Применение полиномов специального вида в задачах о колебаниях прямоугольных и секторальных пластин Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)

УДК 539.3

ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В ЗАДАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И СЕКТОРАЛЬНЫХ ПЛАСТИН

© Д.П.Голоскоков

В статье приводятся теоретические решения задач о поперечных колебаниях прямоугольных и секторальных пластин. Решения строятся в форме функционального ряда по специальным орто-нормированным полиномам, удовлетворяющим однородным граничным условиям. Рассмотрены числовые примеры расчета вынужденных колебаний пластин, жестко защемленных по контуру. Получены формулы собственных частот.

Ключевые слова: колебания, ортонормированные полиномы, прямоугольная пластина, секторальная пластина, частоты собственных колебаний.

Применение специальных ортонормирован-ных полиномов, удовлетворяющих однородным краевым условиям, в задачах о статическом изгибе прямоугольных и секторальных пластин (гладких и оребренных) при различных краевых условиях подробно исследовано в монографии Д.П.Голоскокова и П.Г.Голоскокова [1]. Там же дается универсальный метод построения многочисленных систем специальных ортонормиро-ванных полиномов с квазиортогональными первыми и вторыми производными, удовлетворяющих различным однородным граничным условиям. В настоящей статье предлагается методика решения задач о колебаниях тонких прямоугольных пластин и пластин в форме кругового сектора с использованием указанных полиномов специального вида, удовлетворяющих однородным граничным условиям.

1. Колебания прямоугольных пластин

Классическая задача об изгибе прямоугольных тонких плит с жестко заделанными краями продолжает привлекать внимание исследователей. Как отмечено в монографии [1], полное решение задачи об изгибе защемленной по контуру прямоугольной плиты с произвольным отношением сторон при действии равномерно распределенной нагрузки впервые в литературе было дано И.Г.Бубновым. Впоследствии эта задача рассматривалась многими отечественными учеными

- С.П.Тимошенко, Б.Г.Галеркиным, П.Ф.Папко-вичем, Г. А.Гринбергом, Я.С.Уфляндом,

Ю.В.Репманом, Я.Л.Лунцем и рядом других исследователей.

Главную трудность в практическом использовании методов, предложенных для ее решения, составляет громоздкость численных расчетов. В монографии [1] на примере задачи об изгибе прямоугольной тонкой плиты, защемленной по двум противоположным кромкам, развивается метод, позволяющий существенно уменьшить

объем вычислений и получить простые приближенные формулы для определения основных величин. В настоящей статье этот метод распространяется на динамические задачи теории тонких плит.

Рассмотрим упругое равновесие плоской однородной анизотропной пластинки постоянной толщины к, имеющей в плане размеры -а < — <а, -Ь <ц<Ь . Введем безразмерные координаты

х = —, х| =±1, у = —, у| =±1.

а '—=±а ^ Ь 1г]=±Ь

Предположим, что в общем случае пластина не является ортотропной, но имеет в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости.

Примем срединную плоскость недеформиро-ванной пластины за плоскость ху; ось 2 направим в сторону ненагруженной внешней плоскости, как показано на рис.1. Интенсивность внешней нагрузки, действующей на пластину, обозначим q (t, х, у) . Эта нагрузка распределена по плоским поверхностям и нормальна к срединной плоскости в недеформированном ее состоянии. Объемными силами пренебрегаем.

Обозначим через к толщину пластинки, а через ^ (t, х, у) прогиб срединной плоскости.

Как известно, прогиб срединной поверхности м (t, х, у) пластинки, лежащей на сплошном упругом основании, удовлетворяет уравнению

д4 ^ дх4

4Д16 а д w Д11 Ь дхъду

2 (Д12 + 2Д66) а2 д4V

Д,

4 Д26 а

11 3 ^4

д4V

Д11 Ь дхду

ука4 д2V Д дґ2

Ка

Ь дх ду

Д22 а4 54V

Дії Ь4

(і)

5у 4

Д

-V

=—д (,х, у).

'11 ^11 ^11

Здесь Д11 и Д22 - жесткости изгиба соответственно вокруг осей у и х; Д16 и Д26 - побочные жесткости; Д66 - жесткость кручения;

Д12: Д22 =v1 и Д12: Дп =v2 - приведенные коэффициенты Пуассона; Я = Км - реакция основания в данной точке пластины, К - коэффициент постели, у - плотность материала пластины.

Если пластина ортотропна и направления осей х и у совмещены с главными направлениями упругости, то

Д11 = Д^ Д16 = Д26 = 0 Д22 = Д2 ,

Д-

Д =-

■ 2Д66 = У1Д2 Е%

2Дк =У 2 Д1

, Д2 =■

е2 и3

2 Дк = Дз,

Д = ^12 И

> и и —

Д = -

Ек

ои = а=■

12 (1 -V2 )12 2 (1 + у)'

Задача определения прогибов и напряжений в однородной пластине, изгибаемой какими-либо усилиями, сводится к интегрированию уравнения (1) при определенных граничных и начальных условиях.

Будем считать, что пластина защемлена по контуру, т.е. при х = ±1 и у = ±1. Тогда граничные условия на защемленных кромках имеют вид

дн дх

= 0- Ну=±1= 0 £

ду

= 0.

у=±1

м (x, У, t ) = ЕЕ^т,п (t )т {ХЖ (у) (2)

т=0 п=0

где Ик (х) , Ик (у) - система ортонормированных

полиномов, удовлетворяющих однородным условиям вида

К (±1) = К '(±1) = о (3)

а Жтп (t) - пока неизвестные функции, определяемые из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть получена, например, с помощью метода Бубнова-Галеркина. Отметим, что решение в форме (2) точно удовлетворяет всем граничным условиям на контуре пластины. Подставим выражение (2) в уравнение (1) и выполним процедуру метода Бубнова-Галеркина. В результате получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций

^т,п (t) :

ЕЕ

8 ь + 4Д6 а + 2((12 + 2Д

О , Ь „ +--------- ~т, г,П, . +------------------------

у,5 ,,Р Д11 Ь 1,Р У5

4Д26 а і

+-26—г п. „т.. +-

Д11 Ь

з і,р у,. 2

Оц ь ,Р У,5

Ка4 - " 8. 8 . W +

О 1 ,р у,5 и11 1, J

Д11

(4)

= ^д„. () = 0,1,2,”‘

Д11

12(1 -у1у2) 2 12(1 -у1у2) * 12

Д1, Д2 и Дк - жесткости изгиба и кручения для главных направлений упругости, или главные жесткости; Е1, Е2 и 012 - модули Юнга и сдвига для главных направлений. В случае изотропной пластины Е = Е2 = Е, v1 = v2 = V,

Здесь

+1 Л2

ь. = 1

-1 +1 Л4

-1 +1 л3

л % (у)

% (у)dУ, % (у )dУ, % (у )dУ,

-1

+1

=1

лИк (у)

% (у)dУ,

[1, к = 5,

8к =1

,5 [0, к Ф 5;

+1 +1

= //» ( • х,у) (х) (у)<Му,

-1 -1

Отсюда, как частный случай, получаем а) для ортотропной пластины

В соответствии с методом Л.В.Канторовича приближенное решение уравнения (1) будем искать в форме

ЕЕ

і=0 у=0 |

8,. „Ь,.„ +

2Д а2

а „а. +

2 і, Р У ,5

+

Ь 8. Д2 а4 Ка4

У, 5 і, Р 2 Ы 1\.Ы _ _

+--------8 „8,

Д1 Ь4

Д

Wi

4

.taL5 5 dWi,j

D "'p J dt2

=Dqps (t)’p,s =0’1,2’-

б) для изотропной пластины

5 b + 2—- a a.

j.* ".p ь2 '■ p J,s

7o а

+j.* ".p b4

Ка

5 5 .

D ". p J,s

W

(6)

dt2

-ш2 W,, = qp,s (t)

yh

* yha

б) для ортотропной пластины

bp, pD1 + 2D3 bs ap. pa * + bs D bjr + Ka 4

Q2 =

p.*

yha4

в) для изотропной пластины

bp.p + 2 a2 ap. pa*.* + b* £ ^

Q2 =

p .*

D + Ka4

/

yha

4

Решение уравнения (7) легко может быть получено. например. методом вариации произвольных постоянных

Wps (t) = C1 sin (шp.t) + C2 cos (ш„ t) +

+-

1

Í

sin(Qp./)qp * (x)cos(Qp.*x)dT -

phQ p.* L 0

t

(Q p / ) qp.* (T)sin (Q p.* T)d T

- cos

+1*215. 5. 1.=

Д ',р 1,5 ^2 [

а4

= ДЦр,5 (t) Р,!< = 0,1,2,‘--

Системы дифференциальных уравнений (4)-(6) в первом приближении можно преобразовать в системы отдельных дифференциальных уравнений, если ввести предположение об ортогональности первых и вторых производных полиномов Нк (у), т.е. принять

_[акк, к = ^ , = [ькк, к = 5

ак5 = 1 П 7 Ф к5 = 1 „ ,

[ 0, к Ф 5; [ 0, к Ф 5;

ть = 0, к Ф 5; п*5 = 0, к Ф 5; причем равенства тк5 = пь = 0 выполняются точно при к = 5 в силу нечетности подынтегральной функции на симметричном интервале интегрирования.

В этом случае будем иметь дифференциальное уравнение

<12Ж „ .....

(7)

Константы С1 и С2 находятся из начальных условий

w

, dw = wo (x. У). ~T

= v0 (x. У)

W I = dWps

pД=o Wp.*. dt

= v

p .* ’

М ,5 = Ц М0 (^ у )Кр (х )К5 (у )^хФ ,

-1 -1 +1 +1

ур ,5 = П ^ (^ у )кр (х ) (у )<ь4у 1

-1 -1

В частности, если начальные условия нулевые, т.е. м0 = 0 и у0 = 0, легко видеть С1 = 0,

С2 = 0 и

W,,. (t )=

sln (ш r.-t ) q,., (T)cos (шT)d T

- cos

t

(Q pJ ) qp .* (T)sin (Q p .* T)d T __________o__________________________

YhQ

где через rap s обозначен квадрат собственной

частоты колебаний пластины, причем

а) для анизотропной пластины

bp,pD11 + 2 (D12 + 2D66 ap,pas,s + bs,sD22 + Ka4

Покажем теперь, как определить систему полиномов Ик (5) ( 5 = х, 5 = у ), удовлетворяющих

условиям (3). Эти полиномы строятся на основе полиномов Якоби следующим образом [1]. Пусть (5) - п -ый ненормированный полином

Якоби, который определяется по формуле Род-рига

2n!

в+n

Х(1 + 5) [(1 - 5ГП (1 + 5)

Через Р^0'р) (5) обозначим п -ый нормированный с весом

р(5 ) = (1 - 5 )а(1 + 5 )Р, а>-1, р>-1 полином Якоби, т.е.

4

2

t =0

t =0

n

| Рт ’Р) (5)Рп(“,Р) (5)р(5)Л5 = 8„

(8)

Связь между нормированными Рп^а р) (5) и ненормированными .па’Р)( 5) полиномами Якоби устанавливается формулой [1]

Р(,Р) (5)= И{а’Р).(а,Р)(5) ,

п \/ п п V / *

N (а,р) = [(( + а + Р + 1)Г( + 1)Г( + а+р +1) 12 п [ 2а+р+1 Г( + а + 1)Г(и + р +1) [

где Г (5) - Гамма-функция или Эйлеров интеграл второго рода [2].

Если а = р, то есть р(5) = (1 - 52) , то полиномы с этим весом называются ультрасфериче-скими. Частными случаями ультрасферических полиномов при а = р = 0 и а = Р = -1/2 являются классические полиномы Лежандра и Чебышё-ва соответственно.

Построим систему полиномов, удовлетворяющих однородным условиям (3). Обозначим

через (5)} систему ортонормированных

полиномов с весом р( 5 )с( 5), где 0(5) пока неизвестно

{ № (5(5)р(5)°(5)^5 = 5т,п . (9)

-1

Из формул (8) и (9) непосредственно следует соотношение

*п“''М=[<Ф)Р Р.К”(5). (10)

устанавливающее связь между Р( (5) и

*Г’(5 ).

Очевидно, если принять [0(5)] 2 = (1 - 52) , то в соответствии с (10) полиномы

*Г>(5) = (1 - 52 )2 Рп'- "1(5) . будут удовлетворять требованиям (3).

В нашем случае в качестве полиномов кк (5) выбираем ультрасферические полиномы *к44^(5), как "наилучшие". "Наилучшей системой" полиномов является та система, которая имеет наименьшие отклонения от ортогональности для своих первых и вторых производных [1].

Приведем несколько первых полиномов, удовлетворяющих условиям (3)

*04'4)(5) = ^ (1 - 52 )

16

И(4;4)(. ) = -

16

(4;4) (.) = ^3 • 5 • 11

I

32

. (4;4) ( ) 3л/743

%2 1 (. ) =

(4;4)(. ) = ^5 •7 •11 32

%34;4 (. ) = И44;4)(. ) = И54;4)(. ) =

(11.2 -1)1 - .2) ;

■5(3.2 -3) - 52) ;

(4;4)(. ^ 3У711 17

128

(65.4 - 26.2 +1)1 - 52 )2;

5(4 -10.2 +1)-2)2;

(4;4)( ) = 3^5 • 7-11 -13-19 5 = 128 1.2. Числовой пример

Пусть требуется рассчитать вынужденные колебания изотропной пластины: размеры в плане а = 4 м, Ь = 2 м, толщина к = 0.012 м, модуль Юнга Е = 2 -1011 Па, коэффициент Пуассона V = 0.3 , плотность у = 7800 кг/м3. Упругое основание отсутствует - К = 0 . Поперечная нагрузка - д = д0 х, д0 = 1000 Па.

Рис.3. Поверхность пластины при ґ = 3

Результаты расчета представлены на рис.2-5 в виде графиков прогибов и изгибающих моментов в различные моменты времени. В ряде (2) удерживалось по три члена (т, п = 0,1,2) по х и по у соответственно.

2. Колебания секторальных пластин Полагаем, что пластина с цилиндрической анизотропией является одновременно и орто-тропной, причем плоскостями упругой симмет-

рии являются все радиальные плоскости, проходящие через ось анизотропии. Как обычно, примем полюс анизотропии - точку пересечения оси анизотропии и срединной плоскости пластины -за начало цилиндрической системы координат р, &, г (рис.6). Ось 2 направим по оси анизотропии, ось х - полярную ось - произвольно, в срединной плоскости.

Рис.6. Секторальная пластина.

В этой системе координат нормальное перемещение пластинки по классической теории описывается уравнением [1]

Д

д4 V 2 д3 V

Л

+ДО

+2Д

дг г дг:

^ 1 д4 V 1 дw 1 д2 V Л

г4 дО4 г3 дг г2 дг2

1 д3 V

г3 дгдО2

д4 V

гО 1 г2 дг2дО2

Л

\~2 (А, + Д.э}

1 д2 V

г дО2 = Я4 д (ґ, г, О),

-уИЯ

г = -Р

Я

д2 V дґ2

(11)

Здесь у - плотность, И - толщина пластинки; Я - наружный радиус; Дг и ДО - изгибные жесткости вокруг осей О иг ; 2Дк = ДгО - vэ Дг - крутильная жесткость;

Е%

Д„ =

До=-

Еэ%

12(1 -Vг v8)’ О 12(1 -Vг v8)

ОХ

12

Ег, Еэ - модули Юнга для растяжения-сжатия в радиальном направлении г и в тангенциальном направлении &; Vг, vэ - главные коэффициенты Пуассона ЕгVg = EgVг; О - модуль сдвига для главных направлений г и &; д ^, г, &) - интенсивность нормальной нагрузки, распределенной по внешней поверхности.

Изгибающие Мг, М& и крутящие Нг&, Н&г моменты, перерезывающие силы Ыг, N3 (см. рис.6) и напряжения вычисляются по нормальному перемещению пластинки по известным формулам [1].

Пусть пластина имеет форму кругового сектора, ограниченного радиусами & = ±&0 и дугой р = Я . Пластина жестко заделана по контуру.

Прогиб пластины будем искать в виде

V = ЕЕWm,n (ґ) /т (г )*п (О),

т=0 п=0

(12)

8т =1Л/т (г)/ (г)Лг ^

0 г I ’

1, т = 5,

г................................... I и, т Ф 5.

п=0 т=0

+2ДгЕ^т,п (ҐКА,у -

т=0 п=0

да

(14)

(15)

где Жтп () - пока неизвестные функции, определяемые с помощью процедуры Бубнова-Галеркина; Гп (&) - система ортонормированных полиномов, удовлетворяющих условиям

Рп (±&0 ) = К (±&0 ) = 0, 5п,5 =

+ &0 [ 1 п = 5

={ рп <ад <&)" ^<&)={0,

/т (г) - ортонормированные полиномы, удовлетворяющие условиям

/ (0) = г: (0) = 0, /я (1) = (1) = 0, (13)

причем,

1 и0

Ь. = 1 ^(4)(О)^ (О)Л О,

-»0 + О0

ак. = -| Ъ'(&№ (О)ЛО,

-О0

^ к ,5 = | г/к"(г )/"(г ^

0

11

^ к ,5 = |(г ) /1 (г )Лг , г

0

1

Пт,, =| г/т (г )/, (г )Лг , (16)

0

1 +О0

д,,. (ґ)=1 1 д(^г,О)/ (г)Е. (О)гЛгЛО. (17)

Следовательно, выражение (12) для прогиба автоматически удовлетворяет краевым условиям на защемленном контуре пластины.

Применим процедуру Бубнова-Галеркина к уравнению (11) - подставим выражение прогиба (12) в уравнение (11), затем умножим полученное уравнение на выражение г/1 (г).Р. (&) ИгИ& и

проинтегрируем по г от 0 до 1 и по & от -&0 до +&0. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций Жтп (t)

да

Дг Е^т,1 ^)Хт,, +

т=0

/да да

+Д&|Е к., <t )Ьп„,+Е 1 <t )ц.

При этом учтены формулы

|г/т(4) (г)/, (г)ёг + 21/ш (г) / (г)ёг =

0 0

= |г/т" (г)/," (гУг.

0

I \ /т (г)/, (г )ф -\-frn (г)/, (г )ф=

0 г 0 г

1 1

=1 т/: (г) /'(г )Иг.

0г

В качестве полиномов /т (г) и Гп (&) возьмем полиномы специального вида, удовлетворяющие однородным граничным условиям жесткого защемления, построенные на основе полиномов Якоби [1], причем в качестве полиномов Гп (&) будем использовать полиномы кп (у)

5ь = | кк (у )* (у )иу={0 к Ф5.

•’ >0, к Ф 5. (18)

Нк (±1) = кк' (±1) = 0. Преобразованием переменных

у=■&• у|&=±&0 =±1 р> к (у)

в формулах (15) и (17) находим

-2(&+ Дг&)Е^,п (), 1 +

п=0

да И(t)

+Я4 ук Е -1 Пт,, = Я4 д,, 1 (t).

т=0 Ш

Здесь приняты обозначения

Т\70

Ьк.= 1 ^(О^ (О)л О =

-О0

1 +г

= ОГ 1 Ик" (у)И "(у )лу

О0 -1

+ О0

ак,. = - 1 К (О)^ (О)Л О:

-О0

1 +г

= О21 Ик' (у)И '(у )dУ,

Оп 1

0 -9

1 -1-1

q,,(t) = &\\q((,r ,y)f (r) (y)rdrdy .

0 -1

Система (14) немного упрощается, если ввести предположение о квазиортогональности первых и вторых производных используемых полиномов (13) и (18), то есть, если приближенно считать [1]

ь. = •

\ak, k = 5,

К

0, к Ф 5, . [ 0, к Ф 5,

\Хк. к = 5. ^ . к = 5.

[ 0, к Ф 5, ^к.5 [ 0, к Ф 5.

В этом случае будем иметь вместо (14)

“ И2Жт . (t) д^ (t)

Еп ■--------+ АМ^ = .А ; (19)

/_^'1т,, ,2 ^Л>, 1”,, 1 7 ’ ' '

т=0 И Ук

где введено обозначение

ДК + Д&(,, +^-,,- 2а1,1),

, j=-

+

R4 ук

2Dr,aj,j (,,, - 1)

(20)

R4 ук

D R4 ук

да

К «■+^,,), j (t )■

да

hZ(, (- 4a», j),»(t )-

(21)

n=0

+2Ццm,,^^ (t)U

4i,j (t)

вид

, j =

D [X,.,, + b}} +ц,.,,.(1 + 2aj,j)- 4aj,j ]

R4 ук

или (21) будут однородными. Ищем решение в форме гармонических функций, свойственных малым упругим колебаниям

Wm,n (t) = ,n sin (^ + a) . (22)

Подстановка (22) в (19) или (21) дает следующие системы однородных алгебраических уравнений - полная система

-ю2Уп V

\m,, m

+

D

R4ук l п=о

У(Хm,i + Mm,¿ )Vm

+

да

У(Ь . - 4a . )V

L^\ n, j n, j) ,,;

(23)

n=0

+2ЕЕ^т,,ап,Ут,п Г = 0,

т=0п=0 [

упрощенная система (предположение о квазиортогональности первых и вторых производных полиномов)

-ю2Уп V . + А V = 0.

^ \m,i m, j , ,j i, j

(24)

К сожалению, полиномы /т (г) не являются ортогональными с весом г на отрезке [0,1], поэтому из-за наличия интегралов (16) при т Ф і в системе (14), упрощенная система (19) не распадается на отдельные дифференциальные уравнения относительно искомых функций Wm п (Ґ) .

В частности, для изотропной пластины имеем

ЕИ3

Дг = ДО= ДгО= О = —--------^

г 8 12 (1 -V2)

и система уравнений (14) принимает вид

Л Х,У ( Ґ ) ,

На практике, конечно, решаются усеченные системы уравнений - ограничиваются определенным числом членов в разложении (12) (например, сохраняем М членов по координате г и N членов по координате &). Как известно, однородные системы уравнений (23) или (24) могут иметь ненулевые решения лишь в случае, когда их определители равны нулю. В результате приходим к алгебраическому уравнению (М х N) -

ой степени относительно ю2 - уравнению частот, которое позволяет найти М х N отличающихся по абсолютной величине собственных частот

®1, Ю2, * * ", ЮМxN .

Приведем некоторые результаты вычислений для секторальной пластины в форме квадранта

m=0 n=0 J Ук

Для изотропной плиты формула (20) имеет

S0 = — J, защемленной по контуру.

Если ограничиться в разложении (2) только одним первым членом

" - Woo (t )fo (r )F0 (S), для квадрата частоты ra2 получим 147 (4S4 + 9 ) D

ю2 =-

$4

R4 ук’

2.2. Числовые примеры

В качестве первого примера рассмотрим задачу об определении собственных частот колебаний изотропной пластинки в форме кругового сектора. В этом случае системы уравнений (19)

или, при S0 = 4

ю2 =

588(п4+57б) D п4 R4 ук

ю

63,7571 D J ук

R2

m=0

m=0

m=0

n=0

При удержании четырех членов ряда (по два по каждой переменной)

М N

м = ЕЕ Мтп () /т (г К (&), М = 1, N = 1 ,

т=0 п=0

получим четыре частоты - по упрощенной системе (24)

92,4494 Д Я2 Ууй ’

44,1924 Д ®1 — Я2 ‘1^~,

172,0820 Д

ю.

Я \ уй ’

по полной системе (23) 49,4796 Д

ю.

Я2

148,5525 ІД

ю„

399,0750 Д Я2 \ уИ

95,6772 |Д

Я" \уИ’

384,3066 Д ' уИ

110,6816 Д

ю3

Я2

199,3223 /Д

ю

133,4357 Д у уИ'

Я2

Я

\уИ' 6 Я

434,3775 [Д Я2 V уИ

344,1500 Д

"У уИ'

832,7378 Д

1553,942 Д

. ю9 --

Я2 \уй' 9 Я2 \уй

Полная система (23) при М = N = 2 дает

49,0779

89,1827 Д

ю1 -■

Я2

ю

ю

110,0392 Д

у И ’

Д

уИ ’ Д уИ ’

Я2 \ уИ

143,3159 [Д

Я2

186,8562

Я2

332,3745

Я2

ю

ю

Я2

281,4870 Д Я2 ]]уИ:

735,5037

Я2

1480,492 Д

\ у И

Я2

Я£ Цук' 4 Я"

При удержании девяти членов ряда [М = N = 2) по упрощенной системе (24) получим

_ 41,5496 Д _ 78,1014 Д Ю _ Я2 >/ уй ’ “2 _ Я2 \ук ’

Как видим, первая частота основного тона надежно определяется из полной системы (23) уже при М = 1, N = 1 (погрешность по сравнению со случаем М = 3, N = 3 составляет 1,3%

( 48,8245 Д^

ю1 --

Я2

; из-за ограниченности объе-

ма статьи мы не приводим все 16 частот, полученных в этом случае). Использование гипотезы о квазиортогональности первых и вторых производных не оправдывает себя, тем более что существенного упрощения системы эта гипотеза не дает.

В качестве второго примера рассчитаем вынужденные колебания этой пластины при следующих данных: радиус Я = 2 м, толщина к = 0.012 м, модуль Юнга Е = 2 • 1011 Па, коэффициент Пуассона V = 0.3, плотность р = 7800 кг/м3. Поперечная нагрузка - д = 1000 Па.

ю7 -

ю5 -

ю7 -

Рис.7. Прогиб при О = 0; ґ = 30

Рис.8. Поверхность пластины при ґ = 30

Рис.9. Изгибающий момент Mr при t = 30

Рис.10. Изгибающий момент М9 при t = 30

Результаты расчета представлены на рис.7-10 менную г : . = 2г -1, -1 < . < 1, 0 < г < 1. Обрав виде графиков прогибов и изгибающих момен- зуем весовую функцию тов в момент времени ґ = 30. В ряде (12) удерживалось по три члена (, п = 0,1,2) по г и по О соответственно.

В заключение приведем несколько первых мированных полиномов с этим весом полиномов, удовлетворяющих однородным граничным условиям (13)

/0 (г ) = ^г 2 (1 - г )2;

/ (г) = 2л/6 (7г - 2)г2 (1 - г)2 ;

/2 (г ) = л/210 (г 2 - 8г + 1)г 2 (1 - г )2;

/3 (г) = 2^6 (г3 - 180г2 + 54г - 4)г2 (1 - г)2 ;

/4 (г) = 3л/7й (143г4 - 220г3 + 110г2 - 20г +1) х хг2 (1 - г)2.

В этом случае в качестве полиномов /к (г) выбираем полиномы /к4,1) (г) , построенные по 2 полиномам Якоби Рп^4’^(5). Введем новую пере-

p(r)<r(r) = re 4 (1 - r)“ 4 и обозначим через {/ja’p)(r)} систему ортонор-

I гв-4 (1 - г Г4 /(-'’'(г) ¿'»'(г )Ит = 5 тп,

0

где полиномы

/М) (г) = г2 (1 - г)2л/2а+р+1 р(а,в (2г -1), п = 0,1,2".

При а = 4, р = 1 указанные полиномы будут ортогональны на [0,1] с весом -1 .

1. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. - СПб.: СПГУВК, 2008. - 254 с.

Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: Учеб. для вузов. - СПб.: Питер, 2004. - 539 с.

THE APPLICATION OF A SPECIAL TYPE OF POLYNOMIALS IN THE PROBLEMS ABOUT THE OSCILLATIONS OF RECTANGULAR AND SECTORIAL PLATES

D.P.Goloskokov

In this article the theoretical solutions of problems on cross-section fluctuations of rectangular and sectorial plates are presented. These solutions are built in the form of a functional number on the special orthonormal polynomials satisfying to homogeneous boundary conditions. Numerical examples of calculation of the compelled fluctuations of the plates rigidly jammed on a contour are considered. Formulas of own frequencies are received.

Key words: oscillatuions, orthonormal polynomials, rectangular plate, sectoral plate, frequencies of own fluctuations.

Голоскоков Дмитрий Петрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.

E-mail: [email protected]