CC BY
100
97Г.73- С/Эилатова,
профессор кафедры «(финансовый менеджмент» С/Эинакадемии
01.^1. Орехова,
старший преподаватель кафедры «¿Математика» ростовского филиала С/Эинакадемии
"Брусова,
студентка факультета «(финансы и кредит» (финакадемии
СРЕДНЕВЗВЕШЕННАЯ СТОИМОСТЬ КАПИТАЛА В ТЕОРИИ
МОДИЛЬЯНИ-МИЛЛЕРА, МОДИФИЦИРОВАННОЙ
ДЛЯ КОНЕЧНОГО ВРЕМЕНИ ЖИЗНИ КОМПАНИИ
од структурой капитала понимают соотношение между собственными
и заёмными средствами компании. Влияет ли структура капитала на основ-
ные параметры компании, такие, как стоимость капитала, прибыль, рентабельность, стоимость компании и другие, и если влияет, то как? Выбор оптимальной структуры капитала, т.е. такой структуры капитала, которая минимизирует средневзвешенную стоимость капитала и максимизирует стоимость компании, является одной из важнейших задач, решаемых финансовым менеджером и руководством компании. Первым серьёзным исследованием влияния структуры капитала компании на показатели её деятельности явилась работа Модильяни и Миллера (ММ)[1]. До появления этой работы существовал подход (назовём его традиционным), который основывался на анализе эмпирических данных.
Традиционный подход к оценке влияния уровня заёмных средств на стоимость капитала компании, используемый до появления работ ММ, предполагал существование оптимального уровня левериджа (соотношения между собственными и заёмными средствами компании), при котором стоимость компании максимальна, а средневзвешенная стоимость капитала \VACC минимальна, т.е. компания могла увеличить свою капитализацию за счёт привлечения заёмных средств. Несмотря на то, что в этом случае требуемая инвесторами доходность (стоимость собственного капитала) растёт, этот рост не ведёт к компенсации выгод от использования более дешёвого заёмного капитала. Однако
1. Традиционный подход
с дальнейшим ростом уровня левериджа такая компенсация всё же наступает. При этом оптимальной структурой капитала является такая, уровень левериджа которой соответствует минимальной средневзвешенной стоимости капитала №АСС. Стоимость собственного капитала компании ке увеличивается с левериджем, а стоимость заёмного капитала ка начинает расти только с некоторого достаточно высокого уровня левериджа. В результате вначале средневзвешенная стоимость капитала \VACC убывает, а начиная с некоторого уровня левериджа растёт. Данный уровень левериджа и является оптимальным.
2. Теория Модильяни — Миллера
Модильяни и Миллер пришли к выводам, кардинально отличающимся от выводов традиционного подхода. Они показали в своей работе [1], что в рамках сделанных ими предположений выбор соотношения между собственным и заёмным капиталом не влияет ни на стоимость компании, ни на стоимость капитала.
Наиболее важными предположениями ММ являются следующие:
1. Инвесторы ведут себя рационально и мгновенно видят возможность получения прибыли, не соответствующей инвестиционному риску. Поэтому возможность стабильной арбитражной ситуации, т.е. получения безрисковой прибыли на разнице цен на один и тот же актив, не может сохраняться сколько-нибудь продолжительное время: инвесторы быстро ею воспользуются в своих целях и уравняют условия на рынке. Это означает, что на развитом финансовом рынке капиталов один и тот же риск должен быть вознаграждён одной и той же ставкой ожидаемой доходности.
2. Инвестиционные и финансовые возможности на рынках должны быть равнодоступны для любых категорий инвесторов — будь то институциональные или индивидуальные инвесторы, крупные или мелкие, интенсивно растущие или стабильные, искушённые или относительно неопытные.
3. Трансакционные издержки, связанные с привлечением финансирования, очень малы. На практике величина трансакционных издержек обратно пропорциональна сумме привлекаемых финансов, поэтому данное предположение тем больше соответствует реальности, чем о больших суммах идёт речь, т.е. при привлечении незначительных сумм трансакционные издержки могут быть велики, в то время как при привлечении крупных кредитов и займов, так же как и при размещении акций на значительную сумму, трансакционными издержками можно пренебречь.
4. Инвесторы получают деньги и предоставляют средства в долг под безрисковую ставку. Риск кредитора действительно мал, а его позиция может считаться безрисковой по отношению к позиции заёмщика и соответственно должна быть вознаграждена лишь безрисковой ставкой доходности.
5. Компании имеют только два вида активов: безрисковые заёмные и рисковые собственные.
6. Отсутствует возможность банкротства, т.е. независимо от того, до какого уровня доводят свой финансовый леверидж компании-заёмщики, банкротство им не угрожает. Таким образом, издержки банкротства отсутствуют.
7. Отсутствуют корпоративные налоги и налоги на личные доходы инвесторов.
Если персональными налогами действительно можно пренебречь, поскольку имущество компании отделено от имущества акционеров, то корпоративные налоги на прибыль необходимо учитывать при разработке более реалистических теорий [2].
8. Компании находятся в одном классе рисковых компаний.
9. Все финансовые потоки являются перпетуитетами.
10. Компании обладают одинаковой информацией.
11. Менеджмент компании максимизирует собственный капитал компании.
Большая часть этих предположений, конечно, нереальна. Однако некоторые предположения можно ослабить без изменения выводов модели ММ. Так, например, предположение о безрисковости заёмного капитала компании не изменяет полученных результатов. Однако предположения об отсутствии издержек банкротства и налогов (либо о наличии только лишь корпоративных налогов) критичны — изменение данных предпосылок меняет выводы модели ММ. Последние два предположения исключают возможность сигнализирования и агентских издержек и, таким образом, также представляют собой критические предпосылки.
Особое внимание следует уделить предположению 8 — компании находятся в одном классе рисковых компаний, это означает, что в данном классе компаний операционные денежные потоки полностью коррелированы. Другими словами, денежные потоки различных компаний из одной группы риска отличаются лишь на некий постоянный множитель CFІ, = ОС • , • Таким образом, это
предположение аналогично предположению о равенстве доходности проектов в данном классе компаний.
Рассмотрим сначала вычисление средневзвешенной стоимости капитала в теории Модильяни — Миллера, оставаясь в рамках вышеперечисленных ограничений. Затем учтём влияние корпоративных налогов и, наконец, исследуем более реальный случай компании с конечным временем жизни (проект с конечным финансовым потоком) и вычислим средневзвешенную стоимость капитала при отмене ограничения 9. При этом получим общее уравнение для нахождения \VACC в случае п — годичного проекта, которое решим для двух частных случаев: одногодичного и двухгодичного проектов.
Модель ММ без учёта налогов
Первоначально ММ анализировали влияние финансового левериджа, предположив отсутствие каких-либо налогов на доходы корпораций или физических лиц. Исходя из своих допущений они сформулировали и доказали два утверждения:
При отсутствии налогообложения общая стоимость любой компании определяется величиной её чистой ожидаемой операционной прибыли EBIT, дисконтированной по фиксированной ставке kQ , соответствующей группе бизнес-риска этой компании:
где индекс означает финансово зависимую компанию, а индекс С/ — компанию, не применяющую финансовый леверидж (финансово независимую).
Предполагается, что обе компании относятся к одной и той же группе делового риска, а к{) соответствует требуемой доходности финансово независимой компании, имеющей такой же деловой риск.
Поскольку, как следует из формулы (1), стоимость компании не зависит от величины долга, то согласно теореме ММ при отсутствии налогов стоимость компании не зависит от способа её финансирования. Это также означает, что средневзвешенная стоимость капитала \VACC этой компании не зависит от её структуры капитала и равняется стоимости капитала, которую имела бы данная компания при финансировании только за счёт акционерного капитала. Отметим, что первая теорема ММ базируется на предположении о независимости средневзвешенной стоимости капитала и стоимости заёмных средств от уровня левериджа.
Из утверждения Модильяни — Миллера, что средневзвешенная стоимость капитала не зависит от левериджа (в отсутствие корпоративных налогов), легко получить выражение для стоимости собственного капитала:
WACC = k=kw + k.w..
О ее а а
(2)
Находя отсюда ке, получим
где Л — величина заёмного капитала компании; 5 — величина собственного
, V , В
(акционерного; капитала компании; =------- — стоимость и удельный
I) <5*
я
вес заемного капитала компании; к М? =-------- — стоимость и удельный вес
собственного капитала компании; Ь = Г)! Б — финансовый леверидж (финансовый рычаг).
Формула (3) позволяет сформулировать второе утверждение теории Модильяни — Миллера о стоимости акционерного капитала финансово зависимой компании:
Стоимость акционерного капитала финансово зависимой компании ке может быть найдена как стоимость к{) акционерного капитала финансово независимой компании той же группы риска, увеличенная на премию за риск, размер которой зависит от разницы между стоимостью акционерного капитала финансово независимой компании и заёмного капитала и от доли заёмного капитала в пассивах компании:
К =к0+(к0-кс!)1,
где ка — не зависящая от величины левериджа процентная ставка по долгу.
Формула (3) указывает на то, что по мере увеличения доли заёмных средств, используемых фирмой, возрастает и стоимость её собственного капитала, причём линейным образом.
В совокупности эти два утверждения ММ подразумевают, что повышение уровня заёмных средств в структуре капитала компании не приводит к росту стоимости фирмы, потому что выгоды, полученные от применения более дешёвого заёмного капитала, будут в точности компенсироваться увеличением риска (речь идёт о финансовом риске, риске банкротства), а следовательно, и ростом стоимости акционерного капитала компании: инвесторы увеличивают требуемый уровень доходности при возрастании риска, которым сопровождается повышение уровня заёмных средств в структуре капитала компании. Таким образом, приведённая теорема ММ утверждает, что при отсутствии налогов структура капитала компании не влияет ни на стоимость компании, ни на её средневзвешенную стоимость капитала \VACC, а стоимость акционерного капитала растёт линейно с ростом финансового рычага.
Пояснения ММ к полученным ими выводам состоят в следующем. Стоимость компании зависит только от доходности и риска и не зависит от струк-
туры капитала. Основываясь на принципе сохранения стоимости, они утверждают, что стоимость компании, равная сумме собственных и заёмных средств, не меняется при изменении соотношения между её частями (принцип пирога: пирога не станет больше при любом способе его разрезания). Важную роль в обосновании утверждения ММ играет наличие на совершенных рынках арбитражных возможностей. Две одинаковые компании, отличающиеся только уровнем левериджа, должны иметь одинаковую стоимость. Если это не так, арбитраж выравнивает стоимости компаний: инвесторы компании меньшей стоимости могут вложить капитал в компанию большей стоимости. Продажа акций первой компании и покупка акций второй компании будут продолжаться до тех пор, пока стоимости обеих компаний не сравняются.
3. Модификация теории Модильяни — Миллера Налог на прибыль корпорации
В реальной ситуации налоги на прибыль компаний всегда существуют. Поскольку проценты, выплачиваемые по долгу, исключаются из налогооблагаемой базы, это приводит к так называемому эффекту «налогового щита»: стоимость компании, пользующейся заёмным капиталом (рычаговой компании), оказывается выше стоимости компании, финансируемой исключительно за счёт собственных средств (безрычаговой компании). Величина «налогового щита» за один год равна Кот , где К — проценты по долгу; в — величина долга;
Т — ставка налога на прибыль. Величина «налогового щита» перпетуитетной
компании за всё время её существования равна:
(РУ)тз =клОТ^ (1 +кау = от (4)
г=1
(мы использовали формулу для суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии), а стоимость рычаговой компании V равна:
У = У0+ОТ, (5)
где К — стоимость безрычаговой компании.
Таким образом, приходим к третьему утверждению, полученному Модильяни и Миллером:
Стоимость финансово зависимой компании равняется стоимости компании той же группы риска, но использующей леверидж, увеличенной на величину налогового щита, возникающего за счёт финансового левериджа и равного произведению ставки корпоративного налога на прибыль Т на величину заёмных средств £).
Найдём теперь выражение для стоимости собственного капитала компании при наличии корпоративного налогообложения. Учитывая, что У0= CF/ к0,
а удельный вес заёмных средств компании =П/У, получим
¥= СР/к0+М?а¥Т. (6)
Так как стоимость рычаговой компании выражается через средневзвешенную стоимость капитала тсс следующим образом: V — СР / }¥АСС , то для средневзвешенной стоимости капитала имеем:
}¥АСС = к0(1-паТ). (7)
Отсюда получаем зависимость \УА('( ' от финансового рычага Л = I)/8 :
1¥АСС = к0(\-ЬТ1 (\+Ц). (8)
С другой стороны, по определению средневзвешенной стоимости капитала с учётом «налогового щита» имеем
1¥АСС = к0м>е + клч>л (1-Г). (9)
Приравнивая (7) и (9), получим следующее выражение для стоимости собственного капитала:
К = К+^(1-т)(К-К) = К+ь(1-т)(К-К)- (10)
Таким образом, приходим к четвёртому утверждению, полученному Модильяни и Миллером:
Стоимость собственного капитала финансово зависимой компании, уплачивающей налоги на прибыль, равняется стоимости акционерного капитала финансово независимой компании из той же группы риска, увеличенной на величину премии за риск, размер которой зависит от разницы между стоимостью акционерного капитала финансово независимой компании и заёмного капитала, от величины используемого заёмного капитала и от ставки налога на прибыль компании.
Отметим, что формула (10) отличается от соответствующей формулы (3) без учёта налогов только появлением множителя (1—Т) в члене, обозначающем премию за риск. Так как этот множитель меньше единицы, появление корпоративных налогов на прибыль приводит к тому, что стоимость акционерного капитала растёт с ростом финансового левериджа медленнее, чем это происходило бы без них.
Преобразуем формулу для средневзвешенной стоимости капитала следующим образом:
ЖАСС = к.п.+кма-Т)=к.-^ + кА1-Т)-^ = к.-±- + к11а-Т), 1
£ + £> а Б + Б е1 + Ь а 1+ Ь
= ке^— + ке^—-ке^- + кЛ{\-Т)^- = ке+^—[(1-Т)к11-кХ (Ю’)
\+ь \+ь \+ь \ + ь \+ь
В пределе Ь —> , когда компания финансируется исключительно за счёт
заёмных средств, имеем ЖАСС = кл (1 — Т) .
Анализ формул (7), (9), (10) и (10’) приводит к выводам о том, что с ростом финансового левериджа:
1) стоимость компании возрастает;
2) средневзвешенная стоимость капитала убывает от к0 (при Ь, = 0 ) до
кй{ 1 —Т) (в пределе Ь —> со). Отметим, что утверждение в ряде источников о том, что ЖАСС —> (1 — Г), является неверным (оно противоречит хотя бы
тому факту, что в пределе Ь —> компания имеет только заёмные средства стоимости кл и не имеет собственных средств стоимости к0 );
3) стоимость собственного капитала растёт линейно от к{) (при Ь, = 0 )
до 00 (при Ь —> ).
Конечное время жизни компании
ММ предполагали, что все финансовые потоки являются перпетуитетами. Поскольку в действительности время жизни компании конечно, это условие оказывается одним из слабых мест теории Модильяни и Миллера. Учёт конечности времени жизни компании меняет формулы, полученные ММ. Так, Майерс [3] показал, что для одногодичного проекта средневзвешенная стоимость капитала будет иметь вид:
, (1 + ^0 Ж т
УУАСС = к-~----------(11)
1 + ка
Таким образом, формула (11) для средневзвешенной стоимости капитала имеет аналогичное выражение в теории Модильяни и Миллера только лишь при к0 = ка . По всей видимости, данная оценка представляет собой нижнюю границу оценки средневзвешенной стоимости капитала.
Рассмотрим ситуацию для конечного промежутка времени. Найдём величину налогового щита компании за п лет:
(РУ\8 = М)7-£(1+^г = огГ1-(1+^г1 (12)
?=1
(мы использовали формулу для суммы п членов геометрической прогрессии);
г = К+(п% =^+вг[1-(1+<:„)-"] = (';+и,/т[1-(1+^Г]; (13) К ([ - м,,гг [1 - (1+к, Г ])=К = СР/К; (14)
\¥АСС = СР/У =ка-к<<м,11т[\-(\ + к<,у} . (15)
При п — 1 получаем следующее выражение для средневзвешенной стоимости капитала:
во втором слагаемом.
Возникшая разница связана с использованием двух формул для стоимостей финансово независимой и финансово зависимой компаний:
У„ = СР/к„ *У = СЕ/ \VACC. (17)
Дело в том, что эти часто используемые формулы получены для перпету-итетной компании и в случае компании с конечным временем жизни должны быть модифицированы таким же образом, как и величина налогового щита:
г0 = СР [1 - (1+ к0 У]/к0; V = СР [1 - (1 + ЖАССУ ]у^4СС. (18)
Из формулы (18) получаем уравнение для \VACC
тсс
(19)
При п — 1 получаем формулу Майерса для одногодичного проекта:
1 + к
(20)
с1
При п — 2 имеем
Это уравнение ещё можно решить относительно \VACC:
ЖАСС =
(19)
2а
2 + к0
где а =---------------------
(1 + *о)3
2 кл+к] 1—со J d d
При п — 3 и п — 4 уравнение для \VACC становится довольно громоз-дким, но его всё ещё можно решить аналитически, а при п > 4 оно решается только численно.
Сделаем важное методическое замечание: при учёте конечного времени жизни компании все формулы без исключения должны быть получены с учётом этого факта, т.е. необходимо использовать формулы (18) вместо их перпету-итетных пределов (17).
Таким образом, теория Модильяни и Миллера [1,2] построена в рамках многочисленных ограничений, снятие которых существенно меняет её выводы. Если учёту корпоративных и индивидуальных налогов, возможности банкротства и ряду других ограничений уделялось большое внимание, то значительно меньше исследовалось предположение ММ о том, что все финансовые потоки являются перпетуитетами (время жизни компании не ограничено) [3]. В действительности время жизни компании всегда конечно, и учёт этого существенным образом меняет формулы, полученные ММ, в частности для средневзвешенной стоимости капитала №АСС. В данной работе нами получено общее уравнение для нахождения \VACC в случае п — годичного проекта, которое решено для двух частных случаев: одногодичного и двухгодичного проектов. Отметим, что использование полученных нами уравнений для проектов, рассчитанных на несколько (до 10) лет, и для компаний, работающих на рынке до 10 лет (что довольно распространено в РФ), существенно меняет оценку средневзвешенной стоимости капитала проекта (компании) (подробнее см. [4]).
ЛИТЕРАТУРА
1. Modigliani F., Miller М. American Economic Review, v.48. P. 261—297. 1958.
2. Modigliani F., Miller M. American Economic Review, v.53. P. 147—175. 1963.
3. Myers S. Journal of Economic Perspectives, v.15. P. 81—102. 2001.
4. Финансовый менеджмет: Учебное пособие / П.Н. Брусов, Т.В. Филатова. М.: Инфра-М, 2009.
