Расчет многокомпонентных стержневых систем методом декомпозиции Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 624.042.8

А. С. РАСПОПОВ (ДИИТ)

РАСЧЕТ МНОГОКОМПОНЕНТНЫХ СТЕРЖНЕВЫХ СИСТЕМ МЕТОДОМ ДЕКОМПОЗИЦИИ

Для декомпозици дво- та i^MipHm стержневих систем розроблено ефективний алгоритм роздшення системи на блоки та ввдповщна методика кодування сташв кожно! з пiдсистем. Показано, що структурний склад багатомiрних моделей можна задавати за допомогою просторових матриць на основi дослвдження топологiчних властивостей графа системи.

Для декомпозиции двух- и трехмерных стержневых систем разработан эффективный алгоритм разделения системы на блоки и соответствующая методика кодирования состояний каждой из подсистем. Показано, что структурный состав многомерных моделей можно задавать с помощью пространственных матриц на основе исследования топологических свойств графа системы.

For decomposition of two- and three-dimensional rod systems the effective algorithm of dividing a system into blocks and the appropriate technique of coding for states of each from subsystems are developed. It is shown that the structure of multi-dimensional models can be set by means of space matrices based on the research of topological properties of the system graph.

Для решения задачи кодирования сложной стержневой системы необходимо выполнить ее декомпозицию на более простые конструктивные части. Каждая конструктивная часть может быть разделена на еще более мелкие подсистемы, размеры которых определяются возможностями кодирования или наличием уже готовых для них решений. В результате получаем несколько уровней q -мерных подсистем, образующих q -мерные цепи [1], для декомпозиции и кодирования состояний которых удобно использовать каскадные алгоритмы [2].

Как правило, каркас сложной системы формируется из набора одно-, двух- и трехмерных элементов. Конструктивные особенности самой системы также могут определять размеры составляющих ее подсистем и структуру их расположения внутри большой системы. В любом случае для уменьшения работы, затрачиваемой на кодирование, число подсистем выбирается минимальным. Если для выделенных подсистем уже определены их характеристики, то каждую из них можно представить в виде «черного ящика» с известными кодами внешних входов и произвольной внутренней структурой.

Например, разделяя трехмерную стержневую систему [5] плоскими сечениями, параллельными плоскости ху , получим р подсистем. Совокупность сечений вдоль плоскости хг выделяет еще тр подсистем. Последующие плоские сечения, ортогональные двум первым, приводят к птр более мелким подсистемам. Таким образом приходим к разделению задачи

кодирования заданной системы на несколько задач кодирования составляющих ее подсистем, с помощью которых реализуется система в целом. Следуя каскадному алгоритму, процедуры кодирования к -й подсистемы строятся по принципу поэтапного использования входных последовательностей, передаваемых от сопрягаемых подсистем, принадлежащих различным уровням. При этом символами кода последующего уровня (ступени) являются символы кода предыдущей ступени. Очевидно, для подсистем одного уровня возможно использование параллельных процедур кодирования. В результате, переходя от совокупности подсистем первого каскада к последнему, получим набор последовательных кодов, характеризующих состояния всей системы. Применение такого алгоритма позволяет также использовать для трехмерного моделирования существующие двух- и одномерные модели. Соединение кодированных подсистем и получение топологического уравнения системы производим в обратном порядке на основе принципа ортогональности.

Предположим, что имеется р — 1 система пересекающихся ортогональных балок, соединенных между собой через узловые сечения (п — 1)(т — 1) упругими стержнями (стойками), параллельными между собой и оси г . В результате декомпозиции такой метасистемы [1] взаимно ортогональными плоскими сечениями, проходящими через центры внутренних пролетов балок каждого из направлений, получим в самом простом случае подсистему из шести стержней [4].

Рассмотрим возможные состояния типовой В отличие от плоского случая, изгибные кок -й ( к = 1, 2, ..., р -1) подсистемы (рис. 1) лебания продольных и поперечных балок будут

при последовательном изменении кодов НП, связаны с крутильными или пр°д°льными ко-

КП стержней 31 32 лебаниями ортогональных для них балок.

Рис. 1. к -я подсистема трехмерной стержневой конструкции

Как обычно, выделим из к -й системы ков II, III, ..., п - 2 можно составить таблицу (рис. 1) . -ю подсистему, аналогичную [5], и переходов ЛЯТ1 [4], характеризующих состоя-представим ее графом ОЯ., цепочки связан- ния стержней 11, 12; 21, 22 и 31, 32 при совме-

ных подграфов ОЯу1, ОЯу2, ..., ОЯуп-1, разде

У 2 :

уп-

12 3

ляемых на компоненты Оу1 , Оу1 , О

Оуп-1, 2Оуп-1, 3Офп-1 (рис. 2).

V

Тогда, для любого из промежуточных бло-

стных изгибно-крутильных колебаниях. Возможные состояния подграфов приведены на рис. 9 [5], а соответствующая двумерная матрица Офу2 при фиксированных граничных условиях стержней 21, 22 и 31, 32 представлена выражениями [4].

Рис. 2. Граф системы ОЯ у

Как уже отмечалось [4], элементы матрицы Офу2 в соответствии с кодами таблицы переходов соответствуют элементам матрицы Оу для

изгибных колебаний пересекающихся стержней 11, 12 и 21, 22 в плоскости ху с последователь-

и w,

31

w.

32

wQ

в выражениях для двумерных мат-

ным их умножением на матрицы Wзl

и

W31, w32, характеризующие крутильные колебания стержней 31, 32. Поэтому алгоритмы построения пространственных матриц О^2 и

Офу2:. при варьировании кодов НП стержня 21

/1/2/3/4

и КП стержня 22 будет точно таким же, как и

для пространственных матриц Оу. , Оу.. с

/1/2/3

риц, образованных соответствующими сечениями ориентации.

Рассмотрим возможные состояния системы [4] при последовательном изменении кодов КП (к2 12) стержня 32 - 01 и 10. В этом случае систему, представленную автоматом ЛЯТ2 , можно описать пятимерной матрицей [3]

ОфУ . =

а.. .

/1/2■■■/5

, (/l,■■■,.4 = 1, 2,..., 6; .5 = 1, 2 ).(1)

Тогда для двумерных матриц, образованных трехкратным сечением ориентации () при

фиксированных значениях индексов 71 72 75 можно записать, например, - при 71 72 75 = 1

офу2., =

My11My12 M'y11MХ

V HOOt? 0011 T21 Т22

V illOOr? '0011 т21 т22

V э0^ 01

*3 1* 32

(2)

- при i = 2, i2 = 1, i5 = 2

ОГ 2 =

21u, 2

My11My12 M'y11M'y12

V IOIOt?0011 T21 T22

V rlOlOV '0011 r21 T22

*31* 32

I ~Л0

*31* 32

или в сокращенной форме

Офуг . = v,v9 *3 .

ii ...i 12 3

(3)

(4)

* 32 =

ф3

1

-sin Хф3

В X ф3

Н3Л ф3

; *10 =

-e3X®3sin ХФ3

cos X

ф3

~'01 sin Хф3 ~ '10 Л

*32 = ; *32 = COs Хф3

P3X

(5)

3 ф3

Варьирование кодов НП (к111) стержня 31 позволяет определить еще одну координату 76 г -мерного пространства (г = 6) и составить г -мерную матрицу

Офу2 . =

......

(71,..., 74 = 1,2,...,6; 75, 76 = 1,2). (7)

Для совокупности элементов двумерной матрицы Офу2... , образованной т -кратным

У2У4 ..

(т = 4) сечением ориентации (71 727576 ) при фиксированных значениях индексов . ?2 и 7576

можно записать, например, - при 71 727576 = 1

офу2 =

"11 3 .411 "

My11My12 M'y11M'y12

В выражениях (2), (3) матрицы *32 , *32 в соответствии с кодами табл. 2 [4] имеют вид

cos X

V hooT? 0011 T21 Т22

V '1100т? '0011 т21 т22

10 01 *31 * 32

*31 * 321

(8)

- при . i2 = 6, i 5i6 = 2

офу2 = 66i3i4 22 _

My11My12 M'y11M'y12

Vooiir?1100 т21 т22

0

T/'001u;? '1100 т21 т22

01 10 *31 * 32

<* 320

(9)

Можно заметить, что матрицы у1 , у2 (4)

полностью совпадают с двумерными матрицами, образованными из пространственной матрицы Оу.. сечением ориентации (7,77 ). По-

7172 73 74 1 2

этому, с учетом (5) несложно также получить остальные выражения для двумерных матриц при различных сочетаниях 717275

(71, 72 = 1, 2,..., 6; 75 = 1, 2).

Аналогично [4] выразим пространственную

матрицу в виде таблицы, в которой че-

7172 ... 75

тырехмерные сечения отделяются вертикальной линией

(6)

В свою очередь, двумерные сечения пространственных матриц а7 7 7 7 , и а7 7 7 7 2 при

7172 73 74 1 7172 73 74 2

фиксированных значениях индексов 7172 представляются в уже известной форме [4].

Матрицы *31, *31 в соответствии с кодами табл. 2 [4] преобразуются к виду

10

*31 =||COs Хф3

-Pэxфэsln X

ф3

*310 =

1

-sin Хф3 cos Хф3

r 1 ф3 ф3

Н3Л ф3

*1 = cos Хф3; < =

1

P3X,

-sin X

ф3

(10)

3' ф3

Используя выражения (10) с приведенными выше (5), а также матрицами, полученными из Оу,, с помощью сечений ориентации (7,77 )

7172 73 74 1 2

можно составить двумерные матрицы при различных сочетаниях 71727576 ( 71,72 = 1, 2,..., 6;

75, ¡6 = 1,2).

По аналогии (6), представим четырехмерные сечения пространственной матрицы Офу2, ,, в

7172 73 74 У^

виде

0

х

0

0

х

0

0

х

0

0

х

афу2.

а Ч . . .411 а .Мч12

а... ч21 а { ч. ч22

- К,)

т-2

(й.)

'('[)

Нч)

(11)

Двумерные сечения пространственных матриц, входящих в выражение (11) при фиксированных значениях индексов Ц представляются в форме [4].

Пространственные матрицы и ахуг.

для изгибно-продольных колебаний системы пересекающихся балок также представляются в форме (1), (7) с последующим выделением т -мерных сечений (6), (11).

Далее, процедура построения ассоциированных матриц для к -й подсистемы (к = 1, 2,..., р -1) трехмерной стержневой конструкции будет аналогична процедуре составления частотного уравнения для системы пересекающихся балок, расположенных в одной плоскости.

Так, первая подсистема при к = 1 представляется одномерной матрицей-строкой V (ояг1) ,

которую можно выразить в виде

произведения ассоциированных матриц участков у = 1,2,..., т -1. В свою очередь, каждая подсистема у описывается произведением ассоциированных матриц участков

7 = 1, 2,..., п -1

п-2

V (ф1 ) = аф1. Пафг афи"1;

Н ф1/ ЧЧЧ±± 7172 7зг5 ЧЧЧ '

7=2

ф1ф. = аф1.. П аф7. афи_1 ;

1ФУ ЧЧЧЧ И ЧЧЧЧ '

=2

V (ф 1 ) = аф1. П афг ,.афи-1.

1 V фт-^ ¡21415 Ц .^ 15 .г4г5

(13)

(14)

(15)

г=2

Рфк = V (ф1 )ПФ кф/к (фт-1 ), (16)

}=2

где / (Сф1), /к (^фт-1) - кубические матрицы крайних участков ( у = 1, у = т -1) к-й подсистемы, Фкф. - четырехмерная матрица промежуточных участков (у = 2, 3,..., т - 2):

(оф1) = а ф1 .. П афг ... а""1 ; (17) к\ ф1/ Ч. ..И ... Уб .. ¥б у ' =2

п-2

ф кф. = а*1.Паф<.а <ри"1 ; (18)

кф] ^чИ Ч-Ч Уз....6 ' 4 ' =2

V, (ф 1) = аф1 .. П афг ... афи"1. (19)

к\ фт-1) ^^И \\у^ ..4ЧЧ у '

Наконец, для р -1 подсистемы одномерная матрица-столбец может быть представлена в виде

^ Итр-1 ):

, чт-2 , ч

/ ) = /1 (Сф1 )ПФ1ф./Л1 (фт-1 ) (12)

.=2

где /1 (ф1), V (Офт-1) - двумерные матрицы для первого ( у = 1 ) и последнего ( у = т -1 ) участков к -й подсистемы (к = 1), Ф^ - кубическая матрица промежуточных участков при у = 2, 3,..., т - 2:

Для любой из промежуточных подсистем (к = 2, 3,..., р - 2) можно составить двумерную матрицу шестого порядка в следующем виде:

т-2

= /р-1 (ф1 )ПФ (р-1)ф/р-1 ), (20)

у=2

где /р-1 (^1) , Ур-1 (Офт_1) - двумерные матрицы для первого ( у = 1 ) и последнего ( у = т -1 ) участков ( р -1 )-й подсистемы (к = р -1), Ф(р- кубическая матрица при значениях у = 2,3,..., т -2:

п-2

V 1 (ф1 ) = аф1 . Пафг ..афп-1; (21)

р-1 V ф1/ Ч Ч . ЧЧ Ч Ч .3 ч ' 4 '

=2

Ф( 1)ф- =аф1 . Па фг .афи-1; (22)

(р-1)фу чччч И \чччч \ччч ' 4 ' =2

V 1 (ф 1 ) = аф1 . П афг .афи-1. (23)

=2

Анализируя структуру полученных г -мерных матриц, можно отметить некоторые закономерности их образования. Так, ввод в систему дополнительной зависимой переменной или группы зависимых переменных, соответствующих одному из входов автомата, описывающего колебания сложной стержневой системы, добавляет еще одно измерение в евклидово пространство и в структуру матрицы а . Отмеченное обстоятельство позволяет

предложить пирамидальный принцип [1] построения пространственных ассоциированных матриц, которые, в отличие от простых конструкций, относятся не к отдельным стержням, а к отдельным блокам или подблокам системы.

В общем случае, подавтомат А, характеризующий состояния промежуточной (внутренней) подсистемы, имеющей г входов, описывается г -мерной пространственной матрицей, порядок которой зависит от числа возможных перестановок кодов соответствующих входных переменных. Уменьшение числа «входов», например для крайних (граничных) подсистем, уменьшает соответственно количество координат г-мерного пространства. При этом г -мерная матрица для всей системы получается в результате последовательного произведения (г +1) - и (г + 2) -мерных матриц для образующих ее подсистем. В итоге, на верхнем уровне «пирамиды» стоит скалярная величина, соответствующая некоторой точке евклидового пространства, определяемая произведением векторов, описывающих состояние обособленной замкнутой подсистемы.

В окончательной форме уравнение частот для изгибно-крутильных колебаний трехмерной стержневой системы [5] приводится к виду

Р - 2

V (°кт1 )П {0ЯТр-1 ) = 0. (24)

к=2

Соответственно представляется частотное уравнение для изгибно-продольных колебаний пространственной стержневой системы

Р-2

г (ощ )П РкУ (-1 ) = (25)

к=2

Таким образом частотное (топологическое) уравнение пространственной стержневой конструкции можно рассматривать как последовательность одно-, двух-, трех- и т. д. г -мерных матриц, соединенных в одну систему. Следуя отмеченным выше аналогиям, можно отметить пирамидальный принцип построения таких уравнений. На самом верхнем уровне, результирующее уравнение состоит из произведения одно- и двумерных матриц системы.

В качестве примера на рис. 3 приведен график-номограмма изменения частотного параметра X г1 для изгибных колебаний шарнирно-

опертых балок, лежащих в плоскости ху , и продольных колебаний ортогональных им балок с заделанными концами, расположенных

вдоль оси z. При прочих равных геометрических, инерционных и жесткостных характеристиках системы, различной принималась лишь относительная жесткость с на растяжение-сжатие балок, параллельных оси z .

Рис. 3. Значения Xл для регулярной системы пересекающихся балок

Как видим, частотные поверхности для трехмерных систем во многом аналогичны графикам, полученным для плоских систем пересекающихся балок. Однако количество возможных сочетаний параметров для балок каждого из направлений будет существенно большим.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Крон, Г. Исследование сложных систем по частям (диакоптика) [Текст] / Г. Крон. - М.: Наука, 1972. - 544 с.

2. Кунцманн, Й. Булева алгебра и конечные автоматы [Текст] / Й. Кунцманн, П. Наслин. - М.: Мир, 1969. - 294 с.

3. Соколов, Н. П. Пространственные матрицы и их приложения [Текст] / Н. П. Соколов. - М.: Физ-матгиз, 1960. - 300 с.

4. Распопов, А. С. Структура пространственных матриц для комбинированных колебаний многомерных стержневых систем [Текст] / А. С. Распопов // Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - 2008. -Вип. 24. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. -С. 139-145.

5. Распопов, А. С. Применение топологических методов к расчету пространственных колебаний двух- и трехмерных стержневых систем [Текст] / А. С. Распопов // Вюн. Дншропетр. нац. ун-ту залiзн. трансп. 1м. акад. В. Лазаряна. - 2008. -Вип. 22. - Д.: Вид-во ДНУЗТ, 2008. -С. 117-124.

Поступила в редколлегию 24.12.2008.