Применение топологических методов к расчету пространственных колебаний двухи трехмерных стержневых систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

ПРИМЕНЕНИЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ МЕТОДОВ К РАСЧЕТУ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ДВУХ- И ТРЕХМЕРНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ

Для дослщження просторових коливань стрижневих та балкових конструкцш з розподшеними параметрами застосовуються методи, яш основанi на теори ск1нчених графiв та автоматiв. Показана висока ефекти-внiсть топологiчного аналiзу графiв, як1 являють собою дво- та тривимiрнi стрижневi системи. Отримаш характеристичнi рiвняння для сумiсних коливань ортогонально! системи перехресних балок з жорстким вуз-ловим з'еднанням.

Для исследования пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций с распределенными параметрами применяются методы, основанные на теории конечных графов и автоматов. Показана высокая эффективность топологического анализа графов, представляющих двух- и трехмерные стержневые системы. Получены характеристические уравнения для совместных колебаний ортогональной системы пересекающихся балок с жестким узловым соединением.

The methods based on the theory of terminating graphs and finite state machines are applied to examination of the space oscillations of rod and beam constructions with distributed parameters. The high performance of topological analysis of the graphs representing two-and three-dimensional rod systems is demonstrated. The secular equations for joint oscillations of the orthogonal system of intercrossed girders with rigid nodal junction are obtained.

Различные системы пересекающихся стержней и балок находят широкое применение в мостостроении, гражданском и промышленном строительстве. Однако вопросам динамического расчета пространственных разветвленных конструкций посвящено сравнительно мало литературы, что объясняется сложностью задачи и гораздо большими трудностями ее решения, чем для одномерных стержневых систем. Наиболее значительные результаты в решении этой проблемы, которая заключается прежде всего в определении параметров собственных колебаний, приведены в работах [1 - 7].

Обычно, ввиду сложности уравнений, получаемых точными методами для систем с распределенными параметрами, многие авторы предпочитают применять приближенные методы расчета или же приближенные расчетные схемы. Большинство из них основано на замене распределенной массы конструкции сосредоточенными массами, расположенными в узлах решетки [1, 7]. В этом случае стержни, образующие перекрестную систему, можно считать безынерционными с конечным числом степеней свободы. Кроме того, работы по расчету колебаний пересекающихся балок в большинстве случаев содержат предположение о незначительности влияния жесткости кручения стержней, а в рамных системах пренебрегают деформациями ригелей и стоек в продольном направлении.

Упрощение уравнений может быть также достигнуто для многократно симметричных систем, в которых граничные условия допускают периодические продолжения в каждом из направлений. Так, в работе [3] получены аналитические решения в замкнутой форме для частного случая регулярной системы невесомых балок с одинаковыми массами в узлах решетки и шарнирным опиранием по контуру. В [8] аналогичная задача решена для балок с распределенными параметрами, а в [9, 10] - для регулярных рамных конструкций.

В отличие от простых стержневых конструкций, в малом частотном диапазоне каждой зоны сгущения пересекающихся балок находится большое количество близких друг к другу значений собственных частот [8]. Наличие такой плотности затрудняет точное определение всего спектра корней частотных уравнений, а в области кратных частот становится практически невозможным [2]. По той же причине ограничено применение приближенных методов, особенно для определения высших частот. Упрощение вычислений за счет сокращения числа удерживаемых членов ряда или изменения расчетных схем приводит к пропуску ряда значений частот и снижает точность получаемых результатов с накоплением существенных погрешностей по мере роста номера формы колебаний.

Наряду с традиционными методами, позволяющими рассчитывать свободные и вынужденные колебания таких конструкций, все более широкое применение находят топологические методы, связанные с исследованиями структуры графа, который описывает стержневую систему [11 - 14]. Появилась возможность использовать лишь логические операции для установления прямой взаимосвязи структуры разрешающих уравнений со структурой рассчитываемой конструкции. В работах [15, 16] показана высокая эффективность алгоритмов расчета пространственных колебаний стержневых систем, основанных на использовании конечных графов и автоматов.

Целью данной статьи является детализация указанного выше подхода в расчетах связанных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем с распределенными параметрами.

В общем случае рассматриваемые системы представляют собой конструкции, составленные из пересекающихся под прямым углом неразрезных балок, жестко соединенных в местах пересечений (рис. 1). Каждый из пролетов той или иной балки может иметь свою длину I, равномерно распределенную массу ц, жесткости при изгибе, растяжении-сжатии, кручении Ш, Е¥ , ОЗ^, а также собственную (локальную) систему координат, совпадающую по направлениям с глобальной системой декартовых координатных осей х, у, г [15, 16]. Балки каждого из направлений могут иметь любое конечное число пролетов п, т, р и произвольные однородные граничные условия.

ренними моментами Мх, Му, Мг и силами

М , Му , .

В соответствии с существующей классификацией [1], к двумерным системам относятся системы перекрестных балок, стержневых плит, плоских рам и т. д.

Вначале рассмотрим простой пример для свободных изгибных колебаний из плоскости хг двух шарнирно опертых по концам призматических балок постоянного сечения, пересекающихся в центрах пролетов (рис. 2). Соединение балок в пересечении принято в виде двухмерного шарнира, что позволяет на этом этапе не принимать во внимание сопротивление скручиванию взаимно ортогональных балок при их изгибе.

В

этом

= Ь- 2 = 4 ;

п = т = 2 ;

^-1 у = ^ - 2 у = ^ 6-у ;

Рис. 2 случае i = у = 1;

= 2 = ;

= 2г = ; - = 1 для продольных балок, расположенных вдоль оси х, - = 2 - для поперечных балок. Граничные условия стержней определяются параметрами {иу , фг, Мг,

М } .

Согласно [16] представим данную стержневую систему в виде связного графа Оу, множество вершин которого включает подмножества НП и КП каждого стержня (рис. 3).

Рис. 1

В случае пространственных колебаний начальные (НП) и концевые (КП) граничные параметры стержня будут представлены перемещениями в направлении осей х, у, г - их, иу,

иг, углами поворота сечения фх, фу , фг, внут-

Рис. 3

Рассмотрим возможные состояния подграфов 1 Оу и 2 Оу, получающихся в результате

рассечения связей между параметрами и

1у

2у

и М , М2у в графе Оу (пунктирная линия на

рис. 3). Будем различать два типа связей: внешние и внутренние. Внешние относятся к связям

между подграфами графа Gy, а внутренние -

между элементами подграфов 1 Gy, 2 Gy. Рассечение внешних связей создает по две дополнительные вершины для lGy и 2 Gy, каждая из

которых может принимать либо фиксированное значение 0, либо произвольное 1. Учитывая логические условия и ограничения [15] между связанными вершинами графа Gy, подграфы

1 Gy и 2 Gy можно представить отдельными

схемами, на которых показаны только вершины и ребра стыкующихся аналогов-стержней и состояния I, II подграфов (рис. 4а, б).

мым, так как такое сочетание приводит к нарушению баланса между количеством произвольных и фиксированных параметров для внутренних связей между стержнями каждого из направлений [15].

Уравнение частот в данном случае представляется в форме ортогональности двух векторов с характеристиками стержней системы 11, 12, 21, 22

^2 = 0,

(1)

где V =

« ; V =

v21v2

Выбирая значения функций ^ из табл. 2 [15] в соответствии с кодами НП и КП стержней системы (рис. 2) каждого из состояний I, II подграфов 1 Gy и 2 Gy (табл. 1), приходим к

матрице-строке ^, элементы которой соответствуют строке матрицы Мху [15] с кодом граничных условий начала стержня 11 - 0101

Рис. 4

Далее алгоритм построения уравнений частот будет аналогичным, как и для одномерных стержневых систем. Определение возможных состояний системы, кодов НП и КП отдельных стержней, значений характеристических функций удобно проводить с помощью таблиц переходов, в которых сопрягаемые параметры обозначены одинаковыми буквенными символами (табл. 1).

/13

-г 4

12 I

-г- В — С1

Х1у К

х

-с

А -

1У

Х1У 4

41

(2)

Матрица-столбец v12, удовлетворяющая кодам шарнирного закрепления конца стержня 12 и полному перебору его булевых функций НП, состоит из шести элементов столбца с кодом 0101 матрицы Мху обычного участка бал-

Таблица 1 ки

•V I II

11 12 21 22 11 12 21 22

НП К 0 1 а Ь 0 1 0 f 0 1 0 Ь 0 1 е f

С 0 1 с ё 0 1 ё 1 0 1 с 1 0 1 ё И

КП К а Ь 0 1 0 f 0 1 0 Ь 0 1 е f 0 1

С с ё 0 1 ё 1 0 1 с 1 0 1 ё И 0 1

К А

Д

-с

ч У

^ с

Чу

12

хУ в

Х1У

Х1У

3 А1

(3)

Соответственно, для матриц у21 , v22 (коды НП стержня 21 и КП стержня 22 - 0101) можно записать

13

Е2 z Х 2 У

3 А2

/2

в

Х 2 У

Следует также отметить, что придание вершинам внешних связей (ребер) 1 Gy (2 Gy) значений кодов 00 или 11 является неприемле-

^ 42

Е1 Х

£л72 zЛ' 2 у

(4)

Значения векторов , , V ляются совершенно аналогично.

опреде-

А

V

Подставляя в (1) значения (2) - (4), после преобразований приходим к уравнению

А . ^у3^! A,

а

I3 З 13

^2у/2 г11 а2

= 0.

(5)

Раскрывая значения функций А1, Д, А2, а2 [15], окончательно получим

( ^ у -18 ^ у ) + )/4 ( *2у - 1ё *2у ) = 0. (6)

V 2 гЦ2

Уравнение (6) в точности совпадает с частотным уравнением [4], полученным методом деформаций.

Нахождение решений для других сочетаний граничных условий закрепления балок не представляет затруднений и сводится лишь к выборке соответствующих кодам НП и КП балок элементов строк или столбцов матрицы Му .

Теперь рассмотрим совместные изгибно-продольные (в плоскости хг) и изгибно-крутильные (из плоскости хг) колебания той же системы перекрестных балок (рис. 2) с жестким узловым соединением.

При изгибно-продольных колебаниях балок вершины графа ОЬ [16] соответствуют граничным параметрам {их , иг, фу, Му, ,

Ых}, а при изгибно-крутильных колебаниях,

моделируемых графом ОТ , - {фх , иу, фг,

Мг, Ыу, Мх} . С учетом малости перемещений

и идеальной упругости материала балок выполняется принцип суперпозиции в пределах каждого стержня [17]. Напряженно-деформированное состояние стержней при изгибе не связано с их состоянием при растяжении-сжатии или кручении. Это обстоятельство позволяет рассматривать изгибные колебания балок одного направления при продольных или крутильных колебаниях ортогональных им балок, а также провести декомпозицию графов ОЬ и ОТ на компоненты, соответствующие каждому из видов колебаний. Граф ОЬ представлен на рис. 5, а его подграфы 1Ог, 2 Ог,

1 Ох , 2 Ох , получаемые после разделения ОЬ на компоненты и рассечения внешних связей, - на рис. 6.

Рис. 5

Рис. 6

Коды начальных и конечных граничных параметров, входящих в систему стержней и состояния подграфов ОЬ приведены в табл. 2.

Входящие в уравнение (1) вектора У1 и У2 можно представить в следующем виде

У1 =1 ^>12 и11и12 и11и^||;

^'22}

= {и21и22

(7)

или

V = К

щ\ ; V: =

(8)

где у1 , v2 и и1, и2 обозначают векторы, характеризующие изгибные и продольные колебания каждой из балок соответственно.

Выражения у11, у12, у21 , v22 получаются из (2) - (4) путем замены Е/1г, Е/2г на Е/1у,

Е/2у и Ч , ^2у на , ^2г .

и

2

V

2

Таблица 2

•V I II III IV

11 12 21 22 11 12 21 22 11 12 21 22 11 12 21 22

НП К 0 1 а Ь 0 0 0 1 0 Ь 0 е 0 е 0 1 0 Ь 0 0 0 1 а Ь

С 0 1 с а 1 1 0 1 с 1 1 Г 1 Г 0 1 с 1 1 1 0 1 с а

КП К а Ь 0 1 0 0 0 Ь 0 1 е 0 е 0 0 Ь 0 1 0 0 а Ь 0 1

С с а 0 1 1 1 с 1 0 1 Г 1 Г 1 с 1 0 1 1 1 с а 0 1

Возможные сочетания кодов табл. 2 для подграфов 1 Ох и 2 Ох, описывающих продольные колебания балок, и соответствующие им значения круговых функций [15] позволяют записать:

1

аАх

8Ш А,1х 008 А,ь

008 X

1х

а1Х

-8т X

1х

1х

(9)

а 2Х 2 х

-8Ш X 2

(10)

1

12

^ ад ——

Х1г а2X2x

8Ш X2х 008 X2х

1

2

В2 £>2 — аД

- +

-8Ш X1x 008 X1x

1 1х

1 I3

^ - /гт ( X 2 , -18 X 2 ,)

^х^х Е/2 ,, X2

2 у 2 г

V" X2х -^Ьт( XI, -18 XI.)

= 0. (11)

а 2 х X 2 х

Е/1у

К трехмерным стержневым системам относятся рамные пространственные каркасы, стержневые оболочки, пространственные фермы и другие подобные им конструкции.

В качестве примера рассмотрим совместные колебания трех ортогонально расположенных друг к другу пересекающихся континуальных балок с жестким узловым соединением (рис. 7). Продольные оси балок совпадают по направлениям с главными координатными осями х, у , г (рис. 1).

Аналогичные выражения получаем для векторов м1'1 , м12 и м21 , 2 .

Раскрывая элементы матриц (7) в уравнении (1), после преобразований приходим к выражению

Построение графа ОТ, таблицы переходов и частотного уравнения для совместных изгиб-но-крутильных колебаний пересекающихся балок будет аналогичным. Изменение граничных условий закрепления концов балок учитывается формальным путем в значениях кодов НП, КП стержня.

Рис. 7

Для такой системы можно записать: / = ] = к =1; п = т = р = 2; 1Л = 1,2 = = I, ; ц^ = ц,2 = Ц,3 = ц,; ^ = 1, 2, 3 . Несложно заметить, что две любые пересекающиеся балки принадлежат одной из ортогональных плоскостей ху, х,, уг. Соответствующие изгибные колебания балок в образованной ими плоскости будут вызывать крутильные, а из этой плоскости - продольные колебания ортогональной для них балки. Очевидно, что кручение любой из балок влечет за собой изгиб в своей плоскости перпендикулярных к ней балок, а растяжение-сжатие - их изгиб в двух других ортогональных плоскостях. Отмеченные особенности позволяют построить связные графы ОЯЬ или ОЯТ с входными параметрами, соответствующими изгибно-продольным или изгибно-крутильным колебаниям пересекающихся балок [16].

ии =

1

"12 =

На рис. 8 показаны связи между параметрами двух любых (например, 1, 2; 1, 3; 2, 3) пересекающихся балок системы (рис. 7), моделируемых подграфом GT графа GRT .

шести:

, 2 G,, 3 G,, 1 Gm

2 Gm

может находиться в одном из состояний, приведенных на рис. 9.

Сопрягаемые входные параметры, значения кодов и состояний рассматриваемой трехмерной системы приведены в табл. 3.

Уравнение частот для трехмерной стержневой системы можно представить в виде произведения блочных матриц

ГО = 0.

(12)

Рис. 8

Количество подграфов, а следовательно и компонент графа GRT, получаемых в результате рассечения внешних связей, будет равно

Вектор-строка V включает функциональные элементы ассоциированных матриц [15] для стержней 11, 12 в соответствии с кодами табл. 3.

V = V

(13)

Gф. Каждый

из подграфов характеризует либо изгибные, либо крутильные колебания одной из балок и

где

I=1

Таблица 3

Квазидиагональная матрица У2 содержит элементы а11, а22, а33, которые являются диагональными матрицами второго порядка

>1V22 0 0 V2lV22

a22 — ш 2 —

0

(14)

где ш3 —

00

в)

г)

GL

G,„

ó 1

óo

IQ

G.

О__О

¿0

í

о G,

Рис. 9

После определения всех элементов матриц (13) - (15), подстановки их в (1) и ряда преобразований приходим к следующему уравнению:

( л V

sin X3„

2 (cth X2z - ctg X2z )x

1

Vß3X3k

"3k

V B3 D

3z

EJ2 у X 2 z

Вектор-столбец У3, описывающий связанные колебания стержней 31, 32, также определяется по значениям кодов табл. 3 и элементами ассоциированных матриц для обычного участка балки

У3 ={ю3 vз vз} , (15)

xß3 ctg X

3k

2EJ1 у X1

■(cth X1z - ctg X1z )

+

ß2X

-sin X

2k

V^ 2'"2k

l2

X" B2 D

X2 z

2EJ1 у X1

-(cth X1z -

- ctg X1z )

2EJ3 у X3z

(cth X3z - ctg X3z )x

xß2X2k ctg X2k ]-

Vß1X1k

-sin X

1k

l2

Xr B1D1

X1z

x(cth X2z - ctg X2z )ßAk ctg X

1k

EJ X

n"J2 у 2 z

2EJ3 у X3 z

x(cth Х3z - ctg Х3z )] = 0. (16)

Алгоритм построения графа GRL, его разделение на подграфы, составление таблицы переходов, процедуры перебора кодов и выборки функций из ассоциированных матриц будут аналогичными. Ввиду того, что изменения граничных условий балок, а, следовательно, и состояний графа GRL или GRT учитываются формальным путем, то такие конструкции могут использоваться в качестве подконструкций при моделировании совместных колебаний более сложных пространственных стержневых систем.

Таким образом, исследование топологических свойств графа системы позволяет решать сложные задачи анализа колебаний двух- и трехмерных стержневых и балочных конструкций. Предлагаемый подход исключает обычные этапы составления дифференциальных уравнений, формирования систем алгебраических уравнений и раскрытия определителей высоких порядков. С помощью кодированных ассоциированных матриц характеристические уравнения получаются как в общем, так и в цифровом

0

l

; V3 —

l

3

X

виде. Непосредственное использование функций Прагера не требует дополнительного вычисления квадратичных разностей функций Крылова с возможной при этом потерей точно -сти в результате появления малых разностей больших чисел. Топологический анализ применим не только к отдельным стержням, но и к отдельным блокам или подблокам стержневой системы, что делает его универсальным в исследованиях пространственных разветвленных стержневых конструкций. Изучение особенностей расчета свободных и вынужденных колебаний таким систем предполагается выполнить в последующих исследованиях.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Галишникова В. В. Регулярные стержневые системы. Теория и методы расчета / В. В. Галишникова, В. А. Игнатьев / Волгогр. гос. архит.-строит. ун-т. - Волгоград: Изд-во ВолгГАСУ, 2006. - 552 с.

2. Арясов Г. П. Свободные колебания перекрестных балок по методу перемещений // Тр. Таллин. политехн. ин-та, 1975. - № 384. -С. 103-120.

3. Нагаев Р. Ф. Колебания механических систем с периодической структурой. / Р. Ф. Нагаев, К. Ш. Ходжаев. - Ташкент: Фан, 1973. - 269 с.

4. Справочник по строительной механике корабля: в 3 т. - Т. 3 : Динамика и устойчивость корпусных конструкций / Г. В. Бойцов, О. М. Палий, В. А. Постнов, В. С. Чувиковский. - Л.: Судостроение, 1982. - 320 с.

5. Jaeger L. G. The grillage analogy in bridge analysis / L. G. Jaeger, B. Bakht // Can. J. Civ. Eng., 1982. - v. 9, N 2. - P. 224-235.

6. Shanmugam N. E. Free vibration of thin-walled multi-cell structures / N. E. Shanmugam, T. Balen-dra // Thin-Walled Struct., 1986. - v. 4, N 6. - P. 467-485.

7. Switka R. Drgania i funkcje wlasne regularnych ukladow dyskretnych // Pr. Komis. bud. i architect. PTPN Wydz. nauk techn., 1973. - 2. - P. 3-40.

8. Распопов А. С. К расчету поперечных колебаний пересекающихся балок с распределенными параметрами // Вопросы динамики мостов и те-

ории колебаний: Межвуз. сб. науч. тр. - Д.: ДИИТ, 1993. - С. 90-94.

9. Распопов А. С. К расчету собственных колебаний рамно-неразрезных путепроводов // Ресурсосберегающие технологии в транспортном и гидротехническом строительстве: Сб. науч. тр. Днепропетр. гос. техн. ун-та железнодор. тр-та. - Вып. 5. - Д., 1998. - С. 104-108.

10. Kolousek V. Dynamics in Engineering Structures. -Prague: Czech. Acad. Sci., 1973. - 580 pp.

11. Филин А. П. Алгоритмы построения разрешающих уравнений механики стержневых систем. - Л.: Стройиздат, 1983. - 232 с.

12. Красносельский К. Ю. Новый алгоритм исследования динамики сложных пространственных конструкций / К. Ю. Красносельский, Ю. Г. Минкин // Пробл. прочн. матер. и сооруж. на трансп. - Л., 1989. - С. 49-59.

13. Bojadziev G. Dynamics of multicomponent systems based on the orthogonality principle / G. Bojadziev, L. Lilov // EUROMECH: 1st Eur. Solid Mech. Conf. / Munchen, Sept. 9-13, 1991. -P. 33-34.

14. Ma Zheng-Dong. Topological optimization technique for free vibration problems / Ma Zheng-Dong, Kikuchi Noboru, Cheng Hsien-Chie, Hagi-wara Ichiro // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1995. - v. 62, N 1. - P. 200-207.

15. Распопов А. С. Конечно-автоматное моделирование пространственных колебаний стержневых и балочных конструкций // Вюник Дшпро-петр. нац. ун-ту залiзн. тр-ту iм. акад. В. Лаза-ряна. - Вип. 19. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2007. -С. 125-133.

16. Распопов А. С. Конечно-графовый подход к решению задач динамики стержневых конструкций // Вюник Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. тр-ту iм. акад. В. Лазаряна. - Вип. 21. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. - С. 170-176.

17. Давидчак О. Динамiчний розрахунок перехрес-но-ребристо! системи на основi дискретно-неперервно! моделi / О. Давидчак, Р. М. Тацш // Мехашка i фiзика руйнування будiвельних ма-терiалiв та конструкцш: Зб. наук. пр. / Фiз.-мех. ш-т iм. Г. В. Карпенка НАН Укра!ни. - Вип. 7. -Львiв: Каменяр, 2007. - С. 17-22.

Поступила в редколлегию 22.05.2008.