CC BY
50
ВЕСТНИК ТГГПУ. 2010. №3(21)
УДК 539.3
ПРИМЕНЕНИЕ ПОЛИНОМОВ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА В ЗАДАЧАХ О КОЛЕБАНИЯХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ И СЕКТОРАЛЬНЫХ ПЛАСТИН
© Д.П.Голоскоков
В статье приводятся теоретические решения задач о поперечных колебаниях прямоугольных и секторальных пластин. Решения строятся в форме функционального ряда по специальным орто-нормированным полиномам, удовлетворяющим однородным граничным условиям. Рассмотрены числовые примеры расчета вынужденных колебаний пластин, жестко защемленных по контуру. Получены формулы собственных частот.
Ключевые слова: колебания, ортонормированные полиномы, прямоугольная пластина, секторальная пластина, частоты собственных колебаний.
Применение специальных ортонормирован-ных полиномов, удовлетворяющих однородным краевым условиям, в задачах о статическом изгибе прямоугольных и секторальных пластин (гладких и оребренных) при различных краевых условиях подробно исследовано в монографии Д.П.Голоскокова и П.Г.Голоскокова [1]. Там же дается универсальный метод построения многочисленных систем специальных ортонормиро-ванных полиномов с квазиортогональными первыми и вторыми производными, удовлетворяющих различным однородным граничным условиям. В настоящей статье предлагается методика решения задач о колебаниях тонких прямоугольных пластин и пластин в форме кругового сектора с использованием указанных полиномов специального вида, удовлетворяющих однородным граничным условиям.
1. Колебания прямоугольных пластин
Классическая задача об изгибе прямоугольных тонких плит с жестко заделанными краями продолжает привлекать внимание исследователей. Как отмечено в монографии [1], полное решение задачи об изгибе защемленной по контуру прямоугольной плиты с произвольным отношением сторон при действии равномерно распределенной нагрузки впервые в литературе было дано И.Г.Бубновым. Впоследствии эта задача рассматривалась многими отечественными учеными
- С.П.Тимошенко, Б.Г.Галеркиным, П.Ф.Папко-вичем, Г. А.Гринбергом, Я.С.Уфляндом,
Ю.В.Репманом, Я.Л.Лунцем и рядом других исследователей.
Главную трудность в практическом использовании методов, предложенных для ее решения, составляет громоздкость численных расчетов. В монографии [1] на примере задачи об изгибе прямоугольной тонкой плиты, защемленной по двум противоположным кромкам, развивается метод, позволяющий существенно уменьшить
объем вычислений и получить простые приближенные формулы для определения основных величин. В настоящей статье этот метод распространяется на динамические задачи теории тонких плит.
Рассмотрим упругое равновесие плоской однородной анизотропной пластинки постоянной толщины к, имеющей в плане размеры -а < — <а, -Ь <ц<Ь . Введем безразмерные координаты
х = —, х| =±1, у = —, у| =±1.
а '—=±а ^ Ь 1г]=±Ь
Предположим, что в общем случае пластина не является ортотропной, но имеет в каждой точке одну плоскость упругой симметрии, параллельную срединной плоскости.
Примем срединную плоскость недеформиро-ванной пластины за плоскость ху; ось 2 направим в сторону ненагруженной внешней плоскости, как показано на рис.1. Интенсивность внешней нагрузки, действующей на пластину, обозначим q (t, х, у) . Эта нагрузка распределена по плоским поверхностям и нормальна к срединной плоскости в недеформированном ее состоянии. Объемными силами пренебрегаем.
Обозначим через к толщину пластинки, а через ^ (t, х, у) прогиб срединной плоскости.
Как известно, прогиб срединной поверхности м (t, х, у) пластинки, лежащей на сплошном упругом основании, удовлетворяет уравнению
д4 ^ дх4
4Д16 а д w Д11 Ь дхъду
2 (Д12 + 2Д66) а2 д4V
Д,
4 Д26 а
11 3 ^4
д4V
Д11 Ь дхду
ука4 д2V Д дґ2
Ка
Ь дх ду
Д22 а4 54V
Дії Ь4
(і)
5у 4
Д
-V
=—д (,х, у).
'11 ^11 ^11
Здесь Д11 и Д22 - жесткости изгиба соответственно вокруг осей у и х; Д16 и Д26 - побочные жесткости; Д66 - жесткость кручения;
Д12: Д22 =v1 и Д12: Дп =v2 - приведенные коэффициенты Пуассона; Я = Км - реакция основания в данной точке пластины, К - коэффициент постели, у - плотность материала пластины.
Если пластина ортотропна и направления осей х и у совмещены с главными направлениями упругости, то
Д11 = Д^ Д16 = Д26 = 0 Д22 = Д2 ,
Д-
Д =-
■ 2Д66 = У1Д2 Е%
2Дк =У 2 Д1
, Д2 =■
е2 и3
2 Дк = Дз,
Д = ^12 И
> и и —
Д = -
Ек
ои = а=■
12 (1 -V2 )12 2 (1 + у)'
Задача определения прогибов и напряжений в однородной пластине, изгибаемой какими-либо усилиями, сводится к интегрированию уравнения (1) при определенных граничных и начальных условиях.
Будем считать, что пластина защемлена по контуру, т.е. при х = ±1 и у = ±1. Тогда граничные условия на защемленных кромках имеют вид
дн дх
= 0- Ну=±1= 0 £
ду
= 0.
у=±1
м (x, У, t ) = ЕЕ^т,п (t )т {ХЖ (у) (2)
т=0 п=0
где Ик (х) , Ик (у) - система ортонормированных
полиномов, удовлетворяющих однородным условиям вида
К (±1) = К '(±1) = о (3)
а Жтп (t) - пока неизвестные функции, определяемые из системы обыкновенных дифференциальных уравнений, которая может быть получена, например, с помощью метода Бубнова-Галеркина. Отметим, что решение в форме (2) точно удовлетворяет всем граничным условиям на контуре пластины. Подставим выражение (2) в уравнение (1) и выполним процедуру метода Бубнова-Галеркина. В результате получим бесконечную систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций
^т,п (t) :
ЕЕ
8 ь + 4Д6 а + 2((12 + 2Д
О , Ь „ +--------- ~т, г,П, . +------------------------
у,5 ,,Р Д11 Ь 1,Р У5
4Д26 а і
+-26—г п. „т.. +-
Д11 Ь
з і,р у,. 2
Оц ь ,Р У,5
Ка4 - " 8. 8 . W +
О 1 ,р у,5 и11 1, J
Д11
(4)
= ^д„. () = 0,1,2,”‘
Д11
12(1 -у1у2) 2 12(1 -у1у2) * 12
Д1, Д2 и Дк - жесткости изгиба и кручения для главных направлений упругости, или главные жесткости; Е1, Е2 и 012 - модули Юнга и сдвига для главных направлений. В случае изотропной пластины Е = Е2 = Е, v1 = v2 = V,
Здесь
+1 Л2
ь. = 1
-1 +1 Л4
-1 +1 л3
л % (у)
% (у)dУ, % (у )dУ, % (у )dУ,
-1
+1
=1
лИк (у)
% (у)dУ,
[1, к = 5,
8к =1
,5 [0, к Ф 5;
+1 +1
= //» ( • х,у) (х) (у)<Му,
-1 -1
Отсюда, как частный случай, получаем а) для ортотропной пластины
В соответствии с методом Л.В.Канторовича приближенное решение уравнения (1) будем искать в форме
ЕЕ
і=0 у=0 |
8,. „Ь,.„ +
2Д а2
а „а. +
2 і, Р У ,5
+
Ь 8. Д2 а4 Ка4
У, 5 і, Р 2 Ы 1\.Ы _ _
+--------8 „8,
Д1 Ь4
Д
Wi
4
.taL5 5 dWi,j
D "'p J dt2
=Dqps (t)’p,s =0’1,2’-
б) для изотропной пластины
5 b + 2—- a a.
j.* ".p ь2 '■ p J,s
7o а
+j.* ".p b4
Ка
5 5 .
D ". p J,s
W
(6)
dt2
-ш2 W,, = qp,s (t)
yh
* yha
б) для ортотропной пластины
bp, pD1 + 2D3 bs ap. pa * + bs D bjr + Ka 4
Q2 =
p.*
yha4
в) для изотропной пластины
bp.p + 2 a2 ap. pa*.* + b* £ ^
Q2 =
p .*
D + Ka4
/
yha
4
Решение уравнения (7) легко может быть получено. например. методом вариации произвольных постоянных
Wps (t) = C1 sin (шp.t) + C2 cos (ш„ t) +
+-
1
Í
sin(Qp./)qp * (x)cos(Qp.*x)dT -
phQ p.* L 0
t
(Q p / ) qp.* (T)sin (Q p.* T)d T
- cos
+1*215. 5. 1.=
Д ',р 1,5 ^2 [
а4
= ДЦр,5 (t) Р,!< = 0,1,2,‘--
Системы дифференциальных уравнений (4)-(6) в первом приближении можно преобразовать в системы отдельных дифференциальных уравнений, если ввести предположение об ортогональности первых и вторых производных полиномов Нк (у), т.е. принять
_[акк, к = ^ , = [ькк, к = 5
ак5 = 1 П 7 Ф к5 = 1 „ ,
[ 0, к Ф 5; [ 0, к Ф 5;
ть = 0, к Ф 5; п*5 = 0, к Ф 5; причем равенства тк5 = пь = 0 выполняются точно при к = 5 в силу нечетности подынтегральной функции на симметричном интервале интегрирования.
В этом случае будем иметь дифференциальное уравнение
<12Ж „ .....
(7)
Константы С1 и С2 находятся из начальных условий
w
, dw = wo (x. У). ~T
= v0 (x. У)
W I = dWps
pД=o Wp.*. dt
= v
p .* ’
М ,5 = Ц М0 (^ у )Кр (х )К5 (у )^хФ ,
-1 -1 +1 +1
ур ,5 = П ^ (^ у )кр (х ) (у )<ь4у 1
-1 -1
В частности, если начальные условия нулевые, т.е. м0 = 0 и у0 = 0, легко видеть С1 = 0,
С2 = 0 и
W,,. (t )=
sln (ш r.-t ) q,., (T)cos (шT)d T
- cos
t
(Q pJ ) qp .* (T)sin (Q p .* T)d T __________o__________________________
YhQ
где через rap s обозначен квадрат собственной
частоты колебаний пластины, причем
а) для анизотропной пластины
bp,pD11 + 2 (D12 + 2D66 ap,pas,s + bs,sD22 + Ka4
Покажем теперь, как определить систему полиномов Ик (5) ( 5 = х, 5 = у ), удовлетворяющих
условиям (3). Эти полиномы строятся на основе полиномов Якоби следующим образом [1]. Пусть (5) - п -ый ненормированный полином
Якоби, который определяется по формуле Род-рига
2n!
в+n
Х(1 + 5) [(1 - 5ГП (1 + 5)
Через Р^0'р) (5) обозначим п -ый нормированный с весом
р(5 ) = (1 - 5 )а(1 + 5 )Р, а>-1, р>-1 полином Якоби, т.е.
4
2
t =0
t =0
n
| Рт ’Р) (5)Рп(“,Р) (5)р(5)Л5 = 8„
(8)
Связь между нормированными Рп^а р) (5) и ненормированными .па’Р)( 5) полиномами Якоби устанавливается формулой [1]
Р(,Р) (5)= И{а’Р).(а,Р)(5) ,
п \/ п п V / *
N (а,р) = [(( + а + Р + 1)Г( + 1)Г( + а+р +1) 12 п [ 2а+р+1 Г( + а + 1)Г(и + р +1) [
где Г (5) - Гамма-функция или Эйлеров интеграл второго рода [2].
Если а = р, то есть р(5) = (1 - 52) , то полиномы с этим весом называются ультрасфериче-скими. Частными случаями ультрасферических полиномов при а = р = 0 и а = Р = -1/2 являются классические полиномы Лежандра и Чебышё-ва соответственно.
Построим систему полиномов, удовлетворяющих однородным условиям (3). Обозначим
через (5)} систему ортонормированных
полиномов с весом р( 5 )с( 5), где 0(5) пока неизвестно
{ № (5(5)р(5)°(5)^5 = 5т,п . (9)
-1
Из формул (8) и (9) непосредственно следует соотношение
*п“''М=[<Ф)Р Р.К”(5). (10)
устанавливающее связь между Р( (5) и
*Г’(5 ).
Очевидно, если принять [0(5)] 2 = (1 - 52) , то в соответствии с (10) полиномы
*Г>(5) = (1 - 52 )2 Рп'- "1(5) . будут удовлетворять требованиям (3).
В нашем случае в качестве полиномов кк (5) выбираем ультрасферические полиномы *к44^(5), как "наилучшие". "Наилучшей системой" полиномов является та система, которая имеет наименьшие отклонения от ортогональности для своих первых и вторых производных [1].
Приведем несколько первых полиномов, удовлетворяющих условиям (3)
*04'4)(5) = ^ (1 - 52 )
16
И(4;4)(. ) = -
16
(4;4) (.) = ^3 • 5 • 11
I
32
. (4;4) ( ) 3л/743
%2 1 (. ) =
(4;4)(. ) = ^5 •7 •11 32
%34;4 (. ) = И44;4)(. ) = И54;4)(. ) =
(11.2 -1)1 - .2) ;
■5(3.2 -3) - 52) ;
(4;4)(. ^ 3У711 17
128
(65.4 - 26.2 +1)1 - 52 )2;
5(4 -10.2 +1)-2)2;
(4;4)( ) = 3^5 • 7-11 -13-19 5 = 128 1.2. Числовой пример
Пусть требуется рассчитать вынужденные колебания изотропной пластины: размеры в плане а = 4 м, Ь = 2 м, толщина к = 0.012 м, модуль Юнга Е = 2 -1011 Па, коэффициент Пуассона V = 0.3 , плотность у = 7800 кг/м3. Упругое основание отсутствует - К = 0 . Поперечная нагрузка - д = д0 х, д0 = 1000 Па.
Рис.3. Поверхность пластины при ґ = 3
Результаты расчета представлены на рис.2-5 в виде графиков прогибов и изгибающих моментов в различные моменты времени. В ряде (2) удерживалось по три члена (т, п = 0,1,2) по х и по у соответственно.
2. Колебания секторальных пластин Полагаем, что пластина с цилиндрической анизотропией является одновременно и орто-тропной, причем плоскостями упругой симмет-
рии являются все радиальные плоскости, проходящие через ось анизотропии. Как обычно, примем полюс анизотропии - точку пересечения оси анизотропии и срединной плоскости пластины -за начало цилиндрической системы координат р, &, г (рис.6). Ось 2 направим по оси анизотропии, ось х - полярную ось - произвольно, в срединной плоскости.
Рис.6. Секторальная пластина.
В этой системе координат нормальное перемещение пластинки по классической теории описывается уравнением [1]
Д
д4 V 2 д3 V
Л
+ДО
+2Д
дг г дг:
^ 1 д4 V 1 дw 1 д2 V Л
г4 дО4 г3 дг г2 дг2
1 д3 V
г3 дгдО2
д4 V
гО 1 г2 дг2дО2
Л
\~2 (А, + Д.э}
1 д2 V
г дО2 = Я4 д (ґ, г, О),
-уИЯ
г = -Р
Я
д2 V дґ2
(11)
Здесь у - плотность, И - толщина пластинки; Я - наружный радиус; Дг и ДО - изгибные жесткости вокруг осей О иг ; 2Дк = ДгО - vэ Дг - крутильная жесткость;
Е%
Д„ =
До=-
Еэ%
12(1 -Vг v8)’ О 12(1 -Vг v8)
ОХ
12
Ег, Еэ - модули Юнга для растяжения-сжатия в радиальном направлении г и в тангенциальном направлении &; Vг, vэ - главные коэффициенты Пуассона ЕгVg = EgVг; О - модуль сдвига для главных направлений г и &; д ^, г, &) - интенсивность нормальной нагрузки, распределенной по внешней поверхности.
Изгибающие Мг, М& и крутящие Нг&, Н&г моменты, перерезывающие силы Ыг, N3 (см. рис.6) и напряжения вычисляются по нормальному перемещению пластинки по известным формулам [1].
Пусть пластина имеет форму кругового сектора, ограниченного радиусами & = ±&0 и дугой р = Я . Пластина жестко заделана по контуру.
Прогиб пластины будем искать в виде
V = ЕЕWm,n (ґ) /т (г )*п (О),
т=0 п=0
(12)
8т =1Л/т (г)/ (г)Лг ^
0 г I ’
1, т = 5,
г................................... I и, т Ф 5.
п=0 т=0
+2ДгЕ^т,п (ҐКА,у -
т=0 п=0
да
(14)
(15)
где Жтп () - пока неизвестные функции, определяемые с помощью процедуры Бубнова-Галеркина; Гп (&) - система ортонормированных полиномов, удовлетворяющих условиям
Рп (±&0 ) = К (±&0 ) = 0, 5п,5 =
+ &0 [ 1 п = 5
={ рп <ад <&)" ^<&)={0,
/т (г) - ортонормированные полиномы, удовлетворяющие условиям
/ (0) = г: (0) = 0, /я (1) = (1) = 0, (13)
причем,
1 и0
Ь. = 1 ^(4)(О)^ (О)Л О,
-»0 + О0
ак. = -| Ъ'(&№ (О)ЛО,
-О0
^ к ,5 = | г/к"(г )/"(г ^
0
11
^ к ,5 = |(г ) /1 (г )Лг , г
0
1
Пт,, =| г/т (г )/, (г )Лг , (16)
0
1 +О0
д,,. (ґ)=1 1 д(^г,О)/ (г)Е. (О)гЛгЛО. (17)
Следовательно, выражение (12) для прогиба автоматически удовлетворяет краевым условиям на защемленном контуре пластины.
Применим процедуру Бубнова-Галеркина к уравнению (11) - подставим выражение прогиба (12) в уравнение (11), затем умножим полученное уравнение на выражение г/1 (г).Р. (&) ИгИ& и
проинтегрируем по г от 0 до 1 и по & от -&0 до +&0. В результате получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения функций Жтп (t)
да
Дг Е^т,1 ^)Хт,, +
т=0
/да да
+Д&|Е к., <t )Ьп„,+Е 1 <t )ц.
При этом учтены формулы
|г/т(4) (г)/, (г)ёг + 21/ш (г) / (г)ёг =
0 0
= |г/т" (г)/," (гУг.
0
I \ /т (г)/, (г )ф -\-frn (г)/, (г )ф=
0 г 0 г
1 1
=1 т/: (г) /'(г )Иг.
0г
В качестве полиномов /т (г) и Гп (&) возьмем полиномы специального вида, удовлетворяющие однородным граничным условиям жесткого защемления, построенные на основе полиномов Якоби [1], причем в качестве полиномов Гп (&) будем использовать полиномы кп (у)
5ь = | кк (у )* (у )иу={0 к Ф5.
•’ >0, к Ф 5. (18)
Нк (±1) = кк' (±1) = 0. Преобразованием переменных
у=■&• у|&=±&0 =±1 р> к (у)
в формулах (15) и (17) находим
-2(&+ Дг&)Е^,п (), 1 +
п=0
да И(t)
+Я4 ук Е -1 Пт,, = Я4 д,, 1 (t).
т=0 Ш
Здесь приняты обозначения
Т\70
Ьк.= 1 ^(О^ (О)л О =
-О0
1 +г
= ОГ 1 Ик" (у)И "(у )лу
О0 -1
+ О0
ак,. = - 1 К (О)^ (О)Л О:
-О0
1 +г
= О21 Ик' (у)И '(у )dУ,
Оп 1
0 -9
1 -1-1
q,,(t) = &\\q((,r ,y)f (r) (y)rdrdy .
0 -1
Система (14) немного упрощается, если ввести предположение о квазиортогональности первых и вторых производных используемых полиномов (13) и (18), то есть, если приближенно считать [1]
ь. = •
\ak, k = 5,
К
0, к Ф 5, . [ 0, к Ф 5,
\Хк. к = 5. ^ . к = 5.
[ 0, к Ф 5, ^к.5 [ 0, к Ф 5.
В этом случае будем иметь вместо (14)
“ И2Жт . (t) д^ (t)
Еп ■--------+ АМ^ = .А ; (19)
/_^'1т,, ,2 ^Л>, 1”,, 1 7 ’ ' '
т=0 И Ук
где введено обозначение
ДК + Д&(,, +^-,,- 2а1,1),
, j=-
+
R4 ук
2Dr,aj,j (,,, - 1)
(20)
R4 ук
D R4 ук
да
К «■+^,,), j (t )■
да
hZ(, (- 4a», j),»(t )-
(21)
n=0
+2Ццm,,^^ (t)U
4i,j (t)
вид
, j =
D [X,.,, + b}} +ц,.,,.(1 + 2aj,j)- 4aj,j ]
R4 ук
или (21) будут однородными. Ищем решение в форме гармонических функций, свойственных малым упругим колебаниям
Wm,n (t) = ,n sin (^ + a) . (22)
Подстановка (22) в (19) или (21) дает следующие системы однородных алгебраических уравнений - полная система
-ю2Уп V
\m,, m
+
D
R4ук l п=о
У(Хm,i + Mm,¿ )Vm
+
да
У(Ь . - 4a . )V
L^\ n, j n, j) ,,;
(23)
n=0
+2ЕЕ^т,,ап,Ут,п Г = 0,
т=0п=0 [
упрощенная система (предположение о квазиортогональности первых и вторых производных полиномов)
-ю2Уп V . + А V = 0.
^ \m,i m, j , ,j i, j
(24)
К сожалению, полиномы /т (г) не являются ортогональными с весом г на отрезке [0,1], поэтому из-за наличия интегралов (16) при т Ф і в системе (14), упрощенная система (19) не распадается на отдельные дифференциальные уравнения относительно искомых функций Wm п (Ґ) .
В частности, для изотропной пластины имеем
ЕИ3
Дг = ДО= ДгО= О = —--------^
г 8 12 (1 -V2)
и система уравнений (14) принимает вид
Л Х,У ( Ґ ) ,
На практике, конечно, решаются усеченные системы уравнений - ограничиваются определенным числом членов в разложении (12) (например, сохраняем М членов по координате г и N членов по координате &). Как известно, однородные системы уравнений (23) или (24) могут иметь ненулевые решения лишь в случае, когда их определители равны нулю. В результате приходим к алгебраическому уравнению (М х N) -
ой степени относительно ю2 - уравнению частот, которое позволяет найти М х N отличающихся по абсолютной величине собственных частот
®1, Ю2, * * ", ЮМxN .
Приведем некоторые результаты вычислений для секторальной пластины в форме квадранта
m=0 n=0 J Ук
Для изотропной плиты формула (20) имеет
S0 = — J, защемленной по контуру.
Если ограничиться в разложении (2) только одним первым членом
" - Woo (t )fo (r )F0 (S), для квадрата частоты ra2 получим 147 (4S4 + 9 ) D
ю2 =-
$4
R4 ук’
2.2. Числовые примеры
В качестве первого примера рассмотрим задачу об определении собственных частот колебаний изотропной пластинки в форме кругового сектора. В этом случае системы уравнений (19)
или, при S0 = 4
ю2 =
588(п4+57б) D п4 R4 ук
ю
63,7571 D J ук
R2
m=0
m=0
m=0
n=0
При удержании четырех членов ряда (по два по каждой переменной)
М N
м = ЕЕ Мтп () /т (г К (&), М = 1, N = 1 ,
т=0 п=0
получим четыре частоты - по упрощенной системе (24)
92,4494 Д Я2 Ууй ’
44,1924 Д ®1 — Я2 ‘1^~,
172,0820 Д
ю.
Я \ уй ’
по полной системе (23) 49,4796 Д
ю.
Я2
148,5525 ІД
ю„
399,0750 Д Я2 \ уИ
95,6772 |Д
Я" \уИ’
384,3066 Д ' уИ
110,6816 Д
ю3
Я2
199,3223 /Д
ю
133,4357 Д у уИ'
Я2
Я
\уИ' 6 Я
434,3775 [Д Я2 V уИ
344,1500 Д
"У уИ'
832,7378 Д
1553,942 Д
. ю9 --
Я2 \уй' 9 Я2 \уй
Полная система (23) при М = N = 2 дает
49,0779
89,1827 Д
ю1 -■
Я2
ю
ю
110,0392 Д
у И ’
Д
уИ ’ Д уИ ’
Я2 \ уИ
143,3159 [Д
Я2
186,8562
Я2
332,3745
Я2
ю
ю
Я2
281,4870 Д Я2 ]]уИ:
735,5037
Я2
1480,492 Д
\ у И
Я2
Я£ Цук' 4 Я"
При удержании девяти членов ряда [М = N = 2) по упрощенной системе (24) получим
_ 41,5496 Д _ 78,1014 Д Ю _ Я2 >/ уй ’ “2 _ Я2 \ук ’
Как видим, первая частота основного тона надежно определяется из полной системы (23) уже при М = 1, N = 1 (погрешность по сравнению со случаем М = 3, N = 3 составляет 1,3%
( 48,8245 Д^
ю1 --
Я2
; из-за ограниченности объе-
ма статьи мы не приводим все 16 частот, полученных в этом случае). Использование гипотезы о квазиортогональности первых и вторых производных не оправдывает себя, тем более что существенного упрощения системы эта гипотеза не дает.
В качестве второго примера рассчитаем вынужденные колебания этой пластины при следующих данных: радиус Я = 2 м, толщина к = 0.012 м, модуль Юнга Е = 2 • 1011 Па, коэффициент Пуассона V = 0.3, плотность р = 7800 кг/м3. Поперечная нагрузка - д = 1000 Па.
ю7 -
ю5 -
ю7 -
Рис.7. Прогиб при О = 0; ґ = 30
Рис.8. Поверхность пластины при ґ = 30
Рис.9. Изгибающий момент Mr при t = 30
Рис.10. Изгибающий момент М9 при t = 30
Результаты расчета представлены на рис.7-10 менную г : . = 2г -1, -1 < . < 1, 0 < г < 1. Обрав виде графиков прогибов и изгибающих момен- зуем весовую функцию тов в момент времени ґ = 30. В ряде (12) удерживалось по три члена (, п = 0,1,2) по г и по О соответственно.
В заключение приведем несколько первых мированных полиномов с этим весом полиномов, удовлетворяющих однородным граничным условиям (13)
/0 (г ) = ^г 2 (1 - г )2;
/ (г) = 2л/6 (7г - 2)г2 (1 - г)2 ;
/2 (г ) = л/210 (г 2 - 8г + 1)г 2 (1 - г )2;
/3 (г) = 2^6 (г3 - 180г2 + 54г - 4)г2 (1 - г)2 ;
/4 (г) = 3л/7й (143г4 - 220г3 + 110г2 - 20г +1) х хг2 (1 - г)2.
В этом случае в качестве полиномов /к (г) выбираем полиномы /к4,1) (г) , построенные по 2 полиномам Якоби Рп^4’^(5). Введем новую пере-
p(r)<r(r) = re 4 (1 - r)“ 4 и обозначим через {/ja’p)(r)} систему ортонор-
I гв-4 (1 - г Г4 /(-'’'(г) ¿'»'(г )Ит = 5 тп,
0
где полиномы
/М) (г) = г2 (1 - г)2л/2а+р+1 р(а,в (2г -1), п = 0,1,2".
При а = 4, р = 1 указанные полиномы будут ортогональны на [0,1] с весом -1 .
1. Голоскоков Д.П., Голоскоков П.Г. Метод полиномов в задачах теории тонких плит. - СПб.: СПГУВК, 2008. - 254 с.
Голоскоков Д.П. Уравнения математической физики. Решение задач в системе Maple: Учеб. для вузов. - СПб.: Питер, 2004. - 539 с.
THE APPLICATION OF A SPECIAL TYPE OF POLYNOMIALS IN THE PROBLEMS ABOUT THE OSCILLATIONS OF RECTANGULAR AND SECTORIAL PLATES
D.P.Goloskokov
In this article the theoretical solutions of problems on cross-section fluctuations of rectangular and sectorial plates are presented. These solutions are built in the form of a functional number on the special orthonormal polynomials satisfying to homogeneous boundary conditions. Numerical examples of calculation of the compelled fluctuations of the plates rigidly jammed on a contour are considered. Formulas of own frequencies are received.
Key words: oscillatuions, orthonormal polynomials, rectangular plate, sectoral plate, frequencies of own fluctuations.
Голоскоков Дмитрий Петрович - доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики Санкт-Петербургского государственного университета водных коммуникаций.
E-mail: dpg1954@mail.ru
