Исследование фокусаторов в прямоугольник методом вычислительного эксперимента Текст научной статьи по специальности «Физика»

М. А. Голуб, Л. Л. Досколович, Н. Л. Казанский, В.А. Сойфер, С. и. Харитонов

ИССЛЕДОВАНИЕ ФОКУСАТОРОВ В ПРЯМОУГОЛЬНИК МЕТОДОМ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА

1. ВВЕДЕНИЕ

В задачах технология лазерного поверхностного упрочнения легирования материалов актуальной является фокусировка лазерного излучения в фокальную область прямоугольной формы. Задача фокусировки в узкий прямоугольник (отрезок прямой) рассматривалась в [1,2]. В работе приведен численный метод расчета фокусаторов в произвольную плоску» область и, в частности, в область прямоугольной формы. В данной работе предлагаются новые решения задачи фокусировки пучка круглого сечения Е прямоугольник с постоянной интенсивностью и проводится их анализ в рамках вычислительного эксперимента. Полученные оценки энергетической

эффективности и равномерности фокальной интенсивности позволяют подобрать рациональную фазовую функцию фокусатора при различных соотношениях размер3 прямоугольника с дифракционным разрешением.

2. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть лазерныйпучок круглого сечения радиуса R, с комплексной амплитудой wq (3)= /i0(3)' e^o(u), где I0(3) - интенсивность освещающего пучка, Р0(и) " фаза пучка, падает на круглый фокусатор с апертурой

G = |(u, v) | u2 + v2^ R2|, расположенный в плоскости il = (u, v) при z = О

(рис. 1), который преобразует падающее излучение в поле w0) =

= wq(u) exp [i<p(il)], где <р(\1) - фазовая функция фокусатора. Задача состоит в отыскании фазовой функции фокусатора р(3), обеспечивающей в фокальной плоскости z = f формирование светового поля с интенсивностью

1(5) = I1- 3е D

1 ; \0, иначе,

соответствующей равномерно засвеченному прямоугольнику

D = [-d; d] х [-d ; d ], где 3 = (x, у) - декартовы координаты в

фокальной плоскости.

3. РЕШЕНИЯ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ПРЯМОУГОЛЬНИК С ПОСТОЯННОЙ ИНТЕНСИВНОСТЬЮ

В работе [3] рассмотрен «метод согласованных прямоугольников* для численного расчета фокусаторов в плоские области. Согласно методу [3], при расчете фокусатора пучка круглого сечения в прямоугольник с постоянной интенсивностью апертура фокусатора С приближается набором апертурных прямоугольников

ио = - И.

ин = *•

прямоугольник фокусировки Э представляется набором фокальных прямоугольни-

ков

°1 = Сх|_1- х А - 1. Х0= ’ <*’ хм = а’

причем разбиение х^ 1 =1, N определяется из условия сохранения светового потока при распространении света из апертурного прямоугольника С1 в соответствующий фокальный прямоугольник 0^

Гг 2 и V* - и

Х. " Х>..+ 13" \ I 10(“-У)Чи *г. 1 = 1. N. (1)

1 и,-1

Фазовая функция фокусатора 9>(3) имеет вид:

н г г 2и-(и +и.)-. г V -1

»(4) -!;[*,(«.V) гее* [2<ц .„ |} ] гесь [ ^ ■ц2] + *,] - »0(Й).(а)

где <Р1 (и, V) - фазовая функция сегмента обеспечивающая

фокусировку в соответствующий фокальный прямоугольник ;

ге^ (X) = I1, 1Х1< 2

^0, иначе ;

<Р[ - фазовая добавка, выбираемая из условия непрерывности

вдоль оси и.

Фазовая функция (р(\1) терпит разрывы вдоль прямых и=1ь 1=*1, N.

В предельном случае Л и * 0, N + «, из (2) несложно получается непрерывная фазовая функция следующего вида:

Ч у ^

*><3) = г (- +| Х(е)ае + ^ I [ I - (3)

-Л,2- и2 -Л2- „г

где к = 2тг/А, X - длина волны.

£ Уп2- и2

Х = 2сГТ" I Г 10(и’у) Йи

1 1 *'

-Лг 2

-и

Фокусатор (3) будем называть «фокусатором с непрерывной фазовой

функциейэ. В случае гауссового освещающего пучка с комплексной амплитуД°*

->2 и

е И3 формулы (з) следует фазовая функция фокусатора в

прямоугольник, полученная в работе [4] .

Анализируя геометрооптическое распределение интенсивности в фокальной области

10(ц.у)

1(х. У) = -Г

£ !*>„: п" - <с>ч

можно видеть, что фазовая функция (3) не обеспечивает строго равномерного распределения интенсивности в фокальном прямоугольнике.

Поэтому важно проанализировать полученную фазовую функцию в рамках вычислительного эксперимента и сравнить полученный результат с другими способами формирования фокусатора пучка круглого сечения в прямоугольник.

Например, рассмотрим «фокусатор в прямоугольник с сегментами линз». Освещающий пучок будем считать факторизующимся,

»0(и,у) = 1*01(ц) *ог (V), 10(и, V) = Х01 (и) 102(У).

Апертуру фокусатора С предполагаем состоящей из сегментов Р , 1=1,5 (рис. 2). Фазовую функцию <р (3) сегмента Р определим согласно приведенному в работе [3] решению задачи фокусировки факторизуемого пучка квадратного сечения со стороной а в фокальный прямоугольник О с постоянным распределением интенсивности. Такой выбор <рр (^) в геометрооптическом приближении обеспечивает фокусировку в фокальную область, близкую к прямоугольнику со сглаженными углами. Поэтому фазовые функции сегментов

Р.. Р,Р , Р выбираются из условия фокусировки в точки, лежащие вблизи

2 3 4 5

Рис. 2. Фокусатор в прямоугольник с сегментами линз

- ИЗ -

углов фокального прямоугольника Б. Фазовая функция фокусатора в прямоугольник с сегментами линз имеет вид:

Конкретные значения а, с^, су могут быть определены в вычислительном эксперименте из условия лучшего качества фокального распределения интенсивности.

Другой способ формирования фокусатора - «фокусатор в прямоугольник из пересечения эллипсов». Апертуру фокусатора в предполагаем состоящей из четырех секторов круга і *1,4 (рис. 3). Фазовую функцию каждого сектора определяем из условия фокусировки в смещенную четверть эллипса, что

и С

+

1

(4)

1Р(3) =

V Є

1

где а - характерный размер сегмента .

(<3-сх)и + (<а-єу)у, иєР.

2

*р(3)= •

-(<і+е )и - ((3+Є )у, ЙеР

3

-(<3 +с )и + (сі -с )У, ЇІЄР

'їх7 ' 1 у !

х у

4

где с , е

смещения точек фокусировки относительно вершин фокального прямоугольника.

V

Рис. 3. Фокусатор в прямоугольник из пересечения эллипсов

обеспечивает в геонетрооптическом приближении фокусировку в «прямоугольник из пересечения эллипсов» (рис.4). Предполагается, что когда размер прямоугольника фокусировки составляет несколько дифракционных пятен, то из-за дифракционного размытия центральная часть прямоугольника фокусировки окажется заполненной и неравномерность распределения интенсивности будет не слишком велика. Фазовая функция «фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов» имеет вид:

$(и, V) $(и, V) $(и, V)

$(и, V) + | [-йи+с^у]

Зек

(5)

V- г ^, 2 с1+1 ит1

где <р(и, V) =| - и 2 —2И~ и2+—2ЙУу " Фазовая Функция фо-

кусатора в эллипс с полуосями с1+1 и ^+1х, параметры 1х и 1у определяют степень перекрытия частей эллипсов в фокальной области.

Конкретные значения 1,1, обеспечивающие лучшее качество фокусировки, также определяются из результатов вычислительного эксперимента.

<1+1

4. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ Для расчета поля в фокальной области использовалось параксиальное приближение интеграла Кирхгофа

*7(3) = —2*£-£- ||уо(1!)ехр |\ #>(Й)] ехр (х-3)]а2Й,

(6)

где w(x) - комплексная амплитуда в плоскости фокусировки;

- фазовая функция фокусатора.

Использование даже параксиального приближения интеграла Кирхгофа не позволяет произвести аналитические расчеты поля от рассмотренных фокусато-ров. Поэтому для расчета интеграла (6) использовался численный метод работы [5], реализованный в рамках пакета прикладных программ [б].

Для характеристики качества фокального прямоугольника используются следующие величины: значения энергетической эффективности Е и среднеквадратичного отклонения интенсивности 5.

}{ 1(3)

Величина Е = -----——— характеризует долю энергии

Я м3»5 3

с

павшую в область фокусировки. Величина

* =т [ |б| Я(1(*> -!)2 аЧ¥

о

характеризует близость распределения интенсивности 1(х) к величине, где |Э| - площадь прямоугольника фокусировки, I = —

I о|

среднее значение интенсивности в области фокусировки. Моделирование проводилось для фокусаторов плоского пучка в прямоугольник с размерами (3 = 8 мм, <3^ 4 мм при следующих параметрах: И = 20,5 мм, £ = 800 мм, Л = 10, 6 мкм и в квадрат сЗ = с^= 1 мм при И = 9 мм, £ = 450 мм,

Л = 10, 6 мкм.

При фокусировке в прямоугольник 8 х 4 мм вычислительный эксперимент проводился для «фокусатора с непрерывной фазовой функцией» и для «фокусатора в прямоугольник с сегментами линз». Для «фокусатора с непрерывной фазовой функцией» энергетическая эффективность фокусировки составила 85, 6X, а среднеквадратичное отклонение интенсивности - 34,2%.

На рис.5 представлено трехмерное распределение интенсивности в фокальной области, а на рис.6 - изофоты трехмерного распределения интенсивности. В табл.1 для «фокусатора в прямоугольник с сегментами линз» приведены значения дифракционной эффективности Е и среднеквадратичного отклонения 5 в зависимости от параметров фазовой функции а,ех,еу. Для приведенных параметров наилучшее качество фокусировки Е = 82,2%, 5 - 37, 6/ достигается при а = 17 мм, с = 0, 2 мм, с = 0, 4 мм. На рис. 7

х у

представлено трехмерное распределение интенсивности от «фокусатора в прямоугольник с сегментами линз», на рис.8 - изофоты трехмерного распределения. Результаты вычислительного эксперимента подтверждают

пучка, по-

постоянной

Я1(5?>

Рис. 5. Распределение интенсивности в фокальной плоскости "фокусатора с непрерывной фазовой функцией" при фокусировке в прямоугольник 8 х 4 мм

Рис. 6. Изофоты распределения интенсивности в фокальной плоскости "фокусатора с непрерывной фазовой функцией" при фокусировке в прямоугольник 8x4 мм

Таблица 1

Е, */. 8, / а, мм Є , мм X с , мм У

75 42, 6 16 0, 3 0, 3

62 35 14 0 0

77, 7 53, 3 16 0, 4 0, 4

81, 5 39, 2 17 0, 4 0, 4

81 39 17 1, 7 0, 4

83 44 17 0, 33 0, 8

82, 2 37, 6 17 о го 0, 4

81 40, 3 17 0, 3 0, 3

Рис. 7. Распределение интенсивности в фокальной плоскости "фокусатора в прямоугольник с сегментами линз" при фокусировке в прямоугольник 8x4 мм

работоспособность обоих фокусаторов, но по энергетической эффективности и равномерности предпочтительным является «фокусатор с непрерывной фазовой функцией». При фокусировке в квадрат 1 х 1 мм вычислительный эксперимент проводился для «фокусатора с непрерывной фазовой функцией» и для «фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов». При указанных параметрах размер стороны квадрата фокусировки составляет всего 4т), где т) = \fZ2R - размер дифракционного пятна. Для «фокусатора с непрерывной фазовой функцией» энергетическая эффективность фокусировки составила 77,2%, а среднеквадратичное отклонение интенсивности - 67,1%. На рис. 9 представлено трехмерное распределение интенсивности в фокальной области, а на рис. 10 - изофоты трехмерного распределения. В табл. 2 для «фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов» приведены значения дифракционной эффективности Е и среднеквадратичного отклонения 6 в зависимое-

ф \

Таблица 2

Рис.

10. Изофоты распределения интенсивности в фокальной плоскости "фокусатора с непрерывной фазовой функцией" при фокусировке в прямоугольник 1x1 мм

ти от параметра фазовой функции 1 = 1 , характеризующего степень перекры-

X у

тия частей эллипсов.

Лучшее качество фокусировки Е = 72, 6/, 5 = 64У, достигается при

1^= 1 * О, 5 мм. На рис. 11 приведено трехмерное распределение интенсивнос-

ти «фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов>, на рис. 12 - изо-

Рис. И. Распределение интенсивности в фокальной области "фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов" при фокусировке в прямоугольник 1x1 мм

/

)

) ч

Рис. 12. Изофоты распределения интенсивности в фокальной области "фокусатора в прямоугольник из пересечения эллипсов" в прямоугольник 1x1 мм

Результаты вычислительного эксперимента позволяют сделать вывод, что «фокусатор с непрерывной фазовой функцией» и «фокусатор в прямоугольник из пересечения эллипсов» не позволяют с приемлемым качеством сфокусировать излучение в квадрат, размер стороны которого составляет несколько дифракционных пятен. Таким образом, для расчета фокусаторов в прямоугольник порядка дифракционного размера 7) требуется разработка специальных методов, учитывающих дифракционные эффекты. В то же время рассмотренные геометрооптические фокусаторы обеспечивают хорошую фокусировку когерентного излучения в прямоугольник с размерами, в 10 - 100 раз превышающими размер дифракционного пятна.

Литература

1. Голуб М. А., Казанский Н.Л., Сисакян и.Н, Сойфер В. А. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики. // Автометрия, 1988, N 1, с. 70 - 82.

2. Голуб М. А., Казанский Н.Л., Сисакян и.Н., Сойфер В. А.,

Харитонов С. и. Дифракционный расчет интенсивности поля вблизи

фокальной линии. /./ Оптика и спектроскопия, 1989, т. 67, вып. 6, с. 1387 - 1389.,

3. Голуб М. А., Досколович Л. Л., Казанский Н.Л., Сиса-

кян и.Н., Сойфер В. А., Харитонов С. и. Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область. //

Компьютерная оптика, наст, выпуск.

4. А.С. 1314291, бюлл. изобр. И откр. N 20 от 30.05.87.

5. Казанский Н.Л. Исследование дифракционных характеристик фокусатора в кольцо методом вычислительного эксперимента. // Компьютерная оптика,наст, выпуск.

6. Голуб М. А., Карпеев С. В., Михайлов С. В., Сергеев В. В., Сойфер В. А. , Тахтаров Я.Е., Храмов А. Г. // Государственный фонд

алгоритмов и программ. Рег. N П004582 от 01.09.80.