Научная статья на тему 'Упругопластический динамический изгиб слоисто-волокнистых пластин при действии нагрузок взрывного типа'

Упругопластический динамический изгиб слоисто-волокнистых пластин при действии нагрузок взрывного типа Текст научной статьи по специальности «Механика»

CC BY
93
32
Поделиться
Ключевые слова
АДАЧА УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОГО ДИНАМИЧЕСКОГО ИЗГИБА / ПЛАСТИНЫ / УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ИЗГИБ / СЛОИСТО-ВОЛОКНИСТЫЕ ПЛАСТИНЫ / КИРХГОФОВСКАЯ ПЛАСТИНА / МЕТОД РУНГЕ-КУТТА / ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД / ДИНАМИКА ПЛАСТИН

Аннотация научной статьи по механике, автор научной работы — Немировский Ю. В., Янковский А. П.

Сформулирована задача упругопластического динамического изгиба слоисто-волокнистых пластин. Разработан оригинальный метод численного интегрирования поставленной задачи, основанный на обобщении методов Рунге-Кутта. Проведены конкретные расчеты по определению предельного динамического состояния прямоугольных удлиненных изотропных, армированных однослойных и трехслойных пластин постоянной и переменной толщины и исследовано динамическое поведение таких конструкций до появления вторичной пластичности в фазах композиции.

Похожие темы научных работ по механике , автор научной работы — Немировский Ю.В., Янковский А.П.,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Упругопластический динамический изгиб слоисто-волокнистых пластин при действии нагрузок взрывного типа»

УДК 539.3:539.4

Ю.В. Немировский, А.П. Янковский

УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИЙ ДИНАМИЧЕСКИЙ ИЗГИБ СЛОИСТО-ВОЛОКНИСТЫХ ПЛАСТИН ПРИ ДЕЙСТВИИ НАГРУЗОК ВЗРЫВНОГО ТИПА

Сформулирована задача упругопластического динамического изгиба слоисто-волокнистых пластин. Разработан оригинальный метод численного интегрирования поставленной задачи, основанный на обобщении методов Рунге—Кутта. Проведены конкретные расчеты по определению предельного динамического состояния прямоугольных удлиненных изотропных, армированных однослойных и трехслойных пластин постоянной и переменной толщины и исследовано динамическое поведение таких конструкций до появления вторичной пластичности в фазах композиции.

Введение. Конструктивные элементы в виде тонких пластин составляют основу многих защитных ограждений и ответственных элементов судостроительной, машиностроительной и авиационной техники, объектов стройиндустрии. При воздействии взрывных нагрузок высокой интенсивности их повреждаемость определяет возможность дальнейшего функционирования рассматриваемых объектов. Поэтому проблема динамического расчета таких элементов конструкций является одной из важнейших в механике деформируемого твердого тела. Большинство существующих на данный момент решений основано на модели идеального жесткопластического тела. Их обзор и анализ приведены в [1, 2 и др.]. Существенным недостатком таких решений является то, что мерой повреждаемости жесткопластической конструкции служит остаточный прогиб, по которому нельзя судить о степени разрушения материала изделия. Кроме того, в [3] авторами на примере упругопластической динамики стержней показано: приближение реальной диаграммы деформирования материала конструкции к жесткопластической схеме приводит к значительному (иногда в разы) завышению величины остаточного прогиба и уменьшению периода времени, за который достигается максимум модуля прогиба конструкции.

Проблема упругопластического изгиба при оценке повреждаемости до сих пор в основном рассматривалась применительно к однородным изотропным балкам и плитам [4, 5]. Особенностью этих исследований является то, что в них изучалась неупругая динамика конструкций лишь на начальном этапе деформирования — первичная пластичность и последующая разгрузка в течение времени, равном 1—3 периодам собственных упругих колебаний конструкции. Однако в [3] показано, что вторичная и третичная пластичность, а также начальное разрушение могут появиться и после нескольких десятков периодов собственных упругих колебаний. Искусственное же занижение характерного периода времени, в течение которого изучается процесс колебаний, может приводить к неоправданному завышению амплитуд и интенсивностей взрывных нагрузок, выдерживаемых конструкцией [3].

В последние десятилетия в инженерной практике в качестве эффективных защитных элементов используются слоистые плиты, армированные высокопрочными и высокомодульными волокнами. Исследование их неупругого деформирования находится пока в зачаточном состоянии [6]. Целью настоящей работы является разработка общего подхода к анализу динамического упругопластического деформирования слоисто-волокнистых пластин при произвольных структурах армирования и метода интегрирования соответствующей начально-краевой задачи.

Постановка задачи упругопластической динамики слоисто-волокнистых пластин. Будем исследовать упругопластический поперечный изгиб кирхгофовской пластины переменной толщины 2Н, состоящей из нечетного числа армированных слоев, расположенных симметрично относительно среднего слоя: именно, к среднему слою с обеих сторон примыкают два слоя одинаковой толщины с одинаковыми структурами армирования и фазовыми материалами; к внешним поверхностям этих слоев примыкают еще два одинаковых слоя и т.д. Предполагается, что по толщине каждый слой имеет регулярную и квазиоднородную структуру, скольжение слоев друг по другу невозможно, так как слои склеены или спаяны друг с другом по поверхностям соприкосновения и при деформации работают совместно. Тепловое воздействие не учитывается, прогибы считаются малыми.

Для описания нелинейно-упругого или неупругого поведения фазовых материалов используются соотношения теории упругопластических деформаций [7, 8]. Обоснованность использования этих соотношений можно подкрепить результатами исследований, проведенных в [3], где на примерах неупругой динамики стержней показано, что при нагрузках взрывного типа, не 22

вызывающих появления вторичной или третичной пластичности, конструкция колеблется по формам, близким к первой собственной форме упругих колебаний. Возникающие при этом пластические деформации малы по величине и сопоставимы с предельными упругими деформациями. Ограничиваясь исследованием динамики пластин лишь до появления вторичной или третичной пластичности, можно предположить, что при взрывных нагрузках пластины, как и стержни, будут колебаться практически неотличимо от первой собственной формы упругих колебаний, т.е. путь деформирования точек конструкции будет мало отличаться от простого и пластические деформации будут сопоставимы по модулю с предельными упругими деформациями фаз композиции, в силу чего можно обоснованно использовать деформационную теорию пластичности [9]. Кроме того, в [3] продемонстрировано, что возможно возникновение начального разрушения колеблющейся конструкции еще до появления третичной пластичности, поэтому деформационная теория может оказаться пригодной и для изучения предельного динамического состояния конструкций из некоторых типов композитных материалов, особенно для металлических пластин, армированных упруго-хрупкими волокнами (композиции типа А1-В, А1-С, Mg-B, Mg-C, А1-^ Mg-W, №-^ N1-0, Си-С и др.) и в которых пластические деформации в связующей матрице, возникающие к моменту появления начального разрушения таких волокон, будут по модулю, как правило, всего в 1,5-4 раза больше предельной упругой деформации связующего (т.е. сопоставимы с последней), так как предельная деформация волокон в таких композициях всего 2,5-5 раз больше предельной упругой деформации связующего [10].

Пластина рассматривается в прямоугольной декартовой системе координат х1 х2 г ; плоскость х1 х2 совмещена со срединной плоскостью центрального слоя (она же срединная плоскость пластины) до изгиба, а ось г перпендикулярна этой плоскости. Центральный слой будем называть «нулевым»; выше него (г > 0) последовательно располагаются слои с номерами т = 1,2,...,М , ниже (г <0) — слои с номерами т = М + 1,М + 2,...,2М (всего 2М +1 слоев, причем М-й слой является верхним, а 2М-ый слой — нижним). Каждый т-ый слой армирован N(т) семействами волокон (возможно, различной физической природы), которые уложены в плоскостях, параллельных плоскости х1 х2 (плоское армирование), или на поверхностях, расстояния между которыми по оси г изменяются пропорционально изменению толщины слоя (пространственное армирование).

Обозначим через Нт (х1, х2) > 0 аппликату границы между т-ным и (т +1 )-ым слоями (0 < т < М, НМ = Н), тогда г = -Нт < 0 будет задавать границу между (т + М )-ым и (т + М +1 )-ым слоями (1 < т < М ), а г = -Н0 < 0 — границу между центральным слоем и соседним нижним (М +1 )-ым слоем, при этом 2Н0 > 0 — толщина среднего слоя, Нт - Нт-1 > 0

— толщина т-го и (т + М )-го слоев (1 < т <М ).

Распределенная нагрузка р(х1, х2, t) действует в направлении г, поэтому при сделанных выше предположениях о структуре пластины в случае малых прогибов w( х1, х2, t) будет реализоваться поперечный изгиб конструкции. Уравнения динамического изгиба такой пластины без учета инерции вращения согласно принципу Даламбера имеют вид

Му, - внутренние силовые факторы (моменты и перерезывающие силы соответственно);

ставлены пределы; нижний индекс после запятой означает частное дифференцирование по пространственной переменной х1 или времени t соответственно; верхний индекс в скобках озна-

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(1)

где

Н М Нт Н М Нт

М М

Му = | суг& = 2 ^ | с(т)гйг (/, у = 1,2), Я = | р(х^ х2, г)& = 2 ^ | р(т)т (Н- ° 0),

Н

Н

(2)

с(т) - осредненные напряжения в композиции т-ного слоя; р^т), ркт) - объемные плотности материалов связующего и арматуры к-того семейства т-ного слоя соответственно; ю[т) - интенсивность (плотность) армирования т-того слоя волокнами к-того семейства (1 < к < N(т)). Суммирование здесь и далее производится по указанному индексу от 1 до Nт), если не про-

чает номер армированного слоя (если некоторые соотношения формально выполняются для всех слоев, то для упрощения записи далее будем опускать верхний индекс в скобках).

Осредненные напряжения с(”) в (2) выразим через напряжения в фазовых материалах т-

ного слоя (используется структурная модель армированного слоя из [11])

.(т) _ П(т)п(т)

СУ =а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+ Хакт)®кт)/Г/кт) (І,] = 1,2), = 008Ут), № = зшукт),

(3)

(т) (т) 1

где сСу , ок - напряжения в связующем и арматуре к-того семейства т-ного слоя соответственно; у(т - угол армирования т-того слоя волокнами к-того семейства, отсчитываемый от направления х1.

Предположим, что диаграммы растяжения и сжатия всех фазовых материалов совпадают и имеют линейное упрочнение. Тогда связь между напряжением ск и деформацией ек арматуры к-того семейства до начала разгрузки имеет вид [7, 11]

I Ек Єк , Єк £Єтк = Стк / Ек ;

(4)

= „( т)

^тк ^|°к|

где стк ° с^' — предел текучести материала волокон к-того семейства в т-ном слое;

Е = е(т) е = Е(т)

^к ~ -^к ’ стк “ стк

Я^к )стк + Етк (8к - 818П(Вк )етк ), 8тк <18^1 <8

текучести материала волокон — модули упругости и упрочнения материала волокон к-того семейства в т-ном слое; етк ° 8^), 8вк ° 8^%) — деформации, соответствующие пределу текучести и временному сопротивлению ст) материала волокон к-того семейства в т-ном слое.

Связь между деформациями пластины 8. и деформациями 8к волокон к-того семейства в рамках используемой структурной модели определяется соотношениями [11]

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

8к = 8ц сое2 у к +822 81п2 у к +812 81п2у к, к = N, (5)

где в силу кинематических гипотез Кирхгофа

8. = -2М,у , 7, . = 1,2 (|^ < Н). (6)

Из (4)—(6) следует выражение для напряжений в волокнах к-того семейства в т-ном слое (до начала первичной разгрузки)

) =

( ) 4 ) ** Н т- < г £ к

8ЩП (е'") г К1 + Ек) 4') *- зщп (е{") * )етт'

(7)

где

(т) _

,(т)

Нт При > Нт ;

Н(к) при Нт , < к(т) < Нт; ) = ^Ц = - . .

к т 1 к т к \р(тЯ Е(т) \р(т)

тт і (т) ^ тт к к к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Нт-1 При к*к ) £ Нт11 11

( т ) тк

т) =-^,11ооз2 укт) - ^,22зіи2 укт) - w,12sin2ykm), 1 £ к £ N(т), 0 £ т £ М;

(8)

(9)

Н(кт) > 0 аппликата границы между упругой и неупругой зонами в арматуре к-того семейства в

т-ном слое (т.е. при Нт-1 < |г| < Н(кт) волокна к-того семейства в т-ном и (т + М )-ном слоях

ведут себя упруго, а при Н(кт) < |^| < Нт — неупруго); ект — параметр искривления срединной плоскости пластины в направлении армирования волокном к-того семейства в т-ном слое.

Линейно-упругое поведение материала связующего каждого слоя согласно статической гипотезе Кирхгофа определяется законом Гука

ссй = Еа1 (8й + П8 иX сс. = Еа28ц, . = 3 - и 1 =1,2 (10)

а интенсивность деформаций 80и при этом равна [7, 8]

2 1 -V-

2

Є2 -

1 - 4п

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

1 -V

2 Є11Є22

где

3(1 -V)2 а1 = 1/(1 -V2), а2 = 1/(1 + п);

(11)

к

Е ° Е(т), V ° V1-т-1 — модуль упругости и коэффициент Пуассона связующего т-го слоя.

Нелинейно-упругое и неупругое поведение материала связующего определяется основными соотношениями теории упругопластических деформаций [7, 8], упрощенными допущением о несжимаемости материала (не меняя существа дела, учет сжимаемости при неупругом деформировании связующих материалов слоев изгибаемой пластины связан со значительными техническими трудностями и для армированной конструкции практически не влияет на результаты расчетов [12]). В случае использования диаграммы деформирования с линейным упрочнением связь между напряжениями сс. и деформациями в. за пределами линейной упругости

при отсутствии дилатации имеет вид:

С,-: =

2[ст + Е* (ви-в*)], 2 ^ 2[ст + Е* (ви-в*)] . 3 . . 12

(2вп + в.), ccj -----------3-Ч, . = 3-г’ 1 = 1,2 (13)

где ст ° с!г'я), Е* ° Е*т) — предел текучести и модуль упрочнения материала связующего т-го

3ви 4 ’ 1 3ви

= с(т) Е = Е(т)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

5 * *

слоя, известные из диаграммы деформирования [7]; в* — значение интенсивности деформаций, соответствующее ст на диаграмме деформирования; интенсивность деформаций ви в предположении о несжимаемости материала связующего каждого слоя имеет выражение [8]

ви = 4 (в11 +в11в22 +в22 +в12 )/3. (14)

Введем в рассмотрение положительные величины е0и, еи, составленные из параметров искривления w,ij срединной плоскости пластины таким же образом, как и интенсивности в0и, ви (11), (14) соответственно,

2 ^1/1.. , ,.2 Л 2

2 1 -v + v( 2 1 - 4v + v 2

w,,-----------------— w„, w,^ +w

2 \ ,11 , , ,.2 ’11 ’22 ,22

0

w22; (15)

0u y/3\3(1 -v)2 ^ 1 1 -v + v2

eU = 4(W,21 + W,11 W,22 + W,22 + W,22 )/3, (16)

тогда из соотношений (6), (11), (14)—(16) следует

B0'U) = Ne0m)(x1, О, ви = \Z\eu (x1> X2 , t). (17)

Если h( m) — аппликата границы между упругой и неупругой зонами в связующем m-ного слоя, то интенсивность напряжений

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

а(«) <стт) (Hm1 <z£h(m)), sm >Cm) (h(m) <z<Hm). (18)

В упругой зоне связующего m-го слоя интенсивность напряжений [7, 8]:

c(m) = 3G(m)e(m) = 3G(m) |z|e0m}, Gf) = 0,5E(m) /(1 + v(m}), (19)

где Gc(m) — модуль сдвига связующего. На границах z = h( m) между упругой и неупругой зонами в связующем а('™) = с”), поэтому из (19) следует

h*m) =cтm )/(3Gc(m) e(m)), (20)

откуда

'Hm при h*(m) > Hm ;

h(m) = J h*(m) при Hm- < h*(m) < Hm; (21)

Hm-1 при h*(m) <Hm-!, m = 0,1,...,M, H ° 0.

Соотношения (15), (20), (21) определяют функцию h( m) через вторые производные от прогиба.

Окончательно напряжения сС”) в связующем m-ного слоя с учетом выражений (6), (10),

(13), (17) задаются соотношениями

cCm} = -zE(m)с?”) (W,11 +v(m)w..), cCm} = -zE(m)«2m)w,. (Hm-, < |z| < h(m)); (22)

сС”) = -2[zE*(m) + sign(z)(c<m) -E*m)в*m))/e„ ](2w,„ +w,.)/3;

J (23)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

c” =-2 [zE*(m) + sign (z )(c<m) - E*m)e*m) )/eB ] w,./3 (h(m) <|z| < Hm), j = 3 -1, 1 = 1,2,

где величины aj(m), a2m) определены в (12).

Подставляя в выражения (2) соотношения (3) и учитывая представления (7), (8), (21)—(23), получим выражения для моментов до начала разгрузки через прогиб слоисто-волокнистой пластины:

т / 2 2 Л

М (Х2, *) = - 31 ЕЕ ст (^ х2; *) ^ Х2, *) - ^ х2; *)

І,У = 1,2,

(24)

где

с, = Е]Е“к—)(11т))4 Е[т)(()3-н—-1)+Ет(т)(н—-(н,-))3) +ат)[ат[

т=0 I к ё \ / \ /J

х((Нт))3 -Н;,-1) + 4[Е*— 1 (н3 -(*'—))3)/3 + Н -(*'—)2)(с(,") -Е*т)в*т 1)/еи~

= Е{Е“1”’('к”))('Г)2[Б—((Н—))3 -Н3-1) + Е——)(н3 -(*<->)) + а‘—[

(т) V(т) х

х((т)) -Н3-1) + 2[Е*т)( -(н(т)) )/3 + (н2т - (н(т)) )(”) -Е*(т)в*-))/е

=еЕ«кт)(к—)3уёЕкт)(нкт))3-н3-1)+ет—)(-(н«)3)], су,=ее|Ешкт)х

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

ст = (25)

х(—)) (”)) [Е”) (”)) - Н—-1) + Е—) (— - (й,(”)) ) + а'-) [а<”) ^(-)) - нт_1

+^(нт-(А<-))) + (н”_(|Н”)))(ст-) - е:-) в'”1)/еи ]} (у = 3 - и i = 1,2), Л—) = 1 -Е

(т) к

Д. = 3

М ( 2 \

ЕЕвк—1—%—^(е;-))(—-()) Ж1 -е?)<—>) (i,у=1,2), нч.о.

т=0 к

ект), еи, нкт), Н(т), 4т), а2т) определены в (8), (9), (12), (16), (20), (21).

Если в точке (х1, х2, г) т-ного слоя имеет место разгрузка волокон к-того семейства, то напряжения в этих волокнах равны [7, 11, 13]

ск”) =

Ек”)вк”) = Е”'е1”\ н„_1 £Ы £ Н0-°;

( ” ) >0 к

Ек ”) (

-Е”) (■

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

е(”) -е(”)) н”) < Ы < н

ек е0 к Ь ''0 ^ Т -!

где согласно второму равенству (7)

с0”) = э^п ( е0 ”) Ы )<

(т) _1_ Е(”)

тк

^тк

,(”) ’тк

н(-) < Ы < н •

5 г/0^ т-л-’

(26)

(27)

в(”) е(т) н(”) ь0к ’ е0^ "0к

значения функций в,”), ек”), Н,”) соответственно (см. (5), (8), (9», определенных в момент времени г = -) (х1, х2) начала разгрузки волокон к-того семейства в т-ном слое, который характеризуется соотношениями

е1,”'(х1,х!,4")) = 0, е!”(х1,Г2,4"))*0, (28)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

в которых следует учесть (9); при этом смешанные производные , появляющиеся в левой части неравенства (28), можно определить за счет дифференцирования по xi, х. первого уравнения (1).

Если в процессе разгрузки в точке (х1, х2) выполняются соотношения

ек-' = е0->, sign(е0-)),

,(-) к ,*

> 0 (вГ) =в:

(т ^ „( -)

0 к

, sign (в0;) )вк';*) > 0),

(29)

то в волокнах к-того семейства в т-ном слое вновь будет развиваться первичная пластичность и от равенств (26), (27) следует перейти к (7)—(9). Если же в процессе разгрузки рассматриваемых волокон выполняются соотношения

|о(-) _о(т)| = 2о(т) |о(-)| <|о(-)| при |Ы = н (х х\ (30)

|вк в0к | = 2втк , |вк |<|в0^ при Ы = нт (Х1, Х2), (30)

то на внешних поверхностях т-ного и (— + М )-ного слоев (| Ы = нт) в волокнах к-того семейства с учетом идеального эффекта Баушингера [7] достигается вторичная пластичность (противоположная по знаку первичной пластичности).

Если в точке (х1, х2) связующее разгружается (в отличие от волокон, одна часть семейств которых в данный момент времени в рассматриваемой точке может разгружаться, а другая часть — догружаться, материал связующего во всех слоях в точках с координатами |^| < Н (х1, х2 фиксированы) одновременно либо разгружается, либо догружается, что является следствием выражения для интенсивности деформаций в связующем (17)), то компоненты напряжения в нем определяются равенствами [13]

(")а«(м,й +п(т)м,.), с” =-zE(■m)a(m)w,lJ (н^ <|z| <),

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

- 2zE(т) (2м,й + м,]})/3 + 2zE(т) (2м0,й + м0,а )/3, (31)

-2zE(m) (м,у. -Мо,у-)/3, . = 3-/, / = 1,2 (Ц0т) <|z| <Ни),

где согласно (16), (23)

c(m) = - zE

СИ

с(m} СИ = с( m) 0ii

с^) (ij с =

2[zE*m) + sign(z)(sTm) -E*m)в*m))/e0u ](2w0,n +w0,jy)/3, c« =-2^zE*m) + sign(z)(sTm) -E*m)B*m))/e0]Wo,y-/3, j = 3-i, i = 1,2 (0m) <z<Ят), (32)

eu = 2VW0,11 + W0 ,11 W0 ,22 +W0,22 + W0,12 / ;

s( m) = -

0

Цт), м0,. — значения функций Цт), м,. соответственно (см. (21)), определенных в момент

времени t = t*( х1, х2) начала разгрузки связующего в точке (х1, х2) во всех слоях, который характеризуется соотношениями

* (X1, х2 , t*) = 0, ,tt (^ х2 , t*)< 0, (33) где следует учесть выражение (14).

В соотношениях (31) в точках Цт-1 < < Нт коэффициент Пуассона связующего

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

п(т) = 0,5 , что соответствует отсутствию дилатации. При задании истинного значения V1-т) в этих точках получим разрыв напряжений сС” ^ в момент t* начала разгрузки в пластической зоне связующего т-ного слоя, в которой объемное сжатие до момента t* не учитывалось.

Если в процессе разгрузки связующего в точке (х1, х2) выполняются соотношения

ешЛ^ х2 , t) = 0, ^ х2 , t)> 0 (t > К), (34)

где

еп& ° (м,11 -м0 ,11 )2 + (м,11 -М0 ,11 ) (М,22 -м0 ,22 ) + (м,22 -М0 ,22 )2 + (М,12 -М0 ,12 )2 , (35)

то в связующем вновь будет развиваться первичная пластичность и от равенств (31), (32) следует вернуться к (22), (23). Если же в процессе разгрузки связующего хотя бы для одного т-го слоя выполняется равенство

еи&( ^ х2 , ) = 2е*т)/ Нт ( ^ х2 ) (т = 0,1,..., М ), (36)

то на внешних поверхностях т-ного и (т + М )-ного слоев (| ^ = Нт) в связующем с учетом

идеального эффекта Баушингера достигается вторичная пластичность [13].

Можно выписать связь между напряжениями Ст), Ст ^ в фазах композиции и прогибом

пластины м при развитии вторичной пластичности и последующей «вторичной» разгрузке суб-структурных элементов, а также и при последующих циклах знакопеременной пластичности. Однако это выходит за рамки настоящего исследования, тем более что с увеличением числа циклов знакопеременной пластичности такая связь становится все более громоздкой.

Подставим выражения (26), (31) в равенства (3), а последние в первое соотношение (2). Тогда после вычисления интегралов получим представление для моментов при разгрузке всех или части субструктурных элементов конструкции, совпадающее с (24), где коэффициенты имеют вид

М

Сигг = 1^ ( X1, х2; М) + 1

(т > I /(т)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

т=0

E<m ((ла”>)3 -н”-1 ) + >I Н”-|

к” - н”-1Н,

'3 - н--11+е,:> ( н--нт>'

М

кт - нт-1,

+1<>(Ч->) E<->(Н”-Н”-1)[, с,. = 1]^(х1,х2;мМш—(С>) (;) х

Р \ т=0 I а

х £<-> ((а- > )3 - нт-1 )+£г> ( нт - (ца*> )3 )]+1<> (-> )2 (->)! ^-> ц с(,«=1 {к-> Н > )3 ^аг> ё E^">((н-> )3

т=0 [ а ё ^

+1<>Н->)С>£Г>(Н”-н”_1 ), с, =£]с,0,.(х1,х2;м) + 1юа->(СИН”’У х

Р \ т= 0 I а

х Ea->((>) -Н--1 ) + Ei-> (Н- - (>)^^ + ^шЬ-> (->) ((”>) 4-> (

(,=з -,,,=1,2), п,=1 (з^а-^.^ (а* )( я,-н— )2 '](ста) - к: <&>)+

т=0 I а ( 0

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

+!< >4- >1, > [« > (я!:> - 4- > ) н--(й0-> )3 )+зs,gn н - > )(ст- > - E,—> 4- > )х

х(Н— -(*0—>)2 )| + О0 (,х,,м) (,; = 1,2), Н-1 . 0.(37)

Здесь индекс а пробегает значения от 1 до N—> только для тех номеров семейств волокон —-го

слоя, в которых продолжается догрузка; индекс в пробегает значения от 1 до N—> только для тех номеров семейств волокон т-го слоя, в которых имеет место разгрузка (1 < а, р< N(т >, а^Р). При догрузке связующего коэффициенты С°1, О, в (37) имеют выра-

жения

М

С0 =1

на

а(—> E(—>

- Н—_х 1 + 4

3 E*m) | Н— -

а( т > E(т >п(—>

1(н--(>)2) |, с; = 1

'и —=0

1 (с;->-E*”'1)(н--(ц->)2)]|, с;, = 1

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

'и ' 'JJ т=0

К'

е.

-1 E*m)|я” -

,(—>

- Н—+ 2

( т >р(т >

+ (С” > - ^ ” > е* ” > )х 1

-а2 ” > И 2 2

3” > | я” -

- я”

(38)

-—(”> - E*(m> е*”>) Н” -

С(0; = 0 Н = 3 -,,, = 1,2),

п; = 0 н;=1,2), я° 0,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

совпадающие с соответствующими слагаемыми в (25); при разгрузке связующего вместо (38)

получаем

М

С,0, = 1 а(” > E

( ”>

—=0

а1—>”>

_(” >

- Н”

- Н

т-\ | 1 :3 ( Нт -

-I я— -

(” >

с0 = 0, О 0 =-2

( ( V ,,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

, с»,-!т > ^ <т > х

. с,; =Х а‘ ” > £< ” >

—=0

(2м0„ + М0,,,) 1 а(”>|"3(Н<”> - Е”>)(^Н” - (*<”>У’0

т=0

0,5а2” >

- Н

—=0

М

^(с(”> -E*”>е*— >)(я— -(а0”>)2^ , О =-2м0,;.т[;а(—> ”(E*m> -E(m>)(я— -(*0)”

Е(ат-> — Е*"> в*">)^Н" —(h0">)2 j (j = 3 — i, i = 1,2), Я-, ° 0, (39)

е

0

где функция ви определена в (32). Если не учитывается сжимаемость в упругих зонах связую-

. о

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

с,:, = 3 £ а -) е < -) (н- - н- ), з £ „<") е < -) (я„з, - н- ),

т=0 М

3

щего (v("> = 0,5 ), то коэффициенты Cj.,, Di» в (39) редуцируются к

A M r) M

ЗI an > е 1 n > (я” - н” _| /, Cij. = 3

3 "=0 3 "=0 /71 fU

| M ^ '

Ci0j = 31 а(">е("> (я" — Я"-1), C°j = 0 (j = 3 — i, i = 1,2), Я-1 ° 0, vС"> = 0,5.

3 m=0

Таким образом, до появления вторичной пластичности хотя бы в одной из фаз композиции моменты в пластине определяются равенствами (24) с учетом соотношений (25) или (37)—(40), последние же являются обобщением равенств (25).

В случае пространственного армирования тонких слоев пластины непрерывными волокнами постоянного поперечного сечения между параметрами армирования существует связь, приближенно определяемая равенством [14]:

[®к"> (Я- — Я--і)cosу"],i +[юк"> (я- — Я--і)sinук">],2 = 0 (Н-і ° 0), (41)

которое при плоском армировании редуцируется к точному соотношению

(W"> cos ук">)+(wк"> sin ук">) ,2 = 0, 1 < к < N(">, 0 < т < M. (42)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Пусть область G, занимаемая пластиной в плане, ограничена контуром Г, тогда на одной части этого контура (обозначим ее Г ) могут быть заданы граничные условия по изгибающему моменту [S]

M11n12 + M22n^ + 2M12n,n2 = Mn, n, = cos g, n2 = sin g, (x,. x2) єГр (43)

и приведенной поперечной силе Кирхгофа

Fini + F2n2 + St (Mnt ’ = Fnz . Mnx° (M22 — M,1)nin2 +

22 (44)

+M12(n, — n2 ’. Sx (Mnt ’ = —n2Mnt .1 +niMnt .2. (X1. X2 ’ єГр.

а на другой части (обозначим ее Гu) — кинематические граничные условия

^u ’ = Wn . W,1 ni + W,2 n2 =0n . (xi. X2 ’ єГu . (45)

где Mn, Fnz — изгибающий момент и приведенная поперечная сила Кирхгофа, заданные на Гp; wn, 0n — прогиб на Гu и производная от прогиба по направлению внешней нормали к

контуру, задаваемой углом g ; Sx — производная вдоль контура. (На контуре Г могут быть заданы и смешанные из (43)—(45) граничные условия, например условия свободного опирания.)

На той части контура Г (обозначим ее Гк">), на которой волокна к-го семейства m-го слоя входят в область G , необходимо задать краевые условия для интенсивностей армирования

[14]:

W" >

(Гк">) = w0">, к = 1,2,...,N(">, т = 0,1,...,M, (46)

где < — заданные на Г^т) функции.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В начальный момент времени * = *0 должны выполняться начальные условия для прогиба и его скорости

™ (х,, Х2, ^ ) = w0 (х,, Х2), w,^ (х,, Х2, ^о )= V0 (х,, Х2 ), (х,, Х2 )е О, (47)

где w0, V0 — заданные функции.

Решение задачи о динамическом изгибе армированной слоистой пластины должно удовлетворять прочностным ограничениям [7, 8, 11]

а(ит) ( х,, х2, Нт , t )£^Ст), \ъ[т) ( х,, х2, Нт , * )| <С!<т) = (с-<т), С+<т) ) , <48)

(48)

сСт) > 0, с±<т) > 0, , < к < N(т), 0 < т <М,

< т) ^ < т)

где сс — предел прочности связующего т-го слоя, равный пределу текучести с; при упругом изгибе или временному сопротивлению св-) при упругопластическом изгибе; с±<т) —

пределы прочности волокон к-го семейства т-го слоя при сжатии <-) и растяжении <+) <в сжа-

29

той зоне может возникнуть некоторая форма неустойчивости волокон, поэтому в общем случае

S-(») ^с+(m)).

Структура армирования слоев должна удовлетворять физическим неравенствам

0 <Wm) (k = 1,2,...,N(m)), Е^ <w*m) < 1 (m = 0,1,2,...,M), (49)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

к

где w*m) = const — предельно допустимая суммарная интенсивность армирования m-го слоя.

Для получения разрешающего уравнения упругопластического динамического изгиба армированных слоистых пластин и соответствующих ему граничных условий в прогибах необходимо соотношения (24) подставить в уравнения движения (1) и граничные условия (43), (44) и исключить из рассмотрения поперечные силы F. Тогда уравнение движения примет вид

2 2 ( 2 2 \

R ( X,, Д ) w,tt = p ( ^ Х2 , t) - 3 ЕЕ I ЕЕ'Cvsl ( ^ X2 ;w ) w,sl - Dj ( ^ x2; w)

3

J i=1 j=1 V s=1 l =1

(50)

(51)

а граничные условия по силовым факторам преобразуются к виду: по изгибающему моменту -(C1111 COS2 g + C1122 sin2 g + C1112 sin 2g)w,11 -(C2211 COS2 g + C2222 sin2 g + Q212 sin 2g)w,22 -

-2(C1211 cos2 g + C1222 sin2 g + C1212 sin 2g)w,12 +D11 cos2 g + D22 sin2 g + D12 sin 2g = 3Mn / 2; по приведенной силе Кирхгофа

-Е Е [Е Е CjslW,sl -Dij , jni - 2 5Т {[ ( C1122 - C1111)sin2g + 2C1112 COs2g] w,11 + i =1 j=1 V s=1 l=1 0 2

+ [( C2222 — C2211)sin2g + 2C2212 COs2g] w,22 +2[( C1222 — C1211 ) sin 2g + 2C1212 COs2g] w,12 — (52)

(D22 — D11) sin 2g — 2D12 COs 2g} = 3Fnz / 2, (X1, X2) eGp ,

где функции Mn, Fnz могут зависеть от времени t и координаты, заданной вдоль контура Г , а

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

коэффициенты Cijml, Dj имеют выражения (25) или (37)—(40) и нелинейно зависят от w,j, Hm

и параметров армирования ykm), ®km). При линейно-упругом поперечном изгибе в (25),

(37)—(39) следует принять hkm) = h(m) = h(0m) = h0m) = Hm , тогда получим линейные относительно прогиба уравнение движения (50), граничные условия (51), (52) и выражения для моментов (24).

Если толщины слоев (или, что то же самое, аппликаты границ между слоями z = Hm) и

траектории армирования (т.е. углы ykm)) каждого слоя заданы, то краевая задача (41), (46) или

(42), (46) определяет интенсивности армирования wkm) m-го слоя волокнами k-го семейства. (Краевые задачи для линейных уравнений в частных производных первого порядка (41), (42) хорошо изучены [15], поэтому не будем останавливаться на этом вопросе более подробно; отметим лишь, что уравнения (41), (42) имеют действительные характеристики, совпадающие с траекториями армирования k-го семейства m-го слоя.)

Если функции ykm), ®km), Hm известны (заданы) и удовлетворяют физическим ограничениям (49), то уравнение движения (50) замкнуто относительно прогиба w. Этому квазилинейному (в случае упругопластического изгиба) или линейному (в случае линейно-упругого изгиба) параболическому дифференциальному уравнению в частных производных (содержащему производные второго порядка по времени t и четвертого порядка по пространственным переменным xi) соответствуют нелинейные или линейные граничные (45), (51), (52) и начальные (47) условия. Решение сформулированной начально-краевой задачи упругопластического динамического изгиба слоисто-волокнистых пластин должно удовлетворять прочностным ограничениям (48).

Численный метод интегрирования начально-краевой задачи упругопластической динамики композитных пластин. Для приближенного интегрирования уравнения (50) по времени t используем обобщенные методы Рунге—Кутта [16, 17]. С этой целью уравнение (50) разделим на R и перепишем в виде системы

w,t (x, t) = v(x, t), v,t (x, t) = q(x, t) — L(x; w), (53)

где

1 (х;*>=ЩХ)I§ЙIСт(х*)№,‘'(х'')-(х**),5, д(х'')=Я х=Ы(54)

Численно систему (53) проинтегрируем с помощью двустадийного обобщенного метода Лобатто 111А — метода трапеций (наименования методов будем использовать в соответствии с принятой в [18] терминологией), имеющего второй порядка точности по х ’ где х — шаг по времени '. Согласно основной идее обобщения методов Рунге-Кутта [16, 17] этот метод применительно к системе (53) реализуется так:

*"+1 = *" +х(^1 + V)/2’ vn+1 = V" +х(д" -ЦхЩ + д^1 -Ц(х;Щ2))/2,

Щ = *" + 0■х(У1 + У2)’ W2 = *" + х(У1 + У2)/2’

VI = V" + 0-х(д" - ДхЩ + дп+1 -Ь(х;Щ2)), У2 = V" +х(д" -Ц(хЩ) + д" + -Ц))/2,

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

откуда после несложных преобразований получим

*"+1 = ЩДх)’ *" = Щ1(х)’ vn+1 = КДх), V" = VI (х)’

vn+1 = 2(*"+1 -*")/х-V"’ vn+1 = V" +х(д" -Ц(х;*") + д"+1 -Ц(х;*"+1))/2; (55)

х2 Б

(х; *"+1) + 4Я (х)*"+1 =х2 (р" + р"+1 - Б (х; *" )) + 4Я (х)(хvn + *" ), (56)

где

Б(х;*") = Я(х)Ц(х;*") = 31| §§Ст (х;*")*" (х)- Бц (х;*") I^, д"(х) = д(х’'"X

3 г=1 ] =1V ^=1 '=1 0

р"(х) = р(х,'")’ *" (х) = *(х,'")’ V"(х) = v(Х’'")’ '"+1 ='" + х, " = 0’1’2... ('о = 0); (57)

шаг по времени х>0 может быть переменным (х = хп); Щ1, Щ2, Ух, У2 — вспомогательные

функции.

Если решение на "-ом «слое» по времени известно (известны *", V"), то уравнение (56) задает решение на следующем ( п + 1)-ом «слое». Определенным недостатком уравнения (56) является то, что для вычисления его правой части необходимо применить дифференциальный оператор четвертого порядка Б(х;«) к известной функции *" (см. (56), (57)). Чтобы избежать этого дифференцирования, введем в рассмотрение функции

Рп (х) = х2Б(х;*") + 4Я(х)*", " = 0,1,2... . (58)

Тогда разрешающее уравнение (56) примет вид

х2 Б (х; *"+1) + 4Я (х )*"+1 = Р"+1 (х ), (59)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

где правая часть известна и определяется по рекуррентной формуле

Рп+1 (х) = -Рп (х) + 4Я (х)(™" + 2*" ) + х2 (Р" + Р"+1), (60)

вытекающей из сравнения (58) и правой части (56). В момент времени ' = '0 в силу начальных условий (47) из (58) получим известную функцию

Р0 (х) = х2Б(х;*0 (х)) + 4Я(х)*° (х). (61)

В частности, при нулевых начальных условиях

Р0 (х) = 0 (V0 (х) = 0, *0 (х) = 0), (62)

а из (60), (62) следует

р (х) = х2 (Р° (х) + Р1 (х)). (63)

Таким образом, для определения прогиба на (" + 1)-ом «слое» по времени необходимо проинтегрировать уравнение (59) с известной правой частью (60)—(63) при граничных условиях, которые полностью соответствуют граничным условиям исходной начально-краевой задачи. (В частности, в граничных условиях (45), (51), (52) необходимо заменить * на *’"+1 (х) .)

Уравнение (59) формально совпадает с уравнением статического упругопластического изгиба слоисто-волокнистой пластины на упругом основании. Для интегрирования граничной задачи, соответствующей уравнению (59), можно использовать известные методы статики.

22(22

Основная трудность, возникающая при решении граничной задачи для уравнения (59), заключается в ее существенной нелинейности при наличии пластических зон в фазах композиции. Для линеаризации задачи упругопластического изгиба можно использовать следующий итерационный процесс, качественно аналогичный методу переменных параметров упругости

[7]. Пусть *,|”+1 (х) — известное г-е приближение разыскиваемой функции *"+х. Тогда в (51), (52), (57) по формулам (25), (37)—(40) с учетом (8), (16), (21) определим г-ые приближения С1}'(г), Б у(г) коэффициентов С ^ , Б у , после чего вместо (59) получим линейное уравнение

т2 Б( г) (х; *(п;+11) (х )) + 4 Я (х ) *("г++11) (х ) = р"+1 (х ) (64)

и соответствующие ему линейные граничные условия (45), (51), (52), в которых (а также и в (64) с учетом (57)) следует *"+х заменить на *’(пг+11) и С^ , Бу — на приближения С^ (г), Бу(г).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В качестве начального приближения для *"+1 можно выбрать функцию

*(0+)1 (х) = *" (х) + тvn (х), (65)

получающуюся по формуле Тейлора в предположении, что на предыдущем "-ом «слое» по времени решение задачи уже известно. Авторам пока не удалось доказать сходимость такого итерационного метода, но многочисленные расчеты показывают, что он всегда сходится в смысле ограниченности нормы приближения решения и стремления к нулю нормы разности двух последовательных приближений решения при увеличении количества итераций.

При решении граничной задачи для уравнения (59) (или (64)) следует учитывать, что диаграммы деформирования фазовых материалов предполагаются кусочно-линейными. Поэтому в

точках излома этих диаграмм функции а(т) (еи), а<кт -1 (е кт)) (1 < к < N(т},0< т < М) непрерывны, но их производные испытывают разрыв. Следовательно, частные производные от коэффициентов С , Бу в (51), (52), (57) испытывают разрыв на линиях Г*, определяемых равенствами

Г*: к(т =Ит_х, к™ =Нт, к(т) = Нп_х, к(т) = Нт (1 < к < N(m)’ 0 < т <М) (66)

(так как на этих линиях испытывают разрыв производные от функций к£т) , к(т, см. (8), (21)), а значит, на линиях (66) необходимо ставить общеизвестные условия сопряжения решения [8]. Задача усложняется тем, что линии (66) изменяются при переходе от "-го «слоя» по времени 'п к следующему 'п+1 , а также при реализации итерационного процесса (64), (65). Чтобы избежать необходимости решения сопряженной задачи упругопластического изгиба при гладких структурах армирования слоев, для приближенного решения задачи целесообразно использовать энергетические методы, которые в ряде случаев за счет интегральных преобразований (интегрирование по частям, формула Грина и т.д.) позволяют избежать дифференцирования функций Су', Б у . В частности, с этой целью можно использовать метод Бубнова—Галеркина.

Для интегрирования граничной задачи (45), (51), (52), (59) (или (45), (51), (52), (64)) методом Бубнова—Галеркина, как обычно, представим решение в виде суммы [19]

*"+1 (*1, *2 ) = I Щ"+Ч (*1, *2 ) (К > 1), (67)

1=1

где (*1, х2) — базисные функции, тождественно удовлетворяющие граничным условиям на

всем контуре пластины; Щ"+1 — коэффициенты, подлежащие определению. Для прямоугольных, эллиптических (односвязных и двусвязных), круглых и кольцевых пластин, жестко защемленных по всему контуру Г, базисные функции (х1, х2) приведены в [19]. В случае прямоугольной пластины вместо (67) можно использовать разложение вида

*"+1 (*1, *2 ) = | I Щ+1 ХИ (*1 )X2; (*2 ) (К > 1, К2 > 1), (68)

г=1 у=1

где Х1г-(*1), Х2у (*2) — базисные функции, тождественно удовлетворяющие граничным условиям на противоположных сторонах прямоугольной пластины; Щ"1 — коэффициенты, подлежащие определению. Если пластина жестко защемлена по всему контуру, то при любых структурах армирования в качестве Х1г-(*1), Х2у (*2) можно использовать известные балочные функции или другие базисные функции, приведенные в [19].

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

32

В случае шарнирного опирания прямоугольной пластины (0 < x1 < с, 0 < x2 < b ) имеем граничные условия

w(0, x2) = w(c, x2) = w( Xj,0) = w( x1, b) = 0; (69)

M1l(W ) xj =0, с = M22(W )|x2 =0,b = 0 (70)

где Mii (w) определены в (24) с учетом (25), (37)—(40). В общем случае равенства (70) являются нелинейными граничными условиями по моменту. При линейно-упругом деформировании (в частности, при разгрузке всех фаз композиции) на кромках пластины моменты М, суть линейные операторы от прогиба w.

Если структура армирования каждого слоя такова, что все N(m) = 2L(m) (N(m) — четное) семейств волокон m-го слоя можно разбить на пары так, что волокна семейств, образующих пару, изготовлены из одного материала и пересекают кромки прямоугольной пластины по симметричным направлениям (= -y(2m)) с одинаковой интенсивностью (Wm- =ю2т),

l = 1,2,...,Lm\ m = 0,1,...,М ), то можно показать, что с учетом равенств (69) условия по моментам (70) эквивалентны кинематическим условиям

W,j 1 (0, x2) = W,jj (с, x2) = w,22 (xj ,0) = w^ (xj, b) = 0. (71)

Указанные типы структур существуют и достаточно разнообразны. Во-первых, к ним относятся прямолинейные структуры армирования (y^) = const). Например, при N(m) = 4: первое семейство волокон направлено вдоль x1 (y(m) = 0), второе — вдоль x2 (y(2m) =p / 2), третье и четвертое семейства — по направлениям y3m) =-y4m) = const (w3m) =w4m) = const, а интенсивности армирования первого и второго семейств могут быть непостоянными, т.е. W(m} =w(m}(x2), w(2m} =w2m}(xj)).

Во-вторых, такие структуры получаются, если в каждой паре семейств функции y21 -1 = -y2l , w2l -1 = w2l зависят только от одной переменной:

y(2m-j( x) = -y2m}(x); (72)

w2m-j( x)=wm}(x)=w2lm) /cos y2mчx), (73)

где последнее равенство является следствием условия постоянства поперечных сечений волокон (42) (или (41) при Hm - Hm-1 = const); w2(m) = const — заданные постоянные интегрирования [14]. Если Hm - Hm-1 = fm (x,) Ф const, то из (41) в случае пространственного армирования вместо (73) с учетом (72) получим

®2ы( x) = w(2m)(x) = ®2lm)/[fm (x )cos y 2m}(x)] (i = 1 или i = 2, 1 < l < Lm), 0 < m < M). (74) Для таких структур армирования в качестве базисных функций в (68) можно использовать Xj, (xj) = sin(raVc), X2j (x2) = sin(pjx2/b), i, j = 1,2,..., (75)

удовлетворяющие условиям (69), (71).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Если некоторые стороны кромки прямоугольной пластины защемлены, а другие — оперты (при выполнении на опертых кромках условий, аналогичных (72)—(74)), то также можно использовать соответствующие балочные функции для задания X1i (x1), X2j (x2) в (68).

Отметим, что разложение вида (68) при соответствующем выборе функций X1i (x1), X2 j (x2) можно использовать и в случае круглых или кольцевых пластин, а также и для пластин, занимающих в плане область в виде кругового или кольцевого сектора и др. При этом под x1 следует понимать полярный радиус, под x2 — полярный угол, а уравнение (59) и соответствующие ему граничные условия нужно переписать в полярной системе координат.

В заключение настоящего раздела кратко обсудим возможность использования еще одного обобщенного метода Рунге—Кутта для численного интегрирования задачи динамического изгиба слоисто-волокнистых пластин. Для простоты рассмотрим линейно-упругое деформирование всех фаз композиции. В этом случае Di}- ° 0 и вместо (50) получим линейное уравнение движения параболического типа

w,tt(x,t) + гкТХ)iifiiCjsl (x)w,si(x,,j = q(x,t) (t -10, x e G), (76)

3Л(Х) i=1 j=1 V s=1 l =1

где коэффициенты С^г не зависят от w,ij и определены в (25) при к(т-1 = к(т-1 = Нт , а функция д задана в (54).

Численно проинтегрировать уравнение (76) можно по-прежнему по схеме (55)—(57), где Ь, В суть линейные дифференциальные операторы, в которых ° 0 . Если ввести в рассмотрение

вспомогательную функцию Ж = (^”+1 + wn ) /2, то из (55), (56) получим следующую схему:

+1 (х) = 2Ж(х) - wn (х), уп+1 (х) = 4 (Ж(х) - wn (х))/т-\п (х);

2 2 2 ( 2 2 Л (77)

тЧЕЕ|ЕЕСа*г (х)Ж„I (х

3 i=l ]=1 V *=1 г=1 у где

рп+1/2 (х) = (рп (х) + рп+1 (х))/2 = р(х,Гп + т/2) + 0(т2). (78)

Равенства (77) формально совпадают с уравнениями одностадийного обобщенного метода Гаусса—Лежандра (метода средней точки), также имеющего второй порядок точности по т . (Единственное количественное отличие заключается лишь в том, что в методе средней точки рп+1/2 (х) = р(х,(п +т/2) . Эта функция отличается от (78) на малую величину 0(т2) порядка

точности численной схемы.) Следовательно, в линейном случае обобщенные методы средней точки и трапеций формально совпадают.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

В [17, 20] авторы подробно исследовали применимость обобщенных методов Рун-ге—Кутта (в частности, метода средней точки) для численного интегрирования задачи поперечных колебаний упругой однородной цилиндрической оболочки, описываемой линейным параболическим уравнением, содержащим, как и (76), производные от прогиба второго порядка по времени и четвертого порядка по пространственной переменной. Предполагая, что из каких-то соображений известны собственные функции начально-краевой задачи для однородного уравнения (76) (д ° 0), и дословно повторяя ход рассуждений, приведенный в [17, 20], можно

доказать спектральную устойчивость схемы (77) при рп+1/2 ° 0 и нулевых граничных условиях. (Это доказательство весьма громоздко, поэтому не будем его здесь приводить.) Из спектральной устойчивости следует устойчивость по начальным данным в энергетической норме [21]. Известно [21], что для двухслойных схем (к которым относятся схемы (55), (57), (59) и (77)), применяемых к интегрированию линейных уравнений типа (76), из устойчивости по начальным данным следует устойчивость по правой части. Следовательно, численная схема (77), а значит и схема (55), (59), устойчива при линейно-упругом деформировании фазовых материалов. Аналогично можно доказать устойчивость рассматриваемых схем и при разгрузке всех фаз композиции, когда С^г, суть известные функции переменных х1, х2 (см. (37)—(40)); при этом

2 2 2

известную функцию — ЕЕ В ,у (х) в (50) можно объединить с р (х, t) и рассматривать как

3 i=1 ]=1

фиктивную составляющую внешней распределенной нагрузки, после чего уравнение (50) редуцируется в (76), для которого схема (55), (59) устойчива.

При наличии пластических зон в фазах композиции, когда С^г, суть нелинейные операторы от прогиба w, устойчивость численной схемы (55)—(63) авторам пока доказать не удалось. Но в пользу устойчивости этой схемы говорит физическая корректность (непротиворечивость) результатов многочисленных расчетов, проведенных авторами, и тот факт, что при переходе от линейно-упругого к упругопластическому деформированию (и наоборот — разгрузка) конструкции тип уравнения движения (50) не изменяется.

Несмотря на формальное сходство методов средней точки и трапеций (77), (78) в случае линейно-упругих колебаний пластины, эти методы существенно различаются при нелинейных (неупругих) колебаниях. В настоящем исследовании для интегрирования системы (53) использовался метод трапеций (55)—(63), а не метод средней точки (77) (хотя, на первый взгляд, второй метод кажется более компактным) по следующим соображениям. Согласно методу трапеций, на (п + 1)-ом «слое» по времени прогиб wn+1(x) определяется из граничной задачи для уравнения (59), коэффициенты которого С^г , (см. (57)) зависят от параметров искривления

срединной плоскости пластины wnj+}, т.е. от состояния фаз композиции (упругого или пласти-

) ,у- + 4Я(х)Ж(х) = т2рп+1/2 (х) + 2Я(х)(туп (х) + 2wn (х)),

ческого). Согласно же методу средней точки, прогиб wn+1 определяется первым равенством (77) с использованием вспомогательной функции Ж, которую в силу коллокационного свойства этого метода [18], можно рассматривать как прогиб на промежуточном (п + 1/2)-ом «слое» по времени (^+1/2 = tn +т/2). Функция Ж определяется из граничной задачи для уравнения, формально совпадающего с (59) при замене wn+1 на Ж и при выражении для Рп+1, совпадающем с правой частью третьего уравнения (77). При этом коэффициенты С^г, в таком уравнении зависят от Жп-, т.е. от состояния фаз композиции (упругих и пластических) на промежуточном

(п + 1/2)-ом «слое» по времени. А значит, при вычислении прогиба wn+1 не используется информация о состоянии фаз композиции на ( п +1 )-ом «слое» по времени; состояния фаз композиции как бы экстраполируются с промежуточного «слоя» (п +1/2) на (п +1 )-ый «слой». В силу этого недостатка метода средней точки авторы предпочли ему метод трапеций.

Обсуждение результатов расчетов упругопластической динамики пластин. В качестве примера рассмотрим упругопластический динамический изгиб прямоугольной удлиненной пластины. Предполагается, что внешняя распределенная поперечная нагрузка, закрепление пластины, структуры армирования и толщины слоев не изменяются в продольном направлении. Тогда, пренебрегая локальными торцевыми эффектами, изгиб такой пластины можно считать цилиндрическим и для описания неупругого поведения фазовых материалов даже при развитых пластических деформациях можно обоснованно использовать деформационную теорию пластичности, так как путь деформирования каждой точки конструкции в этом случае является простым [9].

Сориентируем пластину так, чтобы ось Ох2 совпадала с продольным направлением пластины. Тогда в силу сделанных предположений прогиб w зависит только от времени t и координаты х1 в поперечном направлении. Для численного интегрирования соответствующей начально-краевой задачи можно использовать метод (55), (57)—(63), где оператор В редуцируется к виду (см. (57))

72 ( ( л2,.,п { „ \ \ л2,.,п / „ \ С л2,.,п / „ \ ^

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

D ( xj; wn ):

3 dx

C

1111

d2wn (x ) | d2wn (x1) | d2wn (x )

' ~2 D11 V”

dx12

dx1

dx12

(79)

//

Для численного интегрирования двухточечной граничной задачи, соответствующей уравнению (59), где следует x заменить на x1 и учесть (79), можно использовать описанную выше линеаризацию с последующим применением метода матричной прогонки на трехточечном шаблоне с регулярной сеткой. (Более подробно реализацию этого алгоритма см. в [3], так как цилиндрический изгиб кирхгофовской пластины качественно схож с изгибом стержней.) В целом такой метод имеет второй порядок точности по обеим переменным x1, t.

Исследуем динамический изгиб изотропных и армированных однослойных и трехслойных прямоугольных удлиненных пластин шириной l = 1 м . Толщина пластин может быть постоянной (2H(x) = 2H* = const) или переменной и определяется формулой

2H (x ) = 2hH*+p sin (px1 /1 )(1 -h) H* (0 < x1 < l, h-0). (80)

(При однородном армировании пластин (wk = const) и задании их толщины в виде (80) расход материала k-той фазы композиции будет такой же, как и в пластине постоянной толщины 2H*, так как объем пластин одинаков и равен H*lb , где b (l) — длина пластины вдоль оси x2. При значениях параметра 0<h<1 из (80) следует, что толщина пластины на кромках x1 = 0,l меньше, чем в центре (x = l /2); при h = 1 получаем пластину постоянной толщины 2H*.) Для пластин постоянной толщины примем 2H* = 0,03 м . На кромках x1 = 0, l пластины могут быть шарнирно оперты или защемлены. Внешняя распределенная нагрузка является нагрузкой взрывного типа и затухает по экспоненциальному закону

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

p (x1, t) = p (t) = p0exp (-at) (a = 12 с-1, t - 0), (81)

где p0 — значение нагрузки в начальный момент времени t = 0, в который конструкция находится в покое, т.е. w0 = 0, v0 = 0 (см. (47)). Изотропные пластины изготовлены из алюминиевого сплава АДН; армированные пластины изготовлены из того же сплава АДН и усилены одно-

родно и прямолинейно тремя семействами борных волокон (у1 = 0, у2 = —у3 > 0, «2 = «3). Механические характеристики фазовых материалов приведены в табл. 1.

Т а б л и ц а 1

Механические характеристики фазовых материалов [10]

Материал Е, ГПа V ст02, МПа ств, МПа Ю

Сплав АДН 71,0 0,325 100,0 150,0 6,0

Волокна бора 416,0 0,23 — 3150,0 0,2

Будем подбирать максимальные значения р0 в (81) так, чтобы за характерный период времени Т > 0, в течение которого исследуется процесс колебаний, напряженное состояние в фазах композиции пластины не превышало некоторого предельного состояния. Через р8 обозначим тах р0, при котором хоть в одной из фаз композиции напряженное состояние достигает предела текучести с0 2, но пластичность не развивается (при р0 < р8 — упругие колебания, при р0 > рх — упругопластические колебания); через р^ обозначим тах р0, при котором хоть в одной из фаз композиции достигается вторичная пластичность, но вторичная пластичность не развивается (при рх < р0 < р^ — первичная пластичность и разгрузка, при р0 > р^ — вторичная пластичность); через ру обозначим значение р0, при котором в момент ^тах достижения центральным сечением пластины (х1 = I/2) максимального прогиба напряженное состояние хоть в одной из фаз композиции достигает предела временного сопротивления св (начальное разрушение; при t < tmax — первичная пластичность, при t > (тах — первичная разгрузка в опасном сечении пластины).

В качестве характерного периода Т выберем время, в течение которого нагрузка (81) уменьшается в 1000 раз (Т = — 1п(0,001)/а = 0,576 с ). При t > Т внешняя нагрузка ничтожно

мала (р(^) < 0,001 р0) и колебания можно считать установившимися, по крайней мере при упругом изгибе.

В расчетах характерный период времени Т будем разбивать на 1000 «слоев» (т = Т /1000), а по ширине пластины равномерно введем 401 узел.

Исследуем динамическое поведение регулярно армированных по толщине пластин

(М = 0) со следующими структурами армирования: 1) поперечное армирование («(0) = 0,4, ш20) = ш30) = 0 или, что то же самое, ю20) = «3° = 0,2, у(20) = —у30) = 0, «(0) = 0); 2) перекрестное армирование под углами у(20) = —у30) =р/6 (ю(0) = 0,ю20) = «3° = 0,2); 3) перекрестное армирование под углами у(20) = —у30) =р/4 (ю(0) = 0,ю20) = «3° = 0,2); 4) квазиизотропное армирование (у(0) = 0, у(20) = —у30) =р/3, «Г = <) = «(0) = 0,4/3). В каждой точке таких пластин суммарная плотность армирования Е^к0 = 0,4 и общий расход арматуры при фиксированной

к

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

геометрии одинаков.

Для сравнения исследуем динамку трехслойных (М = 1) пластин тех же размеров, изготовленных из тех же фазовых материалов, с тем же расходом арматуры, при аналогичных структурах армирования внешних несущих слоев. Внутренний слой является изотропным и изготовлен из сплава АДН; внешние слои изготовлены также из сплава АДН и однородно армированы тремя семействами волокон бора с суммарной плотностью Е«кт) = 0,7 (т = 1,2), что,

к

как правило, на практике соответствует максимально допустимой плотности армирования. Чтобы общий расход волокон в трехслойных пластинах был такой же, как в регулярно армированных по толщине конструкциях, рассмотренных выше, толщину внутреннего слоя в трехслойных пластинах нужно задать так: 2Н0 = 2(0,7 — 0,4)Н /0,7 = 6Н / 7 (где толщина 2Н определена в (80)), а плотности армирования соответствующих семейств волокон в несущих слоях нужно увеличить в 7/4 раза.

В табл. 2 и 3 приведены рассчитанные значения ps , pss , p у для шарнирно опертых и защемленных пластин постоянной толщины (H = H*) соответственно, а в табл. 4 — для шарнирно опертых пластин переменной толщины (S0) при значении параметра h = 0,5 (на кромках толщина такой пластины вдвое меньше, чем в случае H = const, а в центре — в (1 + p/2)/2 » 1,29 раза больше). Структура с номером «0» соответствует изотропной пластине из сплава АДН.

Т а б л и ц а 2

Предельные динамические характеристики шарнирно опертых пластин постоянной толщины (h = 1)

Номер структуры армирования Регулярно армированные по толщине пластины Трехслойные пластины

ps, кПа pss , кПа py, кПа ps, кПа pss , кПа py, кПа

0 70,1 99,5 273,4 70,1 99,5 273,4

1 16S,5 219,4 S72,3 235,4 306,7 13S0,1

2 110,S 146,S 6S9,S 143,1 Ш,5 1063,3

3 72,5 97,2 520,0 74,2 97,9 734,9

4 SS,1 117,S 401,2 100,S 132,7 557,S

Т а б л и ц а 3

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Предельные динамические характеристики жестко защемленных пластин постоянной толщины (^ = 1)

Номер структуры армирования Регулярно армированные по толщине пластины Трехслойные пластины

ps, кПа pss , кПа py, кПа ps, кПа pss , кПа py, кПа

0 111,S 152,3 434,7 111,S 152,3 434,7

1 272,4 357,9 1371,0 3S1,4 504,S 2157,5

2 174,S 235,6 1114,0 235,1 30S,3 1671,7

3 117,3 155,5 S51,0 122,1 160,3 119S,0

4 141,1 633,6 160,3 214,5 SS3,6

Т а б л и ц а 4

Предельные динамические характеристики шарнирно опертых пластин переменной толщины (^ = 0,5)

Номер структуры армирования Регулярно армированные по толщине пластины Трехслойные пластины

ps, кПа pss , кПа py, кПа ps, кПа pss , кПа py, кПа

0 103,S 173,0 407,2 103,S 173,0 407,2

1 243,9 326,0 1270,0 361,4 471,1 2113,9

2 163,3 219,S 1025,0 207,0 275,S 1557,9

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 107,6 147,7 757,7 110,9 147,5 1117,5

4 130,2 17S, 1 604,6 14S,5 197,9 S20,0

Значения р8, приведенные в табл. 2-4, характеризуются возникновением пластических деформаций в связующем на лицевых поверхностях (г = ±Н /2) в центральном сечении пластины х1 = I /2 (табл. 2), на кромках х1 = 0,1 (табл. 3) и в промежуточных сечениях х1 = х*, х1 = I - х*, 0 < х* < I/2 (табл. 4); при этом волокна бора имеют значительный (80-процентный и более) запас прочности. Значениям же р^ соответствует появление вторичных пластических деформаций на лицевых поверхностях в связующем в указанных сечениях, а ру характеризуются началом разрушения связующего в изотропных пластинах или упруго-хрупких борных волокон в армированных пластинах (в среднем сечении для шарнирно опертых пластин и на кромках — для защемленных).

Сравнение значений р8, р^ , ру , соответствующих изотропным и армированным пластинам, показывает, что за счет армирования конструкции ее несущую способность при динамиче-

ском изгибе можно увеличить на десятки процентов и даже в разы. Сопоставление тех же значений для армированных пластин со структурами №№ 1 - 3 позволяет проследить за изменением несущей способности конструкции при изменении углов перекрестного армирования от У 2 = -У3 = 0 (структура № 1) до у 2 = -у3 =р/4 (структура № 3), откуда следует: варьирование структуры (направления) армирования приводит к существенному (в разы) изменению несущей способности пластины как при упругом, так и упругопластическом изгибах. Поэтому имеет смысл ставить задачи рационального и оптимального армирования тонкостенных конструкций по критериям предельного динамического состояния. Так, из всех рассматриваемых структур наилучшим является армирование в поперечном направлении (вдоль направления х1

— структура № 1).

Из табл. 2 - 4 вытекает, что квазиизотропное армирование (структура № 4), часто встречающееся на практике, далеко не всегда обеспечивает высокую несущую способность конструкции при динамическом изгибе, а по критерию ру является худшей из всех рассматриваемых структур армирования.

Сравнение значений р8 и р^ показывает, что за счет предварительного нагружения до значений р^ несущую способность изотропной пластины постоянной толщины при шарнирном опирании можно увеличить на 41,9 %, при защемлении — на 36,2 %, а изотропной пластины переменной толщины — на 66,7 %. Несущую же способность армированных пластин при таком нагружении можно увеличить на 30—37 % (без появления пластичности при повторных нагружениях с интенсивностью 0 < Ро £ ри ).

На рисунке изображены кривые, характеризующие колебания центрального сечения х1 = I /2 шарнирно опертой трехслойной пластины постоянной толщины с поперечным армированием несущих слоев (см. структуру № 1 в табл. 2). Линия 1 соответствует предельным упругим колебаниям конструкции и рассчитана при значении нагрузки рх = 235,4 кПа ; кривая 2 характеризует предельные упругопластические колебания до появления вторичной пластичности и получена при нагрузке р^ = 306,7 кПа . Сравнение этих линий позволяет получить качественное и количественное представление о приспособляемости пластины при динамическом упругопластическом изгибе. (По оси ординат на рисунке отложен безразмерный прогиб Ж = Н*w /(212вв1), где ев1 =ств1 / Е1 > 0 — предельная упругая деформация борных волокон, св1, Е1 — предел временного сопротивления и модуль упругости упруго-хрупких борных волокон, см. табл. 1.)

Из сопоставления в каждой табл. 2-4 значений рх, р^ , ру для регулярно армированных

по толщине и трехслойных пластин следует: за счет разнесения несущих армированных слоев при том же расходе фазовых материалов несущую способность конструкции при динамическом изгибе можно увеличить от нескольких процентов до 40—66 %.

Сравнение данных, приведенных в табл. 2 и 3, показывает, что при тех же структурах армирования и одинаковой толщине конструкций несущая способность защемленных пластин на 53—65 % больше, чем у шарнирно опертых. Это объясняется большей жесткостью защемленных пластин и развитием в них трех пластических зон — в окрестности защемленных кромок и в окрестности центрального сечения х1 = I /2; в шарнирно опертых пластинах постоянной толщины развивается лишь одна пластическая зона в окрестности центрального сечения, что приводит к значительному снижению жесткости связующего в этом сечении и более глубокому проникновению пластических деформаций по толщине пластины.

0,с

Упругие и упругопластические колебания точек центрального сечения прямоугольной удлиненной пластины

Сопоставление данных из табл. 2 и 4 позволяет заключить: при одинаковых структурах армирования, расходах фазовых материалов и типах закрепления пластин за счет рационального профилирования (подбора толщины) несущую способность тонкостенной конструкции при динамическом изгибе можно увеличить на 45 - 75 %. Поэтому целесообразно осуществлять рациональное и оптимальное проектирование таких конструкций, отыскивая не только эффективные структуры армирования несущих слоев, но и эффективное распределение слоев в пластине и их толщин.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Отметим, что результаты расчетов, приведенные в табл. 2 - 4, получены в предположении о несжимаемости материала связующего (т.е. в упругих зонах коэффициент Пуассона связующего Vі-т принимался равным 0,5, а не 0,325, как указано в табл. 1). Отказ от учета сжимаемости связующего в упругих зонах приводит к завышению значений р8, ру для изотропных пластин не более чем на 3 %, а для армированных пластин — к занижению р8 на 9 - 11 % и завышению ру всего на 1 %, однако оказывает существенное влияние на определение величин р^ . Как показано в [12], учет сжимаемости в пластической зоне связующего приводит к значительным техническим трудностям (в частности, не позволяет записать коэффициенты С1Ш, £>п в равенстве (79) в явной форме), но при статическом упругопластическом изгибе практически не влияет на результаты расчетов армированных пластин. При учете же сжимаемости в упругой зоне и не учете ее в пластической зоне при переходе через границу от упругой зоны к пластической интенсивность деформаций при цилиндрическом изгибе испытывает скачок на 35 % в сторону увеличения [12]. Этот скачок приводит к искажению информации о накопленных пластических деформациях в связующем и, как следствие этого, о моменте появления вторичной (знакопеременной) пластичности: расчеты показали, что в этом случае для изотропных и армированных пластин всегда р^ = рх, т.е. как бы не наблюдается эффект приспособляемости конструкции. Отказ от учета сжимаемости материала связующего как в пластических, так и упругих зонах приводит к непрерывному распределению интенсивности деформаций в конструкции, что позволило отследить эффект приспособляемости пластин при динамическом нагружении (р^ /рх = 1,3 -1,7). Значения р^ , приведенные в табл. 2 - 4 для армированных пластин, по-видимому, занижены на несколько процентов (как и р8) по сравнению со случаем учета сжимаемости связующего в упругих и пластических зонах.

Выше в качестве характерного периода Т было выбрано время, за которое внешняя нагрузка (81) уменьшается по сравнению с начальным значением р0 в 1000 раз. Если в качестве Т выбрать время 100-кратного уменьшения нагрузки, то из (81) получим Т = 0,384 с . Расчеты, выполненные при таком Т, приводят к завышению на 3 - 5 % значений р^ по сравнению с указанными в табл. 2 -4. (На значения р8, ру выбор времени Т не оказывает влияния, необходимо

лишь, чтобы время Т было больше времени начала полной первичной разгрузки и времени достижения центральным сечением максимального прогиба соответственно.) Если в качестве Т выбрать время 20-кратного уменьшения нагрузки (Т = 0,250 с), то рассчитанные значения р^ будут на десятки процентов превосходить те, что указаны в табл. 2 - 4. Следовательно, при нагрузках взрывного типа (81) в качестве Т вполне достаточно выбрать время 1000-кратного уменьшения внешней нагрузки. К концу этого времени колебания становятся установившимися.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант 0201-00115).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мазалов В.Н., Немировский Ю.В. Динамика тонкостенных пластических конструкций // Проблемы динамики упруго-пластических сред. Сер.: Новое в зарубежной науке. М.: Мир, 1975. Вып. 5. С. 155-247.

2. Комаров К.Л., Немировский Ю.В. Динамика жестко-пластических элементов конструкций. Новосибирск: Наука, 1984. 236 с.

3. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Интегрирование задачи динамического упругопластического изгиба армированных стержней переменного поперечного сечения обобщенными методами Рунге-Кутта // Вычислительные технологии. 2004. Т.9. № 4. С. 77-94.

4. Ананенко Л.А., Комаров К.Л. Динамика неупругих балок. Новосибирск: Наука, 1999. 151 с.

5. Галин М.П. Поперечные колебания балок и плит за пределом упругости под действием импульсных и ударных нагрузок // Изв. АН СССР. ОТН. 1958. № 3. С. 42-50.

6. Кошур В.Д., Немировский Ю.В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. Новосибирск: Наука, 1990. 200 с.

7. МалининН.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. 400 с.

8. СоколовскийВ.В. Теория пластичности. М.: Высш. школа, 1969. 608с.

9. Ильюшин А.А. Пластичность. Основы общей математической теории. М.: Изд-во АН СССР, 1963. 272 с.

10. Композиционные материалы. Справочник. Киев: Наук. думка, 1985. 592 с.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

11. Немировский Ю. В. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя // Прикладная механика и техническая физика. 1969. № 6. С. 81-89.

12. Янковский А.П. Влияние учета сжимаемости материала на упругопластический изгиб пластин // Труды НГАСУ. 2003. Т. 6. № 6. С. 81-97.

13. МосквитинВ.В. Циклические нагружения элементов конструкций. М.: Наука, 1981. 344 с.

14. Немировский Ю.В., Янковский А.П. О некоторых особенностях уравнений оболочек, армированных волокнами постоянного поперечного сечения // Механика композитных материалов и конструкций. 1997. Т. 3. № 2. С. 20- 40.

15. Камке Э. Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. М.: Наука, 1966. 260 с.

16. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Численное интегрирование двумерных краевых задач с большими градиентами решения // Вычислительные технологии. 2000. Т. 5. № 4. С. 82-96.

17. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Рациональное проектирование армированных конструкций. Новосибирск: Наука, 2002. 488 с.

18. Деккер К., Вервер Я. Устойчивость методов Рунге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1988. 334 с.

19. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М., Л.: ГИТТЛ. 1947. 355 с.

20. Немировский Ю.В., Янковский А.П. Численное интегрирование динамических задач теории оболочек методами Рунге-Кутты // Численные методы решения задач теории упругости и пластичности: Тр. 16-й Межресп. конф., Новосибирск, 6-8 июля 1999 г. / Под ред. В.М. Фомина. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 1999. С. 117-124.

21. СамарскийА.А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1989. 616 с.

Поступила 24.06.2004 г.