CC BY
22
Kuzovleva Olga Vladimirovna, candidate of technical sciences, docent, [email protected], Russia, Tula, Tula State University,
Povalyaeva Elena Dmitrievna, undergraduate, lenpovalya@,gmail. com, Russia, Tula, Tula State University,
Kuzovlev Vladislav Youryevich, docent, lenpovalya@gmail. com, Russia, Tula, Tula State Pedagogical University named after L.N. Tolstoy
УДК 539.3
ОЦЕНКА СВОЙСТВ ПОКРЫТИЯ КОНЕЧНОЙ УПРУГОЙ ПЛАСТИНЫ С ПОЛОСТЬЮ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ЗАДАННЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОТРАЖЕНИЯ ЗВУКА
С.А. Скобельцын
Рассматривается задача определения толщины и вида зависимостей материальных параметров неоднородного покрытия конечной упругой пластины со сферической полостью, обеспечивающих требуемые характеристики отражения плоской звуковой волны. Полагается, что упругие характеристики среды пластины, геометрия самой пластины и полости фиксированы. Решение задачи дифракции звука неоднородным упругим объектом выполняется численно. Свойства покрытия подбираются на основе анализа рассеянного акустического поля.
Ключевые слова: отражение звука, гармоническая плоская волна, упругая пластина, метод конечных элементов, обратная задача.
В некоторых случаях параметры отражения звука упругим объектом могут быть изменены путем использования покрытия из другого упругого материала. Эффект влияния покрытия можно корректировать, применяя неоднородный материал.
Изучению отражения звука пластиной или плоским упругим слоем посвящено много работ. Общая теория задач о прохождении звуковых волн через упругую пластину и упругий слой изложена в монографиях [14]. В статьях [5 - 13] рассмотрены частные случаи отражения звуковых волн упругими пластинами. При этом в статьях [10 - 13] рассматривается отражение звуковых волн неоднородными упругими пластинами.
В данной работе рассматривается случай дифракции плоской звуковой волны конечной упругой пластиной в форме прямоугольного параллелепипеда с неоднородным покрытием фиксированной толщины. Предполагается, что в однородной части пластины находится сферическая полость. Считается, что пластина полностью погружена в идеальную
жидкость. При этом внешние границы жидкости находятся так далеко, что их влиянием можно пренебречь. На пластину падает плоская гармоническая звуковая волна. Требуется определить такие параметры упругого покрытия, которые обеспечивают заданные характеристики рассеянного акустического поля. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.
Прямоугольник ОАСВ со сторонами ОА = а и ОВ = Ь представляет поверхность однородной части пластины. Толщина однородной части Н. Область однородной части слоя обозначена 01. Плотность и модули упругости Ламе материала в области 01 обозначены р1, Х1 и т соответственно. По другую сторону поверхности ОАСВ сформировано неоднородное покрытие толщиной И.
На рис. боковые поверхности неоднородного покрытия заштрихованы. Материал покрытия в общем случае предполагается анизотропным и неоднородным. Плотность материала и модули упругости в нем обозначены р, . С учетом неоднородности р = р(г), Х^ = Х^ (г), где г - радиус-
вектор точки покрытия.
Внутри однородной части пластины находится сферическая полость радиуса Я < Н/2. Положение центра полости задается расстоянием от поверхности О1 АСВ и расстояниями а1, Ь1 от боковых поверхностей пластины.
Окружающая среда - идеальная жидкость с плотностью ро и скоростью звука со - обозначена Оо. Из нее на пластину падает плоская
__V-» ____V-»
звуковая волна с частотой ш, направление распространения которой на
Рис. 1. Геометрия задачи
рис. 1 обозначено стрелками, а потенциал скорости движения частиц жидкости в ней - ¥р. Формально направление распространения плоской
волны можно задать волновым вектором к о таким, что |к 0 = &0 = ю / со, где ко - волновое число звуковых колебаний в жидкости. Тогда потенциал скорости в плоской волне запишется в виде
= Лр ехр[г(ко • г -Ш)], (1)
где используется комплексная запись потенциала; Лр - амплитуда потенциала; I - мнимая единица; ? - время; считается, что Лр, к о и ю заданы.
В соответствии с физической постановкой требуется определить И и вид зависимостей р = р(г), 1 ^ = 1 ^ (г), обеспечивающих требуемые характеристики рассеянного акустического поля. Обозначим множество допустимых значений И и видов функций р(г), (г) через В, которое в зависимости от ограничений, накладываемых на И, р, может быть конечным или бесконечным и должно соответствовать физически реализуемым параметрам неоднородного покрытия. Некоторый фиксированный элемент из В будем обозначать Х = (И, р, ). Таким образом, необходимо
найти такой элемент X* е В, который соответствует требуемым характеристикам рассеянного звукового поля.
Задачу поиска X * будем решать на основе решения задачи дифракции плоской звуковой волны описанным выше упругим объектом для некоторого заданного сочетания параметров упругого покрытия X. Перебирая параметры (И, р', 1-) из множества В, найдем оценку величины X *.
При решении задачи дифракции будем использовать модель распространения звука в идеальной жидкости [14] и модель малых колебаний линейной теории упругости [15].
Введем прямоугольную декартову систему координат х, у, г (рис. 2) так, чтобы начало координат находилось в точке О, ось х была направлена по отрезку ОЛ, ось у - по отрезку ОВ, а ось г - от поверхности ОЛСВ в сторону однородной части пластины. Тогда внешняя поверхность неоднородной пластины Г будет образована 6 прямоугольниками, которые получаются пересечением плоскостей х = о, х = а, у = о, у = Ь, г = —И, г = Н. Поверхность ОЛСВ, расположенную в плоскости г = о, разделяющую однородную часть пластины и покрытие, будем обозначать
Г1. Поверхность полости Г2 будет определяться уравнением (х — а1) + + (у — Ь1)2 + (г — С1)2 = Я2.
Рис. 2. Введение системы координат
Колебания частиц упругого покрытия О под действием звуковой волны будем описывать уравнениями движения в напряжениях [15]:
ЭО хх Эаху ЭО ^ д2ux
ЛЛ + ./ + __л
Эх ду Эг дt2
ЭОух.+ЭоУУ+ ЭОж _р Э!иу, (2)
Эх Эу Эг дt2
ЭОх + дагу +ЭО^ _р
Эх Эу Эг Эt2 где Оу - компоненты тензора напряжений; иу - компоненты вектора смещений и. Заметим, что компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты вектора и и тензора модулей упругости Ху в соответствии с обобщенным законом Гука.
Уравнения движения в однородной части пластины будем представлять также в форме (2). В соответствующем уравнении будут фигурировать плотность р1, компоненты тензора напряжений Оцу, компоненты
и1 у вектора смещений и1, соответствующие области 01.
Рассеянное звуковое поле будем описывать потенциалом скорости в рассеянной волне так, что скорость частиц V в области Оо определяется выражением
V = grad(Y р + ^).
(3)
Потенциал должен удовлетворять волновому уравнению [14]
эч
с2 д г2
(4)
и условиям излучения на бесконечности:
Г
О
ч' у
д^
дг
= О
Г
V Г у
(5)
где г =| г |.
На поверхности Г должны выполнятся граничные условия взаимодействия частиц идеальной жидкости из Оо и упругой среды из О и Эти условия требуют совпадения нормальных скоростей и напряжений, а также отсутствия нормальных напряжений:
г е^ г < о: — юип = Уп, апп =—ро, о„х= о; (6)
геГ, г>о: — тщп = Уп, ^1пп =—Pо, °1пт = 0, (7)
где индекс п обозначает нормальную составляющую вектора (тензора), а х - касательную; Уп определяются по (3); ро = гюро(^р + ^) - давление
в жидкости.
Будем считать, что покрытие и однородная часть пластины соединены так, что обеспечивается непрерывность смещений и напряжений. Тогда на поверхности Г1 должны выполняться условия
г еГ1: и1 = и , 01хг =а хг, ^1уг = °уг , °1гг =° гг . (8)
Наконец, на поверхности полости должны отсутствовать напряжения так, что
г еГ2: °1пп = ^ °1пт = о. (9)
Таким образом, задача о дифракции плоской звуковой волны (1) на неоднородной пластине с полостью сводится к нахождению решений уравнений вида (2) (для областей О и О1) и уравнения (4) в бесконечной области Оо, удовлетворяющих условиям (5) - (9).
Решение такой краевой задачи в аналитической форме невозможно из-за неопределенной формы р(г), 1 ^ (г) и сложного сочетания форм граничных поверхностей. Будем решать уравнения (2), (4) численно с использованием метода конечных элементов (МКЭ) [16]. Наличие неограниченной области Оо не позволяет применять МКЭ непосредственно. Будем использовать подход, предложенный в [17] и применяемый при решении задач дифракции на пространственных упругих слоях в [18, 19].
87
Г
В области жидкости, прилегающей к неоднородному препятствию, выделим слой Оо с внешней сферической поверхностью Го (рис. 3). Будем считать, что точка О' - центр поверхности Го - лежит в геометрическом центре параллелепипеда, ограниченного поверхностью Г. Между поверхностью Го любой точкой поверхности Г должен быть слой жидкости
ненулевой толщины. Тогда радиус Щ поверхности Го должен удовлетво-
2 2 2 2 рять условию Щ > (а + 6 + (Н + Л) )/4.
Рис. 3. Модификация постановки задачи
Шар, ограниченный поверхностью Го, в который входят слой жидкости Оо, неоднородное покрытие О, однородная часть пластины О и полость, рассматривается в качестве неоднородного препятствия для волны . Уравнения движения для всего шара будем решать МКЭ.
Для этого введем дополнительное неизвестное поле - потенциал скорости ¥ движения частиц жидкости в области Оо. Потенциал ¥ должен удовлетворять волновому уравнению, аналогичному (4),
1 Э2¥
г. (Ю)
со Эt
На поверхности Го как на поверхности контакта идеальных жидкостей с одинаковой плотностью и скоростью звука должны выполняться условия равенства потенциалов скорости и их производных по нормали к поверхности
г еГо: +ЧЯ, -", (П)
^ Эг Эг
где г - координата сферической системы координат г , 9, ф с центром в точке О. Физически первое условие определяет равенство давлений во взаимодействующих жидкостях на Го, а второе - равенство проекций скоростей движения частиц на нормаль к поверхности Го.
Введем разбиение на конечные элементы шара г £ Ко (за исключением полости). Пример центрального сечения сетки конечных элементов внутри поверхности Го представлен на рис. 4. Сформулируем краевую задачу для уравнений движения в области О' = Оо и О и О1.
Все неизвестные функции в шаре г £ Ко - потенциал ¥ (в слое Оо ), смещение и (в покрытии О), смещение и1 (в однородной части пластины) - разложим по координатным функциям конечных элементов:
К К к
¥= I ¥кГк (г), и = X ЪкГк (г), и = X Ъ1кГк (г), (12)
к=1 к=1 к=1
где К - число узлов сетки конечных элементов; /к (г) - координатная
функция узла к; ¥к, ик, и^ - узловые значения искомых функций.
Рис. 4. Разбиение неоднородного препятствия на конечные элементы
Решая уравнение (4) методом разделения переменных с учетом условий (5), в сферической системе координат получим
¥ П
Ys = Z ZAnmhn(k0r)Pm (cosq)exp(mj), (13)
n=0 m=-n
где Anm - неизвестные коэффициенты; hn(x) - сферическая функция Хан-
келя первого рода порядка n; PП (x) - присоединенная функция полинома Лежандра степени n порядка m .
Разложим потенциал падающей волны (1) по сферическим гармоникам в системе координат r, 0, j [20]:
¥ n
Yp = I I gnmJn (V)pm (cos 0) exp(mj), (14)
n=0 m=-n
где gnm - известные коэффициенты, которые определяются величиной Ap
и направлением распространения падающей волны k о/ ko; jn (x) - сферическая функция Бесселя порядка n.
Подставим представление Y через координатные функции из (12) и разложения (13), (14) в первое условие (11). Используя ортогональность
сферических гармоник Ynm (0, j) = P^m (cos 0)exp(imj) на сфере r = R0, получим выражения коэффициентов Anm через узловые значения потенциала Y на Г0:
Anm gnm I ( ) + , 1 1 Yk{fk,Ynm), (15)
hn (q) hn (q)Nnm k=1
где q = коЯо; Nnm - квадрат нормы сферической гармоники Упт ; [/к,Упт - скалярное произведение функции формы /к (г) и Упт (0, ф) на Го.
Подставим ¥ из (12), (14) и (13) с учетом (15) во второе условие (11), получим условие, которое не содержит неизвестные коэффициенты Апт. В выражениях Уп и ро через потенциалы в условиях (6), (7) заменим сумму ¥р + на ¥. Тогда второе условие (11), условия (6) - (9) составят
совокупность краевых условий для уравнений движения (2) (для О и О1), (1о) (для О'о), которые можно решать автономно в ограниченной области О' с использованием представлений (12).
Решая эту краевую задачу обычной технологией МКЭ путем сведения к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых значений неизвестных, получим величины , Ц, и^. Подставляя найденные ¥к на поверхности г _ Щ в (15), найдем коэффициенты в разложении (13) для потенциала скорости в рассеянной волне.
После этого можно анализировать рассеянное звуковое поле как в окрестности упругой пластины, так и в дальней зоне. В ближнем поле рассеяние звука можно анализировать непосредственно по сумме (13). Обычной характеристикой рассеянного поля в дальней зоне является функция формы нормированной амплитуды отраженной волны
2
F (e, j; X)=2
q
¥ П
Z z (-On4nmPnm (cos e)exp(imj)
п=о т=-п
Здесь в качестве дополнительного аргумента-параметра указан параметр Х, который определяется толщиной и свойствами материала покрытия. От значений, определяемых параметром X, зависит решение задачи дифракции, а, значит, и Апт. Изменяя параметр X, по значениям функции Р можно исследовать влияние покрытия на пространственное распределение амплитуды отраженного пластиной звука.
Таким образом, полученное решение позволяет оценить влияние свойств покрытия на рассеяние звука. Решение задачи для различных сочетаний свойств покрытия, определяемых X, позволяет выбрать такие параметры покрытия, которые дают наиболее приемлемые характеристики рассеяния.
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований и Правительства Тульской области (проект № 16-41-71оо83).
Список литературы
1. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.
2. Beranek L.L. The transmission and radiation of acoustic waves by solid structures, Noise Reduction. New York: McGraw-Hill, 1971. 346 p.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
344 с.
4. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.
5. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // Journal of Applied Physics. 1950. V. 21. P. 89-93.
6. Schoch A. Der Schalldurchgang durch Platten // Acustica. 1952. V. 2. N 1. P. 1-17.
7. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через тонкую пластину с опорами // Акуст. журн. 1964. Т. 10. № 2. С. 229-233.
8. Barnard G.R., Bardin J.L., Whiteley J.M. Acoustic reflection and transmission characteristics for thin plates // J. Acoust. Soc. Amer. 1975. V. 57. N 3. P. 577-584.
9. Leppington F.G. Scattering of sound waves by finite membranes and plates near resonance // Q. J. Mech. Appl. Math. 1976. V. 29. P. 527-546.
10. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансвесально-изотропный плоский слой // Акуст. жирн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 740-744.
11. Толоконников Л. А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179-184.
12. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
13. Cavalieri A.V.G., Wolf W.R., Jaworski J.W. Numerical solution of acoustic scattering by finite perforated elastic plates// Proc. Math. Phys. Eng. Sci. 2016. A472 (2188). 20150767.
14. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
15. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
16. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984.
428 с.
17. Скобельцын С.А., Королев А.Н. Метод конечных элементов в задаче о рассеянии плоской упругой волны неоднородным цилиндром // Изв. ТулГУ Сер. «Математика. Механика. Информатика». 2005. Т.11. Вып. 5. С. 187-200.
18. Скобельцын С. А., Королев А.Н. Использование МКЭ для решения задачи о рассеянии звука ограниченной неоднородной анизотропной термоупругой пластиной // Вестник ТулГУ. Сер. «Математика. Механика. Информатика». 2007. Т. 13. Вып. 2. С. 172-182.
19. Скобельцын С.А. Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 93-101.
20. Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц., skhlaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
ESTIMATION OF THE COATING PROPERTIES OF A FINITE ELASTIC PLATE WITH A CAVITY PROVIDING THE GIVEN PARAMETERS OF THE SOUND REFLECTION
S.A. Skoheltsyn
The problem of determining the thickness and the material properties of the inhomo-geneous coating of a elastic plate is considered. The plate has a spherical cavity. Plate coating should provide the required reflection characteristics of a plane sound wave. It is assumed that the plate elastic material properties, the plate and cavity geometry are known. The solution of the sound diffraction problem hy an inhomogeneous elastic object is performed numerically. The coating properties are selected on the hasis of the scattered acoustic field analysis.
Key words: sound reflection, harmonic plane wave, elastic plate, finite element method, inverse problem
Skoheltsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, skhlaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University
