Сравнение различных аппроксимаций кружка рассеяния безаберрационного объектива Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621(397)

Е. В. Зайцева

СРАВНЕНИЕ РАЗЛИЧНЫХ АППРОКСИМАЦИЙ КРУЖКА РАССЕЯНИЯ БЕЗАБЕРРАЦИОННОГО ОБЪЕКТИВА

Рассматриваются различные виды аппроксимации выражения распределения яркости в кружке рассеяния безаберрационного объектива, а также определены контраст и контрастность для каждого вида. Построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации.

Ключевые слова: объектив, кружок рассеяния, яркость, контрастность.

Теоретически предельное разрешаемое расстояние между двумя точками для идеального (безаберрационного) объектива определяется по закону Рэлея диаметром Б входного зрачка объектива, его фокусным расстоянием/' и длиной волны излучения X [1]. Это расстояние определяется из аналитического выражения радиального (г ) распределения яркости в кружке рассеяния такого объектива [2—4]:

И (х ) =

2 31 (пх )

кх

(1)

где ^(х) — функция Бесселя 1-го порядка, х = г /г0, г0 =Х/' /Б = № (здесь ^ = Б / /' — диа-фрагменное число объектива), и получается равным Гл «1,22го = 1,22^Р . При таком расстоянии максимальная яркость излучения одной точки совпадает с первым минимумом распределения яркости второй (соседней) точки.

Зависимость (1) графически изображена на рис. 1. Следует отметить, что первый минимум имеет место при х = хт^п1 = 1,220, второй — при х = хт^2 = 2,233, третий — при х = хт^з = 3,238 ; первый максимум — при х = хтах1 =1,635, второй — при х = хтах2 = 2,679, третий — при х = хтах3 = 3,699 .

И(х) 0,8

0,6 0,4

0,2 0

/

-Ь(х) ^М(х)

-3

-2,4 -1,

-1,2

-0,6 0 Рис. 1

0,6

1,2

1,8

2,4

При г)1 «1,22г суммарная яркость (Н) излучения двух точек с учетом выражения (1) характеризуется графиком, приведенным на рис. 2, а; их контрастность (разностный контраст) К0 = (¿1 -¿2)/¿1« 0,265 , где Ь\_, Ь2 — максимальное и минимальное значение суммарной яркости соответственно; контраст (определяемый в соответствии с рекомендациями

х

Международной комиссии по освещенности как глубина модуляции яркости) равен К = (( -¿2 )/ (( + Ь2 ) 0,153, поскольку К = К0/(2-К0).

а)

Н(х) 0,96

0,722

0,48

0,2^4 0

-3 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 1,2 1,8 2,4 х

б)

Н(х) 0,96

0,72

0,48

0,2244 0

-3 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 1,2 1,8 2,4 х

Рис. 2

Для упрощения расчетов в работе [5] (с учетом [3, 4]) было предложено выражение (1) аппроксимировать гауссоидой (см. рис. 1 — пунктирная кривая)

h1 (х) = exp

0,61

(2)

радиус которой на уровне 1/е составляет хе = 0,61, т.е. re = 0,61r0 = 0,5r01. Выражение (2) получено при условии равенства радиусов и условии пересечения гауссоиды и кривой на уровне 1/е.

Определим значение отношения хе = rejГ) из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (2), т. е. из условия

í eXP

( X ^

V Xe J

dx = í

2 J (пх)

dx.

пх

При пределах интегрирования, отличных от бесконечности, величина отношения хе = ге/го несколько изменяется (см. табл. 1).

_Таблица 1

Пределы интегрирования хе К0 К

(-1,22;+1,22) 0,598 0,305 0,180

(-2,233; +2,233) 0,605 0,289 0,169

(-3,238; +3,238) 0,608 0,283 0,165

(-да; +да) 0,610 0,279 0,162

Рассчитаем относительную погрешность определения контраста 5К по следующей формуле:

кб - ка

5к=-

кб

где КБ — контраст, определенный с помощью функции Бесселя; Ка — контраст, определенный с помощью аппроксимирующей функции.

Как следует из табл. 1, чем больше пределы интегрирования, тем меньше относительная погрешность определения контраста: при пределах (-д; +q) она составляет -22,2 %, а при пределах (- да; + да ) равна -5,9 %.

Два других способа аппроксимации выражения (1) рассмотрены в работе [6]. Так, выражение (1) можно аппроксимировать и „колокольной" функцией [1]

Л2( х)=—Ц. (3)

1+(Ьх)

Расчеты показывают, что при х = -1,22„.+1,22 и равенстве условных радиусов эта функция имеет вид, представленный пунктирной линией на рис. 3, а, коэффициент Ь=2,150.

а) Ь(х) 0,8

0,6

0,4

0,2 0

#* А

И • ш • ♦1 »1 ■1

#» ■1 •1

♦7 ♦ / # / -¿2(х)

* / * -И(х) \ *

-3 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 0 0,6 1,2 1,8 2,4 х

б)

Н(х)

0,8

0,(5

0,4

0,2 0

й(х)_ я V/ Нъ(х\ «V

2,4 х

-3 -2,4 -1,8 -1,2 -0,6 (0 0,6 1,2 1,! ,

Рис. 3

Из условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (3), т. е. из условия

1,22

1

1,22

2 31 (кх)

ёх

кх

-¿х, = [

-1221 + (Ъх) -1,22

коэффициент Ъ получается равным 2,338.

Для аппроксимации выражения (1) в пределах х = -1,22„.+1,22 можно использовать и „косинус-квадратную" функцию [1] (рис. 3, б)

И3( х) = ео82

к

(4)

—х

V 2а у

откуда при выполнении условия хе = ге /гэ = 0,61 получаем коэффициент а=1,042, а при выполнении условия равенства площадей под кривыми, описываемыми выражениями (1) и (4), — коэффициент -а=1,047.

Функция И3 (х) имеет периодический характер, поэтому при ее расчете следует ограничиться пределами (-1,22; 1,22).

Зависимость значений К0 и К от видов аппроксимации представлена в табл. 2.

Таблица 2

Вид аппроксимации К К

„Колокольная":

равенство радиусов 0,315 0,187

равенство площадей 0,348 0,210

„Косинус-квадратная":

равенство радиусов 0,265 0,153

равенство площадей 0,309 0,183

Анализ таблицы показывает, что контраст при „косинус-квадратной" аппроксимации при равенстве условных радиусов имеет наилучшее совпадение с контрастом, полученным из выражения (1). Максимальная относительная погрешность наблюдается при „колокольной" аппроксимации при равенстве площадей и составляет 37,3 %.

Для сравнения рассмотренных видов аппроксимации построены зависимости абсолютной погрешности аппроксимации от х (рис. 4).

Рис. 4

При аппроксимации выражения (1) контраст и контрастность имеют важное значение, поэтому целесообразно вычислить коэффициенты для аппроксимации гауссоидальной и „колокольной" функциями при условии равенства контрастности и контраста. Выражения (2) и (3) в этом случае соответственно приобретают вид

h1 (х) = exp

(

л2

0,616 )

h2( х) =

1

1+(1,908х)2

Коэффициент а в выражении (4) одинаков при равенстве контраста и равенстве условных радиусов.

На рис. 2, а—в приведены графики рассмотренных кривых.

Три представленных способа аппроксимации могут быть использованы для упрощения расчетов. Вид аппроксимации необходимо выбирать в зависимости от поставленной задачи, допустимых абсолютной и относительной погрешностей, параметров телевизионной системы. Исходя из этих же критериев следует рассчитывать и коэффициенты каждой аппроксимирующей функции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. РыфтинЯ. А. Телевизионная система. М.: Сов. радио, 1967. 271 с.

2. Castelman K. R. Digital Image Processing. New Jersey: Prentice, 1996. P. 368

3. МирошниковМ. М. Теоретические основы оптико-электронных приборов. Л.: Машиностроение, 1977. 592 с.

4. Порфирьев Л. Ф. Основы теории преобразования сигналов в оптико-электронных системах. Л.: Машиностроение, 1989. 383 с.

5. Пустынский И. Н., Кирпиченко Ю. Р. К оценке чувствительности и разрешающей способности телевизионных датчиков // Изв. вузов. Приборостроение. 2005. Т. 48, № 11. С. 5—9.

6. Зайцева Е. В. Оценка погрешности аппроксимации гауссоидой распределения яркости в кружке рассеяния объектива // Докл. (материалы) 14-й Междунар. науч.-практ. конф. „Природные и интеллектуальные ресурсы Сибири", 6—8 окт. 2008. Томск, 2008 г. С. 93—96.

Екатерина Викторовна Зайцева

Рекомендована кафедрой телевидения и управления

Сведения об авторе аспирант; Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники, кафедра телевидения и управления; E-mail: [email protected]

Поступила в редакцию 14.04.10 г.