CC BY
38
УДК 624.042.8
ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ БАЛОЧНЫХ КОНСТРУКЦИЙ С УЧЕТОМ СИЛ НЕУПРУГОГО СОПРОТИВЛЕНИЯ
А. С. Распопов, канд. техн. наук, доцент Днепропетровский национальный университет железнодорожного транспорта
им. академика В. Лазаряна
Как правило, элементы строительных конструкций, имеющих значительные поперечные размеры и собственную массу, таких как мосты, промышленные здания и сооружения, необходимо рассматривать в виде континуальных систем на основе уточненной теории изгибных колебаний, в которой учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений [1]. Кроме этого, влияние затухания, в том числе и касательного, на развитие амплитуд колебаний в области резонанса также может быть существенным [2]. В отдельных случаях нельзя пренебрегать и действием продольных сил.
Учет перечисленных факторов усложняет расчет вынужденных колебаний неразрезных балок и рам. Теория колебаний с различными видами демпфирования достаточно полно изложена в работах [2-4]. Применение конечных автоматов и ассоциированных матриц [5; 6] приводит к относительно простым результатам и выгодно отличается от некоторых других методов получения аналитического решения этой задачи. В данной статье такой же подход используется для моделирования установившихся вынужденных колебаний в диссипативных упругих системах на примере балочных конструкций.
k_1 2
Согласно [7], неизвестные начальные параметры отдельного стержня к , _ ' ' могут быть найдены по правилу Крамера в виде отношения определителей Dx, составленного из коэффициентов левой части системы неоднородных алгебраических уравнений и Dzк, получаемого из Dx путем замены к-го столбца коэффициентов а1к, a2h..., а
пк при неизвестном Хк столбцом свободных членов Ъь Ъ2, ..., Ъп
к ^ . 12
Предположим, требуется определить амплитуду установившихся вынужденных изгибных колебаний с учетом инерции вращения, деформации сдвига, продольных сил конца консольного стержня (рис. 1), к которому приложена
гармоническая сила Р ЯП ^ . На рисунке 1 изображена также соответствующая логическая схема в виде конечного автомата А.
Выбирая значения функций^ из таблицы 1 [6] в соответствии с кодами начальных (НП) и концевых (КП) граничных параметров стержня, приходим к выражениям определителей
1 - _ РУ13
Dz _Д Е1 °1к _д4ЁГАз
Д • 34
подставляя которые в (1) получим искомый параметр у () :
3 (ka+ fd)
(1 , , • 1 ^
ch dsina--sh dcosa
, k_f
EJz 2X4y + (k2a2 + f 2d2 )ch d cosa + kf[d2 - a2 )sh d siw 56
где Д, a, d, k, f - параметры, учитывающие инерцию вращения, деформации сдвига и продольные силы [6].
Pyl v
у ^т . 2 сО" + pdchd cosa + kf Id - a ]shd sina
Рис. 1. Консольная балка и ее логическая схема
Решение (3) существует для всех , кроме , где - собственные частоты изгибных колебаний (/=1, 2, ...,
), являющиеся корнями уравнения .
Анализируя уравнения форм колебаний с правой частью, можно отметить, что они имеют много общего при описании форм вынужденных и форм свободных колебаний стержня с сосредоточенными массами или промежуточными упругими опорами [8]. Оба случая можно рассматривать совместно, если учитывать силы инерции сосредоточенных масс как возмущающие сосредоточенные силы, которые изменяются по гармоническому закону с частотой главных форм колебаний.
Следуя общим правилам формирования ассоциированных матриц для участка балки с упругими опорами или сосредоточенными массами [9], можно получить аналогичные правила построения ассоциированных матриц, учитывающих действие сосредоточенных возмущающих сил или моментов. Для этого представим матрицу влияния
начальных параметров участка балки с гармоническим возмущением на левом конце в виде суммы матриц Мв
свободного участка [6] и Мд с учетом воздействия в принятой системе координат
м0 = мв + мв
78
где
мв =
Р13 Р13
у V -у-и рт рк
ю
г
мл и.
ш м I
ю
мХ„
м^2 —^
0 0
910
(-Р —Р
~ху и м'у в форме [9].
Располагая функции выходапосле раскрытия частотных определителей из миноров 2-го и 3-го порядков матрицы м 0, в соответствии с логическим следованием кодов начальных и концевых граничных параметров стержня, получим
м'
ассоциированные матрицы
Сопоставляя структуру определителей для свободных и загруженных участков балки, можно сделать вывод: определитель системы с произвольным силовым воздействием равен определителю той же системы без воздействия (значение силового параметра 0, кинематического - 1), умноженному на значение вычисляемого кинематического параметра, плюс определитель системы с произвольным силовым воздействием (значение силового параметра 1, кинематического - 0), умноженный на величину этого воздействия.
Следуя отмеченным закономерностям, можно получить общее правило для построения ассоциированной матрицы участка балки с периодической внешней силой на левом конце. В матричной форме для изгибных колебаний стержня в
плоскости ху, загруженного внешними сосредоточенной силой представить следующим образом:
мр = им + Р (м„(1)0, + м0(21,)
ху у ху у\ 0101 0011/.
?
мр =ф м + мг (м«0+м 050)п)
Ру та?
или моментом
м, та?
, это правило можно
1112
1314
В выражениях (6), (7) обозначены: мху - ассоциированная матрица обычного участка балки для изгибных колебаний в
м(1) м(2)
плоскости ху (табл. 1 [6]); 0101, 0011 и др. - матрицы, состоящие из первой и второй строк с функциями кодов 0101, 0011 и имеющие остальные нулевые строки.
Матрицы (6), (7) имеют тот же порядок, что и матрицы, описывающие свободные колебания стержня, и дают возможность формального определения неизвестных граничных параметров из уравнения:
хЛ - в(?)= 0
1516
К примеру, если на свободном конце консольного стержня действует внешний изгибающий момент мг 8т та? , то
—р
мху
амплитуду угла поворота концевого сечения можно вычислить из уравнения, соответствующего элементу матрицы ху (7) с кодом 1100-0011 (табл. 1 [6]):
Д4
тг- м I
фЛ -
ш,
Сз
= 0
1718
или
1
19 20
Из приведенных выше матриц легко получить все частные случаи возможных сочетаний граничных условий стержня, а также дополнительно учесть сосредоточенные упругозакрепленные массы при сосредоточенном гармоническом воздействии.
Пусть балка постоянного поперечного сечения, опертая по концам, находится под действием сосредоточенного
момента , приложенного на опоре (рис. 2).
Амплитуда угла поворота сечения на опоре в месте приложения периодического момента определяется из уравнения
. Значение соответствует элементу матрицы с кодами НП 0101 - КП 0101:
21 22
откуда
ф, (0) =
м I
г (
Ы
(ка + /й)
1
1
к ?Ь й / tg а
ай
. ка /й 2 + — + — /й ка
2324
Рис. 2. Логическая схема балки
Для получения
Ф, (I)
задаем вычисляемому параметру на правой опоре фиксированное значение 0, а возмущенному
параметру м,(0) на левой опоре - произвольное значение 1. В результате получаем коды НП 0111 - КП 0001 и соответствующее выражение / из таблицы 2. [6]. Логическая схема автомата для этого случая представлена на рисунке 2.
12 п м,13 _
В = — В2; п,к =-гтГГ1
2 Д4 2'
2526
Учитывая влияние на знак определителя
п„
получим:
1
соответствующей перестановки столбцов [7], после преобразований
1
Ф, (I) = -
м,/Д2 / йт а к ъЬ й
( ка /й ^
2 + — + —
/й ка
2728
Если не учитывать перечисленные выше факторы, то имеют место следующие соотношения: а=й=к=/=Ху. В этом случае решения (12), (14) преобразуются к виду
Ф2(0)=
м I
2 Ы X
2 у
1
1
Ь X tg X
Ф2 (I) =-
м I
у
2 Ы X
у
1
1
зт X ъЬ X
у у У
2930
которые в точности совпадают с приведенными в работе [10].
Использование гипотезы Фохта [4; 10] для учета неупругого сопротивления позволяет трансформировать зависимости, полученные в [6; 7], для случая затухающих колебаний, сохранив их структуру и состав ассоциированных матриц, учитывающих инерцию вращения, деформации сдвига и продольные силы. При этом элементы матрицы влияния будут включать комплексные выражения модулей нормальной упругости и сдвига:
Е = Е(1 + /х 1) . О = 0(1 + /х2)
где
X1 X 2 -
31 32
коэффициенты неупругого сопротивления, соответственно, по изгибу и сдвигу;
/ - мнимая единица.
Параметры системы X, ?, ъ, q [6] также можно представить в комплексной форме:
X = -
X
V1 + % • ? 1 + /X 2 • Л 1 + % •
q = q
1+/%1
1 + /X 2
3334
В свою очередь, для значений , можно записать:
; . 3536
При малой величине коэффициентов неупругого сопротивления [4, 11], выражения точностью до , а также с учетом произведения , после преобразований получим:
; , 3738
где
можно принять с
и
Параметры , представим в комплексной форме:
; , 3940
где
т = V2 _ v2 + Г (5 + х,5,) . X, = 2vv, + Г (5, - X,5)
?
Выделяя в (20) действительные и мнимые части, приходим к соотношениям:
а = + m2 _1 i42m, _ m2 d = ~V2g + ^2 _1 ¿V2g, _&2
2 2 ; 2 2 , 4142
где
m, =A/v(v + A,) + v,(v, + h2) + m . g, = ^/v(v_h,) + v,(v, _h2) + m . m2 = 2v + h, .
? ? ?
g2 = _2v + h, . h, = д/2(m + x) . h2 = 72(m _x) . m = x2 + x2
— 2 —4
Для A и A можно записать:
—2 —2 —2 — 4 I I-2-
A = a + J = h, + i'hi . A = 4^x + iym _X j 4344
Так как ассоциированные матрицы M, [6] содержат тригонометрические и гиперболические функции
комплексных аргументов a , d (21) в виде c1-/61 и c2-ib2, то формулы перехода удобно представить таким образом:
sina = sincj chbj - i cosc¡ shbx ; cosa = cosc¡ chbx- i sinq shbx
? ?
sha = shc¡ cosbj- ichcl sinbj ; cha = chcl cosbj- i shcl sinbj
?
Комплексные выражения параметров k , f запишем для каждого фактора в отдельности с учетом:
продольных сил (p=0; #=0):
- а — d k = / = -
1 - г • 1 - г ? ?
или, после подстановки (17), (21) в (23) получим:
к _ —--7 [с^2 + Ъ(1 - г) + /(с, (1 - г) - Ъ^2)] (1 - г)
7 _ 1)2 [с2^х2 + Ъ2 (1 - 0 + /(с2 (1 - г) - Ъ2гх2 )1 (1 - г)
- инерции вращения (г=0; 5=0; #=0):
к _ а ; 7 _ ^ ; ? ?
- деформации сдвига (р=0; г=0; 5=0):
к _ а(1 - 2^ #); 7 _ + 2а #)
4546
4748
4950
После подстановки выражений для а , d , q в (25) и ряда преобразований получим: к = c -2q(c22 -Ь)(c1 + b,(Xx -X2))-4^2^2^(^1(11 -X2)"b)+ feC -b2--X2)) + + 4c2^2q(bi(Xi -X2) + C)- b J
/ = C2 + 2q(c2 - Ь )(c2 +b2(Xi - X2)) + 4<?Дg(?2 (Xi - X2) - b2) + 'Mc2 - Ь ^(Xi - X2) - b2) -- 4cM(c2 + b2(Xi X2)) b2] 5i52
Таким образом, мы имеем все необходимые значения параметров в комплексной форме. Однако получение решения с учетом инерции вращения, деформации сдвига, продольных сил и сопротивлений является довольно сложным. Поэтому сначала следует найти аналитические зависимости для вынужденных колебаний с использованием алгоритмов [5-7] без сопротивления, а затем вместо параметров a, d, к, / Д, X подставить их комплексные выражения, учитывающие наличие сопротивлений. После этого во всех расчетных формулах необходимо выделить лишь действительную часть, которая и будет окончательным решением задачи. Последующее упрощение может быть получено при построении дискретных динамических моделей балочных элементов на основе конечных автоматов.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1. Вибрации в технике: Справочник: в 6 т. Т. I: Колебания линейных систем / Под ред. В. В. Болотина. - М.: Машиностроение, i978. - 352 с.
2. Филиппов А. П. Колебания деформируемых систем. - М.: Машиностроение, i970. - 736 с.
3. Kolousek V. Dynamics in Engineering Structures. Prague: Czech. Acad. Sci., i973. - 580 p.
4. Сорокин Е. С. Динамический расчет несущих конструкций зданий. - М.: Госстройиздат, 1956. - 340 с.
5. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций / Вестник Днепр. нац. ун-та жел.-дор. тр-та. Выпуск 19. - Дн-вск: ДИИТ, 86-94, 2007.
6. Распопов А. С. Асоцшоваш матриц у розрахунках згинальних коливань континуальних балок // Мехашка i фiзика руйнування будiвельних конструкцш. Випуск 7. - Фiзико-механiчний шститут iм. Г. В. Карпенка НАН Украши, 2007. -C. 96-104.
7. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование вынужденных колебаний недиссипативных стержневых систем // Отр матерiалiв та теорiя споруд: Наук.-техн. збiр. / Кшв. нац. ун-т буд. та арх. (КНУБА). Вип. 67. - К., 2007.
8. Бабаков И. М. Теория колебаний. - М.: Наука, 1968. - 560 с.
9. Распопов А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами / Вестник Днепр. нац. ун-та жел. дор. тр-та. Выпуск 9. - Дн-вск: ДИИТ, 2005. - C. 199-202.
10. Справочник по строительной механике корабля: В 3 т. - Т. 3: Динамика и устойчивость корпусных конструкций / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - 320 с.
11. Давыдов В. В., Маттес Н. В. Динамические расчеты прочности судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974. -336 с.
УДК 624.042.8
Вынужденные колебания балочных конструкций с учетом сил неупругого сопротивления /А. С. Распопов //Вкник
ПридншровськоТ державноТ академп будiвництва та арх^ектури. — Дншропетровськ: ПДАБА, 2008. — № 1-2. — С.
43-48. - рис. 2. - Бiблiогр.: (11 назв.).
Рассматриваются вынужденные изгибные колебания континуальных балок с учетом поперечных сдвигов, инерции
поворота сечений, а также влияния начальных осевых усилий и сил неупругого сопротивления. Для алгоритмизации
динамических расчетов используются элементы теории конечных автоматов.
