CC BY
69
СУДОСТРОЕНИЕ И СУДОРЕМОНТ
УДК 519.63:539.384:629.12 М. В. Сухотерин,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
Д. А. Аксенов,
аспирант,
ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
КОЛЕБАНИЯ ПЛОСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ СУДОВЫХ И ГИДРОТЕХНИЧЕСКИХ КОНСТРУКЦИЙ ПРИ ВЯЗКОМ ДЕМПФИРОВАНИИ VIBRATIONS OF FLAT ELEMENTS OF VESSELS AND HYDRAULIC STRUCTURES UNDER VISCOUS DAMPING
Задача свободных колебаний прямоугольной пластины, защемленной по контуру, при наличии вязкого демфирования решена методом Фурье. Координатная составляющая функции прогибов представлена гиперболо-тригонометрическимирядами, коэффициенты которых и собственные частоты находились из бесконечной системы.
Problem of free vibrations of a rectangular plate, clamped along the contour, with viscous damping is resolved by Fourier method. Coordinate component of deflections function is presented as hyperbolic- trigonometric series, which coefficients and natural frequencies were found from the infinite system.
Ключевые слова: свободные колебания, вязкое демпфирование, прямоугольная защемленная пластина, метод Фурье, гиперболо-тригонометрические ряды, бесконечная система.
Key words: free vibrations, viscous damping, clamped rectangular plate, Fourier method, hyperbolic-trigonometric series, infinite system.
<4
*
1. Введение. В результате какого-либо внезапного силового воздействия прямоугольный элемент конструкции (например, панель обшивки) может быть выведен из состояния упругого равновесия. Затем он будет совершать свободные колебания, которые из-за наличия сил сопротивления (внешнее и внутреннее трение) будут затухающими. В данном случае учитывается лишь внешнее вязкое сопротивление сил воздуха (или жидкости). Эта задача не имеет точного решения для защемлений по всем граням пластины, а известные приближенные решения оставляют открытым вопрос о точности результатов.
2. Постановка задачи. Обозначим через Щ(Х, У, 0 прогиб срединной поверхности пластины, Кс — коэффициент сопротивления среды, тогда дифференциальное уравнение свободных колебаний пластины будет иметь вид [1, с. 567]:
DV1V1W + ^^r + ka — = 0. (1)
g 8t2 dt
| Здесь £> = £й3/[ 12(1-у2)] — цилиндрическая жесткость пластины; И — ее толщина (по-
стоянная); Е — модуль Юнга; V — коэффициент Пуассона; у* — удельный вес материала пластины; g — ускорение свободного падения; V2 — оператор Лапласа; ( — время.
Часто расчетной моделью плоского элемента обшивки судна или гидрозатвора, палубного настила, переборки и тому подобного является прямоугольная пластина, жестко защемленная по всем граням.
Начало системы координатХОУ поместим в центр пластины, размеры которой а*Ь.
Пусть заданы начальные условия
Ж \,__0 = Ж0(Х,П дЖ / дг и= У0(Х,¥), (2)
где Ж0 — начальные прогибы точек срединной поверхности пластины; У0 — их начальные скорости в перпендикулярном направлении.
Перейдем к безразмерным координатам х = Х/Ь, у = У/Ь, тогда уравнение (1) можно записать
так:
9 9 9 32Ж 9 8Ж
V у ¥+ц ——+х -г— = 0, (3)
дг2 ді
2 2 кУ
где Л =---------, у = —— .
gD ' к £>
Относительные размеры пластины теперь будут ух1, где у = а/Ъ. Заметим, что в операторе Лапласа необходимо заменить X, У на х, у. Запишем граничные условия на защемленных кромках:
дРГ
Ж = 0, ----= 0 при х = ± у/2, (4)
дх
дЖ
Ж = 0, ----= 0 при у = ± 1/2. (5)
дх
Задача ставится так: определить прогибы Ж(х, у, і) пластины в любой момент времени, удовлетворяющие дифференциальному уравнению изгиба (3), а также начальным (2) и граничным (4), (5) условиям.
Следует отметить, что коэффициент сопротивления среды К (коэффициент вязкого демпфирования), который входит в уравнения (1), (3), зависит от формы поверхности тела, рода жидкости или газа и его температуры. На практике его приходится измерять экспериментальным путем для каждой конкретной задачи.
3. Разделение переменных. По методу Фурье искомую функцию прогибов представим в виде произведения двух функций, одна из которых есть функция только времени, а другая — только координат срединной поверхности:
Ж(х, у, і) = w,( і) • w (х, у). (6)
Для функции координат w(х, у) граничными условиями будут те же условия (4), (5), так как они не зависят от времени. Начальные условия примут вид
w( х, у) w.(0) = w о( х, у); ^х,у)‘*^)=Г0(х,у). (7)
Заметим, что начальные условия (2) не могут быть произвольными, во всяком случае на контуре прогибы и скорости точек должны быть равны нулю.
Подставим (6) в (3):
ж(0 У2У2міх,у) + г? ?^Р-м>(х,у)+ х2 Щ^-п(х,у)= 0- (8)
от от
Разделим переменные:
# +Х » . (9)
м>(х,у) ж(0
Здесь ^2 — некоторая положительная постоянная.
Теперь вместо одного уравнения (3) будем иметь два более простых дифференциальных уравнения для временно) й и координатной составляющих прогиба:
Выпуск 3
#*(*) + 2 пщ(1) + р2ч?*{{) = 0, (10)
У2У2™(х,у)-П2м>(х,у) = 0. (11)
у2 2 _
Здесь обозначено 2п - —; р - .
Л Л
Уравнение (11) вместе с граничными условиями (4), (5) определяет формы собственных колебаний пластины (см. [2, с. 94-103]). Именно поэтому константа в (9) выбрана положительной.
4. Общее решение временно го уравнения. Уравнение (10) представляет собой обыкновенное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого легко находится.
Корни соответствующего характеристического уравнения имеют вид
к\,2 =~п± д/и2 - р2. (12)
В зависимости от соотношения величин п2 и р2 могут иметь место три разных случая:
1) при п2 > р2 корни (12) действительны и различны и решение записывается в следующем
виде
144 Ц) = С/~ * + С2е( *, (13)
где С1 и С 2 — произвольные постоянные, которые находятся из начальных условий (7):
3
к
ус
п
ы
В
Г м{х, у)^ +с2) = ™0 (х, у),
[и<х, у){С^ +С2к2) = Г0(х,у).
Решение (13) описывает процесс возврата пластины в исходное положение равновесия без совершения колебаний (апериодическое движение). Это может иметь место для среды с большой вязкостью;
2) при п2 = р2 (критическое демпфирование) корни (12) действительные и равные к1 = к2=к = -п и решение примет вид
w.( X) = (С + С/) е -п1. (15)
Здесь также идет возврат в положение равновесия без совершения колебаний.
3) при п2 < р2 корни (12) комплексные и решение будет
ж(/) = е~п> ^ соя^р2 -п2 • С2 ът^р2 -п2 • (16)
(17)
где постоянные С1 и С2 находятся из начальных условий (7):
Ых,у)С1=мг0(х,у),
\М.Х, у)(-п Сі +иС2) = ^о О, у),
где со = ^р2 -п2 — собственная частота затухающих колебаний.
Для решения этой системы необходимо найти координатную функцию прогибов w(х, у), о чем речь пойдет ниже.
Выражение для квадрата собственной частоты затухающих колебаний имеет вид
Ґ ,4 л
2 2 2 1 Ю = р -П =^г
л
п2 —^—К2
4у НИ
Эта величина должна быть положительной. Логарифмический декремент колебаний имеет
вид
1 = пТ = 1п-А‘
А
7+1
2%
где А, А.+1 — две соседние амплитуды колебаний, Т = г — период колебаний.
\Р2~п2
Если предположить, что за один период амплитуда уменьшается в 1,5 раза, то пТ = 1п1,5 ~ 0,405 2зг п
или
0 4052
0,405, откуда п2 -—т1-- = 0,00414р2. Таким образом, п2 весьма мала по
4р2-п2 4л +0,405
сравнению с _р2 и выражение _р2 - п2 > 0.
Пусть теперь имеем более вязкую среду, такую что А./А = 3, тогда пТ = 1п3 ~ 1,1 и
2 1,12_р2 2 / 2------------------------------------------2 /--------
и =—;-------г-= 0,03 р . Собственная частота отличается от
4 л +1,1
частоты соответствующих незатухающих колебаний всего на 1,5 %.
Таким образом, влияние небольшого вязкого демфирования на частоту колебаний пластины незначительно, однако оно весьма интенсивно гасит свободные колебания.
Для того чтобы до конца решить временно) е уравнение, надо знать величину О, поэтому мы обратимся к уравнению (11).
5. Решение краевой задачи для координатной функции. Анализ известных решений задачи (4), (5), (11) приводится в работах [1; 2; 3, с. 185-188].
Кратко приведем наиболее точное решение, полученное в работе [2].
Формы собственных колебаний прямоугольной пластины могут быть четырех видов: симметричные, антисимметричные и смешанные двух видов (симметричные по одной оси и антисимметричные по другой оси).
Симметричное решение уравнения (11) выбиралось в виде
ОО
Мх,у) - X (~1)к(АксЬР*Х+Вкх)со$Ку +
к=1,3,...
(18)
+ 2 {г\у{С,^,у + 0/Л^,у)со&^х,
5=1,3,...
где хк = кп, ц = .п/у, к = (к + 1) / 2, 5 = (5 + 1) / 2; $к$к = ^¡Хк2 +□, +0; Ак, Вк, С,
О — неопределенные коэффициенты.
Другие формы решения получаются из (18) заменой четных функций на нечетные и наоборот.
Подчинив функцию (18) граничным условиям задачи (4), (5), проблему удалось свести к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно одной последовательности коэффициентов А*, через которые были выражены коэффициенты Ак, Вк, С О :
.2
. _ 64П Хк у,
к - Ґ п Г \ Ґ „ \
У
р
2 2
=1Д-[(^ + ц2)2-П2]
(19)
Эта система (и подобные ей) решалась методом редукции и последовательных приближений с перебором параметра О. В качестве собственной частоты О. принимались такие значения, при которых соответствующие коэффициенты А* предыдущей и последующей итераций совпадали.
Выпуск 3
Выпуск 3
Приведем табл. 1 первых восьми собственных частот О квадратной пластины, отнесенных
1 Гф
к величине -¡-. -Г- [2]. а \у Н
Таблица 1
Собственные частоты О. квадратной пластины, отнесенные к величине
№ п/п Формы колебаний Собственная частота О
1 Четная 35,985
2 Нечетно -четная 73,394
3 Нечетная 108,2165
4 Четная 132,208
5 Нечетно -четная 164,998
6 Нечетно -четная 210,522
7 Четная 220,032
8 Нечетная 243,1575
Там же приведены графики соответствующих форм собственных колебаний.
Четная координация функции прогибов (18) может быть представлена через одну последовательность неопределенных коэффициентов А* [2]:
(-1)*
м/(х,у) = V АІ<
А... к\КсЩк112)
сЩх-
сЬ(Р*у/2)^-
сЬ(Р*у/2)
сЬр^х
(-1 )Ч
сЬ^-сЬ(^/2)сЬ^1 . ^ сК^/2) ^У)
совр^х
у ^...сЬ(^/2)[£>(^/2) -^,/2)] +^)2 -П2
(20)
6. Нахождение постоянных С1 и Сг из начальных условий. Найденную координатную функцию w(х, у) (в данном случае симметричную) можно представить в виде двойного ряда Фурье, разложив гиперболические функции в ординарные ряды Фурье:
00 00
(21)
М.х-У)= 2
¿=1,3, ...5=1,3,...
То же самое нужно проделать с начальными прогибами Wo(x, у) и скоростями ^(х, у) (точнее. с их симметричными частями):
00 00
00 00
Ещ(х,у)= X ^Ь>^С0!іХкУС0!5 Не*, Ых,у)= X Хку сое цях. (22)
V
Тогда из (17):
а,
*ь ® аь
Аналогично находятся постоянные для других видов координатных функций.
Таким образом, исходная задача может быть решена до конца.
Зная функцию прогибов Ж(х, у, ¿), можно найти изгибающие моменты и перерезывающие силы, а затем рассчитать напряжения в любой точке пластины в данный момент времени.
Список литературы
1. Биргер И. А. Прочность. Устойчивость. Колебания: справ. / И. А. Биргер, Я. Г. Пановко (общ. ред.). — М.: Машиностроение, 1968. — Т. 3.
2. Барышников С. О. Вычисление частот и форм собственных колебаний панелей обшивки судна / С. О. Барышников, М. В. Сухотерин // Журнал Университета водных коммуникаций. — 2012. — Вып. 3 (15).
3. Голоскоков Д. П. Применение полиномов специального вида для расчета колебаний прямоугольной пластины / Д. П. Голоскоков // Журнал Университета водных коммуникаций. — СПб.: СПГУВК, 2009. — Вып. 1 (1).
УДК 621.78/79:629 В. Б. Хмелевская,
д-р техн. наук, профессор, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова;
Е. С. Мосейко,
аспирант,
ГМТУ;
Е. О. Ольховик,
канд. техн. наук, доцент, ГУМРФ имени адмирала С. О. Макарова
ИССЛЕДОВАНИЕ УПРОЧНЕНИЯ ДЕТАЛЕЙ СУДОВОГО ВАЛОПРОВОДА МЕТОДОМ ПОКРЫТИЯ ПЛАЗМЕННЫМ НАПЫЛЕНИЕМ С УЛЬТРАЗВУКОВОЙ ОБРАБОТКОЙ
RESEACH OF HARDENING OF SHIP PROPELLER SHAFT BY PLASMA SPRAYING COVERAGE WITH ULTRASONIC TREATMENT
В статье приведены экспериментальные данные испытаний на триботехнические характеристики и сопротивление усталостному разрушению образцов поверхностно упрочненных методом плазменного напыления с последующей ультразвуковой обработкой (УЗО).
The article presents the experimental test data on tribological characteristics and resistance to fatigue fail-^Lol ure of samples surface-hardened by plasma spraying, followed by sonication (RCD).
Ключевые слова: плазменное напыление, ультразвуковая обработка, триботехнические характеристики, циклическая прочность, сопротивление усталости, напряженное состояние.
Key words: plasma spraying, ultrasonic processing, tribological characteristics, fatigue strength, fatigue resistance, stress state.
Выпуск 3
