CC BY
30
Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, П. Н. Кот
СРАВНЕНИЕ ПОПРАВОК К НИЗШИМ СОБСТВЕННЫМ ЧАСТОТАМ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА
1. Введение
Известно, что изгибные и продольные колебания изолированной плоской упругой пластины взаимно независимы [1]. Слабая зависимость между этими видами колебаний может возникнуть при контакте пластины с жидкостью.
В большинстве работ (например, [2, 3]), где изучаются колебания цилиндрических резервуаров, продольные смещения упругих стенок не учитываются. В то же время, в работах [4-6] обоснована важность учета таких смещений при изучении совместных волновых процессов в системах «упругая пластина — жидкость».
В работах [2-6] изгибные колебания пластин подчинены уравнению Кирхгофа. Интерес представляет то, сколь чувствительна математическая модель процессов в пластине к учету сдвига и инерции вращения [7, 8].
Целью настоящей работы является сопоставление поправок к низшим собственным частотам цилиндрического акустического резонатора с жесткой цилиндрической и одинаковыми упругими торцевыми стенками.
2. Учет продольных колебаний пластины
Цилиндрический объем радиуса К, высоты Н заполнен идеальной сжимаемой жидкостью (рис. 1). Акустическое давление в жидкости Р(г,ф,г) подчиняется уравнению Гельмгольца:
д 2
и
А± + д^ + -^)Р(г,<Р,г)=0,
л — —
дг2 г дг г2 дір2
(1)
Рис. 1.
Внутренняя поверхность цилиндрической стенки идеально жесткая:
дР(г, г)
дг
= 0.
(2)
т=Я
© Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров, П. Н. Кот, 2007
Торцевые упругие стенки (г = ±Н) считаются идентичными. Уравнения для совместных изгибно-продольных колебаний стенок и жидкости выводятся с применением методики, изложенной в [1, 4]. В цилиндрической системе координат эти уравнения принимают вид
(д! — к4) \¥± (г, ср) = —^р{г, ср, т),
Ьпи±(г, р) + ¿12и±(г, р) -Ь2\и±(т, р) + Ь22и±(т, р) —
Рои-аі дР(т, р, г)
Е1 дт
аі дР(т, р, г\
Е1 т др
г=±И
г=±И
Vі{г, Ч>) = \ ^±я) + (Ь31 и±{г, <р)+Ь32и±{г,
1 дР(т, ±Н)
\У±(г)+У±(г) = ±-
&ои2
дг
(3)
(4)
(5)
(6) (7)
д2 1-а д2 1д_ 2 1_
дг2 2г2 ^ г дг г2 ’
12 —
Ьіі =
1 + а д2 2г дгдср 2г2
3 — ад
1 + ад2 3 — ад
¿21 = —-----------Ь
2т дтдр 2т2 др
1 — ад2 1 д2 1 — ад л2 1 — а
Ь22 = „ „ о + —^7 + —;--------— + А -
2 дт2 т2 др2 2т дт
2т2
д1
¿31 — Д--1-:
дт т
Ь32 = ~^~, т др
где Ж± (г, <р) — изгибные смещения пластин в направлении внешней нормали, V± (г, (р) — смещения в том же направлении внутренних поверхностей пластин, обусловленные их радиальными и окружными продольными смещениями и±(г,р), и±(г,р), ш — круговая частота, до — плотность жидкости, с — скорость звука в ней, к4 = рНш2/П, р — плотность материала пластин, Н — их толщина, П = Е]_Н3/12, V = дош2/П, Е\ = Е/(1 — а2), Е2 = Е\/(1 — а2), а\ = а/(1 — а), Е — модуль Юнга, а — коэффициент
Пуассона, Л2 = рш2/Е\.
Гранично-контактные условия
дШ±(т, р)
дт
т = К
и±(Е,р) — 0, и±(Я,р)— 0,
Ш ±(Е,р) — 0
(8)
(9)
(10)
(11)
означают отсутствие поворота (8), продольных (9), (10) и изгибных смещений (11) пластин вдоль контура их жесткого закрепления.
В уравнениях (3)—(11) верхний из супериндексов относится к смещениям и нагружениям верхней (г — +Н) пластины (Ш + (т, р), и+(т,р), и+(т,р), У+ (т, р)), нижний
0
0
0
супериндекс соответствует нижней (г = —Н) пластине (Ж (г, р), Ц (г, р), и,(г, р), V-(г Р))-
С помощью процедуры, описанной в [9-11], выстраиваются формы неосесимметричных (т =1, 2, ...) свободных колебаний, удовлетворяющих требованиям (1)-(9):
Г)/ \ / \ (Япг) Ф(£иг) / 1 0\
Р(г,<р,г) =сов(тр) > Рп-г-,—т , (12)
_ ^ш(ЯпК) Ф(^пН)
ТУ± (г, 9?) = соз(то^) ^2 '7т^РпТт1 П_1 ^(РпК)
(13)
С.
п
_ С'1г/ + С'2(£г^(£п£)(^ - А2) -1УгцкА (<?2 -Л2(1 -ст2)))
- (1) ,
Цп
сП1] = (&П— л2)&ё^пЩчП— к4) — v) - ^1Н4 (?П— л2(1 — а2))(«П— к4)) *п,
гг±, , гпЧ ,(г 2Д (КЫ^г) .ш\г)\ ^
<7Г (г, у) = ссЦту) Сх - + > иг 1
НЛ2аД г7т(еЛК) ^(ЛК) У п^™ ^(РпК)) '
±( . , л(^ 2Д ( т7т(Лг) еХШ^(еХг)\ | ^ 7т(дпг)
* (Г’ ^ М I 1 ^А2а! [ХГ^(ХК) т.]т(еХК) ) + ^ ^“г.7т(рпД)
9па 1 та1
“Рп ? ^срп — 7 9 Л 9 N 7-1 Рп '
(<£ — Л2)Е1 ^ (д2п — Л2)Е1
Здесь С\, С2 — произвольные константы, дп = ¿п/Н, Зп (п = 1, 2, ...) — положительные корни уравнения J¿n(j) = 0, .1т(з)—функция Бесселя, = \/ д„ — и2/с2, г/1 = 1/48,
е = л/2/(1 - ег), ¿„ = 1 - т2Ц2п.
Для ^-симметричных процессов ф(г) = ео8Ь(^), g(z) = tanh(z), для ^-антисиммет-ричных процессов ф(г) = бш^я), g(z) = тоШ^).
Последние в постановке задачи условия (10)—(11) порождают линейную однородную систему уравнений относительно произвольных констант:
^ В(1) й(1) \ /с
В11 В12 1 1с 1
М1 в£Ч \С2
(14)
с(1) _ 1 с(1) _ £пё(£п-£')0з,п _ ^2) _ ущЬ4 (д2 - л2(1 - а2))
йи -и2^л1) > ^12-2^ л(1)
п_1^п п_1 ^п
(1) _ еЛД27^(еЛД) ^ £п g(gn¿)(g4 - К4) - угцЬ4 (д4 - к4) - г/
21 2т27т(еЛД) ^ с(1)
п_ 1
оо ..
£$ = ^А2^!^4 ]Г дц .
п_ 1 Сп
0
Нетривиальное решение системы (14) существует, если
?(1) П(1)\
ЕН1) Д(
В11 В1
?(1) в1 21 в22 ,
,(1)
¿еЧ В11) В(2)1 =0. (15)
Условие (15) есть уравнение для поиска собственных частот ш( ) (в = 1, 2, ...) резонатора.
3. Учет сдвига и инерции вращения
Второй подход к постановке задачи предусматривает отказ от учета продольных смещений пластин в пользу учета инерции вращения и осредненных углов сдвига в радиальном ©±(г, р) и окружном ©±(г, р) направлеиях.
Уравнения (1)—(2) сохраняют силу, прочие условия принимают вид
(Д± + Л2) (Ь310±(г, <р) + Ь320±(г, *>)) - «4^±(г, *>) = V, ±Я)
2 дг
И
Ь210^(г, ср) + Ь22 0^(г, ср) + дИ^(г, Ч>) ^ И2 г др
©±(К, р) = 0,
©±(К,р)=0,
Л±
-2Р(г, р, ±Н) , 2 (16)
0, (17)
0, (18)
(19)
(20)
(21)
Ж ±(К,р) =0,
где и2 = Л2е2/К, К — фактор сдвиговой коррекции.
Формы колебаний, удовлетворяющие условиям (1)—(2), (16)—(19), представимы выражениями (12), (13), в которых следует положить
сЛч1 - л2)(! - х2щЬ2) + с2{\ + {ч2п - х2)тЬ2) _______2. .2,..
'п ^2^ 7 Рп ^п
Сп
сп2) = (((Ч2п — Л2)(«п — И2) — к4)Сп g(£nL) — v(1 + (?п — Л2)П2Н2)) К ,
и выражениями
©± (г, р) = соя
±/„ ^ „„„/ \( г Е г) 7^(7 г) \ -Шчпг)
М Р1 2 - 1ЩЩ) + 5/'
Д / т4(7г) _ б7Д7^(б7г)\ ул
\ 1 2 \7г^т(7Й) т7т(е7Д) у ^
<7п Й = т
1 + (</2 -А2)^2™"’ 1 + (</2 -Х2)тк2'
где П2 = 1/(6(1 — а)К). 160
4
^гп
п
Последние в постановке задачи условия (20)-(21) вновь порождают линейную од-родную сист (в = 1, 2, ...):
нородную систему уравнений, а также уравнение для поиска собственных частот ш(2)
( в(2> д(2> \
** в™ н<2>) —0 • (22)
\в21 в22 )
Iз(2) _ Х""' (Чп ~ ^2)(1 — Х.2Г]2Ь?)^п g(£,nL) и(2) _ (1 + (Чп — А2)??2^2)Сп ё(СпЬ)
"П ~ 2^ Л2) > ^12-2^ А2) >
п=1 п=1
е>(2) _ V'' Сп ё(£п^)(<?2 ~ А2 — /х2) — г/772/г2 (2) _ Є7Д3^(е'уЯ) , ё(Сп^)
21 л(2) ’ 22 2ш27т(е7Й) л(2)
п=1 т\ 1 / п=1
4. Сопоставление собственных частот
Низшие корни уравнений (15), (22) будут сравнены с собственными частотами ш(0) (в = 1, 2, ...), которые найдены при традиционной постановке задачи [9] и являются корнями уравнения
ё(£та£)______ _ д
(£п ё(£пЬ)(д4 - к4) - 1у)гп '
Разложением квадратов искомых величин в ряд по степеням малого параметра е = Н/К ( )
(ш^)2 = в10)е3(1 + в11)е + в1г2)е2 + в13)е3 + в14)е4 + ...)
и подстановкой в уравнения (23), (15), (22) соответственно при г = 0, 1, 2, можно убедиться в том, что
№ = № = № = > № = № = № >
№ = № , № ~ № = -{1^а)КЪ^) ,
№ = №, ^ - /?<4} = - (п ^ ) •
Применены обозначения:
г2
(1-сг)(3-сг)
Я ’ 6аг5(£)г1,1,2(£У 48 пд^)
ф2.(^) = , ТгМ = 53
48 т1,1,2(1) ” (ІП їапЬ(і„1) — а5(£))кі
а8(1) — в-й корень уравнения
(Італії(^„^) - а5)і
tanh(jnl) = Г-?^ ^ялЬГ-?.. Р\ — п/^у-
п=1
п
Таким образом,
Н1))2 - Н°))2 = Д(^))2 + о((|)5) h/^Q А(^>) Д^«)2 = -(^0))2(Фі,(1) -
(l-a)(3-a)$2s^j(ß) ’ ( h \3"
н2>)2 - мо,:>2 = д(42>)2+°(Q3) л/я~ о дн2>)
д(42>)2 = -М°>)2 1
h/R^0
М)(І:У •
(25)
(1 - a)K v \RJ
Факторы Фхя(1), Ф2я(1), Фа(£) суть величины одного порядка, однако Ф8(1) является множителем при более низкой степени h/R. Следовательно, на низшие частоты тонкостенного резонатора большее влияние оказывает учет сдвига и инерции вращения в пластине.
Рис. 2.
5. Численный эксперимент
Численное определение собственных частот произведено для системы сталь—вода при H/L = 1, K = п2/12. Рисунки 2, 3 подтверждают приближенные формулы (24), (25) соответственно. Части (а) представлены для случаев симметричных по координате z процессов, (б)—для антисимметричных колебаний. Номера линий совпадают со значениями параметра m.
Summary
L. M. Yufereva, Yu. A. Lavrov, P. N. Kot. Comparison of amendments to the lowest natural frequencies of the cylindrical acoustic resonator.
Representation for a field of free coupled acoustical and mechanical oscillations of fluid inside a cylindrical volume and boundary elastic face walls is constructed. The internal surface of the
cylindrical wall is rigid. The equations for natural frequencies are built. Two additional factors influencing the natural frequencies are taken into account: extensional movements of plates, rotation inertia and shear. The frequencies found are compared analytically with those of model which does not take into account additional factors. The approximate formulae for amendments of both types are numerically tested. It is shown, that the account of rotation inertia and shear correction gives more large relative amendment.
Литература
1. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика (в 9 т.). Т. 7. Теория упругости. М.: Наука, 1965. 203 с.
2. Любимов В. М. Осесимметричные колебания газа в цилиндрической полости с учетом упругости ее торцевой стенки // Инженерный журнал. 1965. Т. 5. №4. С. 691-696.
3. Гершунов Е. М. Определение присоединенной массы жидкости при расчете днищ резервуаров // Прикладная механика. 1968. Т. 4. №6. С. 124-128.
4. Лямшев Л. М. Отражение звука тонкими пластинками и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.
5. Кирпичников В. Ю., Савенко В. В. О взаимодействии изгибных и продольных колебаний в бесконечной однородной пластине через акустическую среду // Акуст. журн. 1984. Т. 30. №1. С. 134-137.
6. Dubbelday P. S. Constrained-layer damping analysis for extensional waves in infinite, fluid-loaded plates // JASA. 1993. Vol. 93. N4. P. 1927-1935.
7. Mindlin R. D. Influence of rotatory inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1951. Vol. 18. N1. P. 31-38.
8. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки. М.: Наука, 1966. 635 с.
9. Лавров Ю. А., Лукьянов В. Д., Никитин Г. Л. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с упругими стенками // Акуст. журн. 1989. Т. 35. №2. С. 302-307.
10. Лавров Ю. А. О собственных частотах цилиндрического акустического резонатора с упругими торцевыми стенками // Прикладная механика. 1991. Т. 27 (37). №4. С. 53-59.
11. Лавров Ю. А. О влиянии продольных колебаний упругой стенки на собственные частоты прямоугольного акустического резонатора // Акуст. журн. 1998. Т. 44. №4. С. 396-400.
Статья поступила в редакцию 12 декабря 2006 г.
