CC BY
9
13. Боголюбов Н.И. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний / Н.И. Боголюбов, Ю.А. Митропольский. - М. : Изд-во "Наука", 1974. - 408 с.
14. Мартинщв М.П. Несучi характеристики канатних установок / М.П. Мартинщв, Б.1. Сокш, М.Б. Сокш // Лiсове господарство, лiсова, паперова i деревообробна промисловiсть : мiжвiдомчий наук.-техн. зб. - Львiв : УкрДЛТУ. - 2003. - Вип. 28. - С. 81-89.
УДК 681.3+519.6 Доц. О.А. Пастух, канд. техн. наук - Терноптьський
державный техмчний ушверситет M. 1вана Пулюя
СШЛЬН1 РИСИ ТА В1ДМ1ННОСТ1 М1Ж 1НДИКАТОРНИМИ ФУНКЦ1ЯМИ НЕЧ1ТКИХ МНОЖИН ТА ШОД1БНИМИ ДО НИХ
ЙМОВ1РН1СНИМИ М1РАМИ
Вперше розглянуто математичний формалiзм спшьного та вiдмiнного мiж шди-каторними функщями (функцiями приналежностi) нечiтких множин та подiбними до них ймовiрнiсними мiрами. В основу математичного формалiзму покладено статис-тичну модель, яка охоплюе симплекс приготованих станiв та множину афшних вь дображень симплексу приготованих сташв у симплекс ймовiрнiсних мiр, а також по-няття квантово" неч^ко" множини, яке е узагальненням поняттям неч^ко" множини. Показовють результатiв представлено за допомогою вiртуального експерименту з оцiнювання групою експертсв тдикаторно" функцп неч^ко" множини.
Assoc. prof. O.A. Pastukh - Ternopol state technical university
named after Ivan Pulyuj
Identical and difference between indicator functions of fuzzy sets and similar probability measures
Mathematical formalism of general and difference between indicator functions of fuzzy sets and probability measures had been viewed. Basic of mathematical formalism is statistical model. Statistical model is including simplex of ready states and set of affine mappings. Basic of mathematical formalism is idea of quantum fuzzy set. Quantum fuzzy set is generalization of fuzzy set. Results of virtual experiment on estimation indicator function of fuzzy set by group of experts had been showed.
Вступ. Довол1 часто шд час розгляду шдикаторних функцш (функцш надежности неч1тких множин "х ототожнюють 1з однаковими за значеннями ймов1ршсними м1рами. Хоча вщмшшсть м1ж ними ютотна, наприклад, область визначення шдикаторних функцш е ушверсальна множина, а областю визначення вщповщно" ш ймов1ршсно" м1ри е а -алгебра ще" ушверсально" множини, все ж юнуе потреба в створенш математично формал1зованого грунту для "х розр1знення.
Огляд кнуючих даних. Хоча вщмшност1, як юнують м1ж шдикатор-ними функщями неч1тких множин та под1бними до них ймов1ршсними м1ра-ми, розглянуто у багатьох л1тературних джерелах, в основ! цього дослщжен-ня використано математичний формал1зм статистично" модел1, наведений у роботах [1, 2] та поняття квантових нечггких множин, як е узагальненням не-ч1тких множин i вперше введено в авторських роботах [3-6].
Постановка завдання. У робот розглянуто за допомогою статистич-но" модел1 та поняття квантово" неч1тко" множини виршення завдання математично" формал1зацп зв'язку м1ж шдикаторними функщями неч1тких мно-
жин, як задаються на унiверсумi та вщповщними !м ймовiрнiсними мiрами, що задаються на <г-алгебрi даного унiверсуму i могло бути використаним для кращого 1х розрiзнення.
Основна частина. Як вщомо [1, 2], в довшьному експериментi можна видiлити двi стади - це приготування та вимiрювання. На першiй стади зада-ють умови протiкання експерименту та вхщш данi експерименту. На другiй стади отримують вихiднi данi (результати експерименту) шляхом взаемоди об'екта дослiдження з вимiрювальними пристроями. Вiдомо [1], що довшь-ний експеримент, детермiнований чи статистичний, повинен задовольняти статистичний постулат, який формулюеться таким чином.
Статистичний постулат: кожен експеримент повинен давати змогу проведення повторювати його необмежену кшьюсть разiв, шдивщуальш результати в послщовност однакових, незалежних експерименпв можуть вщ-рiзнятися, однак поява того чи шшого результату в досить великш послщов-ностi характеризуеться певною частотою (стiйкiсть частот).
Вище наведене стосуеться всiх експериментiв, незалежно, до яко! предметно! областi вони належать. Таким чином, як зазначено в [1], теоре-тичний опис довшьного об'екта чи явища, що задовольняе статистичний постулат, математично формалiзуеться у виглядi статистично! модель
м,
де: ¥ - випукла множина (елементарнi елементи яко! називають станами), М - множина афшних вiдображень (елементарнi елементи яко! називають вимiрюваннями).
При цьому залишаеться лише, по-перше, здiйснити математичний опис елементарних елеменпв (станiв) випукло! множини ¥ та елементарних елемеилв (афiнних вiдображень) множини М, по-друге, встановити вщпо-вiднiсть мiж реальними процедурами приготування i вимiрювання та теоре-тичними об'ектами.
Що стосуеться квантових експеримеилв, зокрема, пiд час читання да-них з квантового репстра квантового процесора, то ¥ е випуклий комплек-сний векторний прос^р хвильових функцiй у (зокрема, е симплексом), М е множина афшних вщображень у ^ рц множини ¥ в множину, яка е симплексом, {рц} ймовiрнiсних мiр, якi заданi на <г-алгебрi простору елементарних випадкових подш О.
Вперше у роботах автора [3-6] показано, що хвильовi функци , якi математично описують стани квантового регiстра квантового процесора е функщями належностi (iндикаторними функщями) квантових нечiтких множин д/ певного ушверсуму и, а цей ушверсум е фазовим простором.
Виходячи з цього, статистична модель для квантових експерименпв набувае такого математичного виду та семантичного значення.
(V, М,
де: I/ - симплекс, утворений сукупшстю шдикаторних функцш 1/ квантових нечгтких множин д/ фазового простору и, М - множина афшних вщоб-
ражень 1д/ ^ р1/ множини I/ у множину, а саме, симплекс, {р1/} ймовiрнiс-
них мiр, якi заданi на а -алгебрi фазового простору и .
Анашзуючи вище наведений математичний вигляд та семантику ста-тистично! моделi для квантових експериментiв, розгляньмо випадок, коли за-мiсть квантових неч^ких множин можна використати неч^ю множини (якi е частковим видом квантових неч^ких множин, що зазначено у роботах автора [3-6]), а саме, замють шдикаторних функцiй 1/ квантових нечгтких множин використати шдикаторш функци 1/ нечiтких множин.
(1 /, м,
де: I/ - симплекс, утворений сукупшстю iндикаторних функцiй 1/ неч^ких множин / фазового простору и, М - множина афшних вщображень 1/ ^ р1/ множини I/ у множину, а саме, симплекс, {р1/} ймовiрнiсних мiр,
якi заданi на а -алгебрi фазового простору и .
Враховуючи наведене вище, розгляньмо у формi прикладу можливий семантичний аналiз ще! статистично! моделi на основi такого експерименту.
Нехай суть експерименту полягае в ощнюванш групою експертiв ш-дикаторно! функци (функци належностi) фжсованого значення лшгвютично! змшно!, яку задано на фазовому просторi и, тобто в ощнюванш шдикатор-но! функци 1/ неч^ко! множини / фазового простору и i вираженш II у виглядi ймовiрнiсноI мiри на а -алгебрi фазового простору и .
Як бачимо, на пiдставi ергодичност^ результат буде такий:
л
-, 11 /
N ' ,
V
12 /
N ]
с ™ л
-, 1 з /
V N ' ,
/ ,„„ л
—, 1п V N ■ ,
/
т+т2+ тз+ +т=1
N NN N ' де: 11 /, 12/, 13/, ..., 1п/ - оцiнки iндикаторноI функцiI 1/ одержат в межах тдгруп 1, 2, 3, ..., п експертiв вiдповiдно з кiлькостями т1, т2, т3, ..., тп осiб, N - загальна кiлькiсть експертiв у груш.
Одержаний внаслщок одночасного ощнювання групою N експертiв iндикаторноI функци 1/ нечiткоI множини / е^валентно видаеться, як результат оброблення послщовност окремих оцiнок одержаних вщ кожного ок-ремо взятого експерта, що забезпечуе стшюсть частот. Якщо кiлькiсть ек-спертiв групи теоретично збшьшувати до нескiнченностi, то це е^валентно можливостi проведення одного i того ж експерименту необмежену кшьюсть разiв. У такому разi експеримент задовольняе вимоги статистичного постулату, що шдтверджуе можливють використання для його математично! форма-лiзацiI статистично! моделi.
Першу стадiю приготування цього експерименту становить множина сташв, яка утворюе випуклий векторний прос^р I /, що становить симплекс. Це видно з того, що загальна штегральна ощнка iндикаторноI функци 1/ не-чiткоI множини / в межах вЫе! групи N експер^в однозначно видаеться у
виглядi лшшно1 комбiнацiï з оцiнок I1f, 12f, I3f, ..., Inf, якi одержанi в межах шдгруп 1, 2, 3, ..., n експер^в згiдно з кшькостями m1, m2, m3, ..., mn oci6, тобто
mi m2 тз mn П mk T1 If =--Ilf +---12f +---13 f +... +---Inf = >--Ikf .
N N N N k=1 N
Оцiнки Il f, 12 f, I3 f, ..., Inf утворюють множину вершин симплексу. Коли кожен експерт ототожнюе свою оцiнку з ймовiрнiсною мiрою, то цим самим вш здшснюе акт вiдображення (зпдно з термшолопею статистич-ноï моделi здшснюе акт вимiрювання, що вщповщае другiй стадiï експери-менту - стадп вимiрювання) Ikf ^ pIkf, k = 1, n. При цьому областю визначен-
ня iндикаторних функцiй Ikf, k = 1, n е фазовий простiр U, а областю визна-чення вiдповiдних ймовiрнiсних мiр pIkf, k = 1, n е а -алгебра фазового простору U .
Слушно зазначити [1, 2], що прос^р ймовiрнiсних мiр pIkf, k = 1, n, якi
заданi на а -алгебрi фазового простору U, зпдно зi статистичною моделлю, е також симплексом, множину вершин якого утворюють ймовiрнiснi мiри pIkf,
k = 1, n.
Виходячи з того, що у статистичнш моделi елементарнi елементи мно-жини M - вщображення (вимiрювання) Ikf ^ pIkf, k = 1, n е афшними, то образ iнтегральноï оцiнки
m1 m2 m3 mn n mk T1 If =--11 f +---12 f +---13 f +... +---Inf =>--Ikf
J N J N J N J N J k=1 N обчислюеться за формулою
m1 m2 m3 mn n mk
pIf =T7' pu f + T7' pi 2 f +T7' pi3 f +... pinf = > — • pIkf . NNN N k=1 N
Отже, процес ототожнення iндикаторноï функци нечiткоï множини, яка одержуеться iз статистичного експерименту шляхом ïï ощнювання гру-пою експертiв, з ймовiрнiсною мiрою описуеться статистичною моделлю у виглядi
i1 f, M ,
де: If - симплекс, утворений сукупшстю iндикаторних функцш If нечiтких
множин f фазового простору U, M - множина афшних вщображень
If ^ pIf множини If в множину, а саме, симплекс, {pIf} ймовiрнiсних мiр,
як заданi на а -алгебрi фазового простору U .
Висновки. За допомогою статистично1' моделi та поняття квантово1' не-чiткоï множини, яке е узагальненням поняттям нечiткоï множини, математич-но формалiзовано зв'язок мiж iндикаторними функцiями нечiтких множин, яю задаються на унiверсумi та вщповщними 1'м ймовiрнiсними мiрами, що зада-ються на а -алгебрi цього ушверсуму, що формуе математично формалiзова-
ний фундамент для розр1зняння хоча однакових за значеннями та рiзними за-галом поняттями - iндикаторною функщею та ймовiрнiсною мiрою.
Лiтература
1. Холево А.С. Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории / А.С. Холе-во. - М. : Изд-во "Наука", 1980. - 319 с.
2. Холево А.С. Квантовая вероятность и квантовая статистика / А.С. Холево. - М. : Изд-во ВИНИТИ. - 1991. - Т. 83. - С. 3-132.
3. Пастух О.А. Квантов1 неч1тю множини з комплексно значною характеристичною функщею i ix використання для квантового комп'ютера / О. А. Пастух // Вюник Хмельницько-го нащонального утверситету. - Хмельницький : Вид-во ХНУ. - 2006. - Т.1. - № 2. -С. 158-161.
4. Пастух О.А. Квантова неч^ка випадкова подiя та ii маргинальна ампштуда ймовiр-ностi / О.А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального утверситету. - Хмельницький : Вид-во ХНУ. - 2006. - № 5. - С. 58-60.
5. Пастух О.А. Повний бiунарний унощ квантових неч^ких булевих тдмножин на просторi [0; да) / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального утверситету. - Хмельницький : Вид-во ХНУ. - 2007. - № 1. - С. 196-198.
6. Пастух О.А. Основи зв'язку мiж математичними формалiзмами шформацшних систем, неч^ких шформацшних систем та квантових шформацшних систем / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального утверситету. - Хмельницький : Вид-во ХНУ. - 2008. - № 3. - С. 87-98.
УДК 004.942; 674.047 Асист. А.В. Бакалець -НЛТУ Украти, м. Львiв
ПРОГРАМНА РЕАЛ1ЗАЦ1Я МЕТОДУ СК1НЧЕННИХ ЕЛЕМЕНТ1В ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ НЕ1ЗОТЕРМ1ЧНОГО ВОЛОГОПЕРЕНЕСЕННЯ I В'ЯЗКОПРУЖНОГО СТАНУ У ДЕРЕВИН1 В ПРОЦЕС1 СУШ1ННЯ
Розглянуто програмну реалiзацiю математично'1 моделi в'язкопружного стану деревини у процес сушiння як двовимiрного ашзотропного тiла. На 0CH0Bi об'ектно-opieHTOBaHoro пiдходу спроектовано та запрограмовано класи, noTpi6rn для чисель-них обчислень зпдно з методом скiнченних елеменпв. Для збеpiгaння шформацп про розбиття oблaстi на елементи та вузли використано структуру на oснoвi списюв, а не на oснoвi мaсивiв.
Assist. A.V. Bakalets - NUFWT of Ukraine, L'viv
Software implementation of finite elements method for modeling notisothermal moisture transfer and viscoelastic state of wood during
drying process
Software implementation of mathematical model of viscoelastic state of wood during drying process as 2D anisotropic solid is considered. Based on object-oriented approach classes required for numerical calculation by finite element method are designed and programmed. For storage of information about laying out of area on elements and knots a structure is used on the basis of lists, but not on the basis of arrays.
Актуальшсть дослщжень. Метод скшченних елеменпв (МСЕ) безу-мовно являе собою ефективний чисельний метод розв'язування шженерних та ф1зичних задач. Бшьшють робгг, що описують цей метод, можна умовно роздшити на два напрями, як часто взаемодоповнюють один одного. Перший (теоретичний) стосуеться математичного обгрунтування МСЕ. Другий (шже-
