CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА
Физико-математические пауки
УДК 539.3
ИССЛЕДОВАНИЕ КОНТАКТНОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ
ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ С ЖЕСТКОЙ НАКЛАДКОЙ ПРИ ГАРМОНИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЯХ
Ю.Г. Копоплев, С.А. Кузнецов, A.A. Сачен,ков, М.А. Точкасова
В работе решена задача определения напряжений, возникающих между прямоугольной пластиной и жесткой накладкой при установившихся вынужденных колебаниях, и прогиба срединной поверхности пластинки. Получено аналитическое решение задачи и проведены численные эксперименты. Исследовано влияние учета деформаций поперечного сдвига и иперции вращения пластины, положения и массивности накладки, а также краевых условий па распределение контактных напряжений и спектр собственных частот.
Ключевые слова: контактная задача, функция влияния, колебания.
Контактными задачами теории оболочек принято называть задачи о взаимодействии тонкостенных элементов между собой и с упругими или жесткими телами (штампами). Искомыми величинами в этих задачах являются контактные напряжения и область контакта, если она неизвестна.
Настоящая работа является продолжением исследований, начатых авторами в [1]. На основе линейной теории пластин с учетом поперечного обжатия в области контакта даны постановка и решение контактной задачи взаимодействия колеблющейся жесткой накладки с прямоугольной пластиной, находящейся в условиях цилиндрического изгиба (рис. 1). Силы трения между пластиной и накладкой не учитываются. Ядро интегрального уравнения 0(х, £) (функция влияния) получено на основе уточненной теории пластин, учитывающей деформации поперечного сдвига и инерцию вращения [2]. и теории обобщенных функций как точное решение дифференциального уравнения изгиба пластины при установившихся вынужденных колебаниях
Аннотация
1. Постановка задачи
Рис. 1. Постановка задачи
(1)
(2)
G(±Z,0 = G£(±Z,O = 0;
(3)
один край пластины защемлен, другой свободен (ЖЗ—СВ) G(-l, £) = G'x(-l, О = G'X(+l, О = е) = 0,
(4)
где
_ d4
L
в
dx2
B, Li = A -
1 d2 kphdx2'
Bi
V2V2
A- 1
D k^hV1
2
V12
E
p(l -
V2 V2
k^
,
P
D
—r, A4
Ph
E
D
Eh3
2(1 + V)' 12(1 - V2)'
^ _ частота вынуждающей силы Р, действующей на жесткую накладку, Е, ^, V -модуль упругости, модуль сдвига и коэффициент Пуассона, к = 5/6 - жесткость по поперечному сдвигу, П - изгибпая жесткость пластины, Н - толщина пластины.
Как известно [3, 4], постановка контактных задач для тонкостенных объектов на основе классической теории Кирхгофа Лява приводит к решению математически некорректных задач. Некорректность проявляется в ряде противоречий: при гладкой форме объектов возникают разрывы на границе области контакта в усилиях, моментах и напряжениях: точечному контакту соответствует ненулевая реакция взаимодействия: прижимающая штамп сила неограниченно возрастает, если область контакта занимает всю длину элемента: невозможно удовлетворить нулевому условию для напряжений на границе контакта для объекта, не имеющего угловой точки и т. д.
Математически корректная постановка контактных задач теории пластин и оболочек заключается в моделировании условий контакта в виде равенства перемещений накладки перемещениям границы пластинки, состоящим, в свою очередь, из перемещений срединной плоскости в результате изгиба и из местных перемещений, характеризующих деформацию обжатия. Согласно этой постановке задача сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма второго рода относительно контактных напряжений <г(х):
2а—b
k0a(x)+ G(x, е) • <г(£) d£ = V, -b < x < 2a - b,
(5)
—b
13Н(1 - V2)
где ко =-——- коэффициент обжатия, V смещение накладки.
32Е
Уравнение движения накладки в случае установившихся вынужденных колебаний имеет вид
2а-Ь
-Ми?У = Р - Я, Я = I а(х) dx, (6)
где М - масса накладки.
2. Функция влияния
Решение уравнения (1) имеет вид
l
G(x,e) =
2(k2 + k2)
{Ci(£) ch kix + C2(e) sh kix + C3(e) cos k2x +
+ C4(e)sin k2x + 20(x - е)
— sh ki(x — £)--- sh ко (x — £)
k1 k2
где
«1
к2
А- — ,
«2
А^Л.'
'а/В- -4В1 - В
к2
1В+^В'2 — АВ\
— £) - единичная функция Хевисайда.
Постоянные интегрирования С$(£) определяются из граничных условий (2)—(4). Обозначим /^ = = 1, 2). Тогда постоянные С^(£) имеют вид:
• для (ЖЗ+ЖЗ)
С2(0 сз(е)
«1/3 А1/1 «1 а7 «1
«1 а7
«1 /4
о
«1 Л
ал о
т
о «2
и
а 2 /4 ао
«2 «2/3
/еЬ
вЬ
еов А2£
где
для (ШО^ШО) / «1
/1 /2 /3
к1 вЬ /1 еов /2 + к2 вш /2 еЬ /1, к1 еЬ /1 вт /2 — к2 еов /2 вЬ /1,
Сз(0
\сз(е)/
-~Г91 к1
«1 а7
о
\
о
«1 а7 «1 кш о
о
еЬ /1 еов /2 + к2 вт /2 вЬ /1,
вЬ /1 вт /2 — к2 еов /2 еЬ/1;
\
о о
п п /еЬ к1А
о о вЬ
«2 а2 еов А2£
1—52 «2 \вт «2^/
а2 а2
А'2<?2/
где
51 =
52
вЬ /1
еЬ /1' вт /2
еов /2
для (ЖЗ-СВ)
/
«1«2Гз
«1
С2(е) ~~ГГ1 «1
сз(е)
^з(е)/ «2
1 А, Г8
«1
Т1'1 к1
«1&2Г4
«1^1
к2
а2А2 «2^2
Г7
Гд
■Гд
"»'10
к1
—«2к1Гв «2
к2
Г2
«2 «2 \
"1-?'8
к1
«2 «2
к1
«2
Г10
Г2
к2 «2к1Г5
/еЬ
вЬ
еов А2£ \в1п
где
г = к4 + «4 + 2к2к| еЬ 2/1 еов 2/2 + к1к2(«2 — «2) вЬ 2/1 вт 2/2, г1 = (2к4 + 2к2к| еЬ2/1 еов2/2 + к1к2(к^ — к2)вЬ2/1 в1п2/2)/г, г2 = (2к4 + 2к2к| еЬ2/1 еов2/2 + к1к2(к^ — к2) вЬ2/1 вт2/2)/г,
r3 = ((k2 + kf) sin 212 - (kf - k2) ch 21 i sin 212 - 2^k2 sh 21 i cos 212)/r, r4 = ((k 2 + k2) sin 212 + (k2 - k 2)ch21 i sin 212 + 2k ;[ k2 sh 21 ;[ cos 212)/r, r5 = ((k 2 + k2) sh 21 i - (k2 - k 2) sh 21 i cos 212 + 2k i k2 ch 21 i sin 212)/r, r6 = ((k 2 + k|) sh 21 i + (k2 - k 2) sh 21 i cos212 - 2k i k2 ch21 i sin212)/r,
r7 = 2(k2 - k 2)(k2 sh 1 ;[ cos 12 - k ;[ ch 1 ;[ sin 12)/r, r8 = 2(k| + k 2)(k2 sh 1 ;[ sin 12 + k ;[ ch 1 ;[ cos 12)/r, r9 = 2(k2 + k 2)(k2 ch 1 cos 12 - k sh 1 ;[ sin 12)/r, r ;[o = 2(k| - k 2)(k2 ch 1 ;[ sin 12 + k ;[ sh 1 ;[ cos 12)/r.
3. Метод решения интегральных уравнений контактных задач
Для решения интегрального уравнения (5) применим метод сведения к краевой задаче, предложенный Ю.П. Артюхиным для одномерных статических контактных задач и развитый впоследствии С.А. Кузнецовым [5] для двумерных.
Применим оператор L к уравнению (5). Так как LG(x,£) = L^(ж - £), то
2a-b
k0La(x)+ J L ^(ж - £) • ст(£) d£ = LV.
—ъ
С учетом фильтрующих свойств ¿-функции получим
коЬст(х) + Ь1 а(х) = ЬУ.
Введем новую неизвестную функцию и (х), связанную с искомой функцией дифференциальным соотношением
Ь (х) = У - к0а(х). (7)
В силу произвола введенной функции, возникающего при интегрировании выражения (7), положим
а(х) = Ьи (х). (8)
Тогда из (7), (8) следует уравнение
коЬи (х)+ Ь ^ (х)= У. (9)
Подставив (8) в уравнение (5), получим 2а-Ъ
I с(х,е) • Ьи(е) de = ь 1и(х). (ю)
-ъ
Интегрируя по частям, нетрудно привести (10) к виду
2а —Ъ
J L?G(x,£) • U(£)d£ + ^[G,U] = L ^(ж),
-b
где
*[G, U] = (G(x,£) • U"'(0 - G'(x,£)[U''(£) + BU(£)]+
+[с^'(ж,е) + BG(x,e)]U'(e) - g^M • u(O> |-ab-b. (и)
С учетом фильтрующих свойств ¿-функции
2a-b
J LçG(x,£) • U(0 = LiU(x)
-b
и следовательно. (11) принимает вид
U] = 0.
(12)
Таким образом, проблема решения интегрального уравнения (5) сведена к решению краевой задачи (9). (12).
4. Амплитуды контактного давления и жесткого смещения накладки
Определяя функцию и(х) из краевой задачи (9), (12), найдем с помощью (7) и (6) амплитуды контактного давления и жесткого смещения накладки:
<r(x)
V
A + koBi
(B1 — A12 ch A1x cos A2x — A21 sh A1x sin A2x-
V
— A34 sh A1xcos A2x — A43 ch A1x sin A2x), P (A + Л0В1)
2aB
1
1 - M tu2 (A + fcnBi) - (Yi + Y2)
Y1 = (A1A12 — A2A21)(sc1 + SC2) + (A1A21 + A2A12)(cs1 + CS2), Y2 = (A1A34 — A2A43)( CC1 + CC2) + (A1A43 + A2A34)(—ss1 + SS2),
A12 A21
(A/ko — П3К )A1 — «4KA2, A34 = (A/ko — пзК )A3 — «4KA4, (A/ko — П3К )A2 + «4KA1, A43 = (A/ko — П3К ) A4 + «4KA3,
"1
A1 =
2
:1
A2 = 2
-VP! + 4/fcn - -(K - В)
1/2 1/2
K
kok^h
Ai
1, 2, 3, 4, являются решением системы уравнений
(an в1 «13 «м\ (AA
A2
A3
^«41 ^4 «43 «44 J У A4 У
«21 в2 «23 «24 «31 в3 «33 «34
/ел
в2 в3
Для граничных условий (ЖЗ+ЖЗ) и (ЖЗ+СВ) « ¿j, вг имеют вид: в1 = F17 + F18, в2 = F27 — F28, в3 = F37 + F38, в4 = — F47 + Р48,
«11 = — F11Z11 — F12Z12 + F13Z13 + F14Z14 + F15Z15 + F16Z16 — P17CC1 — F18CC2,
«12 = —F11Z21 — F12Z22 + P13Z23 + P14Z24 + F15Z25 + P16Z26 — F17SS1 — F18SS2,
«13 = +F11Z31 — P12Z32 — P13Z33 + F14Z34 — F15Z35 + F16Z36 + P17SC1 — P18SC2, «14 = +F11Z41 — P12Z42 — F13Z43 + P14Z44 — F15Z45 + P16Z46 + P17CS1 — F18CS2,
1
«21 = +F21Z11 — F22Z12 + F23Z13 — F24Z14 — F25Z15 + F26Z16 — F27CC1 + F28CC2,
«22 = +F21Z21 — F22Z22 + F23Z23 — F24Z24 — F25Z25 + F26Z26 — F27SS1 + F28SS2, «23 = —F21Z31 — F22Z32 — F23Z33 — ¿24Z34 + F25Z35 + F26Z36 + F27SC1 — F28SC2, «24 = —F21Z41 — F22Z42 — F23Z43 — ¿24Z44 + F25Z45 + F26Z46 + F27CS1 — F28CS2,
«31 = +F31Z11 + F32Z12 — F33Z13 — F34Z14 + F35Z15 + F36Z16 — F37CC1 — F38CC2, «32 = +F31Z21 + F32Z22 — F33Z23 — F34Z24 + F35Z25 + F36Z26 — F37SS1 — F38SS2, «33 = —F31Z31 + F32Z32 + F33Z33 — F34Z34 — F35Z35 + F36Z36 + F37SC1 — F38SC2, «34 = — F31Z41 + F32Z42 + F33Z43 — F34Z44 — F35Z45 + F36Z46 + F37CS1 — F38CS2,
«41 = —F41Z11 + F42Z12 + F43Z13 — F44Z14 — F45Z15 + F46Z16 + F47CC1 — F48CC2, «42 = —F41Z21 + F42Z22 + F43Z23 — F44Z24 — F45Z25 + F46Z26 + F47SS1 — F48SS2, «43 = +F41Z31 + F42Z32 — F43Z33 — F44Z34 + F45Z35 + F46Z36 — F47SC1 — F48SC2, «44 = +F41Z41 + F42Z42 — F43Z43 — F44Z44 + F45Z45 + F46Z46 — F47CS1 — F48CS2. Для граничного условия (ШО+ШО) a¿j, в имеют вид:
в1 = —(F13 + F14 ), в2 = (F13 — F14 ), в3 = k2 (F23 + F24), в4 = —k2 (F23 — F24 ),
(k2z11 + z15) j-, (k2z12 + z16) /,2 , 7 ^ ,771/72 , v \
«11 = —-F11-;--Fi2-:--h Fis(k2cci + z 13) + Fu{k2cc2 + Zu),
«1 «1
(k2z21 + z25) j-, (a2z22 + z26) „ / 7 2 , 7 ^ , 771 / 7 2 , 7 \
«12 = -F11-;--F12-:--h F13{k2SS1 + Z23) + F14{k2SS2 + Z24),
«1 «1
(k!z31 + z35) j-, (k2 z32 + z36) p ,,2 ,7 4 , 771 /,2 , 7 \
«13 = Fn-;--F12-:--¿i3(A9sci + Z33) + ¿i4(A9sc2 + Z34),
«1 «1
(AgZ4i + Z45) (AgZ42 + Z46) 2 2 , <7 \
«14 = ¿11-;--¿12-;--¿13(«2es 1 + Z43) + r i4 (A*2CS2 + Z44),
«1 «1
«21 = Fn-;--F12----¿13(А2СС1 + Z13) + F14(k2cc2 + Z14),
«1 «1
(A|z21 + z25) j-, (A|z22 + z26) p n 2 , 7 \ , тт n 2 , v \
«22 = Fn-;--F12----Fi3(A2ssi + Z23) + Fi4(A2ss2 + Z24),
«1 «1
(«2z31 + z35) j-, («2z32 + ^36)^ ,,2 . ,7 4 , jp /,2 , 7 \
«23 = -Fn-;--F12-:--h Fi3(A2sci + Z33) + F14(k2sc2 + Z34),
«1 «1
(«2^41 + z45) j-, («2z42 + z46) „ ,,2 .7 4 , p /,2 , 7 \
«24 = -Fn-;--F12-:--h Fi3(A9csi + Z43) + F14{k0cs2 + Z44),
«1 «1
(a2z11 — z15) j-, (a2z12 — ^16^^ (,2 V \ zti/7 2 /7 \
«31 = -¿21-;--¿22-;--¿23(AiCCi - Z13) - ¿24 (A'icc2 - Z14),
«2 «2
(«2z21 — z25) j-, (a2z22 — z26) p ,,2 7 4 771/72 7 ч
«32 = -¿21-;--¿22-;--¿23(AiSSi - Z23) - ¿24 ( A'i SS2 - Z 24),
A2 A2
«33 = F2i(fc^3rZ35) - fJ^]-2ж) + F23(A;?SCI - Z33) - F24(A2sC2 - Z34),
(A-1Z41 - Z45) (A-^42 ~ Z46) 2 7 A 771 //2 ч
«34 = ¿21-;--¿22-;--h ¿23(AiCSi - Z43) - ¿24(Aics2 - Z44),
A2 A2
(A2Z11 — Z15) „ (A2Z12 — Z16) /,2 v \ 771/72 ,7 ч
«41 = f21-:--f22-:--h f23(a1cci - z13) - f24(a1cc2 - Z14),
A2 A2
(A2Z21 — Z25) j-, (A2LZ22 — Z26) ,,2 7 4 771/72 7 ч
«42 = F2i-:--F22-:--h F23(A1SSi - Z23) - F24(k1SS2 - Z24),
«43 = -Foi —- Foo——- F2s(k21sc1 - Z33) - F2i{k\sc2 - Z34),
«2 k2
«44 = _ _ F23{ kiCSl _ z43) _ F2a{uiCS2 _ z44).
«2 k2
Для i = 1, 2
Zii = Aiscj - A2csj, Zi(i+2) = n^cci - n4ssj, Zi(i+4) = nisc¿ - n2cs¿,
Z2i = Aicsi + A2SCÍ, Z2(i+2) = n3ssi + n4cci, ^2(i+4) = nicsi + n2sc¿,
Zsi = Aicci - A2SSÍ, Z3(i+2) = n3csi - n4sc¿, £3^+4) = nicci - n2ssi,
Z4i = Aissi + A2cci, Z4(i+2) = n3csi + n4sc¿, £4^+4) = nicci + n2ssi,
cci = chbiAi cosbiA2, ni = A3 - 3AiA2, / /
ss¿ = sh6¿Ai sinb;A2, "2 = 3AjA2 - A3, ^ = д > = д> bi = 6,
sci = sh biAi cos biA2, n3 = A2 — A2, /4 /3 = 2a - b.
¥2 = -г, = -г,
cci = ch biAi sin biA2, n4 = 2A3A2, f2 f2
Коэффициенты Fij вычисляются по формулам: • для граничных условий (ЖЗ+ЖЗ):
Fu = к2 (- sh bjfci + ch bjfci ) + ^ fc2 eos b¿fc2, ki /i
«2
í\(¿+2) = «l( — chbjfci + (fi sh bjfci) + sin 6¿Л'2,
ai «2
Fi(i+4) = —(shbjfci - ífi chbjfci) + -pcosbjb,
íi(¿+6) = «ík^chbjfci - shbjfci) + J=- k\ko, sinbjfc2,
F2i = fe2(chbjfci - íp2 sh hh) + ^r- k? sinbik2, ki /2
«2
F2U+2) = «1 (- sh hh + íp2 ch hh ) + —1 k2 eos bik2,
/2
ai «2
Í2(¿+4) = (- ch bjfci + if 2 sh bjfci ) + -J- sin bik2,
F2U+6) = aiko(shbjfci - íp2 chbjfci) + ^f-k2k2 cosbjfc2,
/2
Í3¿ = -r- ko ch bjfci - ^ k2(^3 eos b¿fc2 - sin b¿fc2), /i k2
ai
Í3(¿+2) = — ki shbjfci - a2(íp3 sinb¿fc2 + eosb¿fc2),
ai a2
Í3(¿+4) = — chbjfci + -j^(íp3 eos bik2 - sin b¿fc2),
Í3(¿+6) = y- kiA| sh bjfci + a2ki (^3 sin b¿fc2 + eos b¿fc2),
F4i = ko shbjfci + ^ k2(^4 sinbjfc2 - eos b¿fc2), /2 k2 ai
^4(¿+2) = —kichbjfci - а2(щ eos bik2 + sinb¿fc2), /2
ai a2 Í4(¿+4) = -j-shbjki - (sin bik'2 — eos 6¿A'2 ),
Í4(¿+6) = ~r kiko chbjfci +a2ki(^4Cosbjfc2 +sinbjfc2); /2
для граничных условий (ШО^ШО):
Fu = gi ch bjki - sh biki, Fi(i+2) = - ch biki + gi sh biki, F2i = g2 cos bik2 - sin bik2, F2(i+2) = cos bik2 + g2 sin bik2;
для граничных условий для (ЖЗ—СВ):
2 — ri
= a2AiA2(—Г7 cosbiAo — í'8 sin 61^2) + «iAf(— ?'зА2 ch biA'i----shbifci),
¿\2 = «2 Al A2 (-Г7 cos b2 A2 + í'8 sin b2 A2) + «i A2 (- r3 A2 ch b2 Ai - — sh b2 Al),
ki
F13 = ~ 2 (>'8 eos5iAo —/^sinbiAo) + ai( — (2 — ri) chbiAi — гзА^Ао sh biAi), ki
¿14 = Щ^-i-rg cosb2A2 - í'7 sinb2A2) + CKi(-»'i chb2Ai - r3AiA2 shb2Ai), ki
¿15 = cosbiA2 ^8 sin61 A*2) + ai(r3A2 chbiAi + " '1 shbiAi),
ki ki
a 2k2 ri
Fia = —cosbiA2 + r8 sinb2A2) + ai(»'3&2 chb2ki + — shb2Ai), ki ki
Fi7 = a 2kik|(r8 cos bik2 — r7 sin bik2) + aik|((2 — ri) ch biki + r3kik2 sh biki),
Fi8 = a2kik|(-r8 cos b2k2 - Г7 sin b2k2) + aik|(ri ch b2ki + r3kik2 sh b2ki),
2 — ri
íoi = aok\ko{rQ cosbiAo + гю sinbiAo) + aiA2(-chbiAi — r4Ao shbiAi),
ki
Í22 = aokíkoi-rg eos b2k2 + гщ sin b2k2) + aiA2(-|-!- ch 62Ai - r4k2 shb2Ai),
ki
¿23 = —7—^-(í'io cosbiA2 - r9 sinbiA2) + ai(r4AiA2 chbiAi - (2 - ?ч) shbiAi),
k
i
¿24 = —7—^-(/'10 eos62A'2 +í'9 sin62^2) + ai(r4AiA2 ch62Ai - ri) sh 62Ai), ki
¿25 = (''9 eosbiA'2 + í'in sinbiA2) + ai(-w , '1 chbiAi + r4A2 sh biAi), ki ki
a2k2 ri
¿26 = —cosb2k2 + rin sinb2A2) + ai(-— chb2Ai + r4A2 shb2Ai), ki ki
F27 = a2kik2(rio cosbik2 - r9 sinbik2) + aik|(-r4kik2 chbiki + (2 - ri) shbiki),
F28 = a2kik2(rio cos b2k2 + r9 sin b2k2) + aik|(-r4kik2 ch b2ki + ri sh b2ki),
2 2 r2
¿31 = aiAiAo(r7chbiAi + rgshbiAi) + a^k\{rp,k\ cosbiAo H---sinbiAo),
k2
¿39 = aiAiA2(r7 ch b2Ai - Tg sh b2Ai) + a2A?(r6Ai eos 62A2 + sin 62A2), 2 k2
¿33 = —7—4'"9 chbiAi + r7 shbiAi) + ск2( —(2 — r2) cosbiAo + r6AiA2 sinbiAo), k2 2
¿34 = —7—^(—í'g ch62 A'1 + ?'7 sh 62Ai) + a2(-r2 cosb2A2 + r6AiA2 sinb2A2), k2
¿35 = —7——('"r chbiAi + r9 shbiAi) + a2(-r6Ai cosbiAo - " '2 sinbiAo), k2 k2
1
а)
3
¡C 3 v
? А
Ь)
I 1 ч 3
-1Л -Со -ОБ Hj.i <i г : : ц Oí : i u
-и) -0.6 -ол «ji oo oí OA oí¡ и
Рис. 2. Распределение контактного давления
í36 = —7—^-(»'7 cll62fe - Гд sllbofe) + a2(-r6fe cos bo ко - T" sill bo ко ), fe fe
F37 = aik2k2(r9 chbiki + r7 shbiki) + a2k2((2 — r2) cosb\k2 — r6fek2 sinb\k2)1 F38 = a ik2k 2(—Г9 ch b2ki + Г7 sh b2ki) + a2k2(r2 cos b2k2 — Г6kik2 sinb2k2),
cos b ;ik2 — r5k i sin b i_k2),
2 2 r2
Í41 = a 1A1A2(— rg ch61A1 - гщ shbife) + a2k2{~——-
k2
F42 = aikik2(r$ chb2fe — /'in sh 62fe) + a2 k\(-7^ cos bo ко -r5fe sinb2fe), 2 k2
Í43 = (-»'in chbife - r8 shbife) + a2(r5fefe cosbife - (2 - r2) sin bife), k2
'"10 ch62fe + r8 shb2fe) + a2(r5fefe cosboko - r2 sinbofe),
F44
F46 =
a ik 2
~fe k
fe
('8 ch b2k\ - rwshbok-i) + a2(^- cosboko + r5k'i sinboko), k2 k2
Í45 = -(-''8 chbi/si — /'in sh biA'i) + a2C , '2 cosbife + r5fe sin bife), k2 k2
F47 = a ik2k 2(—ri 0 chb ik i — r8 shb ik i) + a2k 2(—r5k ik2 cosb ik2 + (2 — r2) sinb ik2), F48 = a ifek 2(—ri 0 chb2k i + r8 shb2k i) + a2k 2(—r5k ik2 cosb2k2 + r2 sinb2k2).
При проведении расчетов принималось: E = 2.185 • 105 МПа, v = 0.3, b = = 2a/3. Полученные численные результаты, частично представленные па (рис. 2— 7) (a*(x) = a(x) • h/P - безразмерный параметр напряжений, a0 = 2a/h = 10, M0 = Мнакл/Мпл - относительная масса жесткой накладки), позволяют сделать следующие выводы.
Качественная картина распределения давления вдоль области контакта (рис. 2) совпадает с распределением контактного давления при статическом иагружении. Рис. 2, а соответствует пластине с защемленными краями, а рис. 2,6- пластине, у которой один край защемлен, другой свободен. При этом кривая 1 соответствует расчету с частотой вынуждающей силы ш равной 1 Гц, кривая 2 - 1950 Гц, кривая 3 - 7000 Гц. Кроме того, па рис. 2-5: М0 = 0,1, 21/h =20.
На рис. 3 7 показаны зависимости максимальных напряжений от частоты вынуждающей гармонической силы. Здесь a0 = 2a/h = 10, b = 2a/3, кривая 1 соответствует расчету с учетом деформаций поперечного обжатия, сдвига и инерции
а' Л О"1
II
1.3 1 2.4 и
) ч -- .4
1 ] 4 3
|] II г* г 1
II 1
1,3 \ 1 2.4 1 / N 4
2.. 3
Рис. 3. Пластина с защемлеш1ыми краями
V
ч 4
/ -
/
( 3-.
11 т и
Рис. 4. Пластина с шарпирпо-опертыми краями и * 10-
I | 1
1.К.
У 1 г
к Л и
и
г - 1 -- ,
[ 3 Л г
1
\2_4 Г
1
Рис. 5. Один край пластины защемлен, другой свободен
1 зч А
)
1 1
г 1
1 Зх
1 1 к
1 1
1
Рис. 6. Пластина с защемленными краями, М0 = 10, 21/Н = 20 и*-КГ1
!
1 4 •2 4
г
и
{
/ и" \2,4
и" Г 2.4
Рис. 7. Пластина с защемленными краями, М0 = 0,1, 21/Н = 50
вращения, 2 учету обжатия и инерции вращения, 3 учету обжатия и сдвига, 4 учету одного лишь обжатия.
Относительно граничного условия (ЖЗ—ЖЗ) (рис. 3) у (ШО—ШО) (рис. 4) частота основного тона колебаний пластинки с жесткой накладкой почти в 2 раза меньше, спектр собственных частот плотнее и смещен влево.
Для граничного условия (ЖЗ—СВ) (рис. 5) по сравнению с (ЖЗ—ЖЗ) частота основного тона колебаний пластинки с накладкой почти в 2.5 раз меньше, а по сравнению с (ШО—ШО) спектр собственных частот плотнее и смещен влево. Начиная с третьей частоты собственных колебаний, которая совпадает со второй для граничного условия (ЖЗ—ЖЗ), спектры собственных частот для граничных условий (ЖЗ—СВ) и (ЖЗ— ЖЗ ¡совпадают.
Учет деформаций поперечного сдвига и инерции вращения мало влияет на результаты при малых толщинах пластин (рис. 3, 7).
Увеличение относительной массы жесткой накладки понижает частоту основного тона колебаний пластинки с накладкой. Понижаются и все остальные собственные частоты, то есть весь спектр собственных частот смещается влево (рис. 3, 6).
1,0 0,5
Г л 2
1, г Г V > 4
— -V 1
\ у
V. / 3
ИЛ -ВЛ -a.fi -0,4 -0,1 0,0 О2 0.4 ал О.Я 1,0 -1,0 -ОВ -0£ -04 -0,1 0,0 0,1 0,4 0£ 0£ 1,0
Рис. 8. Пластина с защемленными краями, а0 = 2 Ж*(х)
0.10
-1.0 -0,8 -0.6 -0.4 -02 0.0 0,2 0.4 0.« 0,Э 1.0
Рис. 9. Пластина с защемленными краями, а0 = 12
Уменьшение относительной толщины пластинки уплотняет спектр собственных частот (рис. 3. 7).
Пренебрежение деформациями сдвига завышает значение собственных частот. Это завышение незначительно для низших частот и существенно для высших.
При определении частоты основного тона колебаний инерцию вращения можно не учитывать: пренебрежение инерций вращения при определении второй и последующих собственных частот колебаний пластинки с жесткой накладкой приводит к погрешностям порядка 200 300 Гц.
Задачу определения контактных напряжений при частотах, достаточно далеких от резонансных, можно решать с учетом одного лишь поперечного обжатия пластины, пренебрегая как сдвигом, так и инерцией вращения.
При увеличении частоты колебаний от нуля до - частоты основного тона уровень напряжений также повышается. Существует такие ш > <¿1, при которых уровень напряжений значительно ниже статического.
Видно, что для различных граничных условий в целях уменьшения амплитуды контактных напряжений можно управлять спектром собственных частот колебаний пластины с накладкой путем изменения относительной массы накладки Мо
и (или) относительной толщины пластины, так же как и для пластины с защемленными краями (см. рис. 3. 6. 7) [1].
5. Формы колебаний пластинки
Нами исследовано также влияние размера и массивности накладки на прогиб пластинки при установившихся вынужденных колебаниях
2а—Ь
(ж) = к'»"(х)+/ * - * ж й '■
—Ь
Формы колебаний пластинки при различных частотах для малой жесткой накладки и большой накладки для пластины (Мо = 01, 2//Л. = 20) с защемленными краями показаны на рис. 8, 9 для параметра прогиба Ж *(ж) = Ж (ж) ■ 109/Р. На рис. 8, 9 кривая 1 соответствует расчету с частотой вынуждающей силы ш, равной 1500 Гц, 2 3500 Гц, 3 4500 Гц, 4 ' 9500 Гц, 5 11000 Гц, 6 17000 Гц, 7 19000 Гц.
Подтверждено, что когда частота вынуждающей силы близка к г-й собственной частоте, форма вынужденных колебаний пластинки совпадает с собственной формой г-го порядка. Другими словами, вынужденные колебания пластинки с жесткой накладкой почти точно воспроизводят форму одного из собственных колебаний пластинки. При увеличении размера накладки спектр собственных частот колебаний пластинки со накладкой смещается вправо и уплотняется, поэтому уменьшение размера жесткой накладки увеличивает количество собственных форм. С увеличением частоты прогиб срединной поверхности пластины уменьшается.
Summary
Yu.G. Konoplev, S.A. Kuznetsuv, A.A. Sachenkuv, M.A. Tochkasova. Investigation of Contact Interaction of a Rectangular Plate with a Hard Cover Plate under Harmonic Vibrations.
The article is devoted to the determination of the stresses arising between a rectangular plate and a hard cover plate, and the deflection of the median surface of the plate under steady forced vibrations. An analytical solution of the problem is obtained, and numerical experiments are made. It is investigated how accounting of the transverse shear deformation and the rotational inertia of the plate, the position and massiveness of the cover plate, and the boundary conditions influence the distribution of the contact stresses and the spectrum of natural frequencies.
Key words: contact problem, influence function (Green's function), vibrations.
Литература
1. Кузнецов С.А., Точкасова M.A Контактное взаимодействие пластины и штампа при гармонических колебаниях // Труды Матом, центра им. Н.И. Лобачевского. Казань: Изд-во Казан, матем. о-ва, 2007. Т. 36. С. 125 128.
2. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек. М.: Наука, 1972. 432 с.
3. Артюхин Ю.П., Kapac.ee С.Н. Применение уточненной теории оболочек при решении контактных задач // Теория оболочек с учетом поперечного сдвига. Казань: Изд-во Казап. уп-та, 1977. С. 132 153.
4. Попов Г.Я., Толкачев В.М. Проблема контакта жестких тел с тонкостенными элементами // Изв. АН СССР. МТТ. 1980. 4. С. 192 206.
5. Кузнецов O.A. Неосесимметричпая контактная задача для топкой пластины, лежащей па упругом основании, при впецептрешгом положении штампа // Механика сплошных сред: Тез. докл. Респ. пауч.-техп. копф. Наб. Челпы. 1982. С. 105.
Поступила в редакцию 17.11.10
Коноплев Юрий Геннадьевич доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Кузнецов Сергей Аркадьевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: skoalQksu.ru
Саченков Андрей Александрович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
Точкасова Мария Анатольевна аспирант кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.
E-mail: maria tochMmail.ru
