Структура частотных уравнений стержневых систем с распределенными параметрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

СТРУКТУРА ЧАСТОТНЫХ УРАВНЕНИЙ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ С РАСПРЕДЕЛЕННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Використовуються графовi та автоматш моделi для складання частотних piB^Hb просторових коливань стержневих систем з pозподiленими параметрами. Наведено приклад розрахунку коливань бipегyляpноl балки з piзноманiтними характеристиками пеpеpiзiв.

Используются графовые и автоматные модели для составления частотных уравнений пространственных колебаний стержневых систем с распределенными параметрами. Приведен пример расчета колебаний бире-гулярной балки с различными характеристиками сечений.

The graph and finite-state machine models for forming spatial vibration frequency equations with continuous parameters are used. The example of calculation of vibrations of bi-regular beam with different section characteristics is presented.

В работе [1] представлены различные топологические модели оригинального стержня, проведена структурная оптимизация графа системы, показаны возможные пути его преобразования. Рассмотрены вопросы декомпозиции графов на компоненты, соответствующие непересекающимся связным подграфам системы и определенным видам колебаний. Установлена логическая связь между компонентами графа ОЯ и граничными параметрами оригинального стержня. В данной статье более детально исследуется структура частотных уравнений для общего случая пространственных колебаний.

Рассмотрим участок прямого стержня, ограниченного сечениями к -1, к, длиной I. В общем случае сечение характеризуется компонентами линейного и углового перемещений и компонентами внутренних усилий и моментов, которые образуют вектор перемещений й и вектор усилий с . Вектор состояния Б (х) в любом сечении х (хк-1 < х < хк) имеет порядок п и может быть записан в виде

S (x ) =

й ( x) q (x )

(1)

изгибные (в двух плоскостях) и крутильные колебания будут не связаны между собой, могут быть описаны независимыми уравнениями и на основе принципа суперпозиции объединены в одно матричное уравнение [2]. Для свободных колебаний стержня после разделения переменных уравнения с частными производными сводятся к обыкновенным однородным дифференциальным уравнениям, выражающим равновесие стержня в амплитудном состоянии

[2, 3]

Х 2

С (x) + fux (x ) = 0; фХ (x) + -24 (x ) = 0;

£ (x(x) = 0; < (x)-Л-й, (Х) = 0.

(2)

В приведенных уравнениях не учтены поперечные сдвиги и инерция поворота сечений, которыми также пренебрегают в обычной технической теории колебаний [8].

Общие интегралы уравнений (2), как известно, содержат две произвольных постоянных для продольных (крутильных) и четыре -для изгибных колебаний, которые можно выразить через начальные параметры стержня

В предположении малости перемещений и идеальной упругости материала продольные,

(x) = Ux (0)

cos

аХ x

sin-

(x ) = йу (0 )Sy

Хxx + йx (0) M .

I

ГХ yx ^

I

Фx (x) = Фx (0)

cos

хфx , ФХ (0) . хФx.

I

+ й у (0)—Ту

Х у

I „ ГХvx^

I

+ й у(0)

EJZ Х у

-и.

РХф ГХ г^

sin-

у

. ( x) = й, (0 ) S; | bf I + й' (О )±Т, [bf) + й'(0 ) -L- U,

I /

Х ,x

+ й у(0)

13

I

+й,(0)

EJ, Х3 Ку I

ГХ vx ^

у

I

z у V /

3 f Х,x4

EJy Х,

Г

(3)

© Распопов А. С., 2009

где

х Ф=

х 4=

цю2/4 EJz

X 4 =

цю2/4 EJ„

X2 =

2,2 цю /

ЕЕ

2,2

Jx ю2/

частотные параметры, соответ-

ственно, для изгибных (в плоскостях ху и хг), продольных и крутильных колебаний; а = ЕЕ //, p = GJк //, / - длина стержня; ц -

погонная масса; Ыу , Ыг, ЕЕ , GJк - жесткости при изгибе, растяжении-сжатии, кручении; Jx - погонный момент инерции массы стержня относительно его продольной оси; ю - круговая частота колебаний.

Принимая во внимание дифференциальные зависимости

ЕЕиХ (0) = Ях (о); GJкФХ (0) = Шх (0); иу (0) = Фг (0); ыу; (0) = тг (0); Ыги";(0) = Яу (0); и\ (0) = фу (0); Шуи'г(0) = шу (0); Ыуитг(0) = д2 (0);

5' = ^ V

г / г:

и' =х-г-г / г:

представим решение задачи Коши в матричной форме

£ (х ) = В ( х )5 (0),

(5)

где 5 (х) - вектор состояния стержня в точке х; 5 (0) - вектор начальных параметров; В (х) - матрица фундаментальных ортогональных функций [2] или матрица влияния, начальных параметров, переходная (передаточная) матрица [4].

Структура уравнений (5) аналогична структуре представления уравнений типа Вольтерра 2-го рода [2], а также ортогональных уравнений [5].

Далее составление частотных уравнений для простых видов колебаний, как правило, осуществляется по двум путям. Первый из них, традиционный, основан на составлении формул перехода метода начальных параметров от сечения к сечению с последовательным перемножением матриц для каждого характерного участка, промежуточной опоры, сосредоточенной массы и т.д. и последующем приравнивании нулю определителя всей системы, который получается в зависимости от краевых условий. Второй путь, предложенный авторами [2], позволяет на основе метода граничных элементов свести краевую задачу к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно начальных и конечных параметров всех стержней. При этом матрица В преобразуется к квазидиагональному виду, а уравнение частот получается приравниванием нулю соответствующего определителя системы.

В данном случае предлагается иной подход, позволяющий объединить теорию ассоциированных матриц с возможностями комбинатор-

т;=Х-5г

Г = у, г,

(4)

ной топологии (теории цепей) и на этой основе избежать составление и раскрытие частотных определителей.

Для формирования ассоциированной матрицы Мхуг представим матрицу В (х) в транспонированной форме ВЧ (х) и соответствующие

ей вектора 5Ч (х) = 5(х), 5Ч (0) = 5 (0) . Тогда, при граничном значении переменной х = / соотношение между параметрами в сечениях (к -1) и к примет вид

5к = 5к-1В1

Чк '

(6)

где 5

-II,, I

к-1, к

= и

4

I **11к-1,к ' Фх, иу,

Ф г

Ф

к-1,к = \ту,

т„

т„

у 11к-1, к '

11к-1, к

Такое расположение параметров соответствует расположению элементов в матрице достижимости Мая графа GR [1]. Поэтому матрицу Вк можно выразить в виде прямой суммы [6] ее компонент, характеризующих отдельные виды колебаний стержня

Вл = Вх

> ВФ 0 В„ 0 В„

(7)

Определители миноров этой матрицы формируют все выходные последовательности автомата, представляющего данную систему, а также элементы ассоциированных матриц, соответствующих определенному виду колебаний и располагаемых в порядке логического следования кодов начальных и концевых граничных параметров стержня [1]. В результате прямого (кронекеровского) произведения таких матриц образуется ассоциированная матрица для обще-

го случая пространственных колебаний

Ы^ = Ых ® Ыф®Ыу ® Ыг. (8)

Каждое изменение состояния автомата А соответствует определенной стадии преобразования системы в каждый тактовый момент времени. При этом в графе ОЯ каждому ребру между вершинами НП и КП соответствует скалярная величина /2. Для множества состояний автомата из этих величин образуется матрица или, если следовать теории электрических цепей, тензор связи. В общем случае в графе ОЯ каждый тензор связи соответствует ассоциированной матрице.

Матрица Ыху2 содержит совокупность значений всех выходов автомата А и характеризует все возможные состояния системы S в зависимости от ее граничных параметров. Коды этих параметров являются также составными элементами топологического кода графа О , который, в свою очередь, дает возможность непосредственного определения характеристических функций /г и ^ автомата А .

Рассмотрим топологическую модель неразрезной балки в виде конечного нетривиального автомата А и взаимно связанных подавтоматов

А1, А2, ..., Ар, моделирующих отдельные

кусочно-непрерывные участки - стержни 1, 2, ..., р (рис. 1). Все стержни имеют локальную систему координат, совпадающую по направлениям с глобальной, расположенную в начале каждого стержня, а также последовательную, сквозную для всей конструкции нумерацию, начиная с единицы. По существу, в результате декомпозиции сложной последова-тельностной системы А получено множество ее более простых частей (подсистем) А1, А2, ..., Ар, действующих одновременно (синхронно) [7].

В этом случае множество состояний автомата А зависит также от промежуточных переменных Хт ), т = 1, 2, ..., р -1 и состоит из множества состояний каждой из подсистем. Совокупность значений всех выходов автомата определяется выходами подавтоматов А1, А2, ..., Ар, представленными ассоциированными матрицами У1, Ы2, ..., Ыр-1, Ур каждого из р участков системы.

Рис. 1. Топологическая модель неразрезной балки

В соответствии с классификацией, принятой в работе [2], будем различать три группы граничных параметров: зависимые, независимые и нулевые, которые определяются заданными условиями опирания (краевыми условиями).

Пары векторов состояний переменных в разделяющих участки сечениях являются двойственными: если хк является воздействием для

автомата А

к+1 :

то х

к+1

является воздействием

любого из условий (2) возможно лишь тогда, когда состояния НП и КП стержня будут прямо противоположны. К примеру, для изгибных колебаний, если код НП составляет 0101, то код КП будет равен 1010, если НП - 0011, то КП -1100 и т.д. Это обстоятельство позволяет записать условие ортогональности векторов состояний НП, КП стержня при х = I в следующем виде:

для Ак и т.д.

Следующим шагом является определение соотношений между состояниями зависимых граничных параметров в месте сопряжения стержней. Нетрудно заметить, что для одно-пролетного стержня, который имеет длину, стремящуюся к нулю (В(I) = Е), выполнение

£ (I) в (I )§ (0 ) = 0.

(9)

Согласно методу начальных параметров для балки с несколькими участками [4], выражение (5) примет вид

Яр = ВрВр-1 .••

(10)

или с учетом (9) при Яр = Яр

ЯрВрВр-1 ••• В1Яо =

(11)

Однако, более удобным представляется использование транспонированной формы (6), которая позволяет записать

ЯР = 5оВпВг2 ••• ВР

или, при Я1Р = Я Р

5о П Вр = О-

(12)

(13)

к=1

Таким образом, возможные состояния зависимых граничных параметров слева Ям и

справа 5™ от сечения (к -1) будут связаны следующими соотношениями

5,

к-1

Анп = Е:

Як— • я™ = 0.

(14)

14-14 )=о

(15)

Если следовать аналогии ортогональности собственных форм колебаний [8], то условие ортогональности (15) для каждого из состояний системы выражает факт равенства нулю работы всех внутренних сил на возможных перемещениях в разделяющих систему сечениях. Это подтверждается также исследованиями Г. Крона относительно инвариантности (неизменности) упругой энергии, которая означает, что накопленная упругая энергия в примитивной системе равна упругой энергии и в соединенной системе [5]. Кроме этого, автомат А с учетом соотношений (15) позволяет получить зависимости между переменными, которые связаны определенными логическими условиями в каждом сечении системы, отображают ее структурные свойства и могут служить основой для построения уравнений сечений или топологических уравнений [6].

Согласно [4, 9], если матрицу В можно представить в виде произведения некоторых матриц Вк, то и ассоциированная матрица М , составленная для В , равна произведению соответствующих ассоциированных матриц Мк ,

составленных для Вк. Поэтому уравнение частот в форме (13) можно выразить в виде после -довательного произведения ассоциированных матриц [10] каждого из р участков системы

р-1

V П МкК = о,

(16)

к=2

В теории графов [6] это свойство связано с операциями сложения и умножения по модулю 2 (mod2), характерными для поля Галуа ОЕ ( 2) .

Отмеченные зависимости позволяют сделать вывод, что булевы функции X, выражающие состояния граничных параметров стержней в разделяющих участки сечениях, обладают свойством ортогональности. Это означает, что

где V и Гр - матрица-строка и матрица-столбец 1-го и р -го участков.

Как и в предыдущем случае, уравнение (16) выражает условие ортогональности векторов с характеристиками участков и, очевидно, имеет энергетический смысл, как и условие ортогональности собственных форм колебаний стержня. Соотношения характеристических функций и в конечном автомате аналогичны уравнениям равновесия, а начальное состояние автомата в момент времени ^ аналогично начальному распределению энергии в системе [11].

Если в результате разбиения множества состояний автомата А на р частей получено набор подмножеств состояний п, характеризуемых матрицами выходов V , М2, •.., Мр-1,

Ур, то уравнение (16) будет выражать основную теорему декомпозиции [7]

Пп = 0.

(17)

к=1

В другой форме [10, 11] уравнение (16) можно представить как сумму произведений выходов каждого подавтомата Ак при каждом возможном состоянии sv в момент време-

ни tv, т.е.

(

\

I П ^

v=1 V к=1

= 0.

(18)

Множество входов автомата А определяется возможными входами подавтоматов А1 , А2, •.., АР. Объединение множества состояний

Z Р

А1, А2, •.., Ар образует множество состояний

Я автомата А. Кодирование внутренних состояний имеет свои особенности, т.к. входы

1=1

к -й подсистемы связаны с входами (к -1) -й и (к +1) -й подсистем.

Для регулярных и квазирегулярных стержневых систем уравнения (13), (16) преобразуются к виду

ГР-2ур = о .

^ ВР5 р = 0;

УМ -р

(19)

Этот случай представляет значительный практический интерес, т.к. такие конструкции получают все большее распространение в инженерной практике. В частности, квазирегулярные системы более технологичны в изготовлении, чем полностью нерегулярные и более экономичны по расходу материала по сравнению с регулярными [12].

Для описания колебаний таких систем следует использовать эквивалентные автоматы, имеющие одинаковые таблицы переходов, а также их свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности [6, 11]. Очень часто встречаются почти регулярные конструкции с

периодической или кратной регулярностью (частично нерегулярные, бирегулярные и т.д.), для которых также могут использоваться эквивалентные автоматы и их минимальные формы.

К примеру, для продольных и поперечных колебаний составной бирегулярной балки [12], состоящей из последовательно соединенных длинных и коротких балок с различными характеристиками сечений на рис. 2 представлены графики изменения частотных параметров Xх1, Xг1 первой зоны сгущения в зависимости от величины отношения номера формы колебаний /, количества пролетов р и значений ко-

эффициентов сх =

мЛ2 р2

У 2

М212 ¿у

. В пер-

М212^1 у1

вом случае продольных колебаний граничные условия для неразрезной балки приняты в виде заделки, во втором - в виде шарнирного опира-ния.

Рис. 2. Значения частотных параметров X х1, X г1 для бирегулярных балок

Полученные решения сравнивались с результатами расчетов по МКЭ (пунктирные линии на рис. 2), которые оказались достаточно близкими для бирегулярных балок с распределенной и сосредоточенной массами. Следует отметить относительно высокую плотность частотного спектра, особенно при значениях коэффициентов сх, сг > 1.

Таким образом, необходимо получить минимальную (сокращенную) форму автомата А, в котором никакие два состояния не являются эквивалентными, а минимальный путь, составляющий полный контур системы, проходит через все состояния в автомате А только один раз. Такое представление автомата А является наиболее компактным в смысле количества ис-

пользуемых состояний. Следует также отметить широкие возможности применения графов и автоматов в нахождении оптимального пути решения задач динамики стержневых систем с наибольшей экономией вычислений.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Распопов, А. С. Конечно-графовый подход к решению задач динамики стержневых конструкций [Текст] / А. С. Распопов // Вюник Дшпропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - 2008. - Вип. 21. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. - С. 170-176.

2. Строительная механика. Применение метода граничных элементов [Текст] / под ред. В. А. Баженова. - Одесса: Астропринт, 2001. -288 с.

3. Строительная механика. Динамика и устойчивость сооружений [Текст] / под ред. А. Ф. Смирнова. - М.: Стройиздат, 1984. - 416 с.

4. Ивович, В. А. Переходные матрицы в динамике упругих систем [Текст] : справочник / В. А. Ивович. - М.: Машиностроение, 1981. -183 с.

5. Крон, Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика) [Текст] / Г. Крон. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

6. Сигорский, В. П. Математический аппарат инженера [Текст] / В. П. Сигорский. - К.: Техника, 1975. - 768 с.

7. Кунцманн, Й. Булева алгебра и конечные автоматы [Текст] / Й. Кунцманн, П. Наслин. - М.: Мир, 1969. - 294 с.

8. Вибрации в технике [Текст] : справочник в 6 т. -Т. 1.: Колебания линейных систем / под ред.

В. В. Болотина. - М.: Машиностроение, 1978. -352 с.

9. Гантмахер, Ф. Р. Теория матриц [Текст] / Ф. Р. Гантмахер. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1988. - 552 с.

10. Эйхе, Г. Н. Приложение теории конечных автоматов к решению задач динамики стержневых конструкций [Текст] / Г. Н. Эйхе // Межвуз. сб. науч. тр. Днепропетр. ин-та инж. ж.-д. трансп. -1985. - С. 91-105.

11. Гилл, А. Введение в теорию конечных автоматов [Текст] / А. Гилл. - М.: Наука, 1966. - 272 с.

12. Галишникова, В. В. Регулярные стержневые системы (теория и методы расчета) [Текст] / В. В. Галишникова, В. А. Игнатьев. - Волгоград: ВолгГАСУ, 2006. - 552 с.

Поступила в редколлегию 30.03.2009.

Принята к печати 09.04.2009.