CC BY
34
УДК 517.947, 534.414
Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 4
Л. М. Юферева, Ю. А. Лавров ВЛИЯНИЕ РЕБЕР ЖЕСТКОСТИ
НА СОБСТВЕННЫЕ ЧАСТОТЫ ПРЯМОУГОЛЬНОГО АКУСТИЧЕСКОГО РЕЗОНАТОРА
1. Введение. Изучение колебаний тонкостенных резервуаров, заполненных тяжелой жидкостью, важно для предотвращения вредных вибраций конструктивных элементов транспортных средств. Типовым фрагментом конструкции служат тонкие упругие пластины, сочлененные под прямым углом. При изучении колебаний резервуаров традиционно применяются численные методы [1]. Вместе с тем методика аналитического решения гранично-контактных задач акустики, разработанная проф. Д. П. Коу-зовым, может быть адаптирована ко множеству технических задач. Эта методика представлена как чисто теоретическими работами, использующими при описании колебаний пластин граничные и гранично-контактные дифференциальные операторы общего вида (например, [2]), так и работами, содержащими численные эксперименты. Численное моделирование позволяет выявить ряд важных эффектов при колебаниях жидкоза-полненных резервуаров. Так, в [3] установлено, что на низких частотах большая доля энергии совместных колебаний пластин и жидкости (до 80%) запасена в пластинах. Следовательно, частота и форма собственных колебаний резервуаров могут существенно зависеть от условий закрепления и подкрепления пластин.
В настоящей работе рассматривается двумерная задача о колебаниях прямоугольного резонатора, упругая стенка которого подкреплена набором упругих пластин.
2. Постановка задачи. Идеальная сжимаемая жидкость заполняет объем 0 < х < Ь, 0 < г < Н. Акустическое давление в жидкости Р(х, г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
/ В2 д2 \
где к = и/с, и — круговая частота, с — скорость звука в жидкости. Зависимость процессов от времени предполагается гармонической.
Внутренние поверхности левой вертикальной (х = 0, 0 < г < Н) и обеих горизонтальных (0 < х < Ь, г = 0, г = Н) стенок — идеально жесткие:
дР(х, г)
дх
0,
дР(х, г)
дг
х=0
дР(х, г)
дг
0.
(2)
(3)
=и
Изгибное и продольное смещения правой (х = Ь, 0 < г < Н) упругой стенки удовлетворяют уравнениям Кирхгофа и Файлона
4 -4]Жо(г) = ±-(р(Ь,г) + ^(Гог(г)+М1(г))\ (4)
¿.г4
© Л. М. Юферева, Ю.А.Лавров, 2006
2
2
С2
Гы{г) = 5(г - И,), М,(г) = М, д{д(г - И,))/Сг, дф) = С, 5(г - И,); 5(г) — дельта-функция, С,, М., —соответственно горизонтальная, вертикальная сила и изгибающий момент, действующие на единицу длины (в направлении, перпендикулярном плоскости хОг) упругой стенки со стороны прикрепленной к ней в точке 2 = И., = Нп, горизонтальной пластины оребрения, 0 < щ < П2 < ••• < П1 < 1. В свою очередь, смещения Шг(х), и,(х) (0 < х — Ь < К,) каждой из пластин оребрения подчиняются уравнениям
0,
Сх2
+ \2 Шх) = 0 •
Внешние края пластин жестко закреплены:
СШо(г)
Сг
СШо(г)
¿г
2 = 0
Ша(0) = Шо(И) = 0 ио(0) = Щ(И )=0,
н
<Шг(х)
0,
¿х
x=L+Ki
Ш,(Ь + К)=0, и,(Ь + К)=0,
а в точках сочленения выполняются условия спая:
Шо(Н) = и.(Ь),
СШо(г)
¿г
СШг(х)
z=Hi
¿х
x=L
Щ(Н)= (Ь),
Е,Н, Си.(х)
1 — а2 Сх
В,
в,
с3Ш,(х)
Сх3
С2Ш,(х)
= С,.
x=L
Сх2
М. •
(6)
(7)
(8)
(9) 10)
11)
12)
13)
14)
15)
16)
17)
18) 19)
L
X
L
X
Условие безотрывности смещений на поверхности контакта упругой стенки и жидкости имеет вид
1 дР (х, г)
W0(z) =
qqui2 dx
(20)
x=L
Применены следующие обозначения: к2, А2 —волновые числа изгибных и продольных волн в пластине, к4 = р2Н2и2/В2, А2 = (1 — а2)р2и2/Е2, В2 = Е2Л|/(12(1 — а2)) — цилиндрическая жесткость, Е2 —модуль Юнга, а2 —коэффициент Пуассона, р2 —плотность материала пластины, Н2 —ее толщина, г = 0,1,...,1, до —плотность жидкости.
3. Точное решение. Процедура построения аналитического решения задачи (1)— (20) подобна описанной в [4-5] и для краткости изложения здесь не приводится. Выражения для акустического поля в жидкости и вибрационного поля упругой стенки имеют вид
P(x, z) = qquj2 ^
-—^—Г cosh(с„) COS (qnjr) ,
Zn sinh(Znx) \ HJ V HJ
W(z) = cos(qn-^J ,
n=Q
Wn = (в + (-1)nB2 + ^ {cniBsi + SniBsi+1^ фпН,
^ i=1 '
Фп = TnZn tanh(ZnX)AZn tanh(ZnX)(^n - kQH4) - a5) ,
a5 = g0uj2H5/D0, t0 = 1/2, r„ = 1 при n > 1, qn = тгп, x = L/H, („ = -k2H2, B3i = 2FiH2/Dq, B3i+i = 2MiH/Do, B3+ = 2GiH2/Dq, cni = cos(qnni), sni = -qn sin( qnn)•
Столбец неопределенных пока констант (Bi,B2, ... ,Взц+2) является решением линейной однородной системы уравнений, матрица A которой состоит из элементов {A£m}, t,m = 1, 2,..., 3I+2. Матрица A симметрична, поэтому достаточно представить ту ее часть, что занимает диагональные и наддиагональные позиции. Отличными от нуля являются следующие элементы:
Ail = A22 =53 Фп , A12 = ]Т(-1Гф.
n=0 n=Q
Ai,3j = ^2 ФпСпj , Aii3j+i = ^2 ФпSn
n=0 n=Q
A2,3j = ]T(-1)^nCnj , A2,3j+i = ]Г(-1)пф,
n nj
j = 1, 2, .
A3i,3j = £ ФпСтП + Mj
Dq (1 - a2) (tan(AKi))A
n=Q
A
3i,3j+i
2H3 E2h2
ncnisnj , A3i+i,3j
Y,фп
A
A
3i+1,3j+1
^ ^ п ir'i * i/;j I ., , i
Do C2iSu + S2iCu
n=0
A
3i+1,3i+2
13 2H (CuC2i + n)DiKi Do SuS2i
2H2 (CuC2i + ц)DiK
2
A
-3i+2,3i+2 2ЯЗ
Do 1 - a2 srn(\o(H - Hi)) sin(XoHi) C^Su - S2C1
0 ho
Xo sin(XoH)
+
(CiiC2i + M)DiKf
г = 1, 2, ... , I, ] = 1,1 + 1, . . . , I, —символ Кронекера, Сц = сов(кгНг), С21 = СОбЬ(к Иг), Бц = вт(кгНг), Я2г = втЪ^Щ), ¡Л = +1.
Уравнением для поиска собственных частот служит условие существования нетривиального решения задачи (1.1)—(1.20):
det A = 0.
(21)
Если условия жесткого закрепления внешних краев пластин оребрения (11) — (13) будут заменены условиями свободных краев
х)
dx2 d3Wi(x)
dx3 dUi(x)
x=L+Ki
x=L+Ki
dx
0.
x=L+Ki
в выражениях для Азгз, Азг+х^+х, Азг+х^зг+2, Азг+2,зг+2 следует положить л = —1.
4. Приближенные формулы для поиска низших собственных частот при малых толщинах пластин. В качестве характерного размера резонатора выбрана высота И. Сохранение в разложении величины <л2 по степеням малого параметра е = Но/И младшего из ненулевых членов позволяет построить формулу
е-> o
la5pD о Н5д0 '
(22)
Коэффициент ap = ap(I. х) (p = 1. 2. 3. ... —номер собственной частоты) есть корень уравнения
det A = 0.
симметричная матрица A = A(I. х) состоит из элементов {Am}, i.m = 1. 2. ... .21 + 2,
All = A22 = J2 Vn . A12 = ^(-1)T
Ai,
2j+1
n=1
A1
2j+2
^ ^ Vn sni ■
n=1
P
А.2,2] + 1 = фи Сиг , Л2^+2 = фи
и=1
и=1
3 = 1, 2,
п=1
и=1
А2г+1,2^'+1 = ^ фи Сиг Сиз + $гз @1г , А2г+1,2з+2 = ^ фи Сиг ^п? ,
то
А2г+2,2^'+1 = ^ фи$игСиз ,
и=1
то
г = 1, 2,
фи $ иг $из + (@2г + взг) ,
и=1
, I, 3 = г, г + 1,..., I,
фи = фи(х) = 4и ^апЬ(х^и)/(ЧапЬ(х4и)^и - .
Важно отметить, что представленные выражения для элементов матрицы А соответствуют упрощенной модели колебаний, когда уравнения (1) и (4) заменены соответственно уравнениями Лапласа и Софи Жермен (к = = 0). Рассматриваемые далее четыре разновидности этой модели зависят от величин пг, ви, в2г, взг, влияют на значения ар, но оставляют неизменным сам вид формулы (22). Действие этой формулы показано на рис. 1, 2 для системы «сталь-вода», х = 1, К/Н = 1/2, точки крепления ребер считаются распределенными по упругой стенке равномерно, так что цг = г/(1 +1).
Пусть внешние края ребер жестко закреплены (рис. 1).
Рис. 1.
В первом из рассматриваемых вариантов, когда убывает один только параметр Н0/Н, а прочие геометрические размеры неизменны (на рис. 1,а Нг/Н = 0.005), следует
принять
ви = р2г = взг =0 . (23)
Подстановка (23) в А ведет к поиску собственных частот резонатора, упругая стенка которого жестко закреплена (отсутствуют смещения и повороты стенки) во множестве точек г = Нг.
Второй вариант подразумевает, что Но и Нг убывают одновременно, так что при е ^ 0 постоянным остается отношение Нг/Но (на рис. 1,б Нг/Но = 1). Для такого варианта
/?н = /3и=0, /Зз i = (24)
Требования (24) соответствуют случаю, когда ребра способны совершать лишь изгиб-ные колебания, подчиняющиеся уравнению Софи Жермен.
Изгибные смещения упругой стенки в точках крепления ребер равны нулю. Рост числа ребер сопутствует повышению собственных частот ввиду увеличения жесткости колебательной системы.
Совершенно иная ситуация складывается, если внешние края ребер свободны (рис. 2).
Рис. 2.
Как в случае убывания только параметра Но/Н (третий вариант, на рис. 2,а Нг/Н = 0.005), так и в случае совместного убывания величин Но и Нг (четвертый вариант, на рис. 2,б Нг/Но = 1) следует принять
/9 - 1 доН2 В - 3 воН4 в -о (24)
Соотношения (25) отвечают случаю, когда упругие ребра заменены на жесткие полосы, обладающие равными с пластинами массой и моментом инерции.
Рост числа ребер сопровождается для последних двух вариантов понижением собственных частот ввиду увеличения присоединенной массы и присоединенного момента инерции, которые нагружают упругую стенку.
Отсюда вытекает вывод, что ребра, спаянные с упругой стенкой, могут обеспечивать ей либо присоединенную упругость (присоединенную жесткость) при закрепленных внешних краях, либо присоединенную массу (присоединенный момент инерции) при свободных краях.
Табл. 1, построенная для случая (23) при равномерном распределении точек крепления по упругой стенке, позволяет убедиться в закономерности, что если число опорных точек /1 одного резонатора кратно числу опорных точек /2 другого, множество чисел {ар(/2,х/(/2 + 1))/(/2 + 1)}р_1 2 содержится во множестве
{ар(/ьх/(/1 + 1))/(/1 + 1)}р_1 2 , но не исчерпывает его. Случай отсутствия ребер / = 0 рассмотрен в [4].
Таблица 1.
р ар( 0, 1) 2 ар(1' 2 ) 1 (0 1 \ 3 аР\г> з ) 1 „ ( Q 1 \ 4 4 )
1 7.010 3.958 3.557 3.251
2 9.956 7.010 4.197 3.958
3 13.220 7.253 7.010 4.275
4 16.300 9.956 7.129 7.010
5 19.490 10.363 7.391 7.079
6 22.601 13.220 9.956 7.253
7 25.768 13.517 10.182 7.451
8 28.891 16.300 10.531 9.956
Summary
L. M. Yufereva, Yu. A. Lavrov. The influence of ribs of rigidity on natural frequencies of a rectangular acoustic resonator.
The exact solution of the two-dimensional problem on determination of frequencies and forms of natural oscillations of a rectangular acoustic resonator is presented. Three walls of the resonator are rigid, while the fourth wall is a thin elastic plate which is soldered with additional set of thin elastic rib plates. The formulae for approximate search of the lowest natural frequencies are constructed for the case of small thicknesses of the plates.
Литература
1. Шендеров Е. Л. Прохождение звука через тонкую пластину с опорами // Акуст. журн., 1964, Т. 10, №2. С. 229-233.
2. Белинский Б. П., Коузов Д. П., Чельцова В. Д. О дифракции акстических волн на пластинах, сочлененных под прямым углом // Прикл. мат. и мех., 1973. Т. 37, №2. С. 291-299.
3. Вешев В. А., Коузов Д. П. О влиянии среды на колебания пластин, сочлененных под прямым углом // Акуст. журн., 1977. Т. 23, №3. С. 368-377.
4. Лавров Ю. А., Лукьянов В. Д., Никитин Г. Л. О собственных частотах прямоугольного акустического резонатора с упругими стенками // Акуст. журн., 1989. Т. 35, №2. С. 302-307.
5. Лавров Ю. А. Об эффекте понижения частоты свободных колебаний акустического резонатора, имеющего форму усеченного сектора, при сближении его круговых стенок // Вестн. С.-Петерб. ун-та, Сер. 1, 2002. Вып. 4, №25. С. 63-67.
Статья поступила в редакцию 22 июня 2006 г.
