Оценка дифракционного размытия фокальной линии геометрооптических фокусаторов Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ КОМПЬЮТЕРНОЙ ОПТИКИ

М.А. Голуб, Н.Л. Казанский, И.И. Сисакян,

В.А. Сойфер. С.И. Харитонов

ОЦЕНКА ДИФРАКЦИОННОГО РАЗМЫТИЯ ФОКАЛЬНОЙ ЛИНИИ

ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКИХ ФОКУСАТОРОВ

В данной работе решается задача дифракционного расчета интенсивности поля вблизи фокальной линии фокусатора когерентного излучения. Метод основан на вычислении интеграла Кирхгофа в параксиальном приближении в сиетене координат, связанной со слоями на фокусаторе, уравнения которых находятся в процессе решения обратной задачи. Приведены примеры расчетов световых полей в случае фокусировки плоского гауссова пучка в отрезок с равномерным распределением интенсивности. Получены простые выражения для дифракционной ширины фокального отрезка и энергетической эффективности фокусатора.

Пусть рассматривается задача фокусировки плоского пучка когерентного излучения с длиной волны X в плоскую фокальную линию Г с параметрическими уравнениями

х=х0(Е), Е€[0, ь], (1)

где

1 (£)- линейная плотность;

х=(х, у) - декартовы координаты в плоскости фокусировки;

Е - натуральный параметр кривой.

Фокальная плоскость отстоит на расстояние £0 от плоскости фокусатора (это Расстояние будем называть фокусным).

Определим координаты в окрестности фокальной линии. Для этого введем линей-

ное продолжение Г линии Г каса тельными в кон цев ых точках согласно уравнениям;

Е, если Еб[о, Ь];

х=х0(Е)+х;£ (Е-І), Ё « 0, если Е<0; (2)

Ь, если Е>Ь,

ГДЄ Хо£ = 31“ *

При 5)£[0, ь] величина II есть расстояние от точки х до соответствующей граничной точки прямой, измеренное по касательной.

Далее введем в плоскости фокусировки криволинейные координаты п> Связанные с х, у соотношениями:

У=У0(£)+хо£, л; {3)

х=х0(Е)-у'^п.

Координата п, выбранная таким образом, характеризует отклонение точки х от кривой Р, отсчитанное по нормали.

В геометрооптическом решении обратной задачи фокусировки [1"3] каждая точка £ фокальной линии формируется соответствующим слоем, имеющим в параксиальном приближении уравнение

(и-х0(£))х£(Е)=с(Е)£0, (4)

где функция с(5) находится из энергетических соотношений.

Результатом решения обратной задачи фокусировки является фазовая функция

фокусатора № [2], определяемая уравнением

1 и (и-Хс)2 и-и0)хс

Ч»(и) = ■?- / Х0(£(и))<11-----гг------—7--------

о и0 о о

где

, 2п

к = - волновое число;

и=(и, V) - декартовы координаты в плоскости фокусатора.

В дифракционном решении прямой задачи фокусировки будем считать, что поле в каждой точке в окрестности фокальной линии формируется лишь той частью излучения, которая проходит вблизи соответствующего слоя фокусатора. Отдельно для каждой точки Е линии £ построим систему декартовых координат в плоскости фокусатора так, чтобы ось 3 совпадала с соответствующим слоем и=(с(|)£0+х0(£)х'0£(|))х;(|)+х;5(Е)*3);

у=(с(£)£0+х0(Е)х;Е(Е))у'(Е) + (х^(1) -В) , (5)

где х*В=ха-уВ, (х*В)=хВ+уа.

Расчет поля w(x, £0) в фокальной плоскости проводим с помощью интеграла Кирхгофа в параксиальном приближении [^]

*(х, £0)=е1к£° /*°(и' °)ехр(1кФ)а3и, (6)

где

Ч» = )а+Ф. (7)

Анализируя фазу Ч?, можно убедиться, что множество точек стационарной фазы образует прямую линию, совпадающую со слоем на фокусаторе.

Сделаем в (6) замену переменных (и, у)-*(а, В) и разложим Ч*(а, В) в ряд Тейлора, ограничившись квадратичными членами, а функцию ы0 аппроксимируем ее значением на соответствующем слое Сто есть при а=0), Далее вычисляется интеграл по В; получаем

у 3

ы(х, £0) =е1н /<ЗВ(*о(и(0,В), 0)ехр(|^(уо - -£-)) х

2п£0 1о , 2

* з1дп(а + У2(а + ’)>/^

С/ВН (8)

(В)Г ,

~ Э 'Р

^0=^оч,'а=о' ~ Эа^°1а=0,

— і_1| г Эа2!а=0

, Е(х)

= Л

І V3

/е1Х <3х,

н * фаза, не зависящая от а и 0.

а=С1(В) и а=С3(0) уравнения границ фокусатора, которые находятся из уравнений границ в переменных (и, V) с использованием соотношений (А) и (5).

Если в (8) 0,(0)=», Са(В)=-“, получим асимптотическую Формулу

Ли

**(х, І0) = | гУпіо^з I *(и<0, Р)>0)ехр(1^^

>ае.

(9)

В частности, формула (9) справедлива всюду, если фокальная кривая замкнута и гладкая, а также справедлива для окрестности внутренних точек, достаточно удаленных от концов произвольной фокальной кривой. Интенсивность поля рассчитывается по формулам (8) и (9) путем вычисления квадрата модуля.

В качестве примера рассмотрим фокусировку в фокальный отрезок прямой с равномерной линейной плотностью (рисунок). Отрезок предполагается расположенным вдоль оси и симметрично относительно начала координат, а фокусатор - прямоугольным размера 2а * 2Ь. Для него £=х, п=У» а слои представляют прямые, параллельные оси V.

£, мм

Распределение интенсивности от фокусатора гауссова пучка в отрезок (Х-10,6 мк, ст-10 мм, аш12,5 мм, Ь“15 мм)

Для фокусируемого пучка, имеющего плоский волновой фронт с равномерным распределением интенсивности

«Чи, V) = - ~ 7а] ~ ТГ^ ' (10)

а поле в фокальной области определяется согласно (8), выражения w (£п) = b sine х {sign (а - *Е ( (|—) ) +

+ sign(a + —.S^) х£ (g + 3} .

1 х>0

О х=0 -1 х<0

/“о с L

Д0=^]^-;Д = Е- 7 sign х =

Соотношение (10) позволяет представить данный фокусатор как две скрещенные линзы с фокусами £0/ (1 - и £0 по осям и и V соответственно. Заметим, что по-

ле (11), рассчитанное по формуле (8) вдоль оси описывается формулами дифракции Френеля сферического сходящегося пучка на щели шириной 2а, а вдоль оси п -формулами дифракции Фраунгофера на щели шириной 2Ь.

При Ь-»0 мы получаем поле от линзы с апертурой 2а * 2Ь и фокусным расстояни-

ем £0.

При -д = | Д|»Д0, то есть для внутренних точек, лежащих вдали от концов от-

резка, формула (11) асимптотически переходит в

'■/(ёп) = »/0з1пс(^р), (12)

/ я>

где w.(Е) = 2b v тv описывает усредненное от оси значение комплексной ампли-0 Ttbfo

туды, а sinc-функция описывает дифракционное уширение До фокальной кривой.

При Д0«Ь для уровня в по интенсивности получим 2nf° Г

Д° = ~kb~ arsinc N'e'

где символом arsinc обозначена функция обратная к sine (х). Формула (12) позволяет оценить дифракционную эффективность фокусатора eg, то есть долю энергии, попадающую в прямоугольник с шириной Д© и длиной L

ее = ^(SI (2пх) -тгв^| x=arsincV§.

Для фокусируемого гауссова пучка с плоским волновым фронтом и распределением интенсивности

1 = 1оехр(----—) ,

2 о2

согласно (8) и (9), выражение для амплитуды имеет вид:

w(£n) =

(13)

где

а2

/2f Lexp(- -------)

\ / 2оа . г L

Д =\/--------—------------ ! Д=Е - 2;

kov/5nerf

wг| = / exp (-) exp(- —— )dv.

4a2

В случае, когда размеры фокусатора больше, чем характерный размер пучка Wy принимает вид

2

wn=2av/T? exp (- ——) ,

4a2

гяе 5 = Ш '

совпадающий с известной формулой для фокусировки гауссова пучка линзой.

При этом

2f . - -.1Л

= кБТ?(* 1пв) Е0 = erf (\/-1пв) .

ЛИТЕРАТУРА

1. Голуб М.А..Карпеев С.В..Прохоров А.М.,

С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Письма в ЖТФ. 1981, т. 7.

1Г 10, с. 618.

2. Данилов В.А..Попов В.В..Прохоров А.М.,

Сагателян Д.М., С и с а к я н И.Н., С о й ф е р В.А. Письма в ЖТФ, 1982, т. 8, (Г 13, с. 810.

3. Гончарский А.В..Данилов В.А..Попов В.В.,

Прохоров А.М.,Сисакян И.Н.,Сойфер В.А..Степа н о в В.В. Доклады АН СССР, 1983» т. 273 , вып. 605 .

!». Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике.

М. : Мир, 1971 . - И5 с.