CC BY
37
1ИС:ЛЕННЫ1: МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ оптики
Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский, В.А. Сойфер, С И. Харитонов
СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ АНАЛИТИЧЕСКИХ И ИТЕРАЦИОННЫХ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ОТРЕЗОК.
Введение
Фазовые оптические элементы-фокусато-ры, синтезируемые методами компьютерной оптики 111. позволяют реализовать фокусировку лазерного излучения в заданную фокальную кривую. Ввиду сложности решения обратной задачи фокусировки фазовые функции фокуса-торов получены только для случаев фокусировки в простые фокальные кривые такие как отрезок, кольио. полукольцо и т.п. Наибольшее практическое значение имеет задача фокусировки в отрезок. В большинстве случаев фокальная линия произвольного вида может быть аппроксимирована набором отрезков с достаточной для практических целей точностью. Разбиение апертуры фокусатора на несколько областей (по числу отрезков), каждая из которых фокусирует излучение в отрезок требуемой длины и направления, позволяет сфокусировать излучение в сложную фокальную кривую 12-6]. Таким образом, задачу фокусировки в отрезок можно рассматривать как эталонную задачу формирования фокальной линии, являющуюся неотъемлемым этапом синтеза составных фокусаторов в сложные фокальные контура.
Рис.1 Геометрия задачи фокусировки в отрезок
Рассмотрим задачу фокусировки лазерного пучка с комплексной амплитудой
и/0(а) =^10(й)ехр(/7сгде /0(сГ) - интенсивность освещающего пучка, ^(сг) эйконал пучка, к=2к/Х, X - длина волны, в отрезок
фокальной плоскости |л|<</ (см.рис. 1). Фокальная плоскость отстоит на расстояние /от плоскости элемента. Апертуру фокусатора О предполагаем ограниченной кривыми отрезками прямых а, и=Ь.
В данной статье проводится сравнительный анализ известных и новых решений сформулированной задачи фокусировки.
1. Исследование геометрооптических фокусаторов и фокусаторов с дифракционными поправками.
Наибольшее распространение получил геометрооптический подход к синтезу фокусаторов. Для геометрооптических фокусаторов в кривую вводится понятие слоя [6-8| - линии на фокусаторе, все точки которой фокусируют излучение в одну и ту же точку фокальной кривой. При фокусировке в отрезок в параксиальном приближении слои имеют вид прямых, перпендикулярных геометрическому отрезку. При этом фазовая функция геометрооптичес-кого фокусатора в отрезок имеет вил 16.7,9.10|:
ф(0)"!И/к(Ш^о(о)
Ч>
(1)
Функция х-к(и) в (1) описывает соответствие между слоями на фокусаторе и точками фокального отрезка. Конкретный вид находится из решения дифференциального уравнения:
(2)
с граничными условиями к(а)=-с1,
Уравнение (2) соответствует закону сохранения светового потока падаюшего с фокусатора на элемент фокальной кривой. Распределение мощности излучения вдоль фокального отрезка описывается "линейной плотностью" - функция в в{х) (2). Для уяснения
сушностигеометрооптическогорешения проведем дифракционный анализ поля в фокальной плоскости фокусатора (1),(2).
В параксиальном приближении интеграла Кирхгофа комплексная амплитуда \м(Х) в плоскости фокусировки имеет вид:
- Гй-0(о)вкр(4(«))вхр( '^{х-о^уи
Подставляя (1) в (3) получим:
(3)
д*а
(4)
сУк
ди
) 2ехрі-^уу
и-и,) \ Т )
йу.
В случае Л<е. где А - дифракционная ширина отрезка, заменим пределы во внешнем интеграле на бесконечные и применим равенство Парсеваля. В результате уравнения (7) с учетом (2) примет вид:
ц(*,е)=0(х), е»Д.
По методу дифракционного расчета |11,12| может быть получена дифракционная аппроксимация интеграла (4), основанная на использовании метода стационарной фазы при интегрировании поперек слоя, то есть по переменной и, причем:
| 2ехр|--у>у дч
(5)
Согласно (8), под линейной плотностью следует понимать интеграл от интенсивности, взятый в направлении поперек отрезка. Таким образом, геометрооптический подход ограничивается е>Л, что, например, не позволяет создать требуемое распределение интенсивности вдоль фокального отрезка.
В работе 1131 дифракционное соотношение (7) было использовано для расчета фокуса-тора с дифракционными поправками, формирующего требуемое распределение энергии вдоль фокального отрезка при произвольном є. Фазовая функция фокусатора с дифракционными поправками также имеет вид (1). При этом дифференциальное уравнение для к(х) в (I) может быть получено из (7) в виде:
где их - решение х=к(и) уравнения относительно и.
Приведенная аппроксимация хорошо описывает дифракционные эффекты в поперечном сечении фокального отрезка, но не вблизи КОНЦОВ.
Введем функцию *'7
ц(х,с)= I 1(х,и)с/у ,
-с/2
характеризующую распределение энергии в е-окрестности фокального отрезка. Подставляя (5) в (6) запишем ц(х,е) в виде:
*14__________1
<Л/ ц(к(и),е)
* І
Л5Ц-тЧ‘
<*у.
к(а) = -с/, к (¿>)=^.
(9)
При постоянной интенсивности освещающего пучка уравнение (9) примет вид:
(Ю)
ди
к(а)»-гі, к(1%*д.
где с - константа; Ф(р)-ад)-р8тс2(р),
8іпс(Р).в1 .
О * Р
В частном случае е<Л разложим обе части уравнения (9) в ряд по степеням е и учтем только линейные члены разложения. При этом уравнение для к(и) примет вид:
1
сій 1(к(и))
-9*и)
Л(")
(11)
где /(л) - заданная интенсивность на отрезке при ><=0, \x\id.
Интересно провести сравнительный анализ работоспособности геометрооптического фокусатора (1), (2) и фокусатора с дифракционными поправками (1), (9). Сравнение проведем на примерах фокусировки пучков круглого и кольцевого сечений в отрезок с постоянным распределением энергии.
Функция к(и) для фокусатора с дифрак-
ционными поправками при равномерном освещающем пучке круглого сечения радиуса Я
имеет вид (10) при /Дл,е)=сопЯ ид,(и)=-уЯ2-и 2 ,
дг(и)=уЯ'-и2 . При равномерном освещающем пучке кольцевого сечения к(и) ищется из решения следующего дифференциального уравнения:
«2
^-оШ^Ми))2
-«/2
хвіпе 2 " а (°)])х
хС082|^>|/я^Аа((; )]|^к
(12)
где с - константа,
«(¿/)=/я,2-(;2 Рес*(—
\ 2Я
ПвсЦи)
1.|ф1/2 І.О. \и\>М2
Л,, А2 - внутренний и внешний радиусы кольцевого освещающего пучка.
Следует отметить, что дифференциальные уравнения для функций к{и) геометрооптических фокусаторов имеют существенно другой вид:
(Іи
к(-Я)«-<У, к(Я)=<* при круглом освещающем пучке и
(13)
*44
СІи
(и V Я,2-и2
І2Я,Л
(14)
к(-Я2) = -£/, к(Я2) = сУ
при кольцевом освещающем пучке.
Для характеристики качества фокусировки будем использовать значения энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения <5.
[|i(x,c)dx
Величина Е(є)=.
¡IW'
характеризует
а
долю энергии освешаюшего пучка, фокусируемую в е-окрестности фокального отрезка.
Величина Мє)=-
J(ü(X,€)-/7
dx
характе-
ризуетсреднеквадратичное отклонение распределения энергии /а(л\е) вдоль фокального отрезка от среднего значения
T=-^l ii(x,e)dx
П ри е< А <5 (е) с оответствует с редн е квадра -тичному отклонению распределения интенсивности вдоль геометрического отрезка от постоянной величины.
В левой части таблицы 1 для различных в приведены значения Е(е) и <J(е) для геометрооптического фокусатора в отрезок при освещающем пучке круглого сечения. В правой части таблицы приведены аналогичные значения для фокусаторов с дифракционными поправками, рассчитанных при значениях е, указанных в первой колонке таблицы, где A=Xf/R - дифракционная ширина в центре отрезка фокусировки.
Таблица 1 Характеристики качества фокусировки для геометрооптичского фокусатора и фокусаторов с дифракционными поправками при освещающем пучке круглого сечения
€ Геомстроо птичес-кий фокусатор Фокусаторы с дифракционным и поправками
Е (%) 6(%) Е(%) 6 (%)
(<Д 24,3 — 14,6
Д/2 65,6 27.1 65,2 13.4
д 85.9 18.1 85,6 14,5
ЗД/2 88,5 17,6 88,2 16,1
2д 95.1 15,8 93,1 14,9
Данные таблицы I получены численным расчетом интеграла Кирхгофа по методу |14] при следующих параметрах: ¿=1,0бмкм,
/= 100мм. 2^0.68мм и радиусе освешаюшего пучка Л=5мм. Анализ данных таблицы 1 показывает. что при фактически равной энергетической эффективности Е(е), фокусатор с
дифракционными поправками позволяетсфор-мировать более равномерное распределение энергии в ^окрестности фокального отрезка. При е<Д. е=А/2 и е=А среднеквадратичное отклонение б(є) для фокусатора с дифракционными поправками меньше чем для геометрооптического фокусатора в 1.6, 1.6 и 1.25 раза соответственно. Графики функций р(х,е) при є<А. е=А/2 и е=А для геометрооптического фокусатора приведены на рис.2, а для фокусатора с дифракционными поправками - на рис.З. При увеличении є относительно Д фокусатор с дифракционными поправками не п оз вол я ет с ушестве н н о ум е н ьш ить с ре д н е квад -ратичное отклонение <5(е) по сравнению с геометрооптическим фокусатором. В частности при е=2А геометрооптический фокусатор и фокусатор с дифракционными поправками работают фактически одинаково.
ai.
Т '-S5 " S
й(*/)
I
4
иг г
ь> _
'-"■v
as
>м
с)
,v4
a*
ТСГТ
ЦЬьИ
****** 1} \
І І
ы А, 1 і у1vV.— 1 | ОУ і |MÙU) \
і
J и ь • ж 16 Л
-і -ai о
11
Л
a>
1 / і \ , *16 ! \ШІІ
-і -aS 6 a:i 1 -1 -15 4 ffil *
Рис 2 Функция д(х.«) для геометооптичсского фокусатора при равномерном освещающем пучке круглого сечения; а)і<Д. Ь)с=Д/2, c)t=A
Рис.З Функция li(x.t) для фокусатора с дифракционными поправками при равномсрномос встающем пучке круглого сечения. а)«<Д, Ь)с=Д/2. с)«=Д
В таблице 2 приведены значения Fie) и 6{е) для геометрооптического фокусатора и фокусатора с дифракционными поправками при кольцевом освещающем пучке. При кольцевом освещающем пучке дифракционная ширина в центре фокального отрезка
проводился при 2</=!мм, /?,=Змм.
А=2Л//(Лг-Л,). Расчет Л=1,06мкм, /= 100мм,
Лг=5мм.
Согласно данным таблицы 2. для геометрооптического фокусатора распределение энергии ц(х,е) наиболее неравномерно при е<А и
Таблица 2. Характеристики качества фокусировки ДЛЯ гсометрооптичского фокусатора и (|хжусаторов с дифракционными поправками при кольцевом освсшаюшсм І.учке.
1 Геометрооптичес -кий фокусатор Фокусаторы с дифракционными поправками
Е (%) 6{%) П (%) 6 (%)
<<д — 28,3 — 13,3
Д/4 62,3 36.3 62.2 16,2
Д/2 83,7 18,6 83.6 14,8
ЗА/4 89,7 18,2 89,5 15.0
А 90,9 15,6 90,8 15,2
«•=4/4; ¿(е) |= 28,7%, <5(4/4) = 36.3%
(рис.4а,4Ь). При указанных параметрах фокуса-тор с дифракционными поправками характеризуется более чем в два раза меньшим среднеквадратичным отклонением (рис.5а,5Ь). При е=А/1 фокусатор с дифракционными поправками позволяет уменьшить 6{е) уже только в 1,26 раза (см.рис.4с,5с), а при е=А геометрооптический фокусатор и фокусатор с дифракционными поправками работают практически одинаково.
Mix.*)
wW
OS
-
\жЫ
-Г-1Гв—ЇГ 1 ■—
. UU-i)
I
O.i
\яІі
T " 53—5—її Г —
C)
К
СЛ
И<ж.«>
/
Рис 4 Функция д(Х,€) ДЛЯ геометрического фокуса-тора при равномерном освещающем пучке кольцевого сечения. а)с«А. Ь)€=Д/2. с)* “А
• М
-І -4з-аі55~
Рис.5 Функция д(х.с) ДЛЯ фокусатора с дифракционными поправками при равномерном освещающем пучке кольцевого сечения; а)««Д, Ь)«=д/2. с)<=Д
что фокусаторы с дифракционными поправками при освешаюших пучках круглого и кольцевого сечений позволяют сформировать требуемое распределение энергии ц(.х,е) вдоль фокального отрезка при произвольном є с погрешностью в 13-16%. Геометрооптический фокусатор является частны м случаем фокусатора с дифракционными поправками и при значении е, равном дифракционной ширине отрезка фокусировки, формирует распределение энергии ц(х,е) с ошибкой порядка 16%.
2. Сравнительный анализ итерационных и аналитических методов в задаче фокусировки в отрезок.
В связи с широким распространением дифракционных методов расчета 115-18| представляется актуальным провести сравнительный анализ оптических элементов для фокусировки в отрезок, рассчитанных по итерационному алгоритму Герчберга-Секстона и фокуса-торов с дифракционными поправками. Анализ проведем дія случая формирования заданной интенсивности /(л) вдоль фокального отрезка. Фазовую функцию фокусатора с дифракционными поправками (1), (10) запишем в виде:
(15)
где
ц>
(16)
Выше расчет функции Ди) был основан на аналитическом выборе гладкого соответствия к{ч) (10) между слоями на фокусаторе и точками фокального отрезка. Рассмотрим методику расчета функции Ди) по итерационному алгоритму Герчберга-Секстона. Для применения итерационных методов в задаче фокусировки в отрезок предлагается представить поле в фокальной плоскости элемента (15) в виде:
где
Проведенное исследование показывает.
йг(")
у (и,у)
у)ехр
(¡V
18)
ДМ
Выражения (17), (18) получены из интеграла Кирхгофа (3) интегрированием по переменной у. Согласно (17), поле вдоль оси л (вдоль фокального отрезка) можно интерпретировать как результат преобразования одномерного (цилиндрического) пучка с амплитудой у(»,0) элементом с фазовой функцией /[и). Поэтому для формирования заданной интенсивности /(.*)= |и(л,0) |2 вдоль фокального отрезка расчет /[и) может проводиться по одномерному алгоритму Герчберга-Секстона, что существенно снижает вычислительные затраты.
Таблица 3. Характеристики качества фокусировки для фокусатора с дифракционными поправками и итерационных элементов, рассчитанных по алгоритму Герчберга-Секстона
V Фокусатор с дифракционными поправками Итерационные элементы
Начальное приближение -случайная фаза Начальное приближение -фаю ван функция фокусатора с дифракционными поправками
Е (%) 6 (%) Е(%) 6 (%) Е<%) 6 (*>
4 79,9 26,7 83,1 37,1 83.4 26,8
8 82,3 23,1 82,9 28.1 84.9 17.1
16 84,0 16,6 83,4 28,4 85,6 12.6
32 84,8 14,6 82,7 33,0 84,8 13,3
В таблице 3 приведены значения энергетической эффективности Е(А) и среднеквадратичного отклонения интенсивности <5 вдоль отрезка фокусировки от постоянной величины в зависимости от величины ч=2(1/А. характеризующей длину фокального отрезка по сравнению с дифракционной шириной А в центре отрезка. Данные таблицы 3 соответствуют случаю фокусировки равномерного пучка круглого сечения радиуса Л (при этом А=Х//Я). В левой части таблицы 3 приведены значения Е(А), 6 для фокусатора с дифракционными поправками (1), (11), соответствующего выравниванию интенсивности на геометрическом отрезке. В средней части таблицы 3 приведены Е(А), Л для дифракционного элемента рассчитанного по алгоритму Герчберга-Секстона при выборе в качестве начального приближения
случайной фазы, равномерно распределенной в интервале |0.2?г|. В правой части таблицы 3 приведены значения Е(А), <5 для элемента, рассчитанного поалгоритму Герчберга-Секстона с фазовой функцией фокусатора с дифракционными поправками (1). (11) в качестве начального приближения. Расчет для двух последних случаев проводился с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье при следующих параметрах: числе отсчетов Л-512, числе отсчетов на апертуре фокусатора Л’и=256. При этом шаг в фокальной области Ах=А/4, а число отсчетов вдоль фокального отрезка длины 7(1=1) А соответствует значению -4=41). При расчете итерационных элементов выполнялось 30 итераций, что для приведенных в таблице 3 случаев оказывалось достаточным для полной стабилизации алгоритма. При этом после первых 5-10 итераций расчетная интенсивность 1п(х) на шаге не обнулялась при |л|></, а оставлялась неизменной (как отмечено в работе 118], это позволяет улучшить сходимость алгоритма). Анализ данных таблицы 3 показывает, что в обшем случае фокусатор с дифракционными поправками позволяет сформировать более равномерное распределение интенсивности вдоль фокального отрезка, чем "итерационный" элемент при случайном начальном приближении. Использование в качестве начального приближения фазовой функции фокусатора с дифракционными поправками (1), (11) позволяет уменьшить среднеквадратичное отклонение 6 на 1-3% и увеличить энергетическую эффективность Е(А) на 1-2%.
В работах [19,20] в алгоритме Герчберга-Секстона предложено использовать процедуру адаптивной коррекции, позволяющую улучшить сходимость итерационного процесса. Процедура адаптивной коррекции состоит в замене получаемого распределения интенсивности /п(л) на каждом шаге не на требуемое распределение /(*) (как в классическом варианте алгоритма Герчберга-Секстона), а на скорректированное распределение /п (х), полученное прибавлением к /(л) разности между' требуемым и полученным распределениями интенсивности с выбираемым коэффициентом а:
/п‘(х)=/(х)-сі(/(х)-/„(*))
(19)
В таблице 4 приведены значения Е(А), 6 для итерационных элементов, рассчитанных (за 30 итераций) при использовании процедуры адаптивной коррекции При этом первые несколько итераций выполнялись по алгоритму Герчберга-Секстона (пока среднеквадратичное
Таблица 4 Характеристики качества фокусировки для итерационных элементов, рассчитанных по алгоритму
V Начальное приближение - случайная фаз;» Начальное приближение - фазовая функция фокусатора с дифракционными поправками
Е (%) 6 (Ж) Е (%) 6 (%)
4 83,1 37.1 83.4 26,8
8 82,9 28.1 84.9 17,1
16 83,4 28.4 85,6 12.6
32 82.7 33.0 84,8 13,3
отклонение полученного распределения интенсивности от требуемого распределения убывает быстро ), а затем применялась процедура адаптивной коррекции при «=1. Сравнительный анализ таблиц 3,4 показывает, что применение процедуры адаптивной коррекции при фазовой функции фокусатора с дифракционными поправками в качестве начального приближения позволяет уменьшить среднеквадратичное отклонение по сравнению с фокусато-ром с дифракционными поправками на 10-20% (в 3-7 раз) при незначительном снижении энергетическойэффективностиД Л). Применение процедуры адаптивной коррекции при случайном начальном приближении обеспечивает некоторое уменьшение 6 (на 3-15%) для малых длин (4.4-164) фокального отрезка при снижении энергетической эффективности Е(Л) на 8-15%. Анализируя данные таблиц 3,4 можно отметить следующую тенденцию: с увеличением длины отрезка фокусировки эффективность применения итерационных методов (при случайном начальном приближении) по сравнению с фокусатором с дифракционными поправками уменьшается.
В качестве примера на рис. 6а-6е приведены графики функции ;{и) дпя следующих случаев: рис.6а - для фокусатора с дифракционными поправками. рис.бЬ.бс - дпя "итерационных" элементов, рассчитанных по алгоритму Герчберга-Секстона при случайной начальной фазе и при фазовой функции фокусатора с дифракционными поправками в качестве начальных приближений, рис.6Ь,6е - дпя итерационных элементов, рассчитанных с применением процедуры адаптивной коррекции при случайной фазе и при фазовой функции фокусатора с дифракционными поправками в качестве начальных приближений. Указанные графики получены дпя фокусировки в отрезок длины 2^=164. На рис. 7а-7е показаны расчетные распределения интенсивности вдоль фо-
Ки)
-1 -0.5 01
аз I
Рис.6 Функция С(и) для следующих фокусаторов: а) с дифракционными поправками, Ь) итерационного элемента при случайной начальной фате, с) итерационного элемента при начальной фазе фокусатора с дифракционными поправками. <Я итерационного элемента, рассчитанного с применением процедуры адаптивной коррекции при случайной начальной фазе, е) итерационного элемента, рассчитанного с применением процедуры адаптивной коррекции при начальной фазе фокусатора с дифракционными поправками.
кального отрезка при функциях, приведенных на рис.ба-бе. Всплески интенсивности вне отрезка фокусировки на рис.7с! объясняются тем, что процедура адаптивной коррекции не учитывает вид распределения интенсивности вне области фокусировки. В то же время процедура адаптивной коррекции не ухудшает распределение интенсивности вне отрезка фокусировки дпя фокусатора с дифракционными поправками (см. рис.7а.7с1).
Анализ (табл.3,4, рис.7а-7е ) показывает эффективность фокусатора с дифракционными поправками. В частности, итерационный алгоритм Герчберга-Секстона не позволяет заметно улучшить качество работы такого фокусатора. В ~о же время использование его фазовой функции в качестве начального приближения дпя алгоритма Герчберга-Секстона с адаптивной коррекцией позволило существенно уменьшить среднеквадратичное отклонение <5.
Интересно отметить, что полученное с помошью процедуры адаптивной коррекции улучшение характеристик фокусатора с дифракционными поправками сохраняется при
*’ А К*) . /і •11«) № V* г и
1 ! і і
і і і \х/іі { / ХІ4
•1 -¿5 0* асг — • 5 о 5
'!<»>
' И»)
5—¡ЕП
л)
іШ‘\ї
х /л • Л;і * /ч
і~ -----------------=і"-4'5 й' 33—1
• ) !<*>
1
I I Л» 1л */<(
-і -Л5 0» й5 1
Рис 1 Распределение ишенсивности вдоль фокальною отрезка для следующих <|*о кусаю ров а) с дифракционными поправками. Ь) итерационною элемента при случайной начальной фазе, с) итерационною элемента при начальной фах фокусатора с дифракционными поправками сН итерационною элемента, рассчитанною с применением процедуры адаптивной коррекции при случайной началь ной фале, с) итерационного элемента, рассчитанною с применением процедуры адаптивной коррекции при начальной фазе фокусатора с дифракционными поправка ми
внесении технологических погрешностей, характерных для изготовления элементов компьютерной оптики В качестве примера технологической погрешности 121 -221 рассмотрим квантование фазовой функции фокусатора (см табл.5).
Таблица 5 Характеристики качества фокусировки для фогусаторас дифракционными поправками и итерационно улучшенною элемета при ралличном чис.к М >-ро»нсй квантования фа !Ы
М Фокусатор с дифракционными поправками Итерационно улучшенный элемент но методу адаптивной коррекции
Е(*) 6{%) Е(*) «(%)
4 72,3 36,5 і ПЛ 34,2
8 80.4 23.5 79,7 16.2
16 83,1 18,6 82,8 10,1
В таблице 5 для случая фокусировки в отрезок длины 2а'=16Л приведены значения энергетической эффективности Е( Л) и с редне квадратич-
ною отклонения 6 хтя различного числа .1/ уровнен квантования ф.иовои функции (рас-смафиваемои как дополнение клин !е). Анали ! данных таблицы 5 показывает, что среднеквадратичное отклонение для "фокусатора с адаптивной коррекцией" (рис ЬЛ> остается меньшим. чем у фокусатора с дифракционными поправками (рис.6а) при N1 16.8.4
3. Фокусатор в отрезок, устойчивый к искажениям интенсивности освещающего пучка.
В работе 1231 рассмотрен синтез"квазшге-риодических" оптических »лечентов, устойчивых к искажениям освешаюшего пучка. Для фокусировки в огре ¡ок прямой в 1231 предполагается фазовую функцию »лемента опреде.тить в виде Л раз повторенной фазовой функции дифракционной решетки При каждом повторении вводится специально подбираемый фазовый сдвиг />„. чтобы фокальная картина оставалась непрерывной, а не распадалась на ряд пятен, как при наличии многих периодов у обычной дифракционной решетки В частности, при четном числе повторении Л величины фазовых сдвигов рк описываются простой формулой |23|:
7Є Аг“
N
, к=0,N 1, N четное
(20)
Устойчивое ! ь ква шпериодического »лемента к искажениям освешаюшего пучка объясняется тем, что распределение энергии в спектре дифракционной решетки практически не зависит от интенсивности освешаюшего пучка, если пучок падает на достаточно большое число периодов Расчет фазовой дифракционной решетки с заданной интенсивностью дифракционных порядков требует специальных численных методов 124 261, что не позво ляет получить фазовую функцию квазилерио-дического элемента в аналитическом виде Предлагается геомстрооптический аналог ква шпериодического элемента При этом фазовую функцию ква апериодического элемента (как дополнение к линзе) предлагается определтггь в виде .V раз повторенной фаювой
функции Ф<и> фокусатора сходящегося сфери ческого пучка в отрезок при фазовых сдвигах (20), вводимых при каждом повторении
г . . к (1Ы ,,2
♦И«7—И* г Ь а
\и\*
Ь-а 2 Л/
(21)
При этом апертура квазипериодического элемента по оси и предполагается ограниченной отрезками прямых и=-а и »-/>. Достоинством предлагаемого варианта квазипериоди-ческого элемента является возможность проведения аналитических расчетов. Вследствие
геометрического расчета функции ф(и), квази-периодический элемент (20), (21) оказывается работоспособным только при длине фокального отрезка 2¿/>4. например, при 2с1=\0\А, где
Действительно, при Ы=Мл функция
Ь-а
ф(и) соответствует фокусировке в отрезок
длины (.1//Л)Л,, Д.=А!_ - размер дифракцион-Ь-а
ного разрешения для полпериода. Поэтому для обеспечения работоспособности квазиперио-дического элемента (20). (21) число периодов N следует выбирать из условия Лч.М/Ю, что эквивалентно следующему соотношению физических параметров Л'*|2</(/>-«)|/(10Д/)-Следует отметить, что выбор значений фазовых сдвигов (20) сделан в работе 1231 для постоянной интенсивности освешаюшего пучка с квадратным сечением, при этом вывод об устойчивости квазипериодического элемента к искажениям освешаюшего пучка носит качественный характер. Анализ работы квазиперио-дического элемента в 1231 не проводился. Для оценки влияния искажений освешаюшего пучка на работоспособность квазипериодичес-кого элемента (20). (21) проводился дифракционный расчет интенсивности вдоль фокального отре жа при следующих параметрах: Д=0.63мкм. /-100мм. 2«'/= 3.2мм Апертура элемента (/ предполагалась квадратной со стороной ,1 10мм Фазовая функция квазипериодическо-го элемента (как дополнение к линзе) при числе подпернодов ,\'=8 приведена на рис.8а. Для сравнения на рис.8Ь показана фазовая функция (как дополнение к линзе) геометрооптического фокусатора при выше указанных параметрах. На рис.9а. Юаприведены расчетные распределения интенсивности вдоль фокального отрезка хтя квазипериодического элемента (20). (21) и геометрооптического фокусатора при равномерном освешаюшем пучке квадратного сечения Устойчивость квазипериодического элемента к искажениям освешаюшего пучка иллюстрируется на рис.9Ь.9с. На рис.9Ь приведено распределение интенсивности вдоль
^ «и)
-1.00 -o.fi -о м -о.и п.00 о 13 а зл о.тз :.оо
Рис.К Фазовая функция (как дополнение к линзе) а) гсометрооптнчсского фокусатора в отрезок. Ь) квазиоп-тичсского элемента
фок.яльного отрезка при освещении квадратной апертуры равномерным пучком круглого сечения радиуса А’=5мм, а на рис.9с - распределение интенсивности вдоль отрезка при кольцевом освешаюшем пучке с радиусами У?=3мм, Я=5мм. Для сравнения на рис. ЮЬ. Юс приведены графики распределения интенсивности вдоль фокального отрезка, полученные при освещении геометрооптического фокусатора равномерного пучка квадратного сечения указанными пучками круглого и кольцевого сечений. Анализ рис.9.10 показывает, что отклонение формы освешаюшего пучка от расчетной приводит к разрушению фокального отрезка дня геометрооптического фокусатора (рис. ЮЬ. Юс). В тоже время графики на рис.9Ь.9с свидетельствуют о сохранении фокального отрезка хтя квазипериодического элемента (20), (21). несмотря на усиление амплитуды высокочастотной составляющей вдоль отрезка фокусировки.
Следует отметить, что в большинстве технологических задач воздействие сфокусированного лазерного излучения определяется усредненным значением интенсивности по некоторой окрестности. Для квазипериодического элемен-
Рис 9 Распределение интенсивности вдоль фокального отрезка .пя квазипериодического элемента а) при равно мерном освещающем пучке квадратного сечения. Ь> при равномерном освещающем пучке круглого сечении, с) при освещающем пучке кольцевого сечения
га (20).(21) на рис.II приведен график функции, соответствующий результату усреднения распределений интенсивности вдоль отрезка по дифракционной длине при кольцевом освещающем пучке. График на рис.II жачительно более равномерен, чем график на рис.9с. При этом хтя геометрооптического фокусатора аналогичное усреднение не приводит к заметному изменению графика на рис.Юс. Проведенный анализ свидетельствует о том. что для лазеров с неустойчивым или неравномерном выходным пучком перспективным является использование квазипериодических элементов.
4. Фокусатор в отрезок с заданным распределением температуры.
В связи с перспективностью применения фокусаторов в задачах лазерной обработки материалов [27.281 для закатки, резки, сварки.
Рис 10 Распределение интенсивности вдоль фокального отрсіка дія гсомстрооптического фокусатора а) при равномерном освещающем пучке квадратного сечения.
b) при равномерном освещающем пучке круглого сечения,
c) при освещающем пучке кольцевою сечения
Рис 11 Усредненное по дли не распределение интенсивное ти вдоль фокального отрока дтя кватипериодического хземста при освсшаюпкм пучке кольцевого сечения
маркировки актуальной является задача исследования температурных характеристик светового поля, формируемого фокусатором. Кроме того, известные фокусаторы обеспечивают формирование заданного распределения интенсивности в некоторой области, а, например, не требуемого распределения температуры на
поверхности технологического объекта.
Рассмотрим задачу нагрева полубесконеч-ного гела лазерным пучком, сфокусированным в виде отрезка. Нагреваемую поверхность полубесконечного тела будем считать совпадающей с фокальной плоскостью фокусатора в отрезок (рис.1). Проведем анализ температурного распределения, формируемого вдоль фокального отрезка. Будем предполагать, что тепловые источники в объеме полубесконечно-го тела отсутствуют, а начальное распределение температуры равно нулю. При этом распределение температуры на поверхности полубеско-нечного тела описывается следующим выражением |29,30|:
ТО) =
2 а
Ш.... ехр
(4*Я(М'))* Щ-Ґ)Г
(22)
сіґ ,
где : время воздействия лазерного излучения,
л - коэффициент температуропроводности, р - коэффициент теплопроводности.
/(/1 - интенсивность сфокусированного излучения Выполняя в (22) замену переменной
и интегрируя по перепишем (22)
в вило:
тт
і
2л р
[ [ш. 1 е А ±*~* 1) dгX'^P
.и Х-х'] 1 1 1
где
ег^х)- — I ехр( $*)<£ .
о
Выполняя в последнем выражении замену переменной
| х-х =рсоз(ф)
I у-у -р $1п(Ф)
запишем распределение температуры вдоль фокального отрезка \x\sd, у=0 в виде:
2т -
2 яр
с/|/(Х-рС08(ф),-р5Іп(ф))у(р,Г)£Ур^ф ,
О О
где
у(р,0=1-егі
у/Лаі
(25)
Согласно (24), температура в точке (х,0) фокального отрезка при фиксированном г=/0 определяется как результат интегрирования интенсивности с весом у(/>,/0) (25). Поскольку егГ(.х) = 1 при л>1, то функция у(р,?0)~0 при
р>^4аГ0 . В частности, при р=2^/4а?0 .
у(р,/о)=0,005у(0,/о) (у(0,Го)=тах(у(р,Го))=1).
Р
Поэтому предел интегрирования по р в (24) реально не бесконечный, а определяется "тепловым" радиусом /{, в пределах которого функция у(р,^0) принимает существенно ненулевые значения. Распределение интенсивности /(л.у) в фокальной плоскости достаточно слабо меняется вдоль отрезка фокусировки (но не вблизи концов отрезка) и быстро убывает в направлении поперек отрезка. Поэтому при значениях /0, таких что тепловой радиус возможна замена
1(.Х-рС05(ф),-р51П(ф))=1(Х,-р$,\Г1(ф)), При ЭТОМ выражение (24) принимает вид:
2л -
2л р
О о
Выражение (26) будем рассматривать как критерий, которому должно удовлетворять распределение интенсивности /(л.у) от фокуса-тора в отрезок дзя формирования в конкретный момент времени г=/0 (например, к концу импульса лазерного излучения) заданного распределения температуры Л.х.О.:). В частности. при малых !с. таких что тепловой радиус Л’<Д (Л - дифракционная ширина фокального отрезка), /(л.-р.чт(</>))-/(л,0). В этом случае распределение температуры пропорционально интенсивности на геометрическом отрезке, поэтому требуемый температурный профиль может быть сформирован фокусатором с дифракционными поправками (1), (II).
В обшем случае может быть подучена аппроксимация решения тепловой задачи (26)
при использовании в (26) дифракционного соотношения (5) для интенсивности ПОЛЯ от фокусатора в отрезок с фазовой функцией вида (1). Указанная аппроксимация имеет вид:
2« -
T(x,0,t) =
2 nf
о о
(27)
jfi
t/=v
dv
Oi(uJ
ху(р.У<*ргіф
Рассмотрим расчет фазовой функции "теплового" фокусатора для формирования заданного температурного распределения 7\х) вдоль отрезка \x\zd в заданный момент времени г=г0. Фазовую функцию теплового фокусатора будем предполагать определенной в виде (1), а для отыскания функции к(и) в (I) воспользуемся аппроксимацией (27). При этом для функции к(и) получаем следующее дифференциальное уравнение:
¿к(и) с
du Т(к(и))
о о
.ехр( !№m?)dv
Л-(Ь')
I уОД*
ft(u)
і
y(p ,b)dp<*t>
(28)
(где с - константа)
с граничными условиями *(</)=-</. к</1)=с7.
При постоянной интенсивности освещающего пучка /0(м,»)=/0, уравнение (28) упрощается:
^М = _ с - (д2(и)-д,(и$ [ [втс^ х би т(к(и))У2У ;; (29)
о о
р$\Щ) д2(и)-д:(и) у((>.№»с*Ъ
постоянного распределения температуры /(г), |.\|<(7 в момент времени 10. определяемый из
соотношения ^Aat, =у где а - коэффициент
температуропроводности. (Согласно (24). распределение температуры зависит от сово-
купного параметра у/4аГ0 , являющегося характеристикой радиуса распространения тепла). Расчет проводился дзя освещающих пучков круглого и кольцевого сечений. На рис. 12а приведен расчетный график нормированного распределения температуры вдоль фокального отрезка дня теплового фокусатора равномерного пучка круглого сечения радиуса /?=5мм при следующих параметрах Я= 1.06мкм, у= 100мм,
2</=2мм и ^4аГ0 =20мкм. На рис.12Ь приведен расчетный график нормированного распределения температуры вдоль фокального отрезка, формируемого тепловым фокусатором равномерного пучка кольцевого сечения с радиусами Л,=3мм. Дг=5мм при следующих параметрах:
Д=1,06мкм,у=400мм, 2</=8мм и ^4аГ0 =0,2мм. Согласно справочным данным коэффициент температуропроводности дпя стали а= 12мм/сг,
Подставляя решения дифференциальных уравнений (28),(29) в (1), получим фазовую функцию фокусатора в отрезок с заданным температурным профилем.
Для оценки работоспособности предложенных "тепловых" фокусаторов проводился расчет фокусаторов (1). (28) дпя формирования
Put 12 Распределение іечпер.ітурм на отроке фокус промел для тепловых «|юкусаторов а> при равномерном освещающем пучке круглого сечения. Ь) при кольцевом ОСНСШаКі ІІІСМ ИуЧКС
при ЭТОМ последний график МОЖНО интерпретировать как результат работы теплового фокусатора. формирующего постоянный темпера-
Рис 13 Распределение температуры на отрезке фокусировки для геометрооптичсских фокусаторов а) при равномерном освещающем пучке круглого сечения, Ь) при кольцевом освещающем пучке
турный профиль на поверхности стали к концу импульса лазерного излучения с длительностью /о=0.001с. Для сравнения на рис. 1 За Л ЗЬ для вышеприведенных параметров показаны соот-ветствуюшиетемпературные распределения дтя геометрооптнческих фокусаторов (1),(2) равномерных пучков круглого и кольцевого сечений в отрезок с постоянной линейной плотностью. Сравнительный анализ (рис. 12.13) показывает, что тепловые фокусаторы (1). (28) по сравнению с геометрооптическими (1), (2) позволяют сформировать значительно более равномерный температурный профиль. Для рассмотренных тепловых фокусаторов среднеквадратичное отклонение распределения температуры от постоянной величины составляет 8,8% - при освешаюшем пучке круглого сечения и 12,2% -при кольцевом освешаюшем пучке. Для геометрооптических фокусаторов =17,6% - при круглом освешаюшем пучке и = 17,8% - при кольцевом освешаюшем пучке.
Заключение.
Проанализированы различные подходы к решению задачи фокусировки в отрезок. Полученные результаты позволяют оптимально выбрать фазовую функцию фокусатора в зави-
симости от технологических применений. ЛИТЕРАТУРА.
1. Сисакян И.П.. Сойфер В.А. Компьютерная оптика. Достижения и проблемы. Компьютерная оптика, вып.1, 1987, с.5-19.
2. L.L. Doskolovich, N.L. Kazanskiy, S.l. Kharitonov. G.V. Uspleniev "Focusators for laser branding". Optics and Lasers in Engineering. 1991, v.15, N5. pp. 311-322.
3. M.A. Golub, L.L. Doskolovich. N.L. Kazanskiy, S.l. Kharitonov, l.N. Sisakian, V.A. Soifer "Focusators at letters diffraction design". Proceedings SPIE, 1991, v. 1500. pp. 211-22
4. Sissakian l.N., Soifer V.A. "Elements of fine optics generated by computer". Int. Conf. and School Lasers and Applications, Bucharest. 1982, pp. 853-882.
5. Гончарский А.В., Данилов B.A., Попов В.В., Прохоров А.М., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Степанов В.В." Плоские оптические элементы дпя фокусировки лазерного излучения ". "Волны и дифракция -" 85 ", Тбилиси, 1985, т.2, с. 420-423.
6. Данилов В.А., Попов В.В., Прохоров А.М., Сагателян Д.М., Сисакян Е.В., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. "Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию". Препринт N69 - М.: ФИАН СССР, 1983. 41с.
7. Данилов В.А.. Дубов М.В. "Влияние исследования искажений освещающего пучка на работу фокусаторов". Сб. Компьютерная оптика. 1987, N1, с. 52-67.
8. Данилов В.А.. Попов В В., Прохоров А.М.. Сагателян Д.М.. Сисакян И.Н., Сойфер В.А. "Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы” Письма в ЖТФ. 19S2, т.8, N13, с. 810-815.
9. I аснов Э.Э. "Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в линию". Препринт N 376, Баку. АН Азерб. ССР. Институт физики. 1991, 22 с.
10. Golub М.А., Sisakyan I.N., Soifer V.A. Infra-red radiation focusators". Optics and Lasers
in Engineering, 1991, v,15, N5. pp. 297-309.
11. Голуб M.A.. Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Соифер В.А., Харитонов С.И. "Дифракционный расчет интенсивности светового поля вблизи фокальной линии". Оптика и спектроскопия, 1989. т.67, N6. с. 1387-1389.
12. Голуб М.А.. Казанский Н.Л., Сисакян И.И., Сойфер В.А., Харитонов С.И. "Оценка дифракционного размытия фокальной линии геометрооптических фокусаторов". Сб. Компьютерная Оптика, 1989, N5, с. 34-38.
Í3. Голуб М.А., Досколович Л.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С И. "Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок". Оптика и спектроскопия, 1991, N6, с. 1069-1073.
14. M.A.Golub, L.L. Doscolovich, N.L. Kazanskiy, SI. Kharitonov, N.G.Orlova, I.N.Sisakian. V.A.Soifer "Computational experiment for computer generatedoptical elements". Proceedings SPIE, 1991, v.1500, pp. 194-206.
15. Воронцов M.A., Матвеев A.H., Сивоконь В.П. "Оптимальное упра&тение волновым фронтом в задачах фокусировки лазерного излучения в дифракционном приближении". ДАН, 1986, т.270. N6. с. 1354-1358.
16. Воронцов М.А., Матвеев А Н., Сивоконь В.П "К расчету фокусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении". Сб. Компьютерная оптика, 1989, N1, с. 74-78.
17. Троицкий И Н . Сафонов А Н . Демин А.А. "Киноформ : синтез и применение". Зарубежная радиоэлектроника, 1978, N9, с. 3-37.
18. Wyrowski F.”DifTract iveoptical elements: iterative calculation of quantized, blazed phase structures". Journ. Opt. Soc. Amer.. 1990, vol.7, N6. pp. 961-969.
19. Kotlyar V.V.. Nikolsky I.V.. Soifer V.A. "Adaptive iterative algorithm for focusators synthesis" Optik. 1991, vol. 88. N1, pp 17-19.
20. Kotlyar V.V.. Nikolsky I.V., Soifer V.A. "Iterative computing of transmitíanse of optical elements focusing at a predetermined area Optics and Lasers in Engineerig, 1991, V.15, N5, pp. 323-330.
21. Полешук А.Г. "Изготовление рельефнофазовых структур с непрерывным и многоуровневым профилем для дифракционной оптики"
Автометрия, 1992, N1, с. 66-79.
22. Бобров С Т.. Грейсух Г.И.. Туркевич Ю Г Оптика дифракционных элементов и систем. Л.: Машиностроение. 1986, 224 с.
23. Березный А.Н. "Квазипериодические оптические элементы". Сб. Компьютерная оптика,
1989, N6, с. 19-24.
24. Березный А E.. Комаров С.В., Прохоров А.М., Сисакян И.H.. Сойфер В.А. "Фазовые дифракционные решетки с заданными параметрами". ДАН СССР, 1986, т. 287, N3.
25. Досколович Л.Л., Котляр В В., Сойфер В.А. "Фазовые дифракционные решетки с заданным распределением интенсивности по порядкам". Письма в ЖТФ. 1991, т. 17, N21, с.54-57.
26. Досколович Л.Л., Сойфер В.А., Шинкарев М.В. "Метод стохастического синтеза бинарных дифракционных решеток". Автометрия, 1992, N3, с. 4-7.
27. Агешин С.Ф., Азаров A.A., Попов В В., Сисакян И.Н. "Применение фокусаторов в задачах лазерной обработки материалов". Сб. Компьютерная Оптика, 1988, N3, с. 91-93.
28. Сисакян И.H., Шорин В.П.\ Сойфер В.А., Мордасов В И., Попов В.В "Технологические возможности применения фокусаторов при лазерной обработке материалов”. Сб. Компьютерная Оптика, 1988, N3, с. 94-97.
29. Будак Б.М., Самарский A.A., Тихонов А.Н. Сборник задач по уравнениям математической физики М.: Наука. 1972.
30. Курочкин В.И. Теплофизическое воздействие лазерного излучения на материалы Йзд-во Куйбышевского Гос. Университета.
1990, 63 с.
