Дифракционный расчет интенсивности светового поля вблизи фокальной линии Текст научной статьи по специальности «Физика»

М.А.Голуб, Л.Л. Досколович, Н.Л.Казанский, и.Н.Сисакян, В. А Сойфер, С.и.Харитонов

ДИФРАКЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ИНТЕНСИВНОСТИ СВЕТОВОГО ПОЛЯ ВБЛИЗИ ФОКАЛЬНОЙ ЛИНИИ

В работе [1] были приведены геометрооптические алгоритмы расчета фазовой функции фокусаторов в гладкие кривые, а в [2,3] проведен анализ их фокального поля с учетом дифракционных эффектов.

Составные фокальные области, сформированные из сегментов фокальных кривых, могут быть получены составными фокусаторами с кусочно непрерывной фазовой функцией. Метод расчета фокального светового поля от составного

фокусатора, предложенный в данной работе, учитывает специфику дифракционного формирования каждого сегмента фокальной кривой и интерференционные эффекты в местах стыковки сегментов. При этом обобщен частично геометро-оптический подход к вычислению дифракционных интегралов.

Рассмотрим задачу фокусировки пучка когерентного света с длиной волны Л и комплексной амплитудой */о(и, V) в составную фокальную область, представляющую объединение сегментов гладких кривых ь

п

Ь = и Ь , (1)

.1=1 )

каждая из которых имеет длину и описывается параметрическими уравнени-х = х(£)

\ Л 0< е <1 . (2)

У = Ч

£ - натуральный параметр на гладкой кривой 1у (х, у) - декартовые координаты в плоскости фокусировки, (и, V) - декартовые координаты в плоскости фокусатора. Световое отверстие в может быть реализовано в виде объединения 0=1) GJ непересекающихся областей в , каждая из которых в геометрооптическом приближении обеспечивает фокусировку в гладкую кривую соответственно. Поле *Кх,у) в фокальной плоскости составного фокусатора С формируется путем интерференции парциальных фокальных полей у), создаваемых за

счет дифракции падающего пучка *о(и, V) в областях фокусатора

>/( х, у) « £ х, у) • { 3)

Распределение интенсивности у) = | х, у) |2, определяющее ширину

каждого сегмента кривой Ь , исследовано в [2, 3]. Для исследования интерференционных эффектов, описываемых формулой (3), примем во внимание фазу парциального поля \г вычисляемого, например, с помощью интеграла Кирхгофа [4]

к

к г

у) - — • ехр( о) I ( и, V) х

0 с

J

X ехр[-||- [(х-и)2 + (у-у)2|+1к ф ^и.у) + а2и,

(4)

где и, V) - комплексная амплитуда падающего пучка;

-в--ф (и, V) - геометрооптическая фазовая функция фокусатора из о J области С^ в сегмент кривой Ь ;

ф - начальная фаза в области С ;

го] J

f - фокусное расстояние; к - 2тг/А.

Расчет фокального светового поля прямым вычислением интеграла Кирхгофа обладает значительной трудоемкостью как не учитывающий специфики задачи. Для упрощения общего интеграла (4) используем частично геометрооптический характер процесса фокусировки вдоль кривой I. . А именно, будем считать, что парциальное поле (х, у) во внутренней точке (х, у)€1^ формируется лишь . той частью светового фокусируемого пучка, которая излучается из окрестности соответствующего слоя. Здесь аналогично [1,3] слоям, соответствующим точке (х, у)€1у называется множество точек (и, у)€С^, лучи от которых сходятся в точку (х, у). В параксиальном приближении слои фокусатора представляют собой прямые, перпендикулярные касательной Ь в рассматриваемой точке (х, у)е1у

Удобно ввести, как и в [3], специальную систему координат /3 - (а, (3), связанную со слоями в области С^ так чтобы ось /3 совпадала с соответствующим слоем, а ось а была ему перпендикулярна:

и - (с(Ог0 + хо(Ох^(<;))х^(е) + х

V = (с(О£0 + х0(0хо(€))у^(0 + • е>.

(•) - символ скалярного произведения; (х) - символ векторного умножения.

Вычисляя интеграл по переменной а методом стационарной фазы, получаем приближенное представление интеграла (4) в виде

"/"•у те*р(к*,+ »о|»)Н'вхр( ~г~ I"03"

^ = --я- <х2+уг>

о о * 4

+

о

+ X X о

(6)

к г г~ ^ <*х (С )

+ т0 \ Хо [^(и(1,0)) о I «ц

«п

I ' /3) X

-1/2 П 1 -

* 6 4 ~ "крМ

wkp(Э) =

(7)

х К, (5,0)-^(0,0))]

а - а = Г2(^) - уравнения границ фокусатора в

переменных а и /3.

з = Г21р) в = Г(0)

ijj(a,{3) = - x xo • a + (xQx x ) • £ + s J 4 J

I *o(£j(u(t'0))) dT dt " I (vvu(a's))) x dT°) ds'

a J о J

• e 11 - (С<уСХ> + iS(v/fX^)'

Kt(x) =

я i 1

/

где S(x), C(x) - интегралы Френеля;

т)^ - локальные координаты в окрестности сегмента кривой Ljt

связанные с координатами х и у фокальной области соотношениями

/ У = yOj -

> х = Xoj - '

(9)

ах (С )

в которых = ,

а значения хо, уо при [О,1^] продолжаются линейно за пределы кривой в окрестности ее граничных точек. Член, содержащий функцию К^х), описывает эффекты, обусловленные конечностью апертуры. По сравнению с результатами [2] формула (6) наряду с интенсивностью позволяет вычислить и фазу поля в фокальной области, необходимую для исследования интерференции сегментов Ь фокальных кривых.

V*jV = "b v/T*

ехр

п

-2Г"+ + 1 V

о J

"i

ехр

-ikT^/3

[wo(a.

Р)У 2я

-1/2

(Ю)

2 wo(a, ^(a) - 0j(ao) [tj («0) - к] K^/f (*,(«) -♦,<«„)> ) ] x

x rect

«о - g2(*> 6. (£) - G(P)

d<3.

°о определяется из уравнения € = ^(а,), где ^(а) определяет соответствие между слоями области фокусатора и соответствующими точками фокального

отверстия.

а

= - £о£ + | ^(и) (*и - геометрооптическая фаза на отрезке.

В качестве примера применения полученных формул приведены расчеты распределения интенсивности в фокальной области фокусатора плоского пучка прямоугольного сечения размера Ь х Ь в контур квадрата размера 2а х 2а с параметрами X = 0, 6 мкм, £о= 300 мм, 2а = 20 мм, 2Ь = 12, 8 мм. Из рис. 1 и 2 видно, что интерференция в точках стыковки - вершинах квадрата - приводит к усилению осцилляций и уширению фокальной линии вблизи вершины.

Рис. 1. Трехмерный график распределения интенсивности в фокальной области фокусатора в контур квадрата

Рис. 2. Изофоты в фокальной области фокусатора в контур квадрата

Расчеты по формуле (6) позволяют найти ширину А фокальной линии по уровню 0.

I (х0 - 4"' у) = I (хо.у). (11)

а также энергетическую эффективность фокусатора

} 100

d2x

т, = 4L

где Е = || \*о(и) | 2й2и - световой поток, падающий на фокусатор;

АБ - расширение контура квадрата, т.е. множество точек (х, у), отстоящих от контура на расстоянии не более А/2.

В таблице показана зависимость энергетической эффективности т) от параметра

"о х " "Ъ^а" '

где Ь - размер фокусатора.

Из анализа результатов, приведенных в таблице, видно, что энергетическая эффективность 7) падает при приближении размеров контура к дифракционному пределу.

Зависимость энергетической интенсивности от параметра к

к 0,2 0,1 _L J_ J_ 1 1

15 20 50 100 200

1? 74,7 83,2 83,5 84,5 86,8 87,9 88,7

Литература

1. Данилов В.Д., Попов В. В., Прохоров A.M., Сагате-лян 4. И. , Сисакян U. Н, Сойфер В. А. Письма в ЖТФ, 1982, т. 8, N 13, с. 810 - 815.

2. Голуб H.A., Казанский H.Jl.t Сисакян U.H., Сойфер В. А. , Харитонов C.U. Оптика и спектроскопия. 1989, т. 67, N 6, с. с. 1387-1389.

3. Голуб H.A., Харитонов C.U. Оптическая запись и обработка информации. Куйбышев: КуАИ, 1988, с. 19-20.

4. Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. М.: Нир, 1971.