CC BY
29
ДИФРАКЦИОННЫЕ ОПТИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
Л.Л.Досколович, Н.Л.Казанский, В.А.Сойфер
АНАЛИЗ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ И ГЕОМЕТРООПТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ
ФОКУСИРОВКИ В ПРОДОЛЬНЫЙ ОТРЕЗОК
Введение
Для получения оптического разряда в газе [1], в оптических системах звукозаписи и воспроизведения [2], для бесконтактных измерений в специализированных микроскопах [3] и многих других областях [4] требуются оптические элементы, фокусирующие лазерное излучение в продольный отрезок.
Для фокусировки излучения в продольный отрезок используются рассчитываемые в геометрооп-тическом приближении дифракционные оптические элементы (ДОЭ), известные как фокусаторы [4-6]. В работе [7] для расчета ДОЭ, фокусирующего в продольный отрезок, применен итеративный алгоритм. Основным недостатком методов [4-7] является неравномерность распределения энергии, сфокусированной в £-окрестности оптической оси. В настоящей работе предлагаются аналитический и итерационный методы расчета новых "квазипериодических" ДОЭ, фокусирующих излучение в отрезок оптической оси. На основе вычислительного эксперимента проводится сравнительный анализ работоспособности геометрооптического и квазипериодического решений задачи фокусировки в продольный отрезок.
Постановка задачи фокусировки
Предположим, что лазерный пучок с комплексной амплитудой
^ 0 (г) = ^Щ exp [ (г)], г е[0, Я ], (1)
где 10(г) - интенсивность, а <Ро(г) - фаза освещающего пучка, падает на ДОЭ с круглой апертурой радиуса Я. ДОЭ располагается в плоскости 2=0 (Рис.1) и преобразует падающее излучение в поле с комплексной амплитудой
W (г) = Ж 0 (г) exp [[Рр (г)], (2)
где Рр(г) - фазовая функция ДОЭ.
Требуется рассчитать фазовую функцию Рр (г),
обеспечивающую фокусировку падающего пучка в отрезок оптической оси с распределением интенсивности 1(2), 2е[2],22].
Для удобства представим Рр (г) в форме
р(г) = Р(г)-Р0(г). (3)
УГо(г),
УГ(р,г)
Рис. 1. Геометрия задачи фокусировки в продольный отрезок.
Представление (3) обеспечивает возможность расчета ДОЭ независимо от фазы р0(г) освещающего пучка. В дальнейшем изложении используется функция р(г), которая однозначно определяет фазовое пропускание ДОЭ.
Расчет фазовой функции ДОЭ
Комплексная амплитуда W (р, г), р = ^х 2+у2 поля в фокальной области ДОЭ (см. Рис. 1) определяется через комплексное пропускание ДОЭ ехр[[р(г)] на основе интеграла Френеля-Кирхгофа [8,9]
W (р,2) = 2^([^рт Iх
х/а/Мг) exp[¿р(r)]
exp
/ к!х 22
, (4)
3 \ к — \ г с1г
где к=2п/Х, X - длина волны, а 30(г) - функция Бесселя первого рода нулевого порядка [10].
Для комплексной амплитуды поля на оптической оси (р=0) уравнение (4) принимает вид
W (0,2) = -0 (г) exp( [р(г) + [к -2- г сСг . (5)
..2 \
Подстановка переменных в форме
* 21 г2
£ = —L и х =— 22
позволяет переписать уравнение (5) в виде
(6)
(Д) = -—£ | ((2х ) exp [г'ф1 (х)] exp I -[кХ I сСх, (7)
о V )
е р1 (х ) = р
0
Я
в попереч-
Как следует из формулы (7) задача фокусировки в продольный отрезок с распределением интенсивности 1(2), 2Е[21,22], сводится к задаче расчета фазовой функции р^х) одномерного ДОЭ, фокусирующего пучок с комплексной амплитудой
((х) ехр(—гк х2 ¡22,), х £ [0, Я 2 /2]
ный отрезок с распределением интенсивности I(-211()(2, (е[—1, -21/22] в плоскости, расположенной на расстоянии 21 от апертуры одномерного ДОЭ. Используя различные методы расчета фазовой функции р1(х) одномерного ДОЭ можно получить различные решения задачи фокусировки в продольный отрезок.
В рамках геометрооптического приближения фазовую функцию одномерного ДОЭ можно найти из решения следующей системы уравнений [11,12]
<1(х ) = р(х )-р о (х ) ёр(х) к ( , -I—=т((—х)
ёх /
I о (х ) =
II (() ёх
(8)
х £[хо,х 1 ], (£[(о,(1 ],
где ро(х) - фазовая функция освещающего пучка, / -расстояние до плоскости фокусировки, 10(х) - интенсивность освещающего пучка, 11(() - требуемое распределение интенсивности в плоскости фокусировки.
В частности, при фокусировке плоского пучка в продольный отрезок с постоянной интенсивностью уравнения (6) и (8) дают фазовую функцию ДОЭ в форме
р(г)--
-кЯ2
21
1п
г2Ь Я 22,
- + 1
(9)
где Ь = 22 - 21.
При Ь/21<<1 использование аппроксимации /п(1+х)~х - х2/2 приводит уравнение (9) к виду
р(г) = ■
-кг2 к/Ь - + -
22.
4Я2 2?
(10)
Фазовая функция (10) соответствует фазовой функции тонкой линзы с введенной сферической аберрацией.
Следует заметить, что приближение геометрической оптики для расчета р1(х) дает уравнения (9) и (10), которые совпадают с фазовыми функциями фокусаторов, описанных в работах [4-7]. В связи с этим в дальнейшем изложении ДОЭ, определяемые уравнениями (9) и (10), будем называть фокусато-рами.
Рассмотрим также получение фазовой функции р1(х) на основе использования итерационного алгоритма Герчберга-Секстона [13] или одной из его модификаций [7,14,15], позволяющих улучшить гео-метрооптические решения (9) и (10).
В работе [16] сообщается о расчете "квазипериодических" ДОЭ, близких по своим функциональным свойствам к физическим голограммам, так как каждый период апертуры таких ДОЭ формирует полную фокальную область. При фокусировке сходящегося сферического пучка фазовая функция р1(х), х£ [х0,х1], одномерного квазипериодического ДОЭ соответствует К-раз повторенной фазовой функции рр(х), хЕ[0,(х-х0)/К], которая обеспечивает фокусировку в требуемый отрезок. Для каждого периодического повторения вводится свой постоянный фазовый сдвиг [15]
Рг
пг
■ 0,..., К-1,
(11)
К - четное.
Таким образом, фазовая функция квазипериодического ДОЭ имеет вид
Р1(х):
х — х 1 — а 1п!
\
п . +—1П;
К
(12)
где а=(х2-х1)/К, а 1Ш:[х] есть целая часть х.
Функция рр(х), хЕ[0,а], в уравнении (12) может быть получена аналитически на основе решения системы (8) или численно - используя итерационный алгоритм Герчберга-Секстона.
Используя функцию рр(х), полученную на основе решения системы (8), можно найти фазовую функцию ДОЭ, фокусирующего плоский пучок в продольный отрезок:
р(г) = 1п
2КЬ
ЬК
Я2
2 Я2 .
г--1п!
К
г2 К
Я2
\ \ + 1
где
р(г)=К1п!
г2 К
Я 2
+р(г) (13)
(14)
Заметим, что для К=1 уравнение (13) соответствует фазовой функции фокусатора (9). Если Ь/21<<1 уравнение (13) может быть сведено к виду
, ч кг2 кЯ2 .
р(г) =---\--1п!
4 ' 22 22,К
г2 К
Я 2
+
+
кЬК
4Я 2 21 ,
2 Я 2 . г--1Ш:
К
г2 К Я2
+ р(г)
, (15)
Для квазипериодического ДОЭ, определяемого уравнениями (13) или (15), фазовая функция рр(х) в уравнении (12) соответствует фокусировке в отрезок длиной МК)Д, где Д=2Л.21К/Я2 - размер дифракционного пятна, а
N (К ) = Ы
ЬЯ2
2 Х2.2 2 К
(16)
Использование геометрооптического решения для рр(х) в уравнении (12) возможно только для ЩК)>>1 (т.е. для МК)=10 или больше), что налагает ограничения на возможные значения К. При
а
М(К)=1-3 синтез квазипериодического ДОЭ становится невозможным даже с использованием итерационного расчета функции рр(х) в уравнении (12). Проанализируем уравнение (15). При ср (г) =0,
фазовая функция (15) превращается в фазовую функцию многофокусной линзы [17,18] с количеством фокусов N, определяемым формулой (16). Координаты фокусов
Я 2 -- N (17)
от требуемого (СКО) и энергетическую эффективность Е. Значение
*)-Е
1 2 2 _ 2 '
(С—21) I(((2,е)—Е) ё2
У2
где
^ Я2 — 2ЙК2,
г- 0,1,... N
_ 1 22 е
Е =-,-г-[ Е(2,е)ё2, Е(2,е) = 2п[ I(г, 2) г
(2 - 21 )21 0
ёг
Таким образом, при ср (г) = 0 распределение интенсивности на оптической оси соответствует N пикам с шириной соседних пиков в К раз меньшим, чем расстояние между соседними фокусами. При К=1 пики сливаются, образуя отрезок вдоль оптической оси. Аналогичным образом дифракционная решетка обеспечивает разбиение фокального изображения на набор точек только при числе периодов К>1. Функция р(г)
в (13) соответствует введению сферической аберрации в (10) для фокусировки в отрезок (Ег, Е1+1). Это обеспечивает формирование непрерывного распределения интенсивности вдоль оптической оси при К>1.
Заметим, что проведенный анализ выполнен только для квазипериодических ДОЭ (13) или (15). Строгий вывод формы функции ~(г) следует из
формулы (7) и метода расчета квазипериодического ДОЭ [16], фокусирующего в поперечный отрезок.
Результаты численного моделирования
В этом разделе рассматривается численное исследование решений задачи фокусировки в продольный отрезок, полученных на основе геометрооптической функции (9) и квазипериодической функции (13).
Методы расчета ДОЭ, рассмотренные в предыдущем параграфе, направлены на создание требуемого распределения интенсивности на оптической оси и не управляют распределением в е-окрестности оптической оси, что намного важнее для практического использования ДОЭ. В этой связи, чтобы охарактеризовать работу ДОЭ, будем применять следующие характеристики: среднеквадратичное отклонение д полученного распределения
характеризует среднеквадратичное отклонение осевого распределения энергии Е(2,е) от среднего значения Е (е). Если е ^ 0, д(е) характеризует среднеквадратичное отклонение распределения интенсивности на оптической оси от среднего значения. Величина Е(2,е) характеризует энергию, приходящую в е-окрестность оптической оси с координатой 2, в то время как значение
Е(е)=Е(е)/ [2пр0(г) гёг
характеризует среднюю долю энергии освещающего пучка, фокусируемую в поперечное сечение отрезка фокусировки с радиусом е.
Левая часть таблицы 1 содержит рассчитанные значения Е(е) и д(е) [е=Д, 2Д и 3Д, где Д-0,61-А(21 +2 2 ))(2Я)] для фокусатора с фазовой функцией (9), предназначенного для фокусировки плоского пучка в продольный отрезок с постоянным распределением интенсивности со следующими параметрами: А=0,63мкм; 21=320мм; 22=3 60мм; Я=15мм. Средняя часть таблицы 1 содержит аналогичные значения для "квазипериодического ДОЭ-1", а именно для ДОЭ с фазовой функцией (13) при К=2, 4. В правой части таблицы 1 расположены значения Е(е) и д(е) для "квазипериодического ДОЭ-2" при К=2,4, рассчитанного с использованием квазипериодической функции р1 (х) (12). В этом случае функция рр (х) в (12) рассчитывалась с использованием адаптивной модификации алгоритма Герчберга-Секстона [7] с использованием в качестве начального приближения геометрооптической функции (9).
Таблица 1.
Энергетическая эффективность Е(е) и среднеквадратичное отклонение д(е) для фокусатора и для
е Фокусатор Квазипериодический ДОЭ-1 Квазипериодический ДОЭ-2
К=2 К=4 К=2 К=4
д(е)% Е(е)% д(е)% Е(е)% д(е)% Е(е)% д(е)% Е(е)% д(е)% Е(е)%
е<<Д 29,1 - 31,0 - 35,3 - 12,5 - 11,1 -
Д 77,8 1,8 50,1 1,9 49,9 1,8 38,9 1,7 38,0 1,8
2Д 65,6 3,6 50,8 3,7 53,3 3,7 44,6 3,3 42,9 3,6
3Д 59,3 5,3 41,8 5,4 40,3 5,4 36,5 4,8 32,2 5,3
Анализ данных таблицы 1 показывает, что фо-кусатор (9) с осевой неравномерностью распределе-
ния интенсивности в 29% имеет значительную неравномерность распределения энергии от 77% до
Я
59% для £=Д, 2Д и ЗА соответственно. Для квазипериодического ДОЭ-1 неравномерность распределения интенсивности вдоль оптической оси больше и составляет 31% при К=2 и 35% при К=4. Большая неравномерность осевого распределения интенсивности для квазипериодического ДОЭ-1 обусловлена ростом погрешности геометрооптического решения (9) с увеличением К. В то же время неравномерность распределения энергии Е(2,£) для квазипериодических ДОЭ в 1,4-1,6 раз меньше, чем для фоку-саторов. Для квазипериодических ДОЭ-2 по сравнению с квазипериодическими ДОЭ-1 неравномерность распределения интенсивности вдоль оптической оси примерно в три раза меньше при значительно меньшем (в 1,2-1,3 раза) снижении неравномерности распределения энергии Е(2,£). Энергетическая эффективность Е(£) приблизительно одинакова для всех исследованных оптических элементов и лежит в пределах от 1,7% до 1,9% при £=Д и от 4,8% до 5,4% при £=3Д.
На рисунках 2 - 4 приведены полутоновые распределения интенсивности 1(р,2) для фокусатора и квазипериодических ДОЭ 1 и 2 при К=4. Рис.2 демонстрирует значительное размывание поля в начале отрезка с энергией, в основном сконцентрированной в пределах фокального пятна шириной от 1,5Д — 2Д в начале отрезка до А в конце отрезка. Поля на рисунках 3 и 4 имеют периодическую структуру. Полученный результат соответствует анализу работы квазипериодического ДОЭ, приведенному выше (в предыдущем разделе).
При р(г) =0 ДОЭ-1 с фазовой функцией (13) соответствует многофокусной линзе (см. Рис. 5). Функция р(г), уравнение (14), соответствует введению сферической аберрации и обеспечивает формирование структуры фокального поля близкой к структуре поля от фокусатора. Число периодов поля N обратно пропорционально К и определяется уравнением (16); при К=4 и исследуемых параметрах (Рис.2-5) N=16.
Рис.2. Полутоновое распределение интенсивности в меридиональном сечении (р,г) фокальной плоскости фокусатора с параметрами: Л =0,63 мкм, г1 =320 мм; г2 =360мм; Я=15мм.
Рис.3. Полутоновое распределение интенсивности в меридиональном сечении (р,2) фокальной плоскости квазипериодического ДОЭ-1 с параметрами: Х=0,63 мкм, 2! =320мм; 22=360мм; Я=15 мм; К=4.
Рис.4. Полутоновое распределение интенсивности в меридиональном сечении (р,2) фокальной плоскости квазипериодического ДОЭ-2 с параметрами: Х=0,63 мкм, 21=320мм; 22 =360мм; К=15 мм; К=4.
Рис.5. Полутоновое распределение интенсивности в меридиональном сечении (р,2) фокальной плоскости квазипериодического ДОЭ-1 (Рис.3) при ср (г) =0 в уравнении (13).
Таким образом, значение К влияет на структуру поля, формируемую квазипериодическими ДОЭ. В то же время погрешность геометрооптического и итерационного расчета функции рр (х) в (12) увеличивается с ростом К. Из сказанного следует, что значение К можно рассматривать как дополнительный оптимизационный параметр расчета ДОЭ, обеспечивающий возможность оптимизации Е(£) и й(£) при заданном £. Например, если £=2Д, квазипериодический ДОЭ-1
обеспечивает более равномерное распределение энергии при K=2, чем при K=4. В то же время, если £=3A, квазипериодический ДОЭ-2 дает более высокую эффективность при K=4, чем при K=2.
Заключение
Получены и проанализированы квазипериодические решения задачи фокусировки в продольный отрезок. Квазипериодический ДОЭ может рассматриваться как набор концентрических колец, каждое из которых формирует весь отрезок фокусировки.
Численные исследования продемонстрировали лучшие показатели фокусировки для квазипериодических ДОЭ по сравнению с фокусаторами. Аналитически рассчитанный квазипериодический ДОЭ-1 обеспечивает формирование распределения энергии в г-окрестности отрезка оптической оси, которое в 1,4 - 1,5 раза равномернее аналогичного распределения для фокусаторов. Квазипериодический ДОЭ-2, рассчитанный с использованием итерационного алгоритма Герчберга-Секстона, обеспечивает дополнительное уменьшение неравномерности распределения энергии E(z^) вдоль отрезка фокусировки в 1,2 - 1,3 раза по сравнению с ДОЭ-1.
Благодарность
Работа выполнена в рамках Государственной научно-технической программы "Наукоемкие технологии" при поддержке Mинистерства науки и технической политики РФ. Авторы выражают благодарность А.Е. Царегородцеву, С.И.Харитонову, Я.Е. Тахтарову и С.В. Смагину за помощь в подготовке настоящей статьи.
Литература
1. Laser plasmasoptically pumped by focusing with axicon a CO2-TEA laser beam in a high-pressure gas / Tremblay R., D'Astons Y., Roy G., Blanshard M. // Optics Communications. - 1979. - Vol.28, No 2. -P.193-196.
2. Brenden B.B., Russel J.T. Optical playback apparatus focusing system for producing a prescribed energy distribution along an axial focal zone // Applied Optics. - 1984. - Vol.23, No 19. - P.3250-3253.
3. Michaltsova l.A., Nalivaiko V.l., Soldatenkov l.S. Kinoform axicon // Optik. - 1984. - Vol.67, No 3. -P.267-270.
4. Пальчикова И.Г. Киноформные оптические элементы с увеличенной глубиной фокуса // Компьютерная оптика. - M.: MUffm, 1989. - Вып.6. - С.9-19.
5. Фокусировка когерентного излучения в заданную область пространства с помощью синтезированных на ЭВМ голограмм / Голуб М.А., Карпеев С.В., Прохоров А.М., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. // Письма в ЖТФ. - 1981. - Т.7, вып.10. - С.618-623.
6. Вычислительный эксперимент с элементами плоской оптики / Голуб М.А., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А. // Автометрия. - 1988. - № 1. - С. 70-82.
7. Khonina S.N., Kotlyar V.V., Soifer V.A. Calculation of the focusators into a longitudinal line-segment and study of a focal area // Journal of Modern Optics. -1993. - Vol.40. - P.761-769.
8. Борн М., Вольф Э. Основы оптики.- М.: Наука, 1973. - 720 с.
9. Kathuria Y.P. Computer modeling of three-dimensional Fresnel-diffraction pattern at circular, rectangular and square apertures // Optica Applicata. -1984. - Vol. 14, No 4. - P.509-514.
10. Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции (формулы, графики, таблицы). - М.: Наука. - 1968. - 344с.
11. Golub M.A., Sisakian I.N., Soifer V.A. Infrared radiation focusators // Optics and Lasers in Engineering. - 1991. - Vol.15, No 5. - P.297-309.
12. Метод согласованных прямоугольников для расчета фокусаторов в плоскую область / Голуб М.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л., Сисакян И.Н., Сойфер В.А., Харитонов С.И. // Компьютерная оптика. -М.: МЦНТИ, 1992. - Вып. 10-11. - С.100-110.
13. Gerchberg R.W., Saxton W.D. A practical algorithm for the determination of phase from image and diffraction plane pictures // Optik. - 1972. - Vol.35. -P.237-246.
14. Fienup J.R. Iterative method applied to image reconstruction and to computer-generated holograms // // Optical Engineering, 1980. - Vol.19. - P.297-303.
15. Kotlyar V.V., Nikolsky I.V., Soifer V.A. Adaptive iterative algorithm for focusators synthesis // Optik. - 1991. - Vol.88, No 1. - P.17-19.
16. Березный А.Е. Квазипериодические оптические элементы // Компьютерная оптика. - М.: МЦНТИ, 1989. - Вып.6. - С.19-23.
17. Computer generated diffractive multi-focal lens / Golub M.A., Doskolovich L.L., Kazanskiy N.L., Kharitonov S.I., Soifer V.A. // Journal of Modern Optics. - 1992. - Vol.39, No 6. - P.1245-1251.
18. Special diffractive lenses / Doskolovich L.L., Golub M.A., Kazanskiy N.L., Soifer V.A., Usplenjev G.V. // Proceedings SPIE. - 1993. - Vol.1780. - P.393-402.
