CC BY
29
УДК 624.042.8
А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)
ПРИМЕНЕНИЕ АССОЦИИРОВАННЫХ МАТРИЦ К РАСЧЕТУ КОЛЕБАНИЙ НЕРАЗРЕЗНЫХ ПЛАСТИН
Отримано асоцшоваш матриц та розроблено методику гх застосування у розрахунку коливань нерозрiз-них пластин з неперервним розподшенням мас i рiзними граничними умовами. Наведено також рiшення щодо власних коливань ортотропног плити з урахуванням iнерцii обертання, зсувiв та поздовжшх сил.
Получены ассоциированные матрицы и разработана методика их применения к расчету колебаний неразрезных пластин с непрерывным распределением масс и различными граничными условиями. Приведены также решения для собственных колебаний ортотропной плиты с учетом инерции вращения, сдвигов и продольных сил.
The associated matrices are obtained and the technique of their application for calculation of continuous plate vibration with continuous distribution of mass and various boundary conditions is developed. The solutions for free vibrations of orthotopic plate taking into account the rotation inertia, shears and longitudinal forces are also presented.
Неразрезные плиты и пластины входят в состав многих инженерных и технических сооружений. В частности, можно отметить их использование при моделировании пролетных строений мостов и элементов корпусных судовых конструкций. В данной работе исследуются поперечные колебания прямоугольных жестких пластин или тонких плит при условии малости прогиба по отношению к толщине с использованием обычно вводимых при этом допущений [1, 2]. Расчет таких систем будем проводить с помощью метода начальных параметров и ассоциированных матриц [3], а построение уравнений частот - с использованием теории конечных автоматов и элементов математической логики [4].
Введем прямоугольную систему координат хуг. Оси х и у расположены в срединной плоскости пластины, ось г направлена вертикально вверх. Два противоположных края пластины (при у = 0 и у = 12) приняты шарнирно
опертыми или имеют скользящую заделку, другие стороны (при х = 0 и х = /1) закреплены
произвольным образом.
Рассмотрим участок пластины переменной толщины в направлении оси х, ограниченный сечениями к — 1, к , длиной ¡к . Толщина пластины в пределах каждого участка считается постоянной. В общем случае сечение характеризуется компонентами линейного и углового перемещений и компонентами внутренних усилий и моментов, которые образуют вектор состояния 5", включающего вектор перемещений
и и вектор усилий д . Концевые граничные параметры к-го участка р -пролетной неразрезной пластины связаны с начальными параметрами этого же участка следующим соотношением:
Бк = Бк—1 В1к , (1)
где Б(к - транспонированная матрица влияния
или переходная матрица участка пластины.
С учетом решения дифференциального уравнения собственных колебаний к-го участка пластины [3], матрицу Б^ представим в блочной форме:
(2)
Следует заметить, что векторы переменных в (2), записанные по вертикали и горизонтали, относятся к различным краям пластины.
Подматрицы блочной матрицы Б(к определяются выражениями
B =
UU
B =
qu
Si V2 ; в = U 2 T2
T3 S1 uq V2 U2
Ui T1 ; в = S2 V3
V U1 ' qq T1 S2
(3)
В состав элементов подматриц Btk входят функции [3, 5]:
© Распопов А. С., 2010
S1 =—(a 2ch d + d 2cos a ); S2 = —^ (d 2ch d + a 2 cos a ); T = —^ (d sh d + a sin a );
T2 = a2d2Up T3 .-12 13 —2
f 2 t2
a , , d . —sh d +--sin a
d a
v
; U1 =—j- (ch d + cos a ); U2 = a 2d 2U1;
1 I 1 1 I 22 1 / 3 3 \
V =—-1— sh d--sin a I; V2 = a d K; V3 =—- (d sh d - a sin a),
—2 vda ) —2V '
As =—2 (ks ch d sin a - fs sh d cos a);
где А2 = а2 + й2; а2 = Я2-р2; й2 = Я2 +р2; А,4 = цю214/Б - частотный параметр; Рг = Iт/12, 1 = 1,2,3,...; Б = Ек3/12(1^2) -цилиндрическая жесткость пластины; Е - мо- где 5 = 1, к1 = —, /1 = —; 5 = 2, к2 = —
A3 = -a 2 d 2 A1,
(6)
дуль упругости; V - коэффициент Пуассона; ц = рк - масса пластины на единицу площади; р - плотность материала; к - толщина пластины; ю - круговая частота колебаний (индекс к опущен).
Для параметров а, й отметим следующие зависимости:
а2 + й2 = 2Я2; а2 -й2 =-2р2; ай = Я4 -р4. (5)
Т.к. рассматриваются только поперечные колебания [4], то возможным состояниям пластины при однородных граничных условиях соответствуют частотные определители из миноров 2-го порядка матрицы , которые могут быть представлены в составе ассоциированной матрицы Мк . Выполняя многочисленные функциональные преобразования и принимая во внимание соотношения (5), представим матрицу Мк в табл. 1, где каждый элемент записан в порядке логического следования кодов начальных (НП) и концевых (КП) граничных параметров пластины. Значение 1/ А4 является общим множителем матрицы Мк .
Таблица 1 Ассоциированная матрица Мк
d
\кп НП4^ 0011 0101 0110 1001 1010 1100
1100 E1 A3 H 2 F2 C3 G4
1010 C1 D1 Л A3 B2 C3
1001 F1 C1 E2 G3 A3 F2
0110 H1 C2 G2 E2 A2 H 2
0101 A1 B1 C2 C1 D1 A3
0011 G1 A1 H1 F1 C1 E1
Входящие в состав ассоциированной матрицы Мк элементы определяются следующими выражениями:
Л =-a3.
Cs =—2 (ks ch d sin a + fs sh d cos a);
C3 = -a 2 d 2C1,
(7)
d2
где s = 1, k1 = d, f1 = a ; s = 2, k2 = —,
a
f. a±
f d
Для функций B1, B2, D1 можно записать:
—4
B1 =—sh d sin a ; B2 =-a2d2B1; (8) ad
D1 =— ch d cos a .
(9)
В свою очередь, функции F1, F2 и H1, H2 определяются выражениями:
F1 = 2ad sh d sin a + y; F2 =-a 2d 2F1; (10) —4 2 2
H. =— sh d sin a -y; H2 =-a d H., (11)
1 ad 12 1
где y = (a2 - d2) (1 - ch d cos a) .
Наконец, функции Gs и Es приводятся к виду:
Gs = ks (1 - ch d cos a) + fs sh d sin a; |
G3 = -a 2d 2G1; G4 = -a 2 d 2G3,
i; ^ r d a
где s = 1, k1 = 2, f =----; s = 2,
a d
(12)
k2 = -2a2 d 2, f2 = a2 d 2
( j3 3 Л
d a
~ "Гэ
v a d )
Es =Ys + ks ch d cos a + fs sh d sin a , (13) где s = 1, Yj = a4 + d4, k = 2ad,
/ = ad (a2 - d2), 5 = 2, y2 = k1, k2 =yx, /2 = fx-
Таким образом, матрица Mk содержит в качестве элементов определители частот свободных колебаний одиночной пластины и характеризует 36 возможных ее состояний и комбинаций граничных условий для x = 0 и x = l1 при фиксированных закреплениях сторон при y = 0 и y = l2 .
К примеру, для пластины, один край которой заделан, другой - шарнирно оперт, уравнение частот определяется непосредственно элементом матрицы Mk табл. 1 с кодами
0011/0101, удовлетворяющими граничным условиям по концам пластины (для x = 0 и x = I1):
1 ^ch d sin a - -^sh d cos a | = 0, (14)
(15)
A2 V a
1 1 , Л n
или — tg a--th d = 0.
a d
J_
A4
2 (1 - ch d cos a)-
2 >2 a - d
ad
sh d sin a
= 0, (16)
или для симметричных и кососимметричных форм колебаний
^ d th d + a tg ajj^ d cth d - a ctg 2j = 0. (17)
Уравнения (14) - (17) в точности совпадают с решениями, приведенными в работах [2, 5].
Другие возможные состояния пластины, определяемые комбинациями граничных условий из трех произвольных или фиксированных и, соответственно, одним фиксированным или произвольным НП и КП (всего 16 состояний), будут характеризоваться частотными определителями из миноров 3-го порядка матрицы Btk. Анализируя все полученные миноры,
можно прийти к выводу, что каждый из них тождественен определенному элементу матрицы влияния, построенной по технической теории изгибных колебаний. Это же свойство характерно и для миноров 1-го порядка матрицы Btk . Располагая элементы матрицы (2) в соответствии с кодами НП/КП, получим ассоциированную матрицу Rk (табл. 2) с функциями (4).
Таблица 2 Ассоциированная матрица Rk
\кп 0111 0001 1011 0010 1101 0100 1110 1000
1000 1110 S1(A) V2 (A) и2 (A,) T2 (A)
0100 1101 T3 (A) S1 (A) V2 (A) U2 (A)
0010 1011 U1 (A) T1 (A) S2 (A) V3 (A)
0001 0111 V1 (A) U1 (A) T1 (A) S2 (A)
Для р -пролетной неразрезной пластины переменной толщины в направлении оси х уравнение частот можно выразить в виде последовательного произведения ассоциированных матриц [6] каждого из р участков системы
p-1
VП M*VP= к=2
(18)
Для пластины, у которой два противоположных края заделаны (коды 0011/0011), а два других - шарнирно оперты, уравнение частот примет вид:
где V и V - матрица-строка и матрица-
столбец 1-го и р -го участков.
Для простых случаев нет необходимости в построении таблиц переходов автомата, достаточно воспользоваться только анализом графа системы. К примеру, если в сечениях пластины 1, 2,..., р -1 (вдоль оси у) поставлены абсолютно жесткие опоры, то подграф к-го участка пластины примет вид, как на рис. 1.
Несложно заметить, что в каждом сечении между участками пластины возможны два варианта граничных условий и, следовательно, четыре состояния любого из подавтоматов А2,
А3,..., Ар-1. Топологический код к-го подавтомата можно представить квадратной матрицей кодов второго порядка
С (к ) = |
(19)
где сп =[0101/0011], с12 =[0101/0101], с21 =[0011/0011], с22 =[0011/0101].
Соответствующая ассоциированная матрица М' с учетом кодов ск (табл. 1)
М' =
^ КП НП ^ 0011 0101
0101 A (Ak) Mh) 1 A4 • (20)
0011 G1 (Ak) MK)
В зависимости от условий закрепления первого и последнего участков пластины опреде-
2
ляются функции векторов У1 и Ур в уравнении
(18). К примеру, если левый край пластины
(при х = 0) заделан = ||0011/0011 0011/0101||,
р
а правый (при х = ^ ¡к ) - свободен
k=1
= {oioViioo 0011/1100},
то
1 =ДтН(^i) Ai) д1
V = J-
p д4
аз (р) ei ( р)
Рис. 1. Подграф к-го участка неразрезной пластины на жестких опорах
Предположим, что в к-м сечении пластины размещены упругие опоры (ребро жесткости) относительно поперечных перемещений жесткостью Ск, отнесенной к единице длины сечения, а также равномерно распределенная по сечению сосредоточенная масса интенсивностью Шк . В этом случае решения будут аналогичными полученным для балок, имеющих сосредоточенные включения в распределенные параметры [6]. Так, выражение для ассоцииро-
" ЛТС
ванной матрицы участка пластины у , учитывающей наличие упругих опор на левом крае, с учетом обозначений [6] можно представить в виде:
YC = Mk
~CkMk ,
(22)
где Щ = М011)01 + М00}п ; Ск = Ск - ткЮ .
Для участка пластины с упругими опорами относительно поворота сечения жесткостью дк
матрица Уд преобразуется к виду:
Уq = Мк + ~qkMl,
(2з)
вынужденных колебаний и построении форм собственных колебаний неразрезных плит [7]
RCq = R + CkR0
(i) 001
" qk R00)10 ,
(25)
где Лк - ассоциированная матрица четвертого
порядка обычного участка пластины (табл. 2);
Л1) = . Л2) = К(2) 1У0001 "1110 ' 1У0010 "1011 •
В целом, когда имеются сосредоточенные включения различных типов [6], ассоциированные матрицы участков могут быть получены, пользуясь принципом наложения. При этом уравнения частот, которые описывают ту или иную систему, будут иметь один и тот же вид (18). Для более сложных случаев необходимо составлять таблицы переходов с кодами НП, КП каждого участка пластины.
Здесь же рассмотрим собственные колебания ортотропной плиты с учетом инерции вращения, сдвигов и продольных сил. Используем решения [8] для системы шарнирно опертых пересекающихся балок на сплошном упругом основании:
-2P2q1
где мд = М1(0)ю +М 0011; дк=дк- 3кшю2.
Соответствующая матрица У^ для участка
пластины с опорами, упругими относительно поперечных и угловых перемещений, и равномерно распределенной по сечению сосредоточенной массы на левом конце имеет вид:
Пд = Мк + + + СЛМСд, (24)
где МСд = М 00ц.
Тот же результат получим путем раскрытия миноров второго порядка матрицы Щд, элементы которой также используются в расчетах
B2
Afo + 2P2V,-Р4 B1
-2P2q2
2p;V2-Р4
= 0, (26)
где B1 = /j3 /E1J1 , B2 = /E2J2 - коэффициенты, характеризующие жесткости продольных и поперечных балок.
Представим систему взаимно перпендикулярных регулярных балок [8] как набор взаимно ортогональных балочек-полосок прямоугольного сечения высотой h, связанных между собой распределенными упругими связями в виде обычного Винклеровского основания. Частотный параметр А,4 содержит, кроме ко-
эффициента толкающей связи ц^ ю у, возникающей от сил инерции при свободных колебаниях, еще коэффициент кп упругого основания
[9], который принимает тот или иной знак в зависимости от того, какое из направлений балок будет поддерживающим по отношению к балкам другого направления.
После перехода от жесткости балки при изгибе к цилиндрической жесткости пластины
= И3/12(1-v'v2), а также с учетом, что ц^ = Ир/2, /2 = ¡1 = I, уравнение (26) при а^ = 1, V„ = 0 , д„ = 0 примет вид:
И рю2 ¡1
р4 к У 1
у 2П2
П 14
-В2 в2
^ в2У П2
Ир^4 -П2 в2 ПА
Р1; Р 2 у
2П
П
-Р4
в2
=т- (27)
ю- =
р И
р4/ П1 +в2 у П2+Р2 (в
+в2 у (р^п, ± N2)
2 у П3 ± N ) +
(29)
Аналогичным образом из уравнения (26) получим выражения (30), (31) для определения круговой частоты юу с учетом, соответствен-
но:
инерции вращения
ю2 =
р И
Р4П +Р2П
1
-т ( +Р2 у)
2 в2 в2 уП
; (30)
ю2 =
рИ
Р4П:
Р2А
1+Р2
2 П1кИ
12Пк
1+в2 2у 12Пк
2 ■ 2Р1Р2уП3
(31)
1
где V', v2 - коэффициенты Пуассона в осевых направлениях плиты, р - плотность материала плиты, П3 = П^2 + 2Пк, Пк = ОИ3 ¡12, О - модуль упругости при сдвиге, Р1 1 = ; Р2у = П//П .
Решая уравнение (27) относительно ю2,
приходим к известному результату [9] для собственных колебаний ортотропной плиты
ю2 (Р^П+2Р2Р2уП3 +Р4уП2). (28)
Если в срединной плоскости плиты действуют продольные силы, то
где к - коэффициент, зависящий от формы поперечного сечения.
Т.к. приведенные результаты получены путем предельного перехода для двух систем взаимно перпендикулярных балочек-полосок, то можно с помощью такого же подхода решить и некоторые другие частные задачи комбинаций неразрезных балок: плит, подкрепленных регулярной сеткой ребер, неразрезных плит или пакетов плит, соединенных между собой равно-жесткими линейно-упругими безынерционными связями.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Коренев, Б. Г. Справочник по динамике сооружений [Текст] / Б. Г. Коренев, И. М. Рабинович. - М.: Стройздат, 1972. - 511 с.
2. Справочник по строительной механике корабля [Текст]: в 3 т. / под ред. Г. В. Бойцова. - Л.: Судостроение, 1982. - 320 с.
3. Ивович, В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем [Текст] : справ. / В. А. Ивович. - М.: Машиностроение, 1981. - 183 с.
4. Распопов, А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций [Текст] / А. С. Распопов // Вюник Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. ш. акад. В. Лазаряна. - 2007. -Вип. 19. - Д. Вид-во ДНУЗТ, 2007. - С. 125-133.
5. Новацкий, В. Динамика сооружений [Текст] / В. Новацкий. - М. : Гостройиздат, 1963. - 376 с.
6. Распопов, О. С. Поперечш коливання континуально-дискретних балок на сущльнш пружнш основi [Текст] / О. С. Распопов // Диагностика, довгов1чшсть та реконструкц1я мост1в 1 буд1вельних конструкцш : зб. наук. пр. / Ф1з.-мех. ш-т 1м. Г. В. Карпенка НАН Украши. -2008. - Вип. 10. - С. 183-193.
7. Распопов, О. С. Особливосп моделювання ви-мушених коливань нерозр1зних конструкцш в систем1 сшнчених автомалв [Текст] / О. С. Распопов // Дороги 1 мости : зб. наук. пр. - К.: ДерждорНД1, 2008. - Вип. 8. - С. 229-236.
8. Распопов, А. С. К расчету поперечных колебаний пересекающихся балок с распределенными параметрами [Текст] / А. С. Распопов // Вопросы динамики мостов и теории колебаний: Меж-вуз. сб. науч. тр. - Д.: ДИИТ, 1993. - С. 90-94.
9. Варвак, П. М. Справочник по теории упругости [Текст] / П. М. Варвак, А. Ф. Рябов. - К.: Буд1-вельник, 1971. - 418 с.
деформации сдвига
Поступила в редколлегию 11.01.2010. Принята к печати 20.01.2010.
