Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область Текст научной статьи по специальности «Физика»

H.A. Голуб, Л. Л. Досколович, Н.Л. Казанский, ü.Н. Сисакян, В. А. Сойфер, С.U. Харитонов

МЕТОД СОГЛАСОВАННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ ДЛЯ РАСЧЕТА ФОКУСАТОРОВ

В ПЛОСКУЮ ОБЛАСТЬ

1. ВВЕДЕНИЕ

Геометрооптическому расчету фокусаторов в фокальную кривую посвящено большое число работ [1,2,3,4]. Расчет фокусаторов в плоскую область геометрооптическим методом менее исследован. Фокусировка освещающего гауссового пучка в прямоугольник рассмотрена в работе [5] геометрооптическим методом, а в работах [6,7] численно исследована градиентными методами. Общего метода расчета фокусаторов в плоскую область в настоящее время не разработано. В данной работе предложен новый численный истод расчета и полного исследования фокусаторов в сложные плоские области.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ПЛОСКУЮ ОБЛАСТЬ

Для уяснения физической сущности задачи фокусировки лазерного излучения рассмотрим рис.1. На фокусатор Ф с апертурой в плоскости и = (и, V) падает пучок лазерного излучения с интенсивностью Хо(и). эйконалом *0(и), т.е. с комплексной амплитудой

= е*Р С1к*0(й)]. где к х - длина волны.

Рис. 1. Геометрия задачи фокусировки

В дальнейшем предполагается, что область С соответствует форме сечения падающего пучка. Требуется сформировать в области фокусировки О плоскости х = (х, у) волновое поле с заданным распределением интенсивности 1(х). Решение задачи фокусировки сводится к отысканию фазовой функции фокусатора <Р(и), обеспечивающей формирование требуемого волнового поля из освещающего пучка.

3. ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАЛАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ПЛОСКУЮ ОБЛАСТЬ

Геометрооптическая фазовая функция фокусатора ^>(3) в параксиальном приближении может быть получена из решения следующей системы уравнений:

<р(и) = к[0(3) -х = и + £ V (3)

и

у = V + Г (3)

I (3)

- X

1(Х)

(1)

= у.

где f - расстояние до плоскости фокусировки.

Решение вышеприведенной системы (1) в общем случае - очень сложная задача. Геометрооптическое решение задачи фокусировки существенно Упрощается для прямоугольной апертуры фокусатора С, прямоугольной области фокусировки О при условии факторизуемости функций

и0(3) = К^и)*^). 1(х) = 1г(х) 12(У). то есть 10(Й) = 101^)102(У)- = *<»<и> +

В этом случае решение двух одномерных задач позволяет определить двумерную фазовую функцию фокусатора <р(и) = (и) + <Р2(ч).

Фазовая функция <р (и) одномерного (цилиндрического) фокусатора, осуществляющего заданное преобразование светового пучка, определяется из следующей системы уравнений:

' ^(и) = к (и) - 0О1 (и) ]

(2)

и ^ и ^ и , X 5 х ^ х.

О 10 1

Решение системы уравнений 2) существенно проще, чем решение системы уравнений (1). Например, для случая

I (х) = ( I , х * х * х 1 4 ' -{ 1 о 1

^ О,

ФА

X = и + 4 аи

I (и) 01 4 ' ах

1г(х) аи

иначе

решение системы уравнений (2), имеет вид:

' 2 и * Мц, = к (- ^ + ^ 1. - х0]<* - 0о1(и)

и 1 и

о о

и, следовательно, двумерная фазовая функция фокусатора с прямоугольной апертурой в прямоугольную область фокусировки с постоянным распределением интенсивности имеет вид:

(- 4-У [4- |10,(„)*, -хо]а? +

и 1 и

о о

V с

(3)

т\ [т; \ х02 - *«,<*>•

V V

о

где (хо> у )- координаты левого нижнего угла прямоугольника фокусировки.

4. МЕТОД СОГЛАСОВАННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНИКОВ

При непрямоугольной форме хотя бы одной из областей С и О, даже при факторизуемых функциях 1(х), фазовая функция фокусатора уже не

факторизуется и имеет значительно более сложный вид. В работе [5] расчет фокусатора круглой апертуры в прямоугольник приведен путем сведения и фокусатору в отрезок с соответствующими поправками. В данной работе предлагается новый метод «согласованных прямоугольников» для расчета фоку-саторов при областях О и й произвольной формы при факторизующемся освещающем пучке и факторизующейся функции интенсивности в фокальной облас-

ти. По этому методу область G и область D аппроксимируются наборами прямоугольников Gf н D , i = 1, N соответственно, и решается задача фокусировки из в D . Таким образом, апертура фокусатора приближается на-

N

бором G = Gj апертурных прямоугольников G , область фокусировки

м

D также приближается набором D = II^Dj соответствующих фокальных прямоугольников Dt- Функции Io(i!), Ij (з!) предполагаются продолженными в

области G и D соответственно. Для каждого прямоугольного сегмента рассчитывается фазовая функция обеспечивающая фокусировку

излучения в соответствующий фокальный прямоугольник D . Рассмотрим описанный способ расчета более детально.

Пусть апертура фокусатора G ограничена кривыми V = дх(и), V = g2(u) и прямыми u = u , u = и (рис.2), а область фокусировки D - кривыми

min вах

у = f (х). у = t2(x) и прямыми X

х , х = х (рис. 3) .

■ in MX

Р

1 и

u-u . Л min 0 Vi un u=u max

v = g|(u)

Рис. 2. Апертура фокусатора

Рис. 3. Область фокусировки

Введем разбиение u., i = О, N, и» и . и= и отрезка [и , и 1

1 О Bin Н влх L ш1п b«xj

и апертурные прямоугольники G{ = [и,_х» и, 3 х С^, iu,_a)•

Разбиение х, i = О, N, х=х , х=х отрезка [х , х 1

1 О Bin N вах 1 aln вех

определяется из решения следующего нелинейного рекуррентного уравнения:

и о (и ) 12 1-1

* ( *. . ) 1 2 1-1

j jio d) d^ - j ji <*> .

(4)

u g (u ) 1-11 1-1

f (x ) 1-1 1 i - 1

Уравнение (4) получено исходя из сохранения светового потока при распространении света из апертурного прямоугольника С1 в соответствующий фокальный прямоугольник Р .

,1кг Г = ке. A L W w W(X) ^ШГ oj = 1 Л J2

UJ _L><x-«>2

Wji= J e'^j i(u) e 2f du ,

J -1

(8)

g ( u ) , x, 9

2 1-1 1 * / \ г

W = e J e dv.

J 2

g (u )

1 J-l

В случае синтеза фокусатора плоского пучка в область с постоянным распределением интенсивности фазовые функции ^^(и). <р(V) содержат квадратичные и линейные по и, V члены соответственно, и. следовательно, вычисление интегралов V? , И сводится к интегралу вида:

J2

С.

1Чк 2

'2 ,2 С (U—U ) 2

■+ - ° +

+ xou +J*=Hl!)Jdu.

Путем несложных преобразований можно получить:

1 kx^i к 2

I с и +си - * ♦ х )

/2 t 2С 2 f О О о

Кх;^. е2.с.ио,хо) = е е

х jsign(y) С(у) - sign(y t) С(уi) + i ^sign(y) s (у) - sign (^) s ) j J ,

fl, x > 0 где sign (x) = \ 0, x = 0 (-1, x < 0 ,

/ ' x

/kc о у

^ = /ff- (e, - un - -s- + -£>.

/1 X

/кс о у

= /ТГ («, - uo- с- + ■§■>• C(x), S(x) - интегралы Френеля,

X X

C(x) = J cos(t2) dt, S(x) = J sin(t2) dt.

(9)

Используя (9), поле от фокусатора плоского плоскую область с постоянным распределением представить в виде:

kelkf м Г х-х

= -Цтг А0 Л • J Кх; u , u , -J-ilL, u x

ZTTlf 0 J-l L J-l J Uj" UJ_! J-t. J-l) X

f0(X, J - f (X )

* l(y; g (u ), g (U ), _2 . 1 J-1

v j-i'' 2.j-i g (u, ) - g (u)'

2 J-l' j-i'

gi<Vi>' Wt»]-

7. РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

Для характеристики качества фокального изображения используются следующие величины: значения энергетической эффективности Р и среднеквадратичного отклонения интенсивности 6. Величина

р= }ji0(a,d»3

с

характеризует долю энергии пучка, попавшую в область фокусировки. Величина

* = i [,¿1 ffd(4> ~ i)2 <«]*

D

характеризует близость распределения интенсивности I (3) к постоянной

величине, где |D| - площадь области фокусировки, I = i pi SS -

I I D

среднее значение интенсивности в области фокусировки. Расчет поля от синтезированного в пункте 5 «круглого фокусатора в прямоугольник» проводился по формуле (10) при следующих физических параметрах: Л = 10, 6 мкм, f - 800 мм, радиус освещающего пучка R = 20,5 мм, размер прямоугольника фокусировки 8x4 мм. Исходный фокусатор приближался набором шестидесяти прямоугольников, полученных разбиением отрезка [-R, R] с постоянным шагом. Энергетическая эффективность фокусировки в прямоугольник составила 85,4X, а среднеквадратичное отклонение интенсивности - 34,4X. На рис.4 представлено трехмерное распределение интенсивности в фокальной области, а на рис. 5 - изофоты трехмерного распределения.

По вышеописанному алгоритму был также синтезирован фокусатор с круглой апертурой, фокусирующий освещающий пучок круглого сечения с плоским волновым фронтом в «усеченный эллипс» (рис.6) с постоянным распределением интенсивности («фокусатор в усеченный эллипс»).

Решив уравнение (4), получаем приближение области О наборон прямоугольников

Для определения фазовой функции <рх (3 ) = <Рп№ + прямоугольного

сегмента необходимо дважды решить систему уравнений вида (2).

Фазовая функция фокусатора

N г 24- (ч,.* ц)^

( 2v - (g, (и ) + g (и К

* rect ( -g.îu,:; ) -*

(5)

где rect (и) =

'i.|u| <f lo. |U|

терпит разрывы вдоль прямых u = u. i = 1. N-l, что приводит к интерференции на стыках прямоугольников фокусировки. Для уменьшения величины интерференционных эффектов фазовую функцию #>(3) можно сделать непрерывной вдоль некоторой кривой v = f(u). Для этого положим

i -i

где 0, ^ = Z f(u3)) - f(Uj))].

5. СИНТЕЗ ФОКУСАТОРА ПУЧКА КРУГЛОГО СЕЧЕНИЯ В ПРЯМОУГОЛЬНИК С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ

В качестве примера рассмотрим синтез фокусатора с круглой апертурой, фокусирующего освещающий пучок круглого сечения с плоским волновым фронтом в прямоугольник с постоянной интенсивностью («круглый фокусатор в прямоугольник»).

Интенсивность освещающего пучка имеет вид:

'I 3 € G

1(3) = -

о

О, 3 * G ,

где С = |(и, V) |и2+ V2* - апертура фокусатора; И - радиус освещающего пучка.

Интенсивность в фокальной области I(х) = I1, * е 0

' \0, иначе,

где Б = [-Ь, Ь] х [-а, а] - область расположения фокального прямоугольника. В данном случае область С приближается набором прямоугольников

Gi - fVi' V X Cv42- и2_г , - A/R2- U2 ;], 1 = 1, N, u0- -R, uN= R, a область D - набором прямоугольников

^ = [х^^ х,] х [-а, а], 1 = 1, Н, хо = -Ь, хы

= Ь.

Решение уравнения (4), определяющее разбиение фокальной области, имеет вид:

I (и - и )Ув.2- и2

О * 1 1- 1 ' 1-1

X = х + -4-—, 1 = 1, N-1.

1 1-1 1а

Фазовая функция <р (II), являющаяся геометрооптическин решением задачи фокусировки прямоугольника в прямоугольник Б , может быть легко получена из (3), причем содержит квадратичные и линейные по и, V члены. Для синтезируемого фокусатора фазовая добавка выбирается из условия непрерывности фазовой функции вдоль оси и:

=

О, 1 = 1 1 -1

£ (иу 0)-^+1(иу О) ], 2 * 1 * N.

.1=1

6. ДИФРАКЦИОННЫЙ РАСЧЕТ

Работоспособность вышеприведенного подхода к расчету фокусаторов может быть исследована средствами вычислительного эксперимента. В связи с этим ниже будет рассмотрен метод дифракционного расчета поля от синтезиро-рованных фокусаторов плоского пучка в область с постоянным распределением интенсивности. Для расчета поля в фокальной области будем использовать параксиальное приближение интеграла Кирхгофа

1 к -». 2 1 кГ г г V .,,/, (х-")

= -Й1Г I И,а2*

(6)

где Ю(х) — комплексная амплитуда в плоскости фокусировки; А(\!) — амплитуда падающего пучка; к^(\1) — фаза пучка за фокусатором. Будем предполагать интенсивность освещающего пучка постоянной, А(Т!) = Ао, а волновой фронт - плоским, 0. Фазовую функцию

фокусатора р(и) считаем определенной согласно равенству (5). Тогда, по равенству (6), поле в фокальной области можно представить в виде:

1 к -» 2

1 к с N Л - _ —- (х-и) 2

-» ке ' Г Г \<Р (и) 2г ,

"<*> - -ШГ \ ,5. Ле ' е а и'

С

)

где и) - фазовая функция сегмента С^

Учитывая факторизуемость функций е ] - е

\<р (и) 1 <р (и) \<р (V)

Л л г ¡2

И е — с

3=1, N. выражение (7) приводят к виду:

Рис. 4. Распределение интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в

прямоугольник

/1А

Рис. 5. Изофоты распределения интенсивности в фокальной плоскости фокусатора в

прямоугольник

Расчет поля от «фокусатора в усеченный эллипс» проводился по формуле (10) при X = 10,6 мкм, f = 800 мм, радиусе освещающего пучка И=20, 5 мм для следующих характерных размеров усеченного эллипса: а = 2 мм, Ь = 4 мм, Ьг= 3,5 мм. Энергетическая эффективность фокусировки в усеченный эллипс составила 87, 6%, а среднеквадратичное отклонение интенсивности - 38,2X.

На рис.7 представлены изофоты трехмерного распределения интенсивности при фокусировке в усеченный эллипс.

Результаты вычислительного эксперимента подтверждают работоспособность разработанного метода «согласованных прямоугольников» при геометро-оптическом расчете сложных фокусаторов.

Литература

1. Гончарский A.B., Данилов В. А. , Попов В. В., Прохоров A.M., Сисакян U.Н., Сойфер В. А. ß Степанов В. В. Решение обратной задач* фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую. // ДАН АН СССР. 1983, Т. 273, N 3, С. 605 - 608.

2. Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров А. М. , Сагателян Д. М. Сисакян U.Н., Сойфер В. А. Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы // Письма в ЖТФ -1982 , Т. 8, ВЫП. 13, с. 810 - 815.

3. Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров A.M., Сисакян U.H., Сисакян Е.В., Сагателян Д.М., Сойфер В. А. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную линию. // Препринт N 69, М. : ФИАН СССР, 1983 - 41 С.

4. Гончарский А. В, Степанов В. В. Обратные задачи когерентной оптики. Фокусировка в линию. // ЖВМ и МФ. 1986, т. 26, N 1, с. 80 - 91.

5. Гончарский A.B., Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров A.M., Сисакян U.H., Сойфер В. А., Степанов В.В. Плоские оптические элементы для фокусировки лазерного излучения. // Сб. «Волны и дифракция - 85». Девятый Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. Телави, 1985, т. 2, с. 420 -423.

6. Воронцов М.А., Матвеев А.Н., Сивоконь В.П. К расчету фо-кусаторов лазерного излучения в дифракционном приближении. // Компьютерная оптика. 1987, N 1, с. 74 - 78.

7. Березный А.Е., Сисакян U.H. Синтезированные фазовые элементы для интегральных преобразований когерентных оптических полей. // Компьютерная оптика. 1989, с. 21 - 23.

- НО -