О равнораспределении энергии случайных вибраций в ограниченной оболочке Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.23 OECD 01.03.AA

О равнораспределении энергии случайных вибраций в ограниченной

оболочке

Казаков Л.И.* К.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, Тихоокеанский океанологический институт им. В.И. Ильичёва ДВО РАН, г. Владивосток

Аннотация

Рассмотрены вынужденные вибрации тонкой ограниченной цилиндрической оболочки, возбуждаемые произвольными силами. Из-за конечных размеров оболочки в ней устанавливаются стоячие волны собственных квазипродольных, квазисдвиговых (крутильных) и квазиизгибных колебаний. Каждое такое колебание ассоциируется с сосредоточенным акустическим резонатором. Получены простые приближенные формулы для собственных частот резонаторов. Расчетом установлено равнораспределение кинетической энергии колебаний по степеням свободы - собственным колебаниям оболочки при её возбуждении множественными ударами. При стационарных случайных вибрациях равнораспределение справедливо для собственных колебаний оболочки с близкими частотами.

Ключевые слова: ограниченная оболочка, вибрации, собственные колебания, акустические резонаторы, резонансные частоты, равнораспределение энергии случайных вибраций.

About equidistribution energy of random vibrations in a limited shell

Kazakov L. I.

K. F.-M. N., leading researcher, Pacific Oceanological Institute named after V. I. Il'ichev FEB RAS, Vladivostok

Abstract

Forced vibrations of a thin bounded cylindrical shell excited by arbitrary forces are considered. Due to the finite size of the shell, standing waves of proper quasi-longitudinal, quasi-shear (torsional) and quasi-flexural oscillations are established in it. Each such oscillation is associated with a concentrated acoustic resonator. The simple approximate formulas for the natural frequencies of the resonators are obtained. The calculation established the equidistribution of the kinetic energy of oscillations in degrees of freedom - its natural vibrations of the shell when it is excited by multiple strikes. For stationary random vibrations equidistribution is true for the natural oscillations of the shell with close frequencies.

Key words: limited shell, vibrations, natural oscillations, acoustic resonators, resonant frequencies, equidistribution of random vibration energy.

Введение

В статистической физике есть знаменитый закон Больцмана о равнораспределении кинетической энергии тепловых движений по степеням свободы тел [1, с. 149], [2, с.456]. Этот удивительный закон «обладает огромным диапазоном применения» [3, с. 172]. Например, ему подвержены не только молекулы газа, но и зеркальце гальванометра (макроскопический объект!), совершающее броуновское «дрожание» под ударами этих молекул [4, с. 46], [5, с. 413] (что позволило найти значение постоянной Больцмана к).

E-mail: lev-kazakov@rambler.ru (Казаков Л.И.)

Рэлей был первым (1900 г.), кто отождествил собственные колебания тела (стоячие волны) с его степенями свободы [6, с. 83, 164]. Дебай использовал (1912 г.) такое представление применительно к звуковым волнам в твердом теле при создании теории его теплоемкости [7, с. 436]. Классическое приближение этой теории, приводящее к закону Дюлонга и Пти, как раз и состоит в утверждении справедливости закона Больцмана в акустике - по крайней мере, в акустике твердого тела. Ибо возбуждение в последнем акустических волн ударами молекул окружающего газа ничем не отличается от ударов твердыми шариками, каковыми и представляют молекулы в кинетической теории газа.

Между тем вопрос об акустической применимости закона равнораспределения в литературе совсем не разработан и практически даже не упоминается. Найдены лишь две статьи, где расчеты базируются на предположении о справедливости этого закона [8], [9].

К закону Больцмана, конечно, много претензий [10, с. 197]. Может быть поэтому и сам закон именуют по-разному. «Законом» его называют, например, в учебниках [1], [2], [10]. Другие называют это «теоремой о равнораспределении» [3], [4], [7]. Рэлей предпочитал определение «доктрина Максвелла - Больцмана» [6, с. 88]. Ключевым в этих определениях является слово "равнораспределение". Так и будем далее называть это яркое явление физики.

Цель статьи: получить прямым расчетом равнораспределение по степеням свободы энергии случайных вынужденных вибраций в ограниченной цилиндрической оболочке.

1. Основной расчет

Оболочку будем считать замкнутой, круглой с радиусом срединной поверхности Я, ограниченной длины Ь, малой толщины к << Я. Совместим срединную поверхность оболочки с координатной поверхностью р = Я цилиндрической системы координат (р, ф, г). Края оболочки прямые, лежат в координатных плоскостях г = 0, г = Ь и свободно оперты на неподвижные жесткие опоры. Рассмотрим воздействие на такую оболочку динамических нагрузок, произвольно распределенных по её поверхности.

Колебания оболочки будем описывать полученной В.З. Власовым [11] системой трех дифференциальных уравнений относительно смещений точек срединной поверхности в осевом (Ц1), окружном (и2) и радиальном (и3) направлениях:

1 д г гг _ г _ г _ 1 13

2 -л ,2 'Ь11^1 Ь12и2 Ь13из _' 2 '1'

с1 ш т1с1

1 д2и2 _ _ _ _ ,

~ Ь21^1 _ Ь22и2 _ Ь23и3 _ 2 '2, (1)

2

с1 дг т1с1

1 д 2и

2 л 2 Ь31^1 Ь32и2 Ь33и3 _ 2 '3,

1 дг т1с1

где Ц - симметричная матрица линейных дифференциальных операторов:

1 д2 _ 1 д2

Ь11 дг2 + 2 д.2' Ь22 2 дг2 + д.2'

L12 = L21 =

1+ G d2 .

2 dzds

j = j =----

L23 l32 -

1 d 3-a„ 2 d3

L13 = L31 Ra<

13 31 R dz

f 33

Э3 1 -a d

3 Л

dz 3

2 dzds2

R ds 2

f

Raz

dz2ds'

(2)

• J = a 2

' L33 a

Э2

1

Л

R 2V 2v2 + 2— + —

ds2 R2

+

R2

a2 =

2 d2 d2

12R2

V2 =

+

д4 д

dz2 ds5

V2V2 = ^- + 2

4 д4 + -

dz4 dz2 ds2 ds4

s = Rq;

c =

1 \

E

И'

, м/с - скорость продольных волн в пластине, выполненной из

материала оболочки с плотностью рь кг/м , модулем Юнга Е, Па и коэффициентом

2 2 Пуассона б; тх= рк, кг/м — поверхностная плотность оболочки; '1,2,3= '1,2,3 (г,ф,г), Н/м2

- компоненты вектора внешних сил, приложенных к единице площади срединной

поверхности оболочки, соответственно, в осевом (Р1), окружном (Р2) и радиальном (Р3)

направлениях.

Условия свободного опирания краев оболочки означают равенство нулю при г = 0, Ь нормальных сил М(ф), изгибающих моментов М1(ф), окружных и2(ф) и радиальных и3(ф) смещений, т.е.

N,(9) =

Eh

1 -a2

dU1 a

+ —

dz R \ dq

dU 2

Y

-U

= 0,

M 1(9) =

Eh

3 f 32

12(1 -a2)

d2U a d 2U

2

- +

v dz2 R2 dq2 ,

= 0,

и2(<р) _ 0, иъ(ф) _ 0.

Эти граничные условия доставляют, по-видимому, единственную до сего времени возможность точного решения системы уравнений (1).

Следуя С.П. Тимошенко [12, с. 462], будем решать задачу методом разделения переменных, положив:

(U1 /р )(q, z,t) = X X (UГ /рpm )(t)cos^cosm q,

p =1 m=0

R

(U2 /P2 )(q, z,t) = XX (U2pm /P2pm )(t)sinsinmq

p =1 m =0

R

(3)

(U3 / P3 )(q, z, t) = XX (U3pm / Ppm )(t) sin ^cos mq,

p =1 m =0 R

где

_ nR

p =Tp'

P1 pm (t) = ff р1( z, q, t) cos^ cos mqdzdq, nL R

L 2n

00

R

1

2

h

3

рршц) = £т г гР ( {) 81п р*8-пт^^р,

пЬ1 1 в

Р*.

рртц) = £м г гР3(х)81пж^туйЫф, ПЬ ^

0 0 Ь 2п

Я

(5)

Я

80 = 1, 8Ш = 2, т = 1, 2, ... ,

Подставив ряды (3) в систему уравнений (1) и сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях, придем к системе неоднородных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно функций времени

и риг):

Я2 й 2ирт

Я

2

2 Л.2

+ апирт + а12ирт + аии рт =-г Р1рт

йг тс.

2

Я2 й 2П рт Я2 -2 ^ЦН + а2иРт + а22ирт + а2зи рт =-г Р2рт,

с

йг2

т1с1

(6)

Я2 й 2ирт

ЯГ ^иЬ + а,ирт + аЪ2и рт + аъъи рт с йг

Я2

Рр

2 Р3

где

-2 . 1 -а

ап = р +-

^^ , аа 12 а^

1+а_

-рт,

2

а13 а31 р

2(_2 1 -а 2 а+ аI р —— т

1 -а_о 2

, а22 = р + т ,

(7)

а2з _ аз2 _ т

^ 3-а 2 —2 1 + —ар

а33 = 1 + а2

(р2 + т2 )2 - 2т2 +1

Пока будем считать ш > 1, когда 8Ш = 2. Осесимметричный случай ш = 0 обсудим отдельно.

Рассмотрим случай нулевых начальных условий, когда компоненты внешней нагрузки Р1,2,3 и смещения щ,2,3 (3) как функции времени 1 равны нулю при 1 < 0. Будем считать эти функции абсолютно интегрируемыми и представимыми в виде интеграла Фурье. Такими же свойствами, очевидно, будут обладать и функции времени ир"р3 (г) и

Р1,р2т,3(г) . Применив к обеим частям каждого из уравнений (6) одностороннее преобразование Фурье [13, с.173]

ирт3 (г) = — Гиртз (ю)е~шйю, ирт3 (ю) = Г и^ (г)еюйг

, , 97Т , , , , Л , ,

2п

Р1р2»3 (г) = — Гр1р2И3 (М)е ~шйа, Р1рг3( ю) = Г Р1рТ3(г )егюгйг,

,, 2п J ' , '' ,,

Ь 2П

00

с

т1с1

2

0

0

где 1 - мнимая единица, ю, рад/с - круговая частота, придем к системе неоднородных алгебраических уравнений относительно комплексных спектров (точнее - спектральных плотностей) иР2"3(&>), м-с функций времени иРт3(£), м:

2 Я2

(ап 2)ирт + а12и¡т + а13ирт _-Ят Р1рт,

т1с1

2 Я2

а21и1рт + (а22 _ О2)и2рт + а23и3рт _ -ЯТ Р2рт, (9)

т1с1

рт рт 2 рт Я2 рт

а3^1рт + аЪ2и2рт + (а33 2)и3рт _-гРърт,

т1с1

где

Q = ^. (10)

2

В правых частях уравнений (9) стоят спектральные плотности P1p2'"3(w), Н-с/м

функций времени (5).

Решения системы (9) даются формулами Крамера, которые приводят к выражениям:

R2 з

Upm (Q) =—2-- X Qfl (Q2) РГ С"), j = 1,2,з, (11)

m1c1 D(Q ) i=1

где

D(Q2) = -Q6 + b,Q4 -b2Q2 + b3 - (12)

определитель системы (9),

b1 — an a22 a33,

2 ana22 + ana33 I aa2233 a,12 ^^13 aa23 , (13)

Ьз ana22a33 I '"2d 1213^^23 ^^n^a23 a,22,a,13 a,33a,12 • Q11(Q2) = Q4 -(a22 + a33)Q2 + a22a33 -a232 , Q22(Q2) = Q4 -(a11 + a33)Q2 + a11a33 -a132, Q33(Q2) = Q4 - (a11 + a22)Q2 + a11a22 - a122, Q12(Q2) = Q21(Q2) = a12Q2 + a13a23 - a12a33, (14)

Q13(Q2) = Q31(Q2) = a13 Q2 + a12 a23 - a13 a22, Q23(Q2) = Q32(Q2) = a23Q2 + a12a13 -a23a11.

Определитель (12) представим в виде

D(Q2) = -(Q2 -42)(Q2 -^2)(Q2 -Я),

где Л, Л, Л - корни кубического относительно й2 уравнения Э(й2) = 0, которые следует считать действительными и однократными [11, с. 214]. В соответствии с формулами Виета справедливы соотношения:

Ь1 = + Л + А3, Ь2 = Л°А22 + ЛЛ + ЛЛ2Л^, Ь3 = АЛЛ2-Л. (15)

Если (при ш Ф 0)

7=

Ь1Ь3

>> 1,

(16)

то, используя формулы Виета (15), можно показать, что меньший из корней

22 уравнения ) = 0 (пусть это будет Х3 ) приближенно равен

Ь (

1+■

У-2.

(17)

а два других корня

Ь1 ±

Ь12 - 4Ь2 +

2Ь2 (. 1^

—2 1 + —

У \ У)

-Л

(18)

Для достаточно тонких оболочек условие (16) обычно всегда выполняется. При этом формулы (17), (18) для корней Л справедливы с хорошим приближением (< 0,1%).

При р2 + т2 >> 1 отсюда следует:

Л - а2[(р2 + т2)2 -2т2 +1]+

(1 -а2) р4 (р2 + т2)2

а2 =

12Я

(19)

Л! 2

Л2 -р2 + т2 +1 Л - 1 а^2 2

(р1+т) 22

Если а(р + т ) >> 1, то Л3 - а(р + т2).

Разложим правильные несократимые дроби, входящие в формулу (11), на элементарные дроби:

апсо2) ^ а,(Л) 1

■ =

/V,

Б(о2) ^ &(к2г) о2-Л2/

(20)

где

о'(Л2) =

^ йЛ(а2)

йо2

=-3Л4+2ь1л; - ь

о2 =Л2

(21)

С помощью формул (14) и (21) легко также установить, что

- б \о2) = еп(о2)+622(02)+633(02). Подставив выражения (20) и (22) в формулу (11), окончательно найдем:

2

Ь

2

1

2

2

Н

e>2 3 3 Л Ppm (Q)

Up-(Q) = -Ц.XX jt-QQ. j = 1.2.3. (23)

m1c1 i=1 r=1 Яг -Q

где

Anr = Anr (p, m,R, a 2,a) =---^^-p,m = 1,2,...,ю. (24)

J J p L Qn(A2r) + Q22(A2r) + 2зз(Я)

В симметричном случае (при m = 0) будет:

U 2 = 0, U = Ux( z, t), U3 = U з( z, t), P2p 0(t) = 0; согласно формулам (7)

a12 a01 a2o ao2 0; „0 _ —2.

a11 = p • aз0з = 1 + a2(1 + p4); (25)

a^ = aO! =- p (a + a2 p2). Формулы (20) можно распространить на осесимметричный случай m = 0, если

считать:

a°

A2ir = Aj2г = Aji2 = 0; - A101 = A100 = -A311 = A010 = Я - Я ' (26)

Я00 - Я01

Я2 - a0 Я2 - a0

Л = Л = 00 a11 ; Л = Л = ^ОЗ a00 ; Я = Я ; Я = Я

A111 A000 Я Я ' A110 A001 Я Я2 ' Я1 = Я01; Я0 =Я00'

Я03 - Я01 Я03 - Я01

где

Я = 2 fao03 + a1°1 (27)

V = 2(a303 + < ^V(d°0™-d0^+(0d1°0)i)• При p2 << 1 (L>>R) из формул (27) и (25) следует:

Ли ~ W1 -a2; Я0з~1,

откуда, учитывая (10) и (4), найдем резонансные частоты осесимметричных колебаний протяженной оболочки:

0 = pc^1 -a2 = p 1 2 L

E

(28)

P

f

p 0 — c1 __

2nR 2nR у

E

(29)

Px(1 -a2)

Частоту, определяемую формулой (29), называют кольцевой, т.к. с ней происходят свободные синфазные радиальные колебания оболочки как кольца. При этом по окружности оболочки укладывается одна длина волны продольных колебаний в пластине. На резонансной частоте 1^р0 (28) по длине оболочки укладывается р продольных полуволн в стержне.

1

Формулы (23) позволяют полностью решить задачу о вынужденных колебаниях свободно опертой по краям оболочки под действием сил, произвольно распределенных по ее поверхности и действующих в произвольных направлениях. Для получения окончательных результатов необходимо по найденным значениям спектральных плотностей и]рт(ю) вычислить функции времени и/™^) с помощью преобразования Фурье (8), подставить эти функции в правые части выражений (3) и выполнить суммирование рядов.

2. Эквивалентные резонаторы

Представим формулы (23) в более привычном для акустика виде, перейдя от волновых параметров □ = шЛ / с1 к частотам ю и от спектров смещений к спектрам скоростей

у.рт (ш) = -1ширт (ш).

Таким путем из (23) получим:

урт (ш) = Уурт (ш),

Г=1

ш 2

ш -Ррт (ш)

1 ш2

Урт (ш) = ----Р--2-= У (ш, шртг) РГ (ш),

7 1шт1 ш2 р

1 Щ2

ртг (30)

где при т Ф 0 в соответствии с соотношением (24)

Л й а Л)Р1 рт (ш) + й,2 (Л2) Р2рт (ш) + й3 (А2)Р3рт (ш)

Р?т(ш) = УА]1гРрт(ш) = ^ г 1 712К г Р2 723 г 3 , (31)

1=1 7 ап(л2г)+аЖ)+в33ф к ;

при т = 0

рр0 (ш) = У А^р 0 (ш),

г=1

а величины А]1г даются выражениями (26);

ш

1 ш2

У (ш,шртг) = —---Щ- - (32)

ют1 ш 1

^ртт

проводимость сосредоточенного акустического резонатора, представляющего собственное колебание оболочки с резонансной круговой частотой

ш =Л (р,т)

ртг

Л \

Е (33)

Л(1

Например, при а(р2 + т2) >> 1 согласно формул (19) Л3(р,т) ~ а(р2 + т2) и по формуле (33) найдем собственные частоты квазиизгибных колебаний оболочки

_ (p + m )h fpm3 _ 2nR2 \

E

E (34)

12pj(1 -tf2)

Это совпадает с выражением для собственных частот поперечных колебаний прямоугольной пластинки со сторонами L и nR, свободно опертой по всем краям [14, с. 301]. Плотность собственных частот в этом случае дается асимптотической формулой:

dN (f pm3 ) _ 2StRL

dfpm3 hci '

Таким образом, отклик оболочки на произвольные воздействия - это сумма откликов множества независимых акустических резонаторов типа (30), причем каждому сочетанию чисел p и m при m ^ 0 соответствуют три, а при m = 0 - два резонатора.

Комплексные спектры (30) компонентов колебательной скорости pmr-го резонатора определяют через интеграл Фурье (8) временные отклики VJprm (t)

резонатора на произвольные воздействия Р—— (t). Используя (3), вычислим кинетическую энергию pmr-го резонатора оболочки:

m R L 2п С — —

Tpmr (t) _ —2— j jl [Vi—m(t)]2 cos2 Rcos2 mp+ \y2—m(t)]2 sin2 Rsin2 mp+ (36)

2 0 0 l R R

3

[v3—— (t)]2 sin2 —zcos2 mp }dzdp_— ¿[y—m(t)] , R 4£—1^i j

где

M = 2nRLm1 - (37)

масса оболочки, кг.

Средняя по времени кинетическая энергия резонатора равна по определению

г—® _ Й T j0T—mr (<)Л _ £ T^S^ffi № (t)]2 ^ (38)

3. Точечные силы

Рассмотрим случай, когда на оболочку действуют Nk зависящих от времени сил, приложенных в произвольных точках (zk,9k):

Fk (t) = Fk (t)(cos Yk • r + cos y2k • r2 + cos уЪк • r), (39)

r r

и- • ./ i -ой силы; e! = ez, e2 = ev,

e3 = ep - орты по координатным осям. В этом случае

1 N

Pj (z,p, t) _ - X F (t) cos Yjk S( z - Zk )8(v-q>k), (40)

(г) = — ^ гк (г )соъуло( z - г

R к=1

где 5 — символ 5 - функции. Подставив эти выражения в формулы (5) и найдя функции Ррт (г), используем их для вычисления с помощью преобразования Фурье (8)

2

спектров Ррт (а) этих функций. Последнее сведется к вычислению спектров функций

к а)

К (а) = IК

(а) = | Ек (г )еайг. (41)

0

Теперь представим, что силы Рк(0 > 0 - это весьма короткие импульсы произвольной формы и малой длительности тк, такой, что ютк << 1, т. е. имеет место ударное возбуждение оболочки. В этом случае из (41) получим

К (а) -1 К (г)йг = 1к, (42)

0

где 1к, Н-с - импульс силы ¥к (г),Н. Такой процесс напоминает залп бомбардировки тела молекулами газа. Найденные спектры Ррт (а) подставим в формулу (31) и далее в (30), чтобы получить спектры Vрт (а) компонентов колебательной скорости ршг-го резонатора, а по ним найти и сами временные отклики угт (г) этого резонатора. При этом придется вычислить интеграл [15, с. 421, 10]

г — 1ае а , „г аътах

, _г аьтаг , ^^

¿а = —21 —-- ¿а = пеоьартгг. (43)

^ Л12 — Л12 р

I 2 2 12 2

— а —а \ а —а

ртг 0 ртг

Используя результаты (42), (43), окончательно получим:

е„ ео8 а.г N

у Г (г) = X !к \ й}1 (Л) еоь пк еоьрГ ео* трк +

м х & ф к=1 1 *

¡=1

+ 2Ф)ео8/2к тфк + а^Л^еояуък ьт-^еоьтфк}. (44)

у Я Я

Подставив это в формулу (38), найдем

3 ( ^

X XX л{...}

Тр-(г) =—Г-^ ,2 У ,2 ]2, (45)

8М [оп(Лг)+&2(Л2)+б33(Л2)] где фигурная скобка - та же, что и в (44).

Будем считать, что точки приложения сил случайны и равномерно распределены по поверхности оболочки. Усреднение по этим точкам обозначим скобками

V к=1 У

12п

О=II. (46)

0 0

Все направления действия сил считаем равновероятными, что дает среднее

2

значение <еоь у]к> = 1/3. Проведя такие усреднения в формуле (45), получим:

Nk

r2

^-л = k Т 6¿g2)+6j2Ф+6?з(^2) (47)

^ ЕII

к=1

96М 1=1 ЬпЯ2) + 622^) + 6зз(Я2 )]2'

Рассмотрим выражение

Й^2)+222(«2)+62з(О2)

^pm(«2) = Т 2 2 2 2. (48)

j=1 [6n(Q 2) + 622^ 2) + 6зз(^ 2)]

Его можно представить в виде

21 (О2)

щрт(О2) = 1 + 7( 2 ), (49)

/12(О2)

где

3 = 211 + 222 + 2зз, (50)

2 2 2 3 2 = 612 + бхэ + 62з — 611622 — бцбзз — 2222зз.

Используя формулы (12) - (14), найдем:

611(0 2)б22(О2) — 0\2 (О2) = Б (О 2)( азз —О2),

6П(0 2)6зз(О2) — б1з(О2) = Б (О 2)(а 22 —О2), (51)

622 (О 2)6зз(О2) — 622з(О2) = Б (О 2)( ап —О2),

откуда с учетом выражений (50) и (1з) получим:

3 2(О2) = Б(О 2)(зО2 — Ь1). (52)

Поскольку значения О2 = Л2Г являются корнями уравнения Б(О2) = 0, то согласно формулам (51), (52) и (49) для всех ршг-резонаторов (при т Ф 0) справедливы соотношения:

62а2) = 611(^2)622(^2),

6в(Я2) = 6па2 )6зз(^2), (5з)

6^2) = 622(^2 )6зз(^2),

3 2 (^2) = 0, (54)

Грт Ф = 1. (55)

При ш = 0 (е0 = 1) соотношение (55) тоже выполняется, поскольку

= Е (А1 + Аз, )= Л1 + А^ + А2Г + А^

у=1,з

и, как легко установить с помощью формул (25) - (27),

0Ц21) = ур 0Ю = 1. (56)

Итак, соотношение (55) справедливо для всех резонаторов оболочки, отвечающих любым сочетаниям чисел р = 1, 2, ... ю; т = 0, 1, 2, ... ю; г = 1, 2, 3, т.е. для

любых частот и форм собственных колебаний. Оно выполняется независимо от того, какая именно теория оболочек используется, т. к. при выводе (55) не потребовались сведения о конкретном строении коэффициентов ау(р,т) (10), отражающих особенности симметричной матрицы линейных дифференциальных операторов Ь (2) системы разрешающих уравнений (1) теории оболочек. В сущности, найденные соотношения (53) - (55) - это только свойства решений системы алгебраических уравнений (9) с симметричными коэффициентами ау = а^ и с правыми частями.

На основании формул (48), (55), (56) из (47) окончательно найдем:

N.

г 2 1к

к=1

ЦЧ

Тр-(' V=к8м = 'птаг- (57)

Таким образом, при залповом ударном возбуждении ограниченной оболочки распределение энергии колебаний равномерно по всем возбужденным степеням свободы. Положение не изменится, если удары будут неодновременны, что легко показать.

Природа волновых степеней свободы такова, что каждая точка оболочки одновременно принадлежит всем резонаторам. Поэтому даже один удар в любом месте оболочки возбуждает сразу все её собственные колебания, но в разной степени: наибольший отклик дадут те из них, для которых место удара совпадет с пучностью колебаний и возбуждения вовсе не случится, если удар придется на узел колебаний. Применение же множественных разнонаправленных и равномерно распределенных по поверхности оболочки ударов дает путем усреднения (46) результат (57). При этом число ударов Nк не обязательно должно быть чрезмерно большим.

Если возбуждение оболочки представляет собой стационарный случайный процесс, то средняя энергия резонатора (38) не зависит от времени и в силу теоремы А.Я. Хинчина [16, с.164]

лт1 ЯЬ

Т

(г) = сур; Ца (58)

-„ | ]=1

где Су™ (ю), м/с - энергетический спектр процесса урт(г), м/с.

Энергетические спектры откликов Сурт (а) и возбуждающих резонатор сил Орт (а) связаны известным соотношением [17, с.374]:

оур; (а) = |т а ртГ )2 ор; (а). (59)

Здесь (в отличие от (32)) учтем диссипацию механической энергии в материале оболочки, задав модуль Юнга в комплексном виде Е(1 - гр), где п = п(ю) -коэффициент внутренних потерь, который в силу принципа причинности [18] должен быть нечетной функцией частоты, т. е.

П(а) = -ад(а), д(—а) = 3(а) <<1.

артг

Поэтому

Y(M'Mpmr ) =

a

a

iam

1 -

a

aL

-i

a

a

S(a)

(60)

Подставив выражения (59) и (60) в формулу (58), найдем:

Tit) = nRL pmr ( ) 2*,W

a

a

pmr 0

1 -

a

2 Л

a

2

pmr J

+ -

a2

a

S2 (a)

Е Gppm (a)\da. (61)

pmr

Если процесс Р]р.т (г) широкополосен в сравнении с резонатором, то в (61)

можно вынести из-под знака интеграла спектральную плотность. Тогда, считая, что наблюдение ведется в охватывающей собственную частоту резонатора юртг полосе частот Дю с центральной частотой со0 ~ сортг, достаточно узкой по сравнению с

шириной спектра воздействия, но намного превышающей ширину резонансной кривой, и учитывая, что [15, с. 312, 3.257]

J

x

(l - x2 )2 + x 2S2

-dx-

n

2S'

найдем:

П RL^ [PjPm (Aa, t )]2

Tpmr (Aa, t)

j=i

4£mmxa^S(ao)e

(62)

где в = Дю/юо - относительная ширина частотной полосы наблюдения. Отсюда видно, что все сводится к вычислению суммы средних квадратов компонентов возбуждающих резонатор сил, пропущенных через полосовой фильтр Дю.

Силами, возбуждающими ртг-й резонатор, являются в согласии с (30) функции

времени Рргт (г), получающиеся обращением по Фурье соотношений (31). Последние и представят эти функции при замене аргументов ю на 1. При этом функции Р1рт (г), входящие в числитель, будут выражаться формулами (5) через силы Р1 (г)(40), непосредственно приложенные к оболочке. Для средних квадратов компонентов возбуждающих резонатор сил найдем

№ (t )]2 =-

к2 R2 L2

Е а )

2- Е Fk2(t) k=1

Qj21(&2)cos2 Y1k cos2 p^ j R

cos mqk +

Q22(&)cos2 Y2k sin2-pZLsin2 mqk + Q23(&)cos2 y3k sin2-pZLcos2 mqk +

R

R

+ сумма знакопеременных перекрестных членов].

1

J

2

0

N

Выполнив подобно предыдущему примеру в формуле (63) усреднение (46) по случайным и равновероятным точкам приложения и направлениям сил (39), а также учитывая результаты (55), (56), найдем:

}=1

и рт (г )Г) =

£

и )

к=1

6л2 Я2 Ь

Подставив это в (62), окончательно получим:

и ^2(Да, г)

к=1

лОР (а0)

Тртг (Ла, г)' 24ЯЬт1 а^д(а0) в 12Ма0£(а0)

(64)

где

и ¥*(Ла, г)

(о) = ^-

Ла

энергетический спектр суммарного силового воздействия на оболочку, ограниченный полосой Дю.

Полоса частот Дю может быть относительно узкой, т. е. в << 1. Однако при достаточно высоких частотах в эту полосу попадет множество ДМ собственных частот юршг ~ ю резонаторов оболочки, отвечающих самым разным наборам чисел р, ш, г и представляющих всевозможные формы собственных колебаний оболочки (квазипродольные, крутильные, квазиизгибные). Например, для стальной оболочки размерами Ь = пЯ, Я = 1м, Ь = 0,004 м = 4 мм при с = 5400 м/с, р = ш = 40, а(р2 +ш2) = 3,7 >>1, в = 0,1 по формулам (34), (35) найдем: fpmз =3176 Гц, М = 318 Гц, ДМ = 503. Формула (64) устанавливает равенство средних кинетических энергий всех таких собственных колебаний с близкими частотами и служит, таким образом, доказательством и формулировкой равнораспределения случайных вибраций в оболочках ограниченной длины при стационарном возбуждении. Это можно назвать «равнораспределением в малом», поскольку оно не столь «всеобъемлюще» как (57). Возможно, так происходит из-за того, что при наличии потерь резонаторы уже не вполне взаимонезависимы, между ними происходит обмен энергией и, видимо, имеет место перекачка энергии по спектру в сторону более низкочастотных резонаторов, меньше поглощающих энергию.

N

N

N

Заключение

Доказано прямым расчетом равнораспределение кинетической энергии по всем возбужденным собственным колебаниям любых форм цилиндрической оболочки конечной длины при её ударном возбуждении. Это верно для широкого спектра резонансных частот, ограниченного лишь условием юртгтк <<1. При стационарных случайных вибрациях оболочки равнораспределение справедливо для собственных колебаний с близкими частотами независимо от их форм.

Список литературы

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика. Часть 1. 3-е изд. дополн. М.: Наука, 1976. - 583 с.

2. Левич В.Г. Курс теоретической физики. Том 1. Теория электромагнитного поля. Теория относительности. Статистическая физика. М.: ГИФМЛ, 1962. - 695 с.

3. Ансельм А.И. Основы статистической физики и термодинамики. М.: Наука, 1973. - 423 с.

4. Фейнман Р., Лейтон Р.,Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Вып.4. Кинетика. Теплота. Звук. М.: Мир, 1965. - 261 с.

5. Беккер Р. Теория теплоты. / Пер. с нем. М.: Энергия, 1974. - 504 с.

6. Шёпф Х.-Г. От Кирхгофа до Планка. / Пер. с нем. Под ред. Д.Н. Зубарева. М.: Мир, 1981. - 192 с.

7. Дебай П. Избранные труды. Статьи 1909 - 1965. Л.: Наука, 1987. - 559 с.

8. Степанов В.Б., Тартаковский Б.Д. О статистическом методе расчета вибрации сложной конструкции. // Акуст. журн. - 1987. - Т. 33. - № 4. - С.743-750.

9. Степанов В.Б., Тартаковский Б.Д. О статистическом методе оптимизации размещения вибропоглощающего покрытия на сложной конструкции. // Акуст. журн. -1989. - Т. 35. - № 1. - С. 116-121.

10. Румер Ю.Б., Рывкин М.Ш. Термодинамика, статистическая физика и кинетика. 2-е изд. испр. и дополн. М.: Наука, 1977. - 552 с.

11. Власов В.В. Избранные труды. Т. I. М.: Изд-во АН СССР, 1962. - 528 с.

12. Тимошенко С.П. Устойчивость стержней, пластин и оболочек. М.: Наука,1971. - 808 с.

13. Конторович М.И. Операционное исчисление и процессы в электрических цепях. Учебн. пос. 4-е изд. перераб. и дополн. М.: Сов. радио, 1975. - 320 с.

14. Скучик Е. Простые и сложные колебательные системы. / Пер. с англ. Под ред. Л.М. Лямшева. М.: Мир, 1971. - 557 с.

15. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. 5-е изд. стереотипное. М.: Наука, 1971. - 1108 с.

16. Харкевич А. А. Спектры и анализ. 4-е изд. М.: Физматгиз, 1962. - 236 с.

17. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть I. Случайные процессы. 2-е изд. перераб. и дополн. М.: Физматгиз, 1976. - 494 с.

18. Нуссенцвейг Х.М. Причинность и дисперсионные соотношения. / Пер.с англ. М.: Мир, 1976. - 461 с.