Сравнение амплитудных методов определения местоположения источников излучения с борта летательного аппарата Текст научной статьи по специальности «Физика»

Ю. Ф. Евдокимов, В. П. Медведев СРАВНЕНИЕ АМПЛИТУДНЫХ МЕТОДОВ ОПРЕДЕЛЕНИЯ МЕСТОПОЛОЖЕНИЯ ИСТОЧНИКОВ ИЗЛУЧЕНИЯ С БОРТА ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА

В работах [1-4] рассмотрены некоторые амплитудные способы определения местоположения (МП) источников излучения (ИИ) с борта летательного аппарата (ЛА). Предварительные результаты показывают, что наименьшими погрешностями обладают способы определения МП ИИ по отношению интенсивностей принимаемых сигналов [1], с интегрированием текущих значений отношения интенсивностей [2, 3] и с использованием метода наименьших квадратов [4]. Представляет интерес более подробный анализ этих методов.

о ИИ

/ / ' / /

®13 ----------------1

Рис.1

Рассмотрим рис.1. Здесь Di=AO, D2=BO, D3=CO - расстояния от ЛА до ИИ, расположенного в точке О, в моменты времени tj, t2, t3; 93 - угол между вектором движения ЛА и направлением на ИИ в момент времени t3 окончания измерений; S12 = AB = u(t2- tj),

S23 = ВС = u(t3- t2), S13 = AC = u(t3- tj), где и - скорость ЛА. Значения мощности сигнала

на входе радиоприемного устройства (РПрУ) в моменты времени tb t2 и t3 равны соответственно

к K K

Pi=~t; P2 = ~t; Рз=~t, (1)

D2 DJ D32

где Кс - коэффициент, который определяется параметрами передатчика, РПрУ и среды распространения.

Будем считать коэффициент Кс за время измерений неизменным.

По теореме косинусов, как это следует из рис.1, получим

dJ = S 3з + 2S13D3COS03 + d3 ; (2)

D3 = S33 + 3S33D3 cos 0з + D3. (3)

Производя нормирование мощности сигнала Р3 относительно мощностей Р1 и Р2 и учитывая выражения (1) - (3), будем иметь

Рз

т о = 2 Рі D2

D2 . 2—1- S2з

1 = 1 + —— ^03 + ^2,

3

р3

Dз

2S

Р з D2 .

ц 2 = ~;;- = 2 =1 + Т-.

Р2 D3 ^

23 cos 03 + —2— .

D3

(4)

(5)

Как следует из формул (4) и (5), функции ті и т2 пропорциональны нормированному выходному напряжению РПрУ после квадратичного детектора.

Решая систему уравнений (4) и (5), определим дальность Б3 и угол 93 в момент окончания измерений:

1

Dз =

— 12—13—23

03 = агссоз^

—23 (м-1 - 0“ — 13 (ц2 - 1)_

________—23(ц2 “ 0“ —23 (ц1 “ 1)___________

2л/—12—13—23 [—23(ц1 “ 0“ —13(ц2 “ 1)]

(6)

(7)

Этот результат приводится и в работе [1].

Для расчета погрешностей определения Б3 и 93 воспользуемся методикой, приведенной в работе [5], в соответствии с которой для линейных функций ^(ГР^ ГР2) и f2(IPl, 1Р2) в окрестностях измеряемых параметров 1Р1 и ГР2 и при независимых флуктуациях в

каналах измерения функций ^(ГР^ ГР2) и ^(ГР^ ГР2) дисперсии о

и о.

и 1Р2 могут быть определены по формулам

2

о

= -(ор 1J21 +ор 2J2l,

= -1 (о2 1 J2 (0р 1

-1 (о2 J2 (0р 1

ор 2 =721°Р J

12 +оР 2 J22 ,

(8)

(9)

где I - матрица Якоби;

1 - алгебраическое дополнение .д-го элемента матрицы Якоби.

2

В соответствии с этими выражениями дисперсии о^т измеряемой дальности и

2

о 0ц измеряемого направления могут быть определены по формулам:

2 _ 1 (о2 т2 , о2 т2 ).

^ц = “2 (^“¿11 + ^2^21)

“ц

(10)

2

>0ц

1

“М

22 ц2“ц22)

где І - якобиан системы уравнений (4) и (5)

“ц = det

Эц1

ЭDз

Эм 2

Эма Э0-Эц 2

ЭDз Э0

Эц1 Эц 2 Эц1 Эц 2

ЭDз Э0- Э03 ЭD

(11)

3

ІЩ1 - алгебраическое дополнение іі-го элемента матрицы Якоби;

2

Jmii = Э-2/Э0з ;

Jm2i = “3-i/Э0з;

Jmi2 = “Э-2/ЭОз;

Jm22 = d-i/ЭОз;

22

0-1 и 0-2 - дисперсии функций -1 и - 2 (нормированных напряжений) на выходе по-

следетекторного фильтра.

Вычисляя дополнения и якобиан, получим

2Si3

j-ii=—о—sin 0з; (13)

3

2S

Jm2i =- ^^1lsin q3; (14)

t = 2S23

JI111 —

D3 S

—23 + cos 83

D3 3

t = 2S13

J11OO — _

V

in \

Jm22-“Dr

D3

—13 + cos 83

D3 3

(15)

(16)

Jm= 0з . (17)

Dз

При квадратичном детектировании отношение сигнал/шум по напряжению на выходе интегрирующего фильтра [5]

с2

qв

Явх VDfT

'\/2Чвх +1

где qвх - входное отношение сигнал/шум по напряжению (до квадратичного детектора); А/- ширина спектра помехи до детектора; Т - постоянная интегрирования выходного фильтра.

Ограничиваясь случаем, когда >> 1, получим

qвых » ^<УДТ . (18)

Для нормированной функции ті дисперсия будет равна

°21 = ~^ = . (19)

qвых qвхA^

Будем считать, что для функции т 2 входное отношение сигнал/шум будет таким же, как и для функции ті.

При расчетах погрешностей измерения дальности и направления положим, что 813 = и1;, Б12 = $2з = и1У2. Тогда, учитывая выражения (13) - (19), из формул (10) и (11) получим

^=-2#^=; (20)

-П^вхл/Д1Т

2л/2Ы

\2 / \2

Ut » I ut п

--------+ cos 03 +--------+ cos 03

2D3 3 D3 3

(21)

Для амплитудно-интегрального метода с нормированием относительно начального значения мощности Рі первое уравнение будет иметь вид

.. P3 D2(t) 2u cos03 u2 2

y,(t) - — - 1 w - 1 +-----------31 +------12 ,

Pi D2 D3 D2

3

D

(22)

3

2 2 2 2

где Dj (t) = D3 +u t + 2utD3 cos0з ,а второе уравнение получается интегрированием уравнения (22)

У 2 (t) -Jvi(t)dt -t-

ucos03 2 , u 3

^- t +-------31 +--------— t

0 D3 3D3

3D

2

(23)

Выражения (22) и (23) образуют систему уравнений, решая которую найдем дальность D3 и направление 93 до ИИ в момент окончания измерений:

D3 =U^t/Kt¥ ; (24)

03 = arccos {зу2 -1(2 + У1)]д/tKty}, (25)

где У1 = у 1 (t) , у2 = У 2 (t) ; Kty = 3[t(l + Vl )- 2У2 ] •

Погрешности измерения дальности и направления данным методом определим, используя уравнения (22) и (23). Вычисляя дополнения и якобиан, получим

2

Ut sin 03

D3 2ut sin 03

Jyii -

’ y21

D

3

Jy12

Ut

d3

cos03 +

2ut

3D3

2ut

D2

ut

cos03 +--------

3 D3

Jy

2u3t4 sin 03 3D4

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

где ji - алгебраическое дополнение ^-го элемента матрицы Якоби, j,i е {1,2}; 1у -

якобиан системы уравнений (22) и (23).

2 2 Дисперсия Оу1 функции у 1(0 будет определяться (считая, что Оу1 не зависит

от времени) выражением (19). Так как функция у2 (0 связана с функцией у^) линей-

2

ным преобразованием (интегралом), то дисперсия Оу2 функции у2(0 при нулевых начальных условиях может быть определена из соотношения [7]

0^2 (t) = 2 J (t -t)Ryi(t)dt,

где Ryl(x) = Оуі exp(-2яДFx) - автокорреляционная функция процесса на выходе после

детекторного фильтра; АБ - полоса пропускания фильтра на уровне 0,707.

Для простоты будем считать, что используется однозвенный фильтр нижних частот, для которого Т = (4ДF)-1 [8].

Выполняя интегрирование выражения (31), получим

2Т

2 , ч 4Tt L 2T sy2(t) =--------í1------

Y n I nt

1 - exp

yl ■

(32)

Используя выражения (19), (26) - (30), (32) с учетом (8) и (9), найдем погрешности измерения дальности и направления:

3D

SDy I 2 2

V2u2t2qBX

л/DfT

1 +

16T

nt

s8y =‘

3D2

V2u2t2qBXVAfT sin 83 ]¡

2ut

3D3

+ cos 83

16T

ut

------+ cos83

D3 3

(33)

(34)

Для амплитудно-интегрального метода с нормированием относительно конечного значения мощности Р3 первое уравнение будет иметь вид

£1(0 = D3/D2(t) , (35)

а второе уравнение получается интегрированием выражения (35):

ut sin 83

~ (36)

0 U sin 83 D3 + utcos03

Система уравнений (35) и (36) аналитически не решается, но может быть решена численными методами.

Вычисляя алгебраические дополнения ji-го элемента матрицы Якоби системы уравнений (35) и (36), получим

^ D83 + ut) _ arctgKdet: (37)

где Di = Di(t);

D[ sin 83 usin 83

ut sin 83

JXl2 =

Kdet

Jx21 = -D3t - 1

D3 + utcos 83

2utD3 sin 83

-arctg-

utsin 83

D 2 usin83 ^D3 + ut cos83

2utD3 (ut + D3Cos 83)

Jx22 = D4 ;

(38)

(39)

(40)

0

2

2

+

(41)

Дисперсия функции Х1О) будет определяться выражением (19), а функции X 2 (О

2 2 - выражением (32). Дисперсии о^х измеряемой дальности и 08^ измеряемого направления определяются формулами (8) и (9) с учетом (37) - (41):

2

0ЭХ

42

Явхл/мт

Х11

08Х -■

42

,4Дп:

яЕ

х

1Х12

тх

+ -

4Tt

я

1 - 2Т

4Tt

1-

2Т

я*

1 - е- 2Т

я*

1 - е- 2Т

*Х21

/т Ч2

тХ22

т

х

(42)

(43)

Как показано в работе [4], при алгоритмах обработки сигналов вида (22) возможно использование метода наименьших квадратов. Моделью принимаемого сигнала будем считать выражение (22), которое приводится к виду

где для принятой модели

а0 -1

- (2иcos83)/Эз

¿и cos а2 -и2/Б2.

(44)

(45)

Между рассчитанными по модели значениями и экспериментальными от-

счетами у; функции Ун (0 в моменты времени Ш;, где Дt - временной интервал, через который производятся отсчеты У; , будут наблюдаться отклонения, что приведет к отклонению коэффициентов а;(; е 0, 1, 2) от теоретических.

Метод наименьших квадратов позволяет найти такие значения искомых парамет-

П

ров модели ао , а1 и а2 , при которых сумма ЕДу2 по всем п точкам минимальна [9].

¡=1

Если взять поочередно частные производные по ао, а1, а2 и приравнять их нулю, то получим систему из трех уравнений, решением которой и будут искомые значения ао, а1 и а2:

П — 1 П — 1

3

а1 -

ао =-6

/ >П-1 П-1 П-1

(п2 - 3п+2)Е У;- 6(2п - 1)Е ¡У; +10 Х ;2У;

;-о ;-о

1 д;п(п + 1)(п + 2)

3о

а? - -

п(п + 1)(п + 2)

__ 1

- 3(2п - ОХ У; +

П-1 2(2п - 1)(8п -11) П-^ 3о П-

д;2п(п + 1)(п + 2)

1-о

П-1

7—тч—у^Х ;У1----тХ; У;

(П 1)(П 2) ;-о П 2 ;-о

П-1

П-1

Х У;----------2 Х ‘У; +

п - 2

;-о

;-о

(п - 0(п - 2) £

Х ;2У;

(46)

(47)

(48)

т

2

+

я

о

Далее из выражения (45) можно найти дальность Dз, а из выражения (44) угол 83. Поскольку метод наименьших квадратов исходно предполагает использование экспериментально полученных измерений, целесообразно исследовать работу предлагаемой системы имитационным моделированием. В качестве имитационной модели было использовано радиотехническое звено, состоящее из полосового фильтра, квадратора и идеального интегратора, и процесс, который моделировался, имел вид

,/РПР^со^о + п(0

Т^Р«^2^ + п(0

dt,

(49)

2

где Т - время интегрирования входного процесса; ^ - несущая частота сигнала.

Шум моделировался в полосе частот Дf с экспоненциальной корреляционной функцией. Несущая частота ^ выбиралась в области низких частот (» Дf). Расчеты по формуле (49) проводились в каждой из трехсот точек iе {1, 2,к, 300}.

Для иллюстрации полученных результатов на рис. 2 - 9 приведены графики зависимостей ошибок измерения дальности и направления от дальности Б3, направления 83 на ИИ, отношения сигнал/шум q и времени наблюдения г. Пунктирными линиями обозначены погрешности, относящиеся к методу обработки по отношению интенсивностей принимаемых сигналов, штриховыми - к методу нормирования относительно начального значения мощности Рь штрих-пунктирными - к методу нормирования относительно конечного значения мощности Р3, сплошными линиями - к методу наименьших квадратов. Исходные значения параметров приняты следующими: Dз = 20 км; 83 = 60 ; и = 300 м/с; 1 = 30 с; qвх = 20; Дf = 25 кГц; Т = 0,02 с. При этом один из параметров может изменяться, остальные фиксируются из приведенного множества исходных значений. в, км , град

В (Оз) 1.5

Б (Оз)

Б (О3) Бмнк(О3) 05

(Оз)

(Б)

"(О)

мнК-°з)

10 20 30 40

Бз , км

50

10 20 30 40

Бз , км

50

Рис.2

Рис.3

Анализ полученных в работе зависимостей показывает, что наилучшими характеристиками по совокупности изменяемых параметров обладает способ обработки сигналов по методу наименьших квадратов; высокой точностью измерения направления обладает метод нормирования сигнала относительно конечного значения мощности Р5, но он обладает худшей точностью измерения дальности; другие методы занимают промежу-

точное положение. Из анализа этих данных можно сделать вывод, что для увеличения точности рассматриваемых методов можно не только, например, увеличивать время наблюдения или отношение сигнал/шум (если это возможно при проведении измерений), но и путем комплексирования методов или использования маневра ЛА (изменяя направление на ИИ).

( з) 1.5

± 1І 1 _(_э)

( ) 0.5 А у

0

О мнк'-

, град

( з)

2

1.5

20 30 40 50 60 70 80 90

, град

(_)

і І 1

«( з) 0.5

0

V' \ \ \ \

\ \ \ ч \ \ \

\ ч ч V4 ч N

20 30 40 50 60 70 80 90

, град

Рис.4

Рис.5

В(Ч) 1.5

В(Ч) 1

В(Ч) О мнк(ч) 0.5

0

\ \ \ \

\ \ N \ Ч

Ч \ > ч _ ---

-- —

, град

(Ф 1.5

(ч)

_(я)

„нк(ч) °.5

1 \ \

V \ ч \

\ ч \ N \ "«Ч.

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Я

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

Ч

Рис.6

Рис.7

D, ivivi

D (t) D (t)

2

1.5

1

"’мнК(") °.5

о

\ \ \ \ \ \

\ ч •, N \ >

\ \ ч \ ‘ N

* — —

, град (t)

1° 2°

3° 4°

t

5°

2

1.5

()

_(t) 1

І© °-5

0

\ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \ \

\ N ч %

ч.

1° 2° 3° 4° 5°

t

Рис.8 Рис.9

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мельников Ю.П, Попов С.В. О беспеленговых методах позиционирования летательных аппаратов относительно источников излучения // Зарубежная радиоэлектроника. Успехи современной радиоэлектроники. 2002. №12.С.8-14.

2. Евдокимов Ю.Ф. Анализ амплитудных методов определения местоположения источников излучения с борта летательного аппарата // Телекоммуникации. 2003. №3. С.36-41.

3. Бабаев А.А., Евдокимов Ю.Ф. Амплитудный метод определения местоположения источников излучения и оценка его точности // Вопросы специальной радиоэлектроники. Научнотехнический сборник, серия “Общие вопросы радиоэлектроники (ОВР)”. Москва - Таганрог: Таганрогский НИИ связи. 2003. Вып.1. -С.101-104.

4. Евдокимов Ю.Ф., Медведев В.П. Амплитудный способ определения местоположения источников излучения с использованием метода наименьших квадратов // Известия ТРТУ. Тематический выпуск: Материалы Всероссийской научно-технической конференции с международным участием “Компьютерные технологии в инженерной и управленческой деятельности”. -Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2003. №3(22). -С.155-157.

5. Царьков Н.М. Многоканальные радиолокационные измерители. -М.: Сов. Радио, 1980. -192 с.

6. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. Изд. 3-е, перераб. и доп. -М.: Радио и связь, 1989. - 656с.

7. Гмурман В.Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике: Учебное пособие для студентов вузов. -М.: Высш. шк., 2001. -400с.

8. Купер Дж., Макгиллем К. Вероятностные методы анализа сигналов и систем: Пер. с англ. -М.: Мир, 1989. -376 с.

9. Новицкий П.В., Зограф И.А. Оценка погрешностей результатов измерений. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л.: Энергоатомиздат, 1991. -304 с.

А.В. Попов ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ВЫНУЖДЕННЫХ КОЛЕБАНИЙ ПРИ АКУСТИКО-ЭМИССИОННОМ НЕРАЗРУШАЮЩЕМ КОНТРОЛЕ

В настоящее время сроки эксплуатации большинства конструкций машиностроения существенно превышают гарантийные. В связи с этим, задача диагностики таких