Логическая матрица для продольных и крутильных колебаний континуальных балок Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ЛОГИЧЕСКАЯ МАТРИЦА ДЛЯ ПРОДОЛЬНЫХ И КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ КОНТИНУАЛЬНЫХ БАЛОК

На ochobí методу початкових парамет^в, асоцшованих матриць та елеменпв математично! лопки за-пропонована формальна процедура розрахунку поздовжнiх та крутильних коливань багатопрогонових балок з безперервним розподшом мас.

На основе метода начальных параметров, ассоциированных матриц и элементов математической логики предложена формальная процедура расчета продольных и крутильных колебаний многопролетных балок с непрерывным распределением масс.

The formal procedure for calculations of longitudinal and torsion vibrations of the multispan beams with continuous mass distribution on the basis of the method of start parameters, associated matrices and elements of mathematical logic is proposed.

Для континуальных балок, имеющих кусочно-постоянные (ступенчатые) характеристики и сосредоточенные включения в виде упругих связей или сосредоточенных масс получение точного аналитического решения, описывающего продольные и крутильные колебания представляет определенные трудности. На практике такие задачи встречаются при моделировании продольных колебаний пресекающихся балок, пилонов вантовых мостов, мачт, поездов, или крутильных - для балок проезжей части железнодорожных мостов, различных валов и других. Поэтому исследования в этой области являются актуальными.

Решения с использованием обобщенных функций, методов деформаций, начальных параметров и ряда других приведены в работах [2, 5, 6, 8]. Для расчета одномерных стержневых систем в [1, 3] привлечены понятия теории конечных автоматов. Такой подход позволяет широко использовать топологические методы и элементы математической логики.

Целью данной статьи является применение конечно-автоматного моделирования к расчету продольных и крутильных колебаний балок с непрерывным распределением масс.

Согласно [1], неразрезная балка моделируется системой связанных конечных автоматов с одинаковым количеством входов на каждом из концов, определяемых совокупностью булевых функций из фиксированных (0) и произвольных (1) граничных параметров. Возможный набор комбинаций граничных условий в местах сопряжения отдельных участков балки формирует ассоциированную матрицу выхода. Равенство нулю произведения соответствующих матриц участков определяет уравнение частот свободных колебаний для континуальной балки

n—1

Ш MxVn = 0.

(1)

i=2

Рассмотрим прямолинейную п -пролетную балку с произвольными однородными граничными условиями и соответствующую ей логическую схему в виде цепочки связанных конечных автоматов (рис. 1). Характерные блоки обозначим пунктирными линиями, задавая нумерацию и координаты стержней в порядке их следования. Сечения элементов, погонная масса ц, жесткости при растяжении-сжатии Е¥ , кручении 0/к в пределах каждого из пролетов считаются постоянными.

Рис. 1

Концевые граничные параметры каждого участка связаны с начальными параметрами этого же участка известным соотношением [2]:

V = Мв&, , (2)

где Мв - матрица влияния начальных параметров; &. и & .+1 - векторы параметров в 7 -м и (7 +1) -м сечениях; 7+1 = {и,ф,М,N}., ,+1.

Перебор возможных граничных условий в местах сопряжения отдельных стержней возможен только для двух параметров: линейных перемещений их вдоль оси х и осевых усилий

^ - для продольных колебаний, и угловых перемещений фх и крутящих моментов Мк -для крутильных. Соответствующую матрицу влияния Мв можно представить в виде:

Мв =

008 Ап 0

0

0

008 А к

1

РАк

81п А „

аАп

-81п А п

0

-РА к 81п А к 008 А к

0

-аА п 81п Ап 0

0

008 А п

(3)

где

2/2

А 2 = Ъ Ю Л

ЕК

2 Л7У

А 2 = _ х7 ] 7

ЕК

а, = ■

Р 7 = ——; I. - длина 7 -го пролета балки; -

погонный момент инерции массы балки относительно ее продольной оси; ю . - круговая

частота у -ой формы колебаний.

Комбинируя последовательно все граничные условия начала и конца стержня, получим по четыре возможных его состояния для продольных и крутильных колебаний. Каждому из этих состояний соответствует частотный опре-

делитель стержня, являющийся минором 3-го порядка матрицы (3). Анализируя все полученные миноры, можно прийти к выводу, что каждый из них тождественен определенному элементу матрицы Мв. По аналогии с [3],

проставляя определители в порядке последовательного перебора всех значений булевых функций двух переменных для продольных и двух - для крутильных колебаний, получим ассоциированную матрицу М (табл. 1), в которой каждый элемент записан в порядке логического следования кодов начальных (НП) и концевых (КП) граничных параметров.

Таблица 1

КП НП 01 01 10 10

10 008 Ап 0 0 -аАп 81п Ап

10 0 008 Ак -РАк 81п Ак 0

01 0 1 • А -81П Ак РАк к 008 Ак 0

01 1 • А -81П Ап аАп 0 0 008 Ап

Возможным состояниям концов стержня параметров соответствуют элементы ассоции-при однородных граничных условиях с одина- рованной матрицы Мх (табл. 2). ковым числом произвольных и фиксированных

I

Таблица 2

\ КП НПЧ 0011 0101 1010 1100

1100 S -РАки -аАпV аРАпАкТ

1010 1 U РАк S аАп п T РАк -аА^

0101 1 V аАп ВА у к T аА п S -PАкU

0011 1 T аРАп Ак -0- V аАп 1 U РАк S

Здесь функции S, Т , U, V взяты с учетом следующих соотношений:

S = cos Ап cos Ак; Т = sin Ап sin Ак;

U = cos Ап sin Ак ; V = sin Ап cos Ак.

Рассмотрим участок балки с упругими связями относительно продольных перемещений или относительно поворота сечения на левом конце (рис. 2).

Рис. 2

Согласно [4], ассоциированная матрица участка балки с упругой опорой может быть получена из исходной матрицы Мх прибавлением к

строке, соответствующей участку без опоры, строки, соответствующей участку с абсолютно жесткой опорой, умноженной на жесткость упругой опоры.

В матричной форме данное правило для упругой связи (рис. 2, а) можно записать следующим образом:

M1x = Mx +

(м(1) + м(2)

) •

(4)

где Мх - ассоциированная матрица обычного

участка балки (табл. 2); М^, М^ 1 - матрицы, состоящие из первой и второй строк функций кодов 0101, 0011 (табл. 2), и имеющие остальные нулевые строки.

Соответственно, произвольный участок балки с упругим относительно поворота сечения закреплением (рис. 2, б) описывается матрицей М2х:

М2х = МХ + Ях (МЙ1о + М00!1 ) . (5)

Отмеченные закономерности позволяют составлять уравнение частот конструкции с упругими связями путем последовательного их «отсечения». Так, если участок балки имеет два вида упругих закреплений (рис. 3, а), то количество возможных его состояний определится четырьмя возможными комбинациями кодов начальных параметров (матрица Мх, табл. 2), соответствующими четырем вариантам граничных значений ях и сх:

Ях = 0, сх = 0 (1100); дх = <ю, сх = 0 (1010);

Ях = 0, сх =да (0101); ях = <», сх = <» (0011).

Поэтому структуру матрицы М3х можно представить в следующем виде:

М3х = МХ + сх (М0Ю! + Мй 1 ) +

+Ях (^10 +М0011) + ЯхсхМ00)11. (6)

Матрицы М1х, М2х , М3х имеют тот же порядок, что и матрица Мх и дают возможность формального построения уравнений частот для многопролетных балок с любым сочетанием продольно-линейных и поворотных упругих опор в форме (1).

Рис. 3

Для вектора V участка балки с упругими

опорами на правом конце (рис. 3, б) независимо от вида граничных условий на левом конце можно записать:

^п = ^1100 + + Сх^0101 + ахСх^0011 • (7)

Отсюда следует, что вектор Уп в уравнении

(1) будет представлять собой столбец матрицы Мх, соответствующий правому свободному

концу (код граничных условий 1100), плюс столбец с кодом 1010, умноженный на жесткость ах, плюс столбец с кодом 0101, умноженный на жесткость сх, плюс столбец с кодом 0011, умноженный на произведение жесткостей а с .

"х X

Для участка балки с сосредоточенной массой т в месте расположения упругих связей необходимо вместо сх и ах подставить соответственно сх - тю2 и ах - Jmю2, где Jm - мол. 7 л. ТГГ 7 ^^

мент инерции сосредоточенной массы относительно оси х.

В качестве примера рассмотрим балку, один конец которой заделан, другой свободен и нагружен сосредоточенной массой т. Уравнение частот определяется непосредственно элементом матрицы М3х с кодами 1100 и 0011, удовлетворяющими граничным условиям по концам балки:

5--

аАп

V -

. .э2

т ]

ЖГ

и-

. л4

т ]

аРАА

Т = 0 . (8)

Раскрывая значения функций 5, Т , и, V, после преобразований получим:

1 - ■т 18 Ап -¥ % Ак + ^^ 18 Ап 18 Ак = 0 . (9)

т г т г

Для продольных колебаний при Ак ^ 0

А п 18 Ап = т', (10)

для крутильных - при Ап ^ 0

Ак 18 Ак = г '. (11)

Уравнения (10), (11) в точности совпадают с приведенными в работе [5]. Выражения в пра-

, & , JJ

вой части т =— и г =•

т

Jm

представляют, со-

ответственно, отношение массы всей балки к массе, сосредоточенной на ее конце, и отношение момента инерции всей балки к моменту инерции сосредоточенной массы.

Если пренебречь массой балки по отношению к массе груза, т. е. при 0 ; Ап, Ак ^ 0

получим

(ю2 -ю

2 )(ю2-ю2 ) = 0,

(12)

откуда ю1 =юп =

ЕЕ

т1

V

GJ..

J I

т

Рассмотрим неразрезную балку с различными сечениями в пролетах (рис. 4).

Рис. 4

Уравнение частот получим умножением строки матрицы Мх (табл. 2), соответствующей условию закрепления начала первого стержня (код 0011), на столбец матрицы Мх,

соответствующий граничным условиям конца второго стержня (код 0011):

Т52 .+ Уи2 +

Ап1Ак1а1в1 А п1А к 2 а1в2

+ -

V2U1

Т 5

^-= 0. (13)

Ап2Ак1а2в1 Ап2Ак2а2в

Из уравнения (13), переходя к пределу функций при Ак ^ 0 (продольные колебания)

и Ап ^ 0 (крутильные колебания), после преобразований получим известные решения [6].

А „,а

18 Ап1 + А п2 = 0,

А_л а л

п2 2

18 Ак1 +^18 А к2 = 0.

Ак 2в2

(14)

(15)

Аналогичным путем рассчитываются и более сложные цепные стержневые системы. Такой подход позволяет свести их расчет к мно-

гократно повторяемому циклу арифметических операций при переходе от одного блока системы к другому. Предлагаемая форма учета упругих закреплений представляется более удобной, чем обычно используемая в методе прогонки, поскольку отпадает необходимость введения специальных матриц перехода с большим числом нулевых элементов.

Для определения форм колебаний в качестве исходной логической модели используется такое же отображение, как и для построения матричной формы уравнений частот. Неизвестные начальные параметры могут быть вычислены по правилу Крамера способом прогонки [7].

Условия периодичности в неразрезных конструкциях позволяют упростить значительную часть инженерных расчетов. К примеру, для продольных колебаний неразрезных регулярных и квазирегулярных балок с постоянными по длине массой ц, жесткостью Е¥ , равными пролетами и продольно-линейными промежуточными упругими опорами выражение (1) обращается в

VM-V = о.

(16)

Для удобства программирования и вычислений на ЭВМ представим матрицу М1х как

сумму двух матриц М1х = Ых + схМр , где

Mp = M S?01 + M¿011-

f( 2)

(17)

Xк ^ 0, S = U = cos Xп, T = V = sin А,п получим Mp1 =0X7 sin XпE1 , Mp2 = cos хпE2 , где

Тогда Mnp2 = 0 и Mp2Mpl = 0 . Поэтому для

p 2 p1

матрицы M" можно записать:

M"p = Mp-1 (Mp1 + nMp 2 ), (18)

или

Mp =

' 1 ^

ЧаХп у

• n Л

sin X„ X

xE"-1 (E1 + паХп ctgХпE2). (19)

Для крутильных колебаний регулярной балки с упругими опорами относительно поворота промежуточных опорных сечений уравнение частот имеет вид:

VMV =

(20)

Как и в предыдущем случае, представим матрицу М2 х суммой двух матриц

М2х = МХ + ЯМр , (21)

где Mp = M^ + M00)n и Mp = Mp1 + Mp2 .

Принимая при Хп ^ 0, S = V = cos Хк ,

sin Хк 1 .

T = U = sin Хк, можно записать

Mp1 = ßX sin XкE1; Mp2 = COs XкE2 , где РХк

Матрицы Мх и Мр обладают замечательными особенностями при многократном их перемножении. Так, функции ^ (X), Т (X), и (X),

V (X) при возведении матрицы Мх в п -ю степень преобразуются в такую же матрицу Мх с функциями элементов ^ (пХ) , Т (пХ), и (пХ) , V(пХ).

В свою очередь, матрицу Мр разделим на две матрицы Мр1 и М 2. Принимая при

E1 =

10 -10

0 0 0 0

10 10

0 0 0 0

E2 =

0 10 -1

0 0 0 0

0 10 1

0 0 0 0

Очевидно, что M"2 = 0, Mp 2Mp1 = 0 и

Mp = Mp-1 (Mpi + nMp 2 ) . (22)

Подставляя выражения для Mp1 и Mp 2 в (22), получим

Mnp =

( 1 >

4ßX

V к у

sin n Xк x

E1 =

1 -1 1 1

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

E2 =

0 0 1 -1

0 0 11

0 0 0 0

0 0 0 0

xE"-1 (E1 + nßX к ctg хк E2 ). (23)

Таким образом, предложенный алгоритм построения ассоциированных матриц позволяет учитывать различные виды упругих закреплений, а также систематизировать динамический

расчет континуальных балок. Решения для матриц, входящих в уравнения (16), (20), дают возможность в простой форме получить уравнения частот неразрезной регулярной балки с любыми граничными условиями, а также избежать значительных вычислительных трудностей, связанных с появлением малых разностей больших чисел.

В дальнейших исследованиях предполагается применить конечные автоматы к моделированию свободных и вынужденных колебаний многопролетных балок, имеющих сосредоточенные включения в продольную жесткость, с учетом сил неупругого сопротивления.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Распопов А. С. Применение логических моделей к расчету колебаний неразрезных мостовых конструкций // 6th International Conference «Modern Building Materials, Structures and Techniques» (19-21 May 1999, Vilnius, Lithuania) // Proceedings. - Vol. III. - Vilnius: Technika, 1999, P. 223-228.

2. Ивович В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем: Справочник. - М.: Машиностроение, 1981. - 183 с.

3. Эйхе Г. Н. Приложение теории конечных автоматов к решению задач динамики стержневых конструкций. Исследование статики и динамики мостов: Межвуз. сб. науч. тр. ДИИТа. - Д., 1985. - С. 91-105.

4. Распопов А. С. Колебания континуальных балок с промежуточными опорами. / Вюник Дншро-петр. нац. ун-ту залiзн. трансп. iм. акад.

B. Лазаряна. Вип. 9. - Д.: ДИИТ, 2005. -

C. 199-202.

5. Пановко Я. Г. Основы прикладной теории колебаний и удара. - Л.: Машиностроение (Ленингр. отд.), 1976. - 320 с.

6. Новацкий В. Динамика сооружений. - М.: Гос-стройиздат, 1963. - 376 с.

7. Эйхе Г. Н. Построение форм колебаний балок на упругих опорах. / Г. Н. Эйхе, А. С. Распопов. Вопросы статической и динамической работы мостов: Межвуз. сб. науч. тр. - Д.: ДИИТ, 1990. - С. 69-72.

8. Лазарян В. А. Обобщенные функции в задачах механики / В. А. Лазарян, С. И. Конашенко. -К.: Наук. думка, 1974. - 192 с.

Поступила в редколлегию 05.01.2008.