Определение основной частоты колебаний трехслойной панели корпуса космического аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 67.05

Вестник СибГАУ Том 18, № 1. С. 40-49

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОСНОВНОЙ ЧАСТОТЫ КОЛЕБАНИЙ ТРЕХСЛОЙНОЙ ПАНЕЛИ КОРПУСА

КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА

П. О. Деев1*, Ф. К. Синьковский2

1 Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева Российская Федерация, 660037, г. Красноярск, просп. им. газ. «Красноярский рабочий», 31 2АО «Информационные спутниковые системы» имени академика М. Ф. Решетнева» Российская Федерация, 662972, г. Железногорск Красноярского края, ул. Ленина, 52

Е-mail: prokhor777@gmail.com

Трехслойные панели широко применяются в составе корпусов современных космических аппаратов и обладают различными способами закрепления краев. При проектировании таких панелей всегда существует потребность в аналитической формуле, позволяющей с приемлемой точностью определять основную частоту колебаний, которая является удобной оценкой эффективности трехслойной конструкции, учитывающей взаимное влияние ее жесткости и массы. Решена задача определения первой частоты колебаний трехслойной пластины с жестко закрепленными краями. Для решения уравнений движения был использован метод Галер-кина. В качестве функций, аппроксимирующих форму пластины при колебаниях, принято решение задачи об изгибе балки с жестко заделанными краями под действием равномерно распределенной нагрузки. В результате, задача сведена к определению безразмерного частотного параметра, зависящего от геометрических, упругих и инерциальных характеристик трехслойной панели. Частотный параметр вычислен как с учетом, так и без учета инерции поворота нормали. В последнем случае для частотного параметра и частоты получены аналитические формулы. На конкретных примерах выполнен анализ влияния размеров трехслойной пластины, упругих характеристик и плотности материалов на частоту колебаний основного тона. Расчеты проводились с использованием полученных формул и в конечно-элементном пакете. Сравнение результатов показало, что первая частота колебаний закрепленной по контуру трехслойной пластины может быть с достаточной точностью рассчитана по полученной аналитической формуле, что особенно полезно при проектировании трехслойных панелей, когда ограничения накладываются на первую частоту колебаний.

Ключевые слова: трехслойная панель, корпус космического аппарата, основная частота колебаний, метод Галеркина, аналитическая формула, проектирование.

Sibirskii Gosudarstvennyi Aerokosmicheskii Universitet imeni Akademika M. F. Reshetneva. Vestnik Vol. 18, No. 1, P. 40-49

DETERMINATION OF THE FUNDAMENTAL FREQUENCY OF A SANDWICH PANEL AS CONSTRUCTIONAL PART OF SPACECRAFT BODY

P. O. Deev1*, F. K. Sinkovskiy2

:Reshetnev Siberian State Aerospace University 31, Krasnoyarsky Rabochy Av., Krasnoyarsk, 660037, Russian Federation 2JSC Academician M. F. Reshetnev «Information Satellite Systems» 52, Lenin Str., Zheleznogorsk, Krasnoyarsk region, 662972, Russian Federation Е-mail: prokhor777@gmail.com

Sandwich panels are widely used constructional parts of modern spacecraft bodies and have various edge-fixing conditions. In designing of such panels there is always a need for an analytical formula to determine with reasonable accuracy the fundamental frequency which is a convenient assessment of sandwich construction efficiency that takes into account the mutual influence of its stiffness and mass. The article observes fundamental frequency determination for rectangular sandwich panel with all edges rigidly clamped. The panel has symmetrical layer package, consists of two identical face-sheets and orthotropic core. The approach uses Galerkin's method to solve motion equations and the solution of a bending problem of the beam with rigidly clamped edges as a function that approximate panel shape. This reduces the problem of determination of the dimensionless frequency parameter which depends on the panel geometry, inertial and elastic characteristics. The frequency parameter is calculated both including and excluding rotation inertia. In the latter case, an analytical formula for fundamental frequency is the result of this approach. Influence of geometrical, elastic and inertial parameters of the sandwich panel to its fundamental frequency have been

analyzed by using the analytical formula. Comparison of calculation data with finite-element package modal solution shows that obtained formula gives high accuracy and low usage of computational resources, which is especially useful in designing process where restrictions are imposed on the first frequency of sandwich panels.

Keywords: sandwich panel, spacecraft body, fundamental frequency, Galerkin's method, analytical formula, designing.

Введение. Трехслойные панели широко применяются в составе корпусов современных космических аппаратов и обладают различными способами закрепления краев (рис. 1).

изгибной жесткости пластины всегда сопровождается увеличением массы единицы поверхности. Поэтому основная частота колебаний является удобной оценкой эффективности трехслойной пластины, учитывающей взаимное влияние жесткости и массы конструкции. Высокая эффективность трехслойных пластин обусловлена именно тем, что их структура, как никакая иная, позволяет обеспечить значительное увеличение изгибной жесткости при небольшом увеличении массы единицы поверхности. При реальном проектировании защемленных по контуру пластин всегда существует потребность в аналитической формуле, позволяющей с приемлемой точностью определять основную частоту колебаний.

Постановка задачи. Для описания движения пластины в статье использованы уравнения сдвиговой теории пластин, основы которой были заложены в работах [17] и [18] и которая получила широкое распространение при анализе слоистых пластин. Рассмотрим трехслойную пластину, состоящую из одинаковых композитных несущих слоев и ортотропного заполнителя. Срединную плоскость пластины отнесем к системе координат х, у, 2. Обозначим через а и Ь размеры пластины в плане, а через t и 5 - суммарную толщину несущих слоев и заполнителя (рис. 2).

Рис. 1. Трехслойные несущие панели

Динамический анализ является важной частью расчетов трехслойных панелей. Задачи определения частот и форм колебаний трехслойных пластин привлекали внимание многих исследователей. Впервые уравнения движения трехслойной пластины были получены и решены в статьях [1-4]. В последовавших затем исследованиях были предложены разнообразные динамические модели трехслойных пластин, на основе которых были решены многочисленные задачи колебаний этих конструкций. Разработанные модели и методы определения частот и форм колебаний трехслойных пластин нашли свое отражение в обзорах [5-9]. Результаты динамических расчетов трехслойных пластин представлены в работах [10-16].

Трехслойные пластины как несущие конструкции обладают граничными условиями, соответствующими жесткой заделке. Для такой пластины получить решение динамической задачи весьма сложно. Поэтому большинство исследований, посвященных колебаниям трехслойных пластин, выполнено для граничных условий, соответствующих шарнирному закреплению сторон.

Среди задач динамики трехслойных пластин особое место занимает задача определения основной частоты колебаний. Дело в том, что величина частоты зависит от отношения изгибной жесткости пластины к массе единицы поверхности. При этом увеличение

Рис. 2. Трехслойная пластина

Для описания колебаний трехслойной пластины воспользуемся системой уравнений, которая включает уравнения движения:

+ Q_B ^ = 0,

dx ду

р дг2

дМх дх дМ„

шХу q _ д2е

"Qx _ DP_

дМу

_ Qy _ D

дг2 д 2е у р дг2

• = о,

(1)

■ = о,

дх ду ^у физические соотношения:

Мх = Dlllх + D12lу, Му = D2llx + D22lу , Мху = °331ху , Q = КхVх , Q = Ку Vу,

геометрические соотношения:

Хх ^ ' Х у ~ ^ Xху ~ + ~

дх ду ду ох

дм

дм

(3)

* х =ех + *, * у=е у +"ду

В уравнениях (1)-(3) т - время; Qx, Qy - перерезывающие силы; Мх, Му - изгибающие моменты; хх, ХУ -кривизны срединной плоскости; хху - кручение срединной плоскости; ух, уу - осредненные по толщине деформации поперечного сдвига; м - прогиб пластины; 0х, 0У - углы поворота нормали к срединной плоскости; Пц, Б12, П2Ь П22, Пзз - изгибные жесткости пластины (Б12 = Д21); Вр - инерциальный параметр; Пр - параметр, обусловленный инерцией поворота нормали к срединной плоскости.

Получим уравнение движения, содержащие в качестве неизвестных прогиб м и углы поворота 9х, 9У. Последовательно подставляя (2) и (3) в (1), получим

^ д2 м г д2 м г де х ^ де у п д2 м .

Кх-Г + Ку-Т + Кх ——+ ку —— Вр—— = и,

х дх2 у ду2 х дх у ду От2

д2 ех

К дм + п д2ех + п

дх дх2 ду2

-Кх ех +( + Пзз ))у - = и, (4)

охду дт2

дм

.д 2ех

д2е у

-Ку — + ((21 + Пзз ))оУ + П22 ~ду2~ +

дхду 22 ду2

д 2е у

д2 е у

+пзз—у - ку еу - Пр—у = и.

зз дх2 у у

дт2

Рассматривая свободные колебания пластины, представим решение уравнений (4) в виде

;(х, у, т) = м (х, у)ит, ех (х, у, т) = ех (х, у)е-е у (х, у, т) = е у (х, у )е-гит,

-у учл V у '

где ю - круговая частота колебаний; I = . Функции м(х,у), 9х(х,у), 0у(х,у) определяют форму пластины при колебаниях.

Подставляя (5) в (4), получим следующую систему однородных дифференциальных уравнений:

д2м д2м дех де у 2 Кх—- + К„—,- + Кг^ + Ку-^ + Врю2 м = и, ду2 х дх у ду р

х дх2 у - '2

дм „ д2е

-+пз

д2 ех

- Кх &+

д 2е у

-Кх ех +((12 + Пзз )—у+(рЮ2ех = и, (6)

дхду

дм

д 2ех

д2е у

- Ку ^ + (21 + Пзз ))дх + (22—у +

оу

+п

о 2е у

дхду ду

—Ку е у + прю2е у = и,

зз дх2 Луиу т иу здесь и далее м = м(х,у), 0х = 0х(х,у), 0у = 0у(х,у).

Система уравнений имеет в совокупности шестой порядок по переменным х, у, поэтому на каждом из закрепленных краев пластины надо поставить по три граничных условия, т. е.

при х = и, а м = и, ех = и, е у = и, при у = и,ь м = и, ех = и, еу = и.

(7)

Определим жесткостные и инерциальные параметры трехслойной пластины. Будем в дальнейшем полагать, что несущие слои являются однородными и орто-тропными. Тогда будем иметь

гз

Птп = Л^— (тп = 11, 12, 22, зз),

= Л —2

тпг 12 = тп Кх = 8 С х

Вр = МСр,

Ку = °уг8 8 С у

Пр =Рг~ 2Р .

(8)

Здесь

Л 8з

2 = 2 . тп8 Ътп л ,з

лтпг г

12

2р 2 Рг гз,

2 = 1+з-+з-т, Схг =

1+8

зг 8+а

(9)

г [ г Ох.

С у2

1+

г

^8 + °у?8Л

Ср = 1.

Рг г

В уравнениях (8), (9) Лтпг, Лтп8 (тп = 11, 12, 22, зз) -коэффициенты жесткости несущего слоя и заполните-(5) ля; Ох2г, Оу2г, Ох2&, Оу2& - трансверсальные модули сдви-

га несущего слоя и заполнителя; рг, р8 - плотности материалов несущего слоя и заполнителя. Для орто-тропного материала Лп, = Ехь-, Л22, = Еу$-, Л12, =

= ExsVxyS, Лззэ = Охуз, где 5 = г,5; Ех^ = Е^1 - VxysVyxS),

Еу5 = Еуз/(1 - VxysVyxs); Ехз, Еуз - модули упругости в направлениях х и у соответственно; vxys, vyxs - коэффициенты Пуассона; Оху5 - модуль сдвига в плоскости ху. Если материал несущих слоев или заполнителя изотропен, то тогдаЛш = Л22з = Ез-, Л12з = , Лзз5 =

= О5 = 0,5(1 - Vs) Ез, Ох25 = Оу25 = О5, где 5 = г,5; Е* =

= Е5/(1 - V2); Е5 - модуль упругости; О5 - модуль

сдвига; V5 - коэффициент Пуассона.

Выбор функций, аппроксимирующих прогиб и углы поворота. Для решения однородной краевой задачи (6), (7) необходимо выбрать функции, которые аппроксимируют форму пластины, соответствующую основному тону колебаний. В качестве таких функций можно принять решение задачи об изгибе балки с жестко закрепленными концами под действием равномерно распределенной нагрузки (рис. з).

з

2

Напряженно-деформированное состояние балки в рамках модели, учитывающей деформации поперечного сдвига, описывается следующими уравнениями:

с10 _ сМ _ Л ^

р = о, —— д = о, м =

ах ах

е=Ку, х =

се

Сх

у = е +

ём> Сх

(10)

где р - действующая нагрузка; М, д - изгибающий момент и перерезывающая сила; х - кривизна продольной оси балки; у - деформация сдвига; w - прогиб балки; 9 - угол поворота поперечного сечения; Б, К -изгибная и сдвиговая жесткости.

( х3 х2 Л

-р--+ С--+С2 х + С3

6 1 2 2 3

х2

w = р— 2

( х2

1

Л

12Б К

(

+ С^

.1 -К 6Б

/

2 Л

(11)

-С

2 ~ 7-4 С3 ъ + С4 ,

/ /2

С, = р—, С =- р—, С3 = 0, С4 = 0.

1 2 2 12 3 4

(13)

Принимая во внимание равенства (13), представим выражения (11) в следующем виде:

р V, „ = р!_ и.

12 Б!

Здесь

V = х !

.( „2

24Б

Л

(14)

„ х „ х ,

2^ - 3т +1

V ! 2 ! у

и = х [£-1 ! V !

х I х

! V !

-1|-12у

(15)

где

=

У = К!2"

Безразмерный параметр у характеризует сдвиговую податливость балки. Функции V и и определяют форму балки, которая находится под действием равномерно распределенной нагрузки. Из полученного решения (14), (15) и уравнений (10) следует, что при х = 0,! 6 = 0, у = -йм)1йх = ±р!/(2К). Тогда равнодействующая нагрузки р! уравновешивается краевыми усилиями д = Ку = ±р! / 2.

Решение уравнений движения. Учитывая равенства (15), представим решение уравнений (6) в следующем виде:

Рис. 3. Балка под действием равномерной нагрузки

Из решения уравнений (10) для угла поворота 9 и прогиба м> можно получить следующие выражения:

" = FUxUy,

= ГхУхПу, 6 у = ГуиУу. (17)

Здесь F, Тх, Ту - неизвестные числа; их, иу, Vx, Vy -базисные функции, определяемые выражениями

Vx = -

их = х Iх -1

иу = у I у -1

у ь V ь

I 2 „ х „ х , 2—-3- +1

V а2 а у

-1|-12ух

у I у

ь v ь

-1|-12УV

(18)

Л

V = у

Ку Ь

2

\

2 У- - 3 У +1

Ь Ь

V у

где

У х =

Б„

Кха2' Уу КуЬ2.

(19)

х

2Б ^

где С1, С2, С3, С4 - произвольные постоянные. Для их определения воспользуемся граничными условиями на концах балки

6=0, w = 0 при х = 0,!, (12)

где ! - длина балки (рис. 3).

Подставляя (11) в (12), найдем

Безразмерные параметры ух и уу характеризуют сдвиговые податливости пластины. Выбранные функции (17) удовлетворяют граничным условиям (7).

Подставляя равенства (17) в дифференциальные уравнения (6), получим следующие невязки:

Д (х, у F, Тх, Ту ) =

КхС 2их

-иу + Куи

а V

Сх2 у у х Су2

V у у

сСУ.х dVv _

+ К^Тх + Куи.-у^Ту + BpЮ2UxUyF, Дх (х,у,F,Тх,Ту) = -К^Ц-и^ +

F +

I С2V

Би-+ DззVx

сС 2иу

ёх2 у 33 Х сСу

2 Vх - К^у

Тх +

+ (( + Б33 )^ту + DpЮ2VxUyTx,

сх су

(20)

Ду (х,у,F,Тх,Ту) = -KyUx-^F + + ( + Б33 ^^ +

сх су

сС V

сС 2их

\

Бгг—гих + -KyUxVy

су2 сх2

Ту + БрЮ^Тх.

Следуя методу Галеркина, потребуем, чтобы невязки Д, Дх, Ду были ортогональны к соответствующим базисным функциям, т. е.

+

Я* (, У, Р, Тх, Ту )ихиуёхёу _ 0,

0 0 а Ь

Я* (, у, р , Тх, Ту ухиу^у _ о,

(21)

о о

а Ь

Я*у (,у, Р,Тх,Ту )ихУуйхйу _ 0.

о 0

Подставляя (20) в (21), будем иметь

(Кх/2х/1у + Ку/1х/2у )Р + Кх/зх/1 уТх +

+ К^з уТу + V2 ЛхЛуР = 0,

~Кх'7зх/1уР + (В11 •2хЛ у + Взз •11х/2 у - Кх^11х/1 у ) X Тх + ( + ) •зх^зуТу + ^рЮ2•/1х/1уТс = 0,

(22)

"КУ11х13уР + (22у + Аз 12Л - Ку/^1у )Ту +

+ ( + Пзз )^зуТх + Вр^/^уТу _ 0.

Подставляя их, иу, ¥х, ¥у из (18) в соотношения (2з), после интегрирования найдем

ЬУ:у т а т Ь

/ _ аУ1х / __ • __ •

1х бз0 , 1у бз0 ' 1х 210' 1у 210

•л у _ '

/ _ ^ / _ 2у

2 х ~ ' 12 у _

2 у

105а

•2х _ , •оу _

2у 105Ь' "2х 5а' "2у 5Ь' (2з)

/зх 105' "з у 105

/з у _

Узу

• _Узх • зх ~ -,

зх 105

•з у _

Узу.

105'

где

Здесь

а11Р + а12Рх + а1зРу -^Ь11Р _ 0, а21Р + а22Рх + а2зРу - ПЬ22Рх _ 0, аз1Р + аз2Рх + аззру -^ЬззРу _ 0

рх _ аТх , Ру _ ЬТу ,

(25)

а11 _ 12

( Л „ \

У 2х 1 У 2 у

а У1у

а22 _ з

У х

Уз.

а У

у

Л

(2б)

а^ У1у + 12р2 У 2 у

Ух

азз _ з

1

ча Уу

У1х + 12Р2 У 2 х

Узх

(27)

а12 _ а21 _ ба — У1у ,

Ух

1 Уз у

а1з _ аз1 _ б---У1х, а2з _ аз2 _ зб(Р1 + Р2)УзхУзу

а У у

¿11 _ У1хУ1у , Ь22 _ згхУ1у , Ьзз _ згуУх

В

В22 а2

Р1 _

В1

Вр

г _ -

Вр а2

г _

у

Р2 _

Вр Вр Ь2

В

зз

ВрЮ2 а 2Ь2

Ри°22 .

(28)

(29)

(30)

Величина п, входящая в уравнения (25) и определяемая равенством (з0), является безразмерным частотным параметром. Таким образом, задача об определении основной частоты колебаний защемленной по контуру трехслойной пластины сведена к вычислению параметра п, при котором однородная система (25) будет иметь решение, отличное от нуля.

Определение частотного параметра п и частоты колебаний ю. Представим систему (25) в виде следующего матричного уравнения:

(A - ^ ) F _ 0, (з1)

где

F _

У1х _ 1 + 108Ух + з024У2, У2х _ 1 + 84ух + 2520У2,

Узх _ 1 + 42ух, У1у _ 1 + 108уу + з024у2, (24) у 2 у _ 1 + 84у у + 2520у 2, Уз у _ 1 + 42у у.

Подставим значения интегралов (2з) в уравнения (22) и затем получившиеся соотношения приведем к безразмерному виду, умножив каждое из них на величину аЬ/7впВ22 . В результате преобразований получим

Р а11 а12 а1з Ьц 0 0'

Рх ', А_• а21 а22 а2з , B _ 0 Ь22 0

Ру аз1 аз2 азз 0 0 Ьзз,

. (з2)

Традиционный подход к определению собственных значений п предполагает решение характеристического уравнения det(A - nB) = 0, которое в раскрытом виде представляет собой полином третьей степени. В уравнении (з1) матрица A симметричная, а диагональная матрица B очевидно симметричная и положительно определенная. Поэтому все собственные значения обобщенной задачи являются вещественными и, как показывает практика вычислений, положительными. Минимальное из трех собственных значений будет определять требуемый частотный параметр п. Величина п зависит от параметров ух, уу, а, рь р2, гх, гу, которые содержат всю информацию о жесткостных, геометрических и инерциальных характеристиках трехслойной пластины.

Определение частотного параметра требует некоторых вычислительных усилий, которых можно избежать, если учесть, что инерция поворота мало влияет на частоту колебаний основного тона. Получим формулу для п, в которой не будет инерционных составляющих, связанных с поворотом нормали к срединной плоскости трехслойной пластины. Примем Вр = 0. Тогда гх = гу = 0, и, как следствие, Ь22 = Ьзз = 0.

2

Ь

Запишем второе и третье уравнения системы (25), учитывая, что а23 = а32, в следующем виде

а22 Р'х + а23 ^ = -а12 , а23 Р'х + а33 ^ = -а13 . (33)

Из(33) найдем

= а23а13 а12а33 F F = а23а12 а13а22 F (34)

а22 а33 - а23

а22 а33 а23

Подставляя (34) в первое уравнение системы (25), получим для п следующее выражение:

Л =

а11а22 а33 + 2а12 а13а23

1 - 2 - 2 - 2 1 а11а23 а22 а13 а33а12

Ы

а22 а33 а23

(35)

х ШЦв2

аЬ'

Вр

(36)

1 Х t ю = — X— ,

2 аЬ ^

^/A11tA22t У§11§22

3pt

Ср

(37)

1 Лш §п 1

1 А22, §22 1

Ух = ^ " ^ Уу = 12 Оуг5Суг 5 Ь2

12 °хъ& Схъ 5 а2

(38)

t t2

t t2

а =

А11 §11 Ь а - А12, §12

Р1 =

А22, §22 а2 л/АША22г§П§27

Р2 =

А33, §3

л/А1А22г§1Г§

22

гу =-

1 §р 1

1 §р 1

12 Ср а2' у 12 Ср Ь2'

(39)

(40)

= 1_ _§__1_ =

У х 12 О^С хъ 5 аТ У у I t2

12 Оуъ5 С уъ 5 Ь2

t t2

а =

A22t а

Р1 =

А

-\М«А2:

Р2 = ^

Г. (42)

Подставляя в формулу (37) ^и = §22 = 4, будем иметь

1 х 1 ю = — X—

2 аЬ\

3Pt ср

(43)

Получим выражение для частоты колебаний трехслойной пластины. Безразмерный частотный параметр п может быть определен из решения обобщенной задачи (31) или из формулы (37). При известном п из формулы (30) найдем частоту колебаний, т. е.

Определим частотный параметр п и частоту колебаний основного тона / для квадратной трехслойной пластины с изотропными несущими слоями и легким заполнителем. Коэффициенты жесткости и модули сдвига материала несущих слоев имеют следующий вид:

Ат = А22, = Е, Ат = vtEt, А33, =

1 - V,

-К.

(44)

Ох* = = ° , °хъ5 = °уъ5 = О5

Подставляя (44) в (41), получим

1 Е § 1

У х = У у = У =

где X = л/л .

Используя равенства (8), преобразуем формулу (36) к виду

12 О5 С 5 а2

t t2

С = С хъ С уъ

1+-

t

5(5 О5

Выражение (37) определяет частоту колебаний основного тона закрепленной по контуру трехслойной пластины.

Численный анализ и верификация результатов.

Прежде чем приступить к численному анализу, получим выражения, определяющие параметры ух, уу, а, рь Р2, гх, гу, от которых зависит величина п. Подставляя (8) в (19), (28) и (30), будем иметь

(45)

t V t О

Учитывая равенства (45), определим для рассматриваемой пластины сдвиговые параметры у,х, у,у (/ = 1, 2, 3, 4). Из уравнений (24) и (39) будем иметь

У1х =У1у =У1 = 1 + 108У + 3024У2, У 2 х = У 2 у = У 2 = 1 + 84У + 2520У2, (46)

У3 х = У3 у = У 3 = 1 + У 4 х = У 4 у = У 4 = 1 + 60 У.

Подстановка (44) в (42) при а = Ь дает

1 - V,

а = 1, Р1 = V, Р2 =

(47)

Для квадратной пластины инерционные параметры гх и гу (40) равны, т. е.

1 §р 1

Г = Г = г = ■

х у М Г 2

12 ср а

(48)

Г t2

Если материал заполнителя легкий, т. е. обладает малой жесткостью в направлениях х и у, то можно принять Атп5 = 0 (тп = 11, 12, 22, 33). Тогда из уравнения (9) следует, что £тп = 4 (тп = 11, 12, 22, 33), и равенства (38), (39) примут следующий вид:

1 А22, § 1

Определим коэффициенты матрицы А и В однородной системы линейных алгебраических уравнений (31). Учитывая равенства (46), (47) и (48), из соотношений (27) будем иметь

аи = 24 а22 = а33 = 3

У1У3

+ 6 (1 - v )у 2

а12 = а13 = а21 = а31 = 6

У1У3

(49)

а23 = а32 = 18(1 + V )У2, Ь11 = У2, Ь22 = Ь33 = 3гУ1.

2

I

При известных коэффициентах (49) частотный параметр п определяется как минимальное собственное значение однородной системы (31).

Формула для частоты колебаний квадратной трехслойной пластины с изотропными несущими слоями и легким заполнителем может быть получена из (43), если принять а = Ь и Ат=Л221= Еь. Тогда

11 1

ю = — К-

1

_Е_ л

3Рг СР

(50)

Для того, чтобы динамический анализ был более конкретным, зададим характеристики материалов и размеры. Пусть несущие слои выполнены из алюминиевого сплава с Ег = 70 ГПа, = 0,3, = 27 ГПа,

= 2700 кг/м3. Рассмотрим два типа заполнителя. Один из них будем называть податливым заполнителем, а другой - жестким заполнителем. Пусть у податливого заполнителя 0$ = 80 МПа, р$ = 30 кг/м3, а у жесткого заполнителя 0$ = 400 МПа, р$ = 80 кг/м3. Отметим, что в заполнителях увеличение жесткости, т. е. модуля сдвига 0$, происходит всегда с одновременным увеличением плотности материала р$.

Зададим размеры трехслойной пластины. Пусть суммарная толщина несущих слоев / = 0,001 м, толщина заполнителя $ принимает значения 0,02 и 0,1 м, а размер пластины в плане а принимает значения 0,5, 1,0 и 2,0 м.

Для вычисления круговой частоты колебаний воспользуемся формулой (50). При этом частотный параметр п будет определен в зависимости от того, учитывается или не учитывается влияние инерции поворота на динамическое поведение трехслойной пластины.

В табл. 1 приведены частоты колебаний / = ю/2л в герцах для трехслойных пластин с податливым и жестким заполнителями.

Таблица 1

Частота колебаний / (Гц) трехслойной пластины с податливым и жестким заполнителем

Податливый Жесткий

5 а

0,5 1,0 2,0 0,5 1,0 2,0

0,02 759,2 760,4 247.4 247.5 68,1 68,2 886,1 888,3 240,7 240,9 61,6 61,6

0,10 1571,3 1574,1 656 658,1 222,5 223,1 2023,5 2048,8 664,8 670,6 185,0 185,5

стин (а = 0,5 м, $ = 0,1 м). Из табл. 1 видно, что разница между частотами, вычисленными с учетом и без учета инерции поворота, не превышает 0,3 %.

Сравнивая данные в соответствующих ячейках двух таблиц, можно заметить, что увеличение жесткости заполнителя приводит к росту частоты колебаний только для пластин с а = 0,5 м. У пластин с а = 1,0 м, а = 2,0 м увеличение жесткости заполнителя (т. е. увеличение 0$ и р$) вызывает уменьшение частоты колебаний. Как показывает численный анализ, для пластин с большим отношением а/($ + /) такой эффект обусловлен преобладающим влиянием на частоту колебаний плотности заполнителя р$ по сравнению с влиянием, которое оказывают на частоту колебаний модуль сдвига 0$. Обнаруженную зависимость / от 0$ и р$ необходимо учитывать при выборе заполнителя в задачах проектирования трехслойных пластин, когда ограничения накладываются на основную частоту колебаний.

Для проверки полученных результатов определим первую частоту колебаний рассматриваемой трехслойной пластины в пакете А№У8. Воспользуемся при моделировании пластины конечным элементом 8ИБЬЬ181 с опцией, соответствующей расчету трехслойных конструкций. Форма колебаний пластины показана на рис. 4.

Рис. 4. Форма колебаний квадратной трехслойной пластины, жестко закрепленной по контуру (МКЭ-расчет)

В табл. 2 приведены частоты колебаний трехслойной пластины с податливым и жестким заполнителями, полученные с помощью метода конечных элементов.

Таблица 2

Частоты колебаний / (Гц) трехслойной пластины с податливым и жестким заполнителем (МКЭ)

В каждой из ячеек табл. 1 первое значение частоты определено с учетом инерции поворота (Бр ф 0), а второе - без учета инерции поворота (Бр = 0). Частотный параметр п для первого значения / находится как минимальное собственное число однородной системы (31). Частотный параметр п для второго в ячейке значения / был определен с помощью формулы (50).

Анализ данных из табл. 1 позволяет сделать выводы о влиянии размеров трехслойной пластины, упругих характеристик и плотности составляющих материалов на частоту колебаний основного тона. Отметим, что влияние инерционной составляющей Бр на основную частоту колебаний невелико, даже для толстых пла-

Податливый Жесткий

5 а

0,5 1,0 2,0 0,5 1,0 2,0

0,02 754,4 245,5 67,9 881,8 240,2 61,6

0,10 1561,9 652,1 221,2 2010,7 661,4 184,5

Сравнение результатов, приведенных в табл. 1 и 2, позволяет сделать вывод о том, что частоты, вычисленные методом конечных элементов, мало отличаются от частот, найденных на основе двух моделей, рассматриваемых в настоящей работе. Максимальная разница между данными в табл. 1 и 2 не превышает 1,9 %.

Отметим, что конечно-элементный анализ подтвердил также обнаруженные ранее особенности влияния модуля сдвига заполнителя О5 и его плотности р5 на величину частоты колебаний трехслойной пластины.

Выполненный выше анализ результатов дает основание утверждать, что определение первой частоты колебаний закрепленной по контуру квадратной трехслойной пластины вполне может быть выполнено с помощью формул (36) и (37).

Проектирование. Расчеты по определению основной частоты колебаний трехслойной пластины с защемленными краями с использованием соотношений (36) и (37) не требуют значительных вычислительных затрат. Поэтому полученные формулы могут быть особенно полезны на этапе проектирования трехслойных пластин. Продемонстрируем это на примере задачи по выбору толщин заполнителя 5 и несущих слоев t для квадратной трехслойной пластины с заданной частотой колебаний 7 . Пусть несущие слои и заполнитель имеют следующие параметры: Еt = 70 ГПа, vt = 0,3, о, = 27 ГПа, р, = 2700 кг/м3, О5 = 400 МПа, р5 = 80 кг/м3. Размер а = 1,0 м. Определим пространство проектирования в виде неравенств

0,0005 м < t < 0,002 м, 0,02 м <5< 0,10 м. (51)

Представим зависимость 7(5,,) набором двумерных контурных линий (рис. 5). Пусть заданная частота

7 = 500 Гц. На рис. 5 контурная линия, соответствующая этой частоте, имеет увеличенную толщину.

Подставляя (50) в (52), будем иметь

2*7 -1 а ±=0.

2 ^Рр, Ср

(53)

где X = ^/л . Для вычисления частотного параметра используются уравнения (30), (35). Задаваясь различными значениями ,, решим нелинейное уравнение (53) относительно 5. Для получившейся пары , и 5 определим массу пластины, т. е.

т = а2 (р,, + р55).

(54)

Результаты вычислений по описанному алгоритму для рассматриваемой пластины приведены на рис. 6 и 7.

Рис. 6. Зависимость 5(,)

Рис. 5. Зависимость 7А 5) в виде набора контурных линий

Очевидно, что заданная частота 7 может быть реализована при различных сочетаниях , и 5 из пространства проектирования (51). Для каждой пары значений , и 5 должно выполняться условие

2*7 -Ю(, , 5) = 0, (52)

где ю - круговая частота колебаний, вычисляемая по формуле (50).

Рис. 7. Зависимость т(,)

Из анализа полученных данных следует, что с увеличением толщины несущих слоев , толщина заполнителя 5 уменьшается (рис. 6). Масса пластины т в рассматриваемом диапазоне измерения , имеет минимум (рис. 7). Таким образом, тт1П = 7,3657кг, ,ор = 0,0009 м, 5ор = 0,0617 м.

Рассмотренный выше подход к определению первой частоты колебаний трехслойной пластины с защемленными краями реализован в вычислительных программах.

Заключение. Решена задача определения первой частоты колебаний трехслойной пластины с жестко

закрепленными краями. Для решения уравнений движения был использован метод Галеркина. В качестве функций, аппроксимирующих форму пластины при колебаниях, было принято решение задачи об изгибе балки с жестко заделанными краями под действием равномерно распределенной нагрузки. Эти функции учитывают сдвиговую податливость пластины и удовлетворяют граничным условиям, предполагающим, что на каждом из краев пластины отсутствуют прогиб и два угла поворота нормали к срединной плоскости.

Задача вычисления первой частоты колебаний трехслойной пластины сведена к определению безразмерного частотного параметра, величина которого зависит от геометрических, упругих и инерциальных характеристик трехслойной пластины.

Рассмотрены два подхода к определению частотного параметра, которые отличаются друг от друга в зависимости от того, учитывается или не учитывается влияние инерции поворота на динамическое поведение трехслойной пластины. В первом подходе частотный параметр находился как минимальное собственное число соответствующей системы однородных алгебраических уравнений. При втором подходе для определения частотного параметра была получена аналитическая формула.

На конкретных примерах был выполнен анализ влияния размеров трехслойной пластины, упругих характеристик и плотности соответствующих материалов на частоту колебаний основного тона. Расчеты проводились как с использованием рассматриваемых в работе подходов, так и с помощью метода конечных элементов.

Анализ результатов позволил сделать вывод о том, что определение первой частоты колебаний закрепленных по контуру трехслойных пластин, обладающих разнообразными жесткостными параметрами и размерами, может быть с достаточно высокой точностью выполнено по полученным аналитическим формулам. Эти формулы будут особенно полезны при проектировании трехслойных пластин, когда ограничения накладываются на первую частоту колебаний.

Библиографические ссылки

1. Yu Y. Y. A new theory of elastic sandwich plates -one dimensional core // Journal of Applied Mechanics. 1959. Vol. 26. P. 415-421.

2. Yu Y. Y. Simple thickness-shear modes of vibration of infinite sandwich plates // Journal of Applied Mechanics. 1959. Vol. 26. P. 679-681.

3. Yu Y. Y. Flexural vibrations of elastic sandwich plates // Journal of Aerospace Sciences. 1960. Vol. 27. P. 272-282.

4. Yu Y. Y. Simplified vibration analysis of elastic sandwich plates // Journal of Aerospace Sciences. 1960. Vol. 27. P. 894-900.

5. Habip L. M. A survey of modern developments in the analysis of sandwich structures // Applied Mechanics Reviews. 1965. Vol. 18. P. 93-98.

6. Ha K. H. Finite-element analysis of sandwich plates: an overview // Computers and Structures. 1990. Vol. 37 (4). P. 397-403.

7. Noor A. K., Burton W. S., Bert C. W. Computational models for sandwich plates and shells // Trans. ASME. Applied Mechanics Reviews. 1996. Vol. 49 (3). P. 155-199.

8. Librescu L., Hause T. Survey of recent developments in the modeling and behavior of advanced sandwich constructions // Journal of Composite Structures. 2000. Vol. 48 (1-3). P. 1-17.

9. Vinson J. R. Sandwich structures // Applied Mechanics Review. 2001. Vol. 54 (3). P. 201-214.

10. Zenkert D. An introduction to sandwich construction. London : Chameleon Press, 1995. 277 p.

11. Yu Y. Y. Vibrations of elastic plates: linear and nonlinear dynamic, modeling of sandwiches, laminated composites and piezoelectric layers. New York : Springer-Verlag, 1996. 225 p.

12. Vinson J. R. The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials. Lancaster : Technomic, 1999. 378 p.

13. Kollar L. P., Springer G. S. Mechanics of composite structures. Cambridge : University Press, 2003. 470 p.

14. Паймушин В. Н. Точные аналитические решения задачи о плоских формах свободных колебаний прямоугольной пластины со свободными краями // Известия высших учебных заведений. Математика. 2006. № 8. С. 54-62.

15. Мущанов В. Ф., Демидов А. И. Расчет трехслойной пластинки, лежащей на винклеровском основании, вариационно-разностным методом // Современное промышленное и гражданское строительство. 2010. Т. 6, № 2. С. 77-91.

16. Коган Е. А., Юрченко А. А. Нелинейные колебания защемленных по контуру трехслойных пластин // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 5. С. 25-34.

17. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1945. Vol. 12 (2). P. 69-77.

18. Mindlin R. D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates // Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1951. Vol. 18. P. 31-38.

References

1. Yu Y. Y. A new theory of elastic sandwich plates -one dimensional core. Journal of Applied МесНапics. 1959, Vol. 26, P. 415-421.

2. Yu Y. Y. Simple thickness-shear modes of vibration of infinite sandwich plates. Journal of Applied МесНапics. 1959, Vol. 26, P. 679-681.

3. Yu Y. Y. Flexural vibrations of elastic sandwich plates. Journal of Aerospace Sciences. 1960, Vol. 27, P. 272-282.

4. Yu Y. Y. Simplified vibration analysis of elastic sandwich plates. Journal of Aerospace Sciences. 1960, Vol. 27, P. 894-900.

5. Habip L. M. A survey of modern developments in the analysis of sandwich structures. Applied MecНanics Reviews. 1965, Vol. 18, P. 93-98.

6. Ha K. H. Finite-element analysis of sandwich plates: an overview. Computers and Structures. 1990, Vol. 37, No. 4, P. 397-403.

7. Noor A. K., Burton W. S., Bert C. W. Computational models for sandwich plates and shells. Trans. ASME. Applied Mechanics Reviews. 1996, Vol. 49, No. 3, P. 155-199.

8. Librescu L., Hause T. Survey of recent developments in the modeling and behavior of advanced sandwich constructions. Journal of Composite Structures. 2000, Vol. 48, No. (1-3), P. 1-17.

9. Vinson J. R. Sandwich structures. Applied Mechanics Review. 2001, Vol. 54, No. 3, P. 201-214.

10. Zenkert D. An introduction to sandwich construction. London, Chameleon Press, 1995, 277 p.

11. Yu Y. Y. Vibrations of elastic plates: linear and nonlinear dynamic, modeling of sandwiches, laminated composites and piezoelectric layers. New York, SpringerVerlag, 1996, 225 p.

12. Vinson J. R. The behavior of sandwich structures of isotropic and composite materials. Lancaster, Technomic, 1999, 378 p.

13. Kollar L. P., Springer G. S. Mechanics of composite structures. Cambridge, University Press, 2003, 470 p.

14. Paymushin V. N. [Exact analytical solutions for in-plane vibrations problem of a rectangular plate with free edges]. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Matematika. 2006, No. 8, P. 54-62 (In Russ.).

15. Mushchanov V. F., Demidov A. I. [Calculation of the Winkler-based sandwich plate using variational-difference aproach]. Sovremennoe promyshlennoe i grazh-danskoe stroitel'stvo. 2010, Vol. 6, No. 2, P. 77-91 (In Russ.).

16. Kogan E. A., Yurchenko A. A. [Nonlinear vibrations of contour-fixated sandwich plates]. Problemy mashinostroeniya i nadezhnosti mashin. 2010, No. 5, P. 25-34 (In Russ.).

17. Reissner E. The effect of transverse shear deformation on the bending of elastic plates. Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1945, Vol. 12, No. 2, P. 69-77.

18. Mindlin R. D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic elastic plates. Trans. ASME. Journal of Applied Mechanics. 1951, No. 18, P. 31-38.

© Деев П. О., Синьковский Ф. К., 2017