CC BY
120
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 93-101 Механика
УДК 539.3
Рассеяние звуковых волн конечной упругой криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и полостью &
С. А. Скобельцын
Аннотация. На основе метода конечных элементов (МКЭ) предлагается решение задачи о рассеянии плоской звуковой волны ограниченной криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и сферической полостью в однородной части. В области жидкости, прилегающей к пластине, выделяется часть с внешней сферической поверхностью. В этой части жидкости, а также внутри пластины решение ищется численно с помощью МКЭ. Во внешней части жидкости решение представляется в аналитической форме в виде рядов по сферическим гармоникам.
Ключевые слова: отражение звука, гармоническая плоская волна, упругий слой, неоднородное покрытие, упругое тело с полостью, метод конечных элементов.
Значительный интерес в задачах о рассеянии звука упругими телами представляет учет влияния конечности объектов-препятствий и их неоднородности - геометрической и материальной.
Достаточно простой моделью упругого препятствия является плоский упругий слой. Изучению отражения звука плоским упругим слоем посвящено много работ. Общая теория задач о прохождении звуковых волн через слоистую жидкость и бесконечный упругий слой развита в монографиях [1-4]. В статьях [5-10] рассмотрены некоторые частные случаи отражения звуковых волн слоистыми средами. При этом в работах [8, 9, 10] рассматривается отражение звуковых волн неоднородным упругим слоем. В работе [11] решается задача об отражении звука плоской ограниченной пластиной на основе МКЭ. В статье [12] рассматривается влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку.
В данной работе на основе подхода, аналогичного использованному в [11, 17], решается задача об отражении плоской звуковой волны ограниченной
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект №13-01-9751413) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).
криволинейной пластиной с неоднородным покрытием и сферической полостью в однородной части.
Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1. Полагается, что из внешней идеальной жидкости на конечную криволинейную упругую пластину падает гармоническая плоская звуковая волна. Общая толщина пластины - постоянна и равна Н. Одна из поверхностей пластины (на рисунке - верхняя) покрыта неоднородным материалом, толщина которого также постоянна и равна Н. В однородной части пластины находится сферическая полость радиуса Я (2Я < Н — Н). Боковые поверхности пластины полагаются плоскими. Будем считать, что они пересекают криволинейные верхнюю и нижнюю поверхности под прямым углом.
Найдем рассеянное таким составным упругим препятствием звуковое поле в рамках линейных моделей движения идеальной жидкости и линейной упругой среды.
Считаются заданными:
- геометрические параметры пластины, неоднородного покрытия и полости;
- частота ш, амплитуда и направление 1 распространения падающей волны;
- плотность ро и скорость звука Со в идеальной жидкости;
- равновесные плотность и модули упругости Ламе материала упругой среды — р1, Аь ^1;
- зависимость от координат плотности и модулей упругости Ламе материала неоднородного покрытия — р(г), А (г), ^(т);
здесь г — радиус-вектор точки пространства в некоторой системе координат.
Звуковая волна Неоднородное покрытие
Обозначим область, занятую идеальной жидкостью, Оо; область однородной части пластины — П1; область неоднородного покрытия — ^2; полость — Оз. Рассматривая некоторое плоское сечение пластины,
проходящее через центр полости Оэ по нормали к верхней и нижней поверхности пластины вдоль большей ее стороны введенные обозначения представим на рис. 2.
а
Qj
Г,
Рис. 2. Введение обозначений
На рисунке также условно представлены: потенциал скоростей в падающей звуковой волны Фр и потенциал скоростей в рассеянной волне Ф5. Символами Г обозначены границы поверхностей: Г1 — внешняя поверхность однородной части пластины; Г2 — внешняя поверхность неоднородного покрытия; Гэ — поверхность однородной части пластины, покрытая неоднородным слоем; Г4 — поверхность полости.
Положим, что потенциал скорости в падающей плоской звуковой волне имеет вид
Фр = A0exp[i(k0 ■ r — wt)j,
(1)
где A0 - константа, задающая амплитуду и начальную фазу падающей волны; k0 = k0l - волновой вектор ^|k0| = k0 = — ; t - время.
Как указано выше, отраженная от слоя звуковая волна характеризуется потенциалом скорости в ней — Ф5. Колебания в однородной части пластины Qi можно задавать потенциалами продольных (Ф1) и поперечных (Ф1) волн, а колебания в неоднородном покрытии Q2 в общем случае — вектором смещений U2.
Тогда скорость движения частиц жидкости в Q0 будет определяться выражением [13]
V 0 = УФ0, (2)
где Ф0 = Фр + Фв.
А смещения частиц упругой среды в О1 — выражением
й1 = УФ1 + Ух Фь (3)
При этом векторный потенциал поперечных волн Ф1 должен удовлетворять условию _
V- Ф1 = 0. (4)
Согласно теории распространения упругих волн малой амплитуды в идеальной жидкости и изотропной упругой среде потенциалы Ф8, Ф1, Ф1 должны удовлетворять уравнениям Гельмгольца [13]:
ДФ5 + А0Ф = 0, (5)
ДФ1 + к2Ф1 = 0, (6)
ДФ1 + к2Ф1 = 0, (7)
где k1 = UyJx +2—, ki = w^/ — — волновые числа продольных и
Р1
А1 +2^1 ' поперечных волн.
Вектор смещения и компоненты тензора й 2 напряжений о%2 в неоднородном покрытии должны удовлетворять линеаризованным уравнениям движения в напряжениях в предположении отсутствия массовых сил [14]
д 2и j
V2 = pV^T , (j = 1, 2, 3), (8)
где V2 - знак ковариантной производной.
На поверхностях Гт (m=1,2,3,4) должны выполняться условия сопряжения движения сред. На поверхностях Г1, Г2 взаимодействуют упругие среды с идеальной жидкостью. Поэтому в точках этих поверхностей должны быть равны нормальные скорости движения частиц и нормальные составляющие напряжений. Кроме того, касательные составляющие напряжений здесь раны нулю. Таким образом:
Г1 : -iuUin = Von, &i,nn = -Po, &1,ит = 0; (9)
Г2 : -iuU2n = Von, О2,nn = -Po, 02,nr = 0, (10)
где V0n, U1n, U2n - компоненты векторов (2), (3) и U2, направленные по нормали n к границе; p0 = гр0Ф0 - давление в окружающей жидкости; om,nn - нормальные, om,nT - касательные компоненты вектора напряжений для упругого слоя Qm.
Граничные условия на поверхности Г3 сопряжения упругих составляющих пластины состоят в требованиях равенства смещений и компонентов векторов напряжений в областях Q1 и Q2:
Гз : Ü2 = Ü1, 02,nj = 01,nj, (j = 1,2,3). (11)
На поверхности Г4 полости Q3 в частицах однородной части пластины должны отсутствовать напряжения:
Г4 : <ri,nj = 0, (j = 1,2,3). (12)
Кроме того, потенциал рассеянной волны Ф5 должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности
= 0(;) ■ — = 0Ш ■ (13)
где r = |r| - длина радиус-вектора.
Таким образом, математическая постановка задачи может быть сформулирована так: найти решения Ф8, Ф1, Ф1, U2 дифференциальных уравнений (5)-(8), удовлетворяющих граничным условиям (9)-(12) и дополнительным условиям (4), (13).
Сложная поверхность упругой пластины и ее структура не позволяет искать решение задачи в аналитической форме даже при значительных упрощающих предположениях. Это касается не только полей упругих колебаний в областях Q1, Q но и рассеянного звукового поля Ф8.
Достаточно эффективным численным методом решения задач теории упругости и гидродинамики является МКЭ [15, 16], но стандартная технология его применения предполагает решение в ограниченной области.
По аналогии с предложенным ранее в [11, 17] для обеспечения возможности поиска аналитического представления решения уравнения (5) во внешней области выделим часть жидкости, прилегающую к упругой пластине сферической поверхностью Г0 с центром, совпадающим с центром полости Q3 так, чтобы вся упругая пластина и некоторый слой Q жидкости ненулевой толщины, вблизи пластины, оказались внутри этой поверхности (см. рис. 3).
Внешнюю неограниченную область жидкости за пределами Г0 будем обозначать Q0. В новой трактовке задачи будем рассматривать объем внутри поверхности Г0 — Q'=QuQ1 UQ2UQ3 — как некоторое неоднородное сферическое тело, которое рассеивает падающую волну Фр. Уравнения движения среды внутри этого "тела" будем решать с помощью МКЭ.
Таким образом, в области Q МКЭ решается вместо уравнения (5) уравнение
ДФ0 + к0Ф0 = 0. (14)
Также МКЭ решаются уравнения (6), (7) — в области Q и уравнения (8) — в области Q2.
Пример сечения объема Q' после введения сетки конечных элементов показан на рис. 4.
Во внешней области Q0 уравнение (5) решается аналитически так, что потенциал скоростей в рассеянной звуковой волне с учетом (13)
Рис. 3. Модификация постановки задачи
представляется в виде
те п
Фз = ^ ^ АптНп(кт)РПт(со80)ехр(гт^), (15)
п=0 т=—п
где Нп(х) — сферическая функция Ханкеля 1-го рода порядка п; Р™(х) — присоединенная функция Лежандра степени п порядка т; коэффициенты Апт подлежат определению из граничных условий.
Эти граничные условия — условия на поверхности Го. На этой поверхности потенциал Фо в области О должен совпадать с суммой потенциалов Фр и Ф5 в области Оо, также должны совпадать их производные по нормали к поверхности Го:
Фо1геПо = Фр + Ф*, (16)
дФо '
дп
reno дп
д(Фр + Фв)-. (17)
При поиске решения в объеме О' в граничных условиях (16), (17) фигурирует потенциал Ф5 с неизвестными коэффициентами Апт. Для их исключения из граничных условий для уравнений движения в области О' используем (16) — первое из граничных условий на Го — так, как предложено в [18].
Этот подход позволяет вначале решить задачу в области О' стандартной технологией МКЭ, а затем по найденным узловым значениям Фо на границе Го на основании (16) рассчитать коэффициенты Апт.
В результате получаем возможность анализировать рассеянное акустическое поле как вблизи пластины с неоднородным покрытием и полостью (по потенциалу Фо), так и в дальней зоне — по потенциалу Ф8, рассчитанному по (15).
Список литературы
1. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.
2. Beranek L.L. The transmission and radiation of acoustic waves by solid structures, Noise Reduction. New York: McGraw-Hill, 1971. 346 p.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.
4. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.
5. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // Journal of Applied Physics. 1950. V. 21. P. 89-93.
6. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акуст. журн. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85-92.
7. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акуст. журн. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122-129.
8. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансвесально-изотропный плоский слой // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 740-744.
9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. О прохождении звука через плоский неоднородный термоупругий слой // Известия ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2001. Т. 7. Вып. 2. С. 104-109.
10. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
11. Скобельцын С.А., Королев А.Н. Использование МКЭ для решения задачи о рассеянии звука ограниченной неоднородной анизотропной термоупругой пластиной // Вестник ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика. Т. 13. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 2007. С. 172-182.
12. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 179-192.
13. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
14. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
15. Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. М.: Мир, 1984. 428 с.
16. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Моделирование решений задач акустики с использованием МК // Известия ТулГУ. Естественные науки. Вып. 2. Тула: ТулГУ, 2008. С. 132-145.
17. Скобельцын С.А. Дифракция звука полым упругим сфероидом с внешним неоднородным покрытием // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. Международной научной конференции. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. С. 404-411.
18. Скобельцын С.А. О порядке решения задачи дифракции звука упругим телом с полостью с использованием МКЭ // Вестник Тульского государственного университета. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2012. Вып. 1. С. 51-58.
Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.м.-н., доцент кафедры прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.
Scattering of sound waves of finite elastic curved plate with an inhomogeneous coating and cavity
S.A. Skobeltsyn
Abstract. The model of finite element method (FEM) using for the solution of a problem of a plane harmonic acoustic wave scattering by the finite curved plate is offered. In the area of a fluid, adjoining to a plate, the part with an exterior spherical surface is selected. In this part of a fluid, and also inside a plate the solution is searched numerically with help FEM. In an exterior area of a fluid the solution is represented in an analytic form as a series on spherical harmonics.
Keywords: scattering of sound, harmonic plane wave, elastic layer, inhomogeneous coating, elastic body with a cavity, finite element method.
Sergey Skobeltsyn (skbl@rambler.ru), Ph.D. in physics and mathematics, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.
Поступила 11.11.2014
