (19). Лемма 4 доказана.

Лемма 6. (Оценка полной энергии). Существует постоянная С > 0, зависящая от граничных данных, и Т, такая, что

max [ (рв + dх * С. .*t*TJo \Р 2 )

Доказательство. Для оценки полной энергии введем вспомогательную функцию А(х, ¿) как решение краевой задачи:

рА + иАх) = кАхх, (х, ^ € 0Т, (23)

А1х=о = е1(1),А1х=<1) = 02(1),А1=о = 0о(х). В силу принципа максимума имеем:

0 <т £ А(х, г) £М < +ж. (24)

Функция

р(х, г) = в(х, г) А~1 (х, г),

которая принимает значения

<^1х=о = ^1х=з(г) = 1,р1 г=о = 1, удовлетворяет в силу (3) и (23) уравнению

Ар(р1 + ирх) = к(Арх )х + кАхрх + ци2х — КрАрих.

Умножим это уравнение на (1 — —) и проинтегрируем по ж от 0 до 8(1). Используя (23), получим

й [в(г) [в(г) р2 [в(г) 1 — Ар(р — 1пр — 1)йх + кА^йх + — аи^йх =

М Уо .к р Л р

Гв(г) Гв(г) 1

(цих — КрАрих)йх + — КрАрихйх. (25)

Л Л р

Домножая уравнение (2) на и(х, Ь) и интегрируя по ж от 0 до з(Ь), используя (1), находим:

1 й Г8® 2 , Г(£)

оо Сложим полученное равенство с (25)

1 й [3(г) [3(г)

-— ри йх + их(рих — р)йх = 0.

2 & Уо Уо

Ар(р — 1пр — 1) + -— \йх + кА^йх + ц—йх =

./о V 2 ) }о р2 }о р

( )

м Уо V 2 ) Уо р2 Л р

КрАихйх. (26)

о

Оценим слагаемое в правой части

КрАихйх £ / +--р2Ар\йх £ - —йх +--р

Л И Х Л V 2р 2ц ) 2 Л р 2ц ]о

В результате получим неравенство

2в йх.

Ш ,1о [Ар(р — 1пр — 1)+ 2)ах + I + 1,1о р

М*)

£ С р2вйх. о

о

Интегрируя полученное неравенство по времени, имеем

[ (Ар(р — 1пр — 1) + + [ ( пА^йхйт + - ( [ —йхйт £

о 2 о о р2 2 о о р

Г* [з(т) 2 £2

С {1 + 1о 10{) р2°.

оо

Учитывая неравенство

р — Ыр — 1 > —р — 1п 2, ограниченность А(х, Ь) из (24) и оценку леммы 1, получим:

1 fs(t) 1 fs(t) (l fs(r) ш2 a (l fs(r) и2

- рвdх + - ри2(х + кA^-2dxdт + — —dх(т *

2 Jo 2 Jo Jo Jo ш2 2 Jo Jo ш

rt г<г) 2

oo

Из оценки (17) леммы 3 имеем

rt fs(r)

*С {1 + Jo 10{) Р2°(Х(^ . (27)

г2

oo

Используя неравенство леммы 2, получим

ft fs(r)

( ) d х d * С 1 + max | В( х, )|

Jo Jo \ (x,r)ent J

ns(T)

р d х d *

(/ rs(r) \ 1/2 rt r-^M rt r-^M

1 + max \ ри (х\ + рв(х(т + ри dх(т

o* * o o o o o

Используя последнюю оценку и отбрасывая в левой части (27) интегралы, содержащие производные, получим

1 rs(t) 1 rs(t)

( ) 1 ( )

рв(х + - ри (х * (28)

2 o 2 o

(/ Гs(r) \ 1/2 rt /^М i-t rs^

1 + max \ ри (х\ + рв(х(т + ри dх(т

o* * o o o o o

Введем две функции на [0, Т] следующим образом

fs(r) fs(r)

a(t) = max р(х, т)и (х, т)(х, b(t) = max р(х, т)в(х, т)(х. o* * o o* * o

Тогда из (28) имеем

2,a(t) + 2b(t) * С ^ 1 + + jf а(т)(т + jf b(r)d^j .

Поскольку C^a(t) * С2 + ^, то из (29) следует

a( ) + ( ) * С 1 + a( ) d + ( ) d .

Отсюда в силу неравенства Гронуолла выводим a(t) * С, b(t) * С для всех t £ [0,Т], где С — некоторая положительная постоянная. Возвращаясь к неравенству (27), получаем следующую серию оценок

s( )

(29)

s( )

max р(х, 1)и (х, 1)(х *С, (30)

* * T o

rs(t)

max р( х, ) ( х, ) d х * С, (31)

o* * T o

lo Jo \ ш ш Оценки (30), (31) дают оценку полной энергии.

Гт Г® ( т2 п2 \

кАЦ + иx (1х(1т * С. (32)

Jo Jo \ ш2 rnj

Оценки сверху и снизу для плотности и температуры снизу

Лемма 7. Существует постоянная Мх > 0, зависящая от граничных данных, и Т, такая, что

max р(х, t) £ М\. (х, t)enT

(33)

Доказательство. Из леммы 2 и оценок (30), (31) следует ограниченность функции В (х, ¿). Тогда из неравенства (18) леммы 4 следует утверждение леммы 7.

Лемма 8. Существует постоянная т2 > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

min в(х, t) >т2.

(x, t)enT

Доказательство. Запишем уравнение для температуры (3) в следующей форме

( Rpd \2 R2p292 p( 9t + uOx) = к 9xx + ß\Ux — ~2ß j--4ß—.

Разделив на pd2, получим в области Qt уравнение для функции q(x, t) = 1/в(х, t)

(34)

к R2p

qt + Щх--11хх = -.—

р 4/л

2к ва2 + ^ п2(,, RP^ —Vqx + —q I Ux -

P

P

2ß

(35)

Перейдем от функции д(х, Ь) к новой функции ь(х, t ), связанной с ней равенством

д(х, ^ = у(х, ^ е*. Функция ь(х, t ) удовлетворяет вследствие (35) уравнению

к R2p _t

vt + uVx--Vxx +v = —,—e -

p

^ev^ + аv2et(ux -Rpr

p

( Rpo\

[Ux - rtJ

В силу леммы 7 и неотрицательности слагаемых в квадратной скобке для функции ь(х, t) имеем дифференциальное неравенство

vt + uvx--vxx +v £ Се .

P

(36)

Предположим, что положительный максимум функции v(x, t) достигается в какой-нибудь внутренней точке (xo, to) в области Qt или при to = T. Тогда в этой точке

Vt > 0, vx = 0, vxx £ 0. (37)

В силу (36), (37) получаем оценку

max v(x, t) £Ce~to £C.

(x, t)enT

Следовательно, для всех (x, t) <E Qt справедливы неравенства

£ C, q(x, t) £ Ce} £ CeT, ^^ £ CeT

в(х, t)

или

в(х, t) > m2 =

1

Се T'

Лемма доказана.

Лемма 9. Существует постоянная т\ > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

min p(x, t) >т\.

(x, t)eüT

2

Доказательство. Из оценок (24), (32) выводим

* f s(i-) ш2

ш2(х(т * С. (38)

lo Jo ш

Из леммы 4 и оценки 1В(х, i)| * С с учетом (24) имеем

max *С (1+ I max в(х, т)"т^ * (39)

o* x* ( ) р( х, ) o o* x* s( )

* С (1+i max А(х, т)ш(х, т)"т^ * С + См[ max ш(х, т)(т.

o o* x* ( ) o o* x* ( )

Учитывая неравенства

d х *

ш(х, t) = Мф, t))2 * + jfS{t) 1Шх1(х^ * (1+1- js) ш d^

1 ( Гs(*) ш \ 1/2 ( fs® \ 1/2\ 2 ( fs(*) ч? Г® N

+ *{ L И Ц Н * 2{1 + 1

rs(t) rs(t) рО 1 1 rs(t)

ш(х, 1)"х = —-"х *— max —-- рв"х *С max

Jo Jo р A m o*x*s(t) р(х, t) jo o*x*s(t

¡o jo р A m o*x*s(t) р(х, t) Jo o*x*s(t) р(х, t)'

из (38) и (39) выводим неравенство

1 Г* 1 max —-- * С + С max —-- "т.

o* x* ( ) р( х, ) o o* x* ( ) р( х, )

Применяя неравенство Гронуолла, получаем утверждение леммы 9. При доказательстве леммы 9 были получены оценки

I max в(х, т)"т * С + С [ max -1—-dr,

Jo o*x*s(t) Jo o*x*s(r) р(х, T)

( ) 1

( )

/ ш(х, 1)"х * С max

o o* x* (

o o* x* ( ) р( х, )

откуда вытекают оценки

T

T max ( х, ) d * С, (40)

o o* x* ( )

i-s(t) rs(t) fs(t)

/ в(х, t)(kc = А(х, г)ш(х, г)"х *м ш(х, t)dх *С, (41)

o o o

T ( ) T ( )

/ / в2(х, t) "хdt * max в(х, t) в(х, t) "хdt *С. (42)

o o o o* x* ( ) o

Оценки производных

Лемма 10. Существует постоянная С > 0, зависящая от граничных данных и Т, такая, что

rs(t) rT rs(t)

max р(х, t)и2(х, 1)"х + / иЛх, t)"хМ *С. (43)

te[o,T]Jo Jo Jo

1

Доказательство. Умножим уравнение (2) на u(x, t) и проинтегрируем по x от 0 до s(t), воспользуемся (1), (5) и (7):

1 d fs(b) о fs(b) fs(f)

I2 Л™ I ii I /ii2/1

fs(l) fs(l)

I pu2dx + v ux,dx — Rpduxdx = 0. lo Jo Jo

Используя неравенство Юнга с е и интегрируя по ¿, выводим неравенство

1 /'3(£) Г^ /'3(т) ^2 Я гв(т)

- ри2с!х + Ц ихйхйт £Сх +----р202с1хс1т+

2 Jо ло л о £ ло л о

* гз(т) 2

+£ / ихйхйт. Jо ло

Выбирая е достаточно малым, применяя лемму 7 и неравенство (42), имеем

г(1) 2 с* г(т) 2

/ ри йх + ихйхйт £ С.

Jо Jо ло

Лемма 10 доказана.

Как следствие лемм 9 и 10 получается оценка

<"$(*) гТ гз(г)

fs(r') f1 fs(r')

max u (x, t)dx + / ux(x, t)dxdt£C. (44)

te[o,T].Jo Jo Jo

Лемма 11. Для любых t <E [0,T] справедливо неравенство fs(t) fs(r)

/ ux(x, t)dx + (u2 (x, t) + uxx(x, t)) dxdr £ (45)

o x o o x x

( rt fs(r) fl fs(r) \

£ C 1 + x( x, ) d x d + max 2( x, ) x( x, ) x d .

\ Jo Jo Jo xe[o,s(r)] Jo J

Доказательство. Представим уравнение (2) в форме

Отсюда

Тогда

/put--^p^uxx = —/puux — R^pOx---pRpx д.

p p

fS(t) ( 2 1 2 2 \ fS(t) ( 1 \2 J yput +—V uxx — 2jiutuxxj dx = J y/p>uux + R/pdx + -/=Rpxdj dx.

fs(t) о fs(t) 1

pu2dx + V -uxxdx — 2ц,щ(з(1), t)ux(s(t), t)+ (46)

o o p x x

lo Jo p

[ u2xdx — Vd()ux(s(t), t) £ 3 f f pv2v2x + RpQ2x + -R2p2xO2} dx. d o x d x o x x p x

Поскольку u( ( ), ) = 0, то

ux(s(t), t)^^ = —ut(s(t), t),

и из (46) вытекает неравенство

fs(t) 2 , 2 fs(t) 1 2 , d fs(t) 2 , ds(t) 2, , , ,

pufdx + u, -u^^dx + u— uxdx + a—-—ux(s(t), t) £

o o x x o x x

o o o

rs(t) / 1

' ,2„.2 , т>2 „д2 i 1 -г,2„2Q2

fs(t) / 1 \

£ 3 J ipu2ux + R2p Q2. + -R2p2x в2) dx. (47)

Для оценки u2(x, t) имеем

rx rs(t)

u2. (x, t) £u2(xo, t)+ \(u2)x\dx £u2. (xo, t)+ | | dx = u2.(xo, t)+ Jxn Jo

Г 8И

+2 \ их их х\ й х.

0

Для любого > 0 проинтегрируем последнее неравенство по х0 от 0 до ( )

1 [8 2 [

их(х, 1) € —— их(х, 1)йх + 2 \ихихх\йх € х ( ) 0 х 0

(1 1 ^ г® 2, г8(2 ,

€--+ - / ихйх + £ и^йх.

0 0 х 0 х х

(48)

Учитывая (48), неотрицательность слагаемого л^¡^и2^^), ^ и оценку

[8(г) 2 С [8(г) [8(г)

ри ихйх € С тах их(х, 1) € — ихйх + Се иххйх, 70 0<х<:8(1) е ]0 70

С ( )

Ю 8(1) е 70 ,;0

лемму 10 и ограниченность сверху и снизу р(х, ¿), из (47) получим, при соответствующем выборе > 0, оценку (45).

Лемма 12. Для любых £ € [0, Т] справедливо неравенство

г8(г* Г8(г) г* г8(т) 2

рх(х, £)йх €С + С ~хйхйт + Се I I иххйхйт.

0 х 0 0 х х

Доказательство. Из уравнения (1) имеем

(1п р\ + и(1п р)х +их = 0. Тогда уравнение (2) можно записать в форме

00

(ри)г + (ри2)х = — ¡¡[(1п р)г + и(1п р)х\х — Рх.

Отсюда

р

(и + ¡7) * + и{и + л7)х.

+ х = 0.

Умножим полученное равенство на (и + ¡рх/р2) и проинтегрируем по х в пределах от 0 до в^), тогда

1 й Г\(и+А)2йх — 1-й8(')^.....рх

2 й1 ]0 р\и + Лр2) *

2

х= ( )

1 ( рл2 х=8() Г

+-ри[ и + л^ —

\ р2; х=0 л

р2

8( )

2 й р{и + ¡7)

+

х= 8( )

Др их й х + Др и

х= ( )

х=0

Г® р

+ ( Крв) хлрхйх = 0. 0 х р

Поскольку и = 0 при х = ( ) и х = 0, то последнее равенство примет вид

1 Г8(г)

2 й ,/0

р

2 рх

^ри2 + 2^ + л' ^§)йх —

\ Г 8^)

й х - 0

Г8№

р2х

Кр0ихйх + —л —2хйх+

р2

+—л Г ^йх—л2

70 р 2 М р3

0.

х= )

Используя лемму 7, третье слагаемое слева заменим на меньшее

1й Г®, 2 п ирх 2р2х,, [8{Г) пп , —л Г{г)п21

-— (ри2 + 2л-— + Л~х )йх — Крвихйх +--Ч, 9рídх+

2 а 70 р р3 70 М2 70 х

+ Дл

в,

0

хр^Д _ л2 й± рх

йх _ П

2 а р3

р

€ 0.

х= )

(49)

Оценим некоторые слагаемые. Из уравнения (1) при х = в(Ь), используя (5), (7), получим соотношение

р Ш, г) = —р2(г)ихШ, г).

0

С другой стороны, дифференцируя (7) по t, имеем

рА*^ о d-f+PMt), t) = "(р-, fx^t), t) '(() = "fi+mvxm, t).

Тогда, используя условие (9), выводим

р2x(s(t), t) = ( +t))

21

dt \ dt 'J ds (t)/dt

( )2 m + 2MM2^x(s(t), t) * С (1 +и2x(s(t), t))

Отсюда, используя (48), получим

2 d ( ) С s( ) 2 ( ) 2

рX(s(t), t)-^- *С +-- ux"х + еС UXx"х.

x d o x o x x

Таким образом,

л2йв (^ р^®,*) С Г8« 2 Г8« 2

--;--7г~,—:—:-г" € С + — i ихйх + £с i иххйх.

2 й 3( ( ), ) 0 х 0 х х

Учитывая ограниченность сверху и снизу р(х, ¿), (40), (42), лемму 10 и следующие оценки

рЬ Г8(т) Н Г8(т) ¡'Ь Г 8(т)

/ / Крвихйхйт €С в2йхйт + С ихйхйт € С,

0 0 0 0 0 0 х

[8(г) дхрх С [8(г) 92 [8(г)

—Кл х х йх €— Чтйх + е1С вргтйх, 0 р 1 0 1 0 х

[8(г) ирх С [8(г) [8(г)

—л —хйх € — и йх + е2С рхйх, ./0 р £2 70 ]0

интегрируя (49) по времени, получим, при соответствующем выборе £1, е2, утверждение леммы

12.

Оценка температуры

Лемма 13. Существует постоянная С > 0, такая, что для любых t £ [0, Т] справедлива оценка

fs(r) ft гs(r)

max 2 d х + x d х d * С.

o* *

oo

Доказательство. Запишем уравнение для энергии в + 2и2. Для этого умножим уравнение (2)

на и и сложим с (3), в итоге получим

р (0 + т) + ри{[в + у) = a (uxu)x + кBxx - Хр0и):1

Умножим (50) на

^ - хт - ^

2

( )

и проинтегрируем по х от 0 до ( )

1 d rs(t) л U2\ j „

—т/ р --dх--,

2 d o 2 - 2 d

fs(t) L и2 \ Jo р Г U2)

( ) 1 d ( )

р ( ) 2( )-

хв "Ч - щ) ™

( )

d х+

"s(t) , ,n2/л fs(t) Л и2\\хв2Н)

+ 7Г~~р2(t)0l(t) + ^ ^в + u-j 2()

sW+t1 - ^

d х+

(50)

o

ГЧ - т)*=

[Ф) й Я Г® 2 2,+ 02(1) — вх (I) Г« = — ц и,и,хвхах — а и итах + а-—- / иихах—

,1о .1о Х ^ Уо *

ггв (Ф) — в (^ —к в2хйх — к иихвхйх + к 2( ) . .1( ) (в2(Ь) — 9х(Ь)) +

Jо л о 8(Ч

( ) ( )

+К I рвивхйх + К I рви2ихйх—

оо

_кадо -ОхИ) (51)

( ) о

Оценим некоторые слагаемые, входящие в (51):

02(1) — вх(1) Г8® Л и2^ „ Г8® 2, „ Г8® Л и2\2 J

У Р\ в + ~2) £ С ] +С у р[в + ^)

иихвхйх £ - и2и2(1х + е в2с(1х, Уо е ло -1о

г в({) д Гв^)

Я рви9х(1х £ — р2в2и2йх + еЯ в2Лх, ло £ Jо Jо

гФ) гз(1) гз(1)

К рви2и,х(1х £ К р202и2(1х + К и2и2йх. Уо Уо ло

Остальные слагаемые оцениваются очевидным образом. Интегрируя (51) по времени, получим неравенство

1 [8(г) ( и2\2 к [8(т) Г* [8(т)

-у р ( в + — ) йх + - у у в2хйхйт £ С + Мз у у и2и2<1х<1т+

¡■I пз(т) ¡-I ¡-з(т) / „ 2 \2

+С У У р2 и2ЛхЛт + С У У Р у9 + у ) Мт, (52)

где С, Мз — положительные постоянные, зависящие от Т, начальных и краевых данных. Умножим (2) на 4и3, проинтегрируем по ж от 0 до и воспользуемся (1)

а г

— ри <!х + 12ц и ихйх = 12Я рви ихйх. (И ]о л о л о

Применим неравенство Коши к правой части

(I [8(г) [8(г)

— ри йх + 12ц и и^йх £ М ]о Чо

г8(ь) 2 2, 6 к2 с8(ь)

[8(Ъ) 6К2 С^1)

£ 6ц и2и2йх +--р2в2и2йх. (53)

ло № ло

Интегрируя (53) по времени, имеем

[8(ь) л [8(т) [8(т)

/ ри йх + 6ц и ихйхс1т £ С + С рви йхйт. (54)

ло ло ло ло ло

Умножим (54) на М-3/ц и сложим с (52)

1 (8(г) (п и2\2 , к [* [8(т) п21 , Мз Г8^ 4

-1/1| I ./..I I I и2 Л ^ ^ I I /~\Г> I 4 г

г* Г<т)

ГФ) (п и2\

I р{в + -2)

р [ в + — ) йх + — в2.(1х(1т +--ри4(1х+

2 Л о Л о № Л о

+5 М3 и2и2/1хг1т £

оо

00

Далее нам понадобятся оценки:

32

Г* Г8(Т) И [■ 8(Т) / , 2\ 2

€ С + С I I р°2и йхйт + С I I р(в + — \ йхйт.

гх г8(1:)

в2(х, г) = в2(г)+ (в2)хйх € 62(^ + 2 \ввх\йх €

1 0 1 0

1 г8(^ г 8№

€ 02(*) + 1] $ йх + е I в1йх.

, 1 / а2

£ .'0

Интегрируя по времени, используя (42), имеем

2

Г 2 [8(т)

тах 2( х, ) й € С( ) + х2 й х й .

Л 0€х€8(г) 10 10

/0 0€х€8(т)

Тогда, используя (44) и (56), оценим Г* Г8(т)

П8(Т) !'Ъ Г8(Т)

р2в2и2йхйт € М2 тах в2(х, т) и2(х, т)йх

./0 0€х€ 8(т) Jo

г8(т) г*

€ м1 тах и2(х, т)йх ■ тах в2(х, т)йт €

0€т€ У0 ./0 0€х€8(т)

Г* Г8(т)

х

йт €

(55)

(56)

€ С + Се I I в^йхйт.

0 0 х

Используя последнюю оценку при соответствующем выборе е, применяя неравенство Грону-олла, из (55) получим утверждение леммы.

Лемма 14. Существуют постоянные С\,С2,С3, М2 > 0, зависящие от Т, начальных и краевых данных, такие, что для любых £ € [0, Т] справедливы следующие оценки

г8(г) г* г8(т) г* г8(т)

■ х(х, {)йх + итйхйт + ихх^

Г8(Ч п Г8(т) Г1 Г(Г)

/ их(х, {)йх + итйхйт + иххйхйт €С1, (57)

0 х 0 0 0 0 х х

[ 8® [ 8(Ь)

/ рх(х, 1)йх + р1 (х, {)йх € С2,

0 х 0

г8(г* г8(т) г* г8(т)

/ вх(х, £)йх + д2 йхйт + Оххйхйт € С3, (58)

0 х 0 0 0 0 х х

тах ( х, ) € М . (59)

(х, г)епт

Доказательство. Если учесть ограниченность в(х, Ь ) снизу, то с использованием леммы 13 имеем

г* г8(т) о2

йхйт € С.

00

Подставляя последнюю оценку в утверждение леммы 12, получим

Г8(г) гг г8(т)

^ п I п.- / / „,2

8( ) 8( )

х( х, ) й х € С + С их х й х . (60)

0 х 0 0 х х

Теперь оценка (57) получается из леммы 11 с использованием (56), (60) и оценки леммы 13. Из (60) и (57) имеем для всех £ € [0, Т]

[8(Ь)

/ рх(х, 1)йх € С.

0 х

Из уравнения (1) следует для всех t € [0,Т]

/ рг (х, ^ йх £ С. о

Оценки (58), (59) получаются из уравнения (3) стандартным образом с использованием уже полученных оценок для р и и.

Оценки теоремы в гельдеровских нормах, после того как доказаны априорные оценки лемм 1-14, получаются методами, изложенными в [25].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. J. Serrin On the uniqueness of compressible fluid motion // Arch. Rational Mech. Anal. 1959. V. 3, №3. P. 271-288.

2. D. Graffi Il teorema di unicita nella dinamica dei fluidi compressibli //J. Rat. Mech. Anal. 1953. V. 2. P. 99-106.

3. J. Nash Le probleme de Cauchy pour les equations differentielles d'un fluide general // Bull. Soc. Math. France. 1962. V. 90. P. 487-497.

4. N. Itaya The existence and unicueness of the solution of the equations describing compressible viscous fluid flow // Proc. Japan Acad. 1970. V. 46, №4. P. 379-382.

5. Вольперт А.И., Худяев С.И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сборник. 1972. Т. 87, №4. С. 504-528.

6. Солонников В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости // В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128-142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т. 56).

7. A. Tani On the first initial-boundary value problem of compressible viscous fluid motion // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1977. V. 13, №1. P. 193-253.

8. Канель Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифференциальные уравнения. 1968. Т. 4, №4. С. 721-734.

9. N. Itaya On the temporally global problem of the generalized Burgers equation //J. Math. Kyoto Univ. 1974. V. 14, №1. P. 129-177.

10. N. Itaya A servey on the generalized Burger's equation with a pressure model term //J. Math. Kyoto Univ. 1976. V. 16, №1. P. 223-240.

11. A. Tani On the first initial-boundary value problem of the generalized Burgers equation // Publ. Res. Inst. Math. Sci. Kyoto Univ. 1974. V. 10, №1. P. 209-233.

12. Кажихов А.В. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1976. Вып. 24. С. 45-61.

13. Кажихов А.В. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости, // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 38. С. 33-47.

14. Кажихов А.В. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 50. С. 37-62.

15. Кажихов А.В. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23, №1. С. 60-64.

16. Кажихов А.В., Шелухин В.В. Однозначная разрешимость "в целом" по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа Прикл. математика и механика. 1977. Т. 41, №2. С. 282-291.

17. Шелухин В.В. Периодические течения вязкого газа// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1979. Вып. 42. С. 80-102.

18. Шелухин В.В. Существование периодических решений обобщённой системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т. 43, вып. 6. С. 992-997.

19. Шелухин В.В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1980. Вып. 44. С. 147-162.

20. Белов С.Я. Разрешимость "в целом" задачи протекания для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1981. Вып. 50. С. 3-14.

21. Вайгант В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. / АН СССР. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики. 1990. Вып. 97. С. 3-21.

22. Вайгант В.А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье-Стокса сжимаемых сплошных сред: Дисс. докт. физ.-мат. наук: 01.01.02. - Барнаул: Алтайский гос. ун-т, 1998.

23. Кажихов А.В., Калиев И.А. Корректность одной модели фазового перехода газ - твердое тело. Новосибирск, 1999. 32 с. (Препр. / Мин. ОПО РФ. НГУ, НИИ Дискретной математики и информатики. №43).

24. I.A. Kaliev, A.V. Kazhikhov Well-posedness of a gas-solid phase transition problem //J. Math. Fluid Mech. 1999. V. 1, №3. P. 282-308.

25. Антонцев С.Н., Кажихов А.В., Монахов В.Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука, 1983. 319 с.

26. Калиев И.А., Подкуйко М.С. Об одной граничной задаче для уравнений вязкого теплопроводного газа в нецилиндрических убывающих со временем областях // Дифференциальные уравнения. 2006. Т. 42, №10. С. 1356-1374.

27. I.A. Kaliev, M.S. Podkuiko Nonhomogeneous Boundary Value Problems for Equations of Viscous Heat-Conducting Gas in Time-Decreazing Non-Rectangular Domains //J. Math. Fluid Mech. 2008. V. 10, №2. P. 176-202.

Ибрагим Адиетович Калиев,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,

проспект Ленина, 47а,

453103, г. Стерлитамак, Россия

E-mail: kalievia@mail.ru

Андрей Александрович Шухардин,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,

проспект Ленина, 47а,

453103, г. Стерлитамак, Россия

E-mail: shukhardinaa@gmail.com

Гульнара Сагындыковна Сабитова,

Стерлитамакский филиал Башкирского государственного университета,

проспект Ленина, 47а,

453103, г. Стерлитамак, Россия

E-mail: sabitovags@mail.ru