Дифракционные поправки при фокусировке лазерного излучения в отрезок Текст научной статьи по специальности «Физика»

М. А. Голуб, Л. Л. Досколович, И. И. Сисакян, В. А. Сойфер, С. И. Харитонов

ДИФРАКЦИОННЫЕ ПОПРАВКИ ПРИ ФОКУСИРОВКЕ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ОТРЕЗОК

1. ВВЕДЕНИЕ

В работе [1] приведен алгоритм расчета фокусатора в кривую, основанный на геометрооптической аппроксимации оператора распространения комплексной амплитуды света. В этом приближении фокальная кривая представляет собой полосу, имеющую нулевую ширину. Распределение интенсивности в фокальной плоскости характеризуется в этом случае линейной плотностью. Фокальная кривая представляет собой каустику, и поэтому большое значение имеют дифракционные эффекты, которые не учитываются в решении обратной задачи фокусировки. В данной статье предлагается метод расчета фазовой функции фокусатора в отрезок, использующий геометрооптическое приближение вблизи фокусатора, но учитывающий волновые поправки вблизи фокального отрезка.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть лазерное излучение с комплексной амплитудой ^(¡Г) =-\/10(и~)ехр (¡к|//0(и)], где 10(и) - интенсивность освещающего пучка, |]/0(и) — эйконал пучка, к = X — длина волны падает на фокусатор с апертурой С, расположенной в плоскости !Г = (и,у) при г = 0 (рис. 1),который преобразует падающее излучение в поле \У(и) = = Ш0(и)ехр (¡к^(и)] = ч/^С^ехр [1к^(и)], где ф(и) - эйконал фокусатора, = |//0(и) + ф(и~) - эйконал непосредственно за плоскостью фокусатора. Задача состоит в отыскании эйконала фокусатора ф(йГ), обеспечивающего при 2 = (в плоскости х = (х, у) формирование светового поля с интенсивностью 1(х), удовлетворяющей условию

/1(х,у)с1у = 0(х), Ы<Ь, (1)

-е 2

соответствующему заданному распределению количества энергии в (х) в е - окрестности отрезка длины Ь, лежащего на оси х. При этом корректное задание 10(и), 1(х) требует выполнения условия нормировки

У°1(х)с12?= Л0(и)(12?.

- ОО Г. и

Рис. 1. Геометрия задачи фокусировки

Введем Д - дифракционную ширину отрезка. При 2е » Л функция в (х) представляет собой линейную плотность [1] энергии вдоль отрезка. При 2е « А функция в (х) пропорциональна значению интенсивности 1(х, 0) на геометрическом отрезке. Будем искать такое решение ф(и), при котором все лучи, проведенные из произвольной "фокусирующей кривой" u = const пересекают плоскость фокусировки в одной точке фокального отрезка, имеющей координаты:

Гх = к(и)

[у = 0. (2)

"Фокусирующая кривая" может наглядно интерпретироваться как узкая светящаяся полоска на фокусаторе, видимая из точки наблюдения (х, о, f).

Так как уравнение эйконала выполнено в окрестности фокусатора, то в параксиальном приближении нетрудно получить уравнение наклонов ЭС/j _ к (и) - и v

f ' э7= ~7' (3)

позволяющее записать эйконал фокусатора ф(и) в виде

ф(u,v) = - "Lt^ + |K(f)dt-^0(u,v). (4)

В работе [1] вид фокусирующей кривой однозначно связывался с выполнением геометрической оптики и наличием одного геометрооптического эйконала как вблизи фокусатора, так и в фокальной плоскости. Это приводило лишь к частному случаю "фокусирующей кривой", названной "слоем" н имеющей вид гиперболы. Обобщенное определение (2) - (4) описывает случай, когда геометрооптическая оптика действует в окрестности фокусатора, но переста-

ет действовать вблизи фокальной плоскости, например при длине отрезка порядка нескольких Д или наличии всплеска функции 0 (х) на длине порядка Д. При больших фокальных отрезках и плавной функции 0 (х) фокусирующие кривые переходят в слои [1]. Кроме того, геометрооптический подход ограничивается лишь случаем е -+«>, в то время как прикладной интерес представляет фокусировка в отрезок заданной, например, дифракционной ширины.

3. АППРОКСИМАЦИЯ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ В ПАРАКСИАЛЬНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

В параксиальном приближении интеграла Кирхгофа комплексная амплитуда w(х) в плоскости фокусировки имеет вид:

W(x) = kexP(ikf) f Vln(u)exp [ik^j(u)] expf£<x _ ¡f)2] d2u, (5)

2 я i I G ¿ í

где ^j(íf) - эйконал пучка сразу за фокусатором

ч^жС«Г> = - /««)«"«• (6)

f u0

Пусть апертура фокусатора G ограничена кривыми v = gj(u), v = g2(u) и отрезками прямых и = а, и = Ь, параллельных оси v (рис. 1). Согласно методу дифракционного расчета [2] при фокусировке в отрезок может быть получена дифракционная аппроксимация интеграла (6), основанная на использовании метода стационарной фазы при интегрировании поперек фокусирующей кривой, то есть по переменной и. причем

1(х) = "/ XV.0(u, v)(ÍÍ )"*ехр(- yv)dv|2, (7)

«!<Ux> d" f

где ux - решение уравнения (2) относительно u.

Формула (7) хорошо описывает дифракционные эффекты в поперечном сечении фокального отрезка, но не вблизи концов, то есть лишь частично уточняет геометрооптические соотношения.

4. РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ОТРЕЗОК

Решение обратной задачи фокусировки в отрезок будем строить на основе дифракционного соотношения, полученного в п. 3. Согласно уравнениям (1), (7) функция 0 (х) должна удовлетворять следующему соотноше-нию

е /-g2(u) I-

Л\Дт f A(u,v)exp(-^yv)dv|2dy = 0[к(и)] ^ , (8)

-е 2irf gi(u) f du

которое является нелинейным дифференциальным уравнением первого порядка для функции к (и) с граничными

условиями: к(а) = - ~ , к(Ь) = t. Эйконал фокусатора определяется через функцию к (и) согласно (4). Заметим, >

что полученный эйконал ip(u) имеет вид (4), сходный с эйконалом геометрооптического фокусатора, но с существенно другой, не геометрооптической функцией к (и), учитывающей дифракционные поправки.

+ оо

Для сравнения отметим, что в геометрооптическом случае, то есть при 0(х) = / I(x, y)dy, 1х| < - уравнение имеет вид -00 ~

'а . *2<и)

л = ¿ГТ^Т { 'о(»• f>d*

du 0[к(и)] gi(u) 0 (9)

к(а)= - Ь, к (b) = k.

5. ФОКУСИРОВКА ПУЧКА С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ В ОТРЕЗОК С ПОСТОЯННОЙ ПЛОТНОСТЬЮ 0 (х)

Рассмотрим в качестве примера нахождение эйконала фокусатора пучка с постоянной интенсивностью

lQ(u) = < 'о* ^ в отрезок прямой длины L, лежащей на оси х в плоскости z = f для 0(х) = const, то есть при ус-1.0, G

ЛОВИИ

/l(x,y)dy = const, |xl < t. (Ю)

В этом случае дифференциальное уравнение для к (и) имеет вид . = сФ(*£ [82(и)-81(и)])[82(и)-81(и)]

ь ь

к(а)=-_,к(Ь)=- , где Ф(0) = 2[8К20)-8шс2(0)]

о

И(0) = / |ш(х) йх> 81пс(р) = ЦпШ ОХ 0

Подставляя к (и) в (4), получим выражение для эйконала фокусатора.

6. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ДИФРАКЦИОННОГО РАСЧЕТА

Для вычисления поля в фокальной области от фокусатора в отрезок уже недостаточно грубой аппроксимации, рассмотренной в п.З, однако использование даже параксиального приближения интеграла Кирхгофа (5) не позволяет провести аналитические расчеты.

Численный метод расчета комплексной амплитуды при фокусировке в отрезок основывается на методике вычисления интеграла (5):

= ке»Р(*0 /ч/^ехр [¡к^(1Г)]ехр^(?-;Г)2](12?. 2т) с 2{

Предлагаемый метод численного расчета \У(зГ) состоит в приближении апертуры фокусатора С набором определенного вида апертурных областей Рр I = 1, N. аппроксимации эйконала (и) при 1Г 6 Р; простым аналитическим выражением и последующей заменой интеграла (5) суммой легко вычисляемых интегралов по областям Р(. Рассмотрим подробную реализацию численного метода.

Введем разбиение и^ I = 1, N. и0 = а, им = Ь отрезка [а, Ь] и приблизим апертуру фокусатора С набором областей Р| = [ч^р х (81(и|_1), , 1 = 1, N. Введем соответствующее разбиение фокального отрезка = к(и;),

I = О, N. х0 = - Ь, хы = где к (и) - функция, описывающая соответствие между точками отрезка фокусировки и "фокусирующими кривыми" на апертуре фокусатора. Для функции х = к(и) используется локальная линейная аппроксимация на сетке ир 1 = О, N. При и € [и(_,, и^ полагаем х = «¡(и), где

*=(") = X. + —--(и - и..) - у .

Тогда эйконал при и € Р. можно считать определенным согласно формуле

и2 (х. - X. . + (и - и. , )2 I. и _

*р(и) =--+ и-\zL-lL .1-Ы1+(. , --)-+}:, (13)

Г> 2( Ц-»,_,) 2{ 1 '-1 2} ( \

где фр ,. 1 / *«)(!{. | I а

Полагая 10(и. у) = 10(Ц], у), ) = пр„ ? е Р^ запишем в виде

где

г2(и]) _

«1<¥ ' Вычисление интеграла 1^(х) сводится к интегралу

*2 , I = / ехрОах'+10х)<1х, причем

2а х=х

i = exp!l4~ft} (C[VkTi(x + /)] +isign(e)s[v^l(x +|)])ГХ2, Vlel 2а

где С(х), S(x) - интегралы Френеля

С(х) = /Cos(i2)d{, S(x) = JSin({2)di

О

Sign(x) =

1,х>0 О, х = О —1,х<0.

Интеграл вычисляется на основе метода кусочно-постоянной аппроксимации функции у) «а сетке Ур 1 = 0, к; У0 = 0^)» = ^(и.) :

^(У) ■ Д А^Л) I ехр[^уу)ёу (V, - )8шс (у, -»,_,)] + у^,)).

VI

В общем случае расчет поля при фокусировке в отрезок производится по формулам (13)-(17). Для оптимизации по скорости вычислений можно учесть, что на поле в точке х = (х, у), лежащей на фокальном отрезке или на одном из перпендикуляров к нему, влияют лишь точки апертуры, лежащие в окрестности соответствующей "фокусирующей кривой" и = к-1 (х), и, следовательно, суммирование в формуле (13) можно выполнять лишь с учетом некоторой окрестности фокусирующей кривой.

7. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

В вычислительном эксперименте проводилось сравнение результатов фокусировки пучка круглого сечения радиуса Я в отрезок при использовании геометрооптического эйконала ф(и) и эйконала с дифракционными по-

правками ф(и). Эйконал ф(и) рассчитывался для случая 2е «Д, где Д =—--ширина дифракционного пятна в

К

центре отрезка фокусировки, соответствующего фокусировке в отрезок с постоянным распределением интенсивности. Для характеристики качества фокального отрезка используются следующие величины: значение энергетиче-

/ /10г)а2х~

_ Д I

ской эффективности -Ей среднеквадратичного отклонения — 6. Величина Е = — - % —_

Г 2 К^/ИГ^ / I

-К-лД -и

характеризует долю энергии освещающего пучка, попавшую в окрестность фокального отрезка дифракционной ширины.

Величина 8 = -[ — / [1(х, 0) - I ]2 с1х]% характеризует близость распределения интенсивности на отрезке фо-

Г L

L

"Г

кусировки к постоянной величине, где I = - 1(х, 0)<1х - среднее значение интенсивности на отрезке фокуси-ровки. -

В таблице 1 для фокусаторов с эйконалами ф(и) и ф(и) приведены значения энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения 5 в зависимости от соотношения длины Ь отрезка фокусировки с дифракционным размером Д в центре отрезка при фокусировке плоского пучка, Ш0(и)=1 и следующих параметрах: X = 0,63 мкм, Г = 250 мм, Я = 3 мм. Данные таблицы 1 наглядно показывают, что при практически одинаковой

Таблица 1

L (мм)

5Д 10Д 20Д 50Д

Е (%)

81,1 83,4 83,9 84,1

6(%)

24.6

19.7 15,2 11,9

Е(%)

82,5 84,1 85,4 85,7

6(%)

35,2

30.1

27.2 23,7

энергетической эффективности фокусатор с дифракционным эйконалом Ф(и) позволяет почти в два раза уменьшить среднеквадратичное отклонение интенсивности вдоль отрезка фокусировки. На рисунках 2, 3 приведены графики нормированного распределения интенсивности вдоль отрезка фокусировки с длиной Ь = ЗОД = 1,6 мм, полученные для фокусаторов с эйконалами |//(и) и Ф(и) соответственно. Сравнение рис. 2 и рис. 3 показывает, что геометрооптический эйконал реально дает снижение интенсивности по краям, а эйконал с дифракционными поправками обеспечивает более близкое к равномерному распределение.

от геометрооптического фокусатора

фокусировки от фокусатора с дифракционными поправками

В таблице 2 приведены результаты, полученные при фокусировке гауссового пучка, \У0(и) = ехр(- при тех же физических параметрах и а = 1,98 мм. Данные таблицы 2 показывают, что при фокусировке гауссового пучка фокусатор с дифракционным эйконалом ф(и) также обеспечивает более близкое к равномерному распределение, однако уменьшение среднеквадратичного отклонения интенсивности вдоль отрезка фокусировки менее значительно, чем при фокусировке плоского пучка.

Таблица 2

Л

Ф (и>

I. (мм)

5Д 10Д 20Д 50Д

Е(%)

89,6

91.4 92,8

93.5

8 (%)

20,6

15.4

12.5 13,4

Е(%)

90.5 92,3 93,2

93.6

5(%)

25,8 21,6 18,7 16,2

Литература

1. Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров А. М., Саг отеля н Д. М., Сисакян И. Н., Сойфер В. А. Письма в ЖТФ, 1982, т. 8, № 13, с. 810-815.

2. Голуб М. А., Казанский Н. Л., Сисакян И. Н., Сойфер В. А., Харитонов С. И. Оптика и спектроскопия, М., 1989, т. 67, № 6, с. 1987-1989.