CC BY
11
<.ИО£П,ЛГ(
RQSHE.N
nhii IT"
Спглткшп шоколад
Рис. 6. Дешифроване зображення
Висновок. З пор1вняння рис. 2 i 5 видно, що шифрування одним рядком матрицi зображення вщ-р1зняеться вiд шифрування трьома рядками ще! матрицi. Контури в обох зашифрованих зображеннях вiдсутнi. Вказаний алгоритм можна використати для передачi графiчних зображень. Запропонованi модифжа-ци можна застосовувати стосовно будь-якого типу зображень, але найбiльшi переваги досягаються у разi використання зображень, як дають змогу чiтко видшяти контури.
Обидва типи модифiкацiй без жодних застережень можна використати i стосовно кольорових зображень. Однак, незалежно вщ типу зображення, пропорцiйно до розмiрностi вхiдного зображення, може зрости розмiр шиф-рованого зображення.
Л1тература
1. Брюс Шнайер. Прикладная криптография. - М. : Изд-во "Триумф", 2003. - 815 с.
2. Яне Б. Цифровая обработка изображений. - М. : Изд-во "Техносфера", 2007. - 583 с.
3. Рашкевич Ю.М. Модифшащя алгоритму RSA для деяких клаав зображень / Рашке-вич Ю.М., Пелешко Д.Д., Ковальчук А.М., Пелешко М.З. // Технiчнi вют! - 2008. - 1(27), 2(28). - С. 59-62.
4. Rashkevych Y. Stream Modification of RSA Algorithm For Image Coding with precize contour extraction / Rashkevych Y., Kovalchuk A., Peleshko D., Kupchak M. // Proceedings of the X-th International Conference CADSM 2009. 24-28 February 2009, Lviv-Polyana, Ukraine. -PP. 469-473.
УДК 681.3+519.6
Доц. О.А. Пастух, канд. техн. наук -Терноптьський ДТУ M. 1вана Пулюя
ОБЧИСЛЕННЯ 1НДИКАТОРНИХ ФУНКЦ1И КВАНТОВИХ НЕЧ1ТКИХ В1ДНОШЕНЬ
Уточнено означення понять: квантово! неч^ко! множини, яке вперше було введено i уточнено у роботах [6-9]; квантового неч^кого бшарного вщношення, квантового неч^кого тернарного вщношення та квантового неч^кого N-арного вщношення. Запропоновано методи обчислення шдикаторних функцш квантового неч^кого бiнарного вiдношення, квантового неч^кого тернарного вiдношення, квантового нечеткого N-арного вiдношення за допомогою шдикаторних функцш квантових неч^-ких множин, що утворюють данi квантовi нечiткi вiдношення.
Assoc. prof. O.A. Pastukh - Ternopol state technical university of Ivan Pulyuj
Computation of indicated functions of quantum fuzzy relations
Accurate definition notions: of quantum fuzzy set, what first has been weak and accurate definition by author in the him articles [6-9]; of quantum fuzzy binary relation, of quantum fuzzy ternary relation, of quantum fuzzy N relation has been analyzed. Methods computation of indicated functions of quantum fuzzy binary relation, of quantum fuzzy ter-
nary relation, of quantum fuzzy N relation has been proposed, if are indicated functions of quantum fuzzy sets, that bear quantum fuzzy relations.
Вступ. Використання бшарних, тернарних та загалом N -арних вщно-шень ч^ких множин в шформацшних системах, нечiтких множин у неч^ких iнформацiйних системах, квантових нечiтких множин у квантових шформацшних системах е досить розповсюджено.
Однак, якщо чiтке вiдношення чiтких множин задаеться в один спошб за допомогою iндикаторних функцiй, то вже, щоб задати нечiтке вiдношення нечiтких множин за допомогою шдикаторних функцiй юнуе декiлька спосо-бiв. В розрiзi цього логiчним постае питання - у який спошб задаеться кван-тове нечiтке вiдношення квантових нечггких множин за допомогою шдика-торних функцш?
Аналiз доcлiджень i публжацш. Обчисленню шдикаторно1 функцп чiткого вщношення за допомогою iндикаторних функцiй чггких множин, що його утворюють, присвячена велика кшьюсть лiтературних джерел, наприк-лад [1-3]. Обчисленню шдикаторно1 функцп нечiткого вiдношення за допомогою шдикаторних функцш нечггких множин, що його утворюють, присвячена неменша кшьюсть лгтературних джерел, до яких можна вщнести, нап-риклад [4, 5]. А от у випадку обчислення шдикаторно! функцп квантового не-чiткого вiдношення за допомогою шдикаторних функцш квантових неч^ких множин, що входять у нього, питання носить вщкритий характер. Слушно зазначити, що вперше поняття квантово! неч^ко1 множини введено автором у його робот [6], також розглядалося у роботах [7, 8] i пiзнiше уточнено у ро-ботi автора [9].
Мета. Визначити, в який спошб задаеться шдикаторна функцiя квантового нечеткого вiдношення за допомогою шдикаторних функцш квантових нечпких множин, що утворюють квантове нечгтке вщношення.
Постановка завдання. Запропонувати метод обчислення шдикатор-но! функцп квантового неч^кого вiдношення (бiнарного, тернарного та загалом N -арного) з шдикаторних функцш квантових неч^ких множин, що утворюють дане квантове неч^ке вщношення.
Основна частина. Як зазначалося, шдикаторна функщя чiткого, загалом N-арного, R с U = U1 х U2 х ... хUN вiдношення задаеться за допомогою
iндикаторних функцiй IA (щ), Ia2U), ..., Ian(un), U eUb U2 eU2, ..., uN e UN чiтких множин A1, A2, ..., AN вiдповiдно унiверсумiв U1, U2, ..., UN, що утворюють його в один спошб, а саме
IR ( U1, U2, ..., UN ) = IA1 ( U1) ■ IA2 (U2 ) ■... ■ I AN ( UN ) .
У неч^кому випадку треба зазначити, що шдикаторна функщя неч^-кого, загалом N -арного, fR с U = U1 х U2 х ... х UN вiдношення задаеться за
допомогою шдикаторних функцш f (U1), I a ( u2 ), ..., IfAN (un ), U1 eU1, U2 e U2, ..., uN e UN нечiтких множин fA1, fA2, ..., fAN вiдповiдно ушверсу-мiв U1, U2, ..., UN, якi утворюють його в декшька способiв, що можна вира-зити абстрактно у виглядi
IfR (ui, u2,..., un) = Fi { 1д (ui), Ia2 (u2), ..., Ian (un)}, i = i m ,
де: Fi - функци, що задають обчислення шдикаторно! функци N-арного не-чггкого вiдношення; якi можна знайти в [4, 5].
Для того, щоб розглянути, як обчислюеться iндикаторна функщя квантового нечiткого вiдношення з шдикаторних функцiй квантових нечiтких множин, що його утворюють, розглянемо уточнення означень понять: кван-тово! нечггко! множини, квантового нечiткого бiнарного вщношення, квантового нечiткого тернарного вщношення, квантового нечiткого N-арного вщ-ношення.
Означення 1. Квантовою нечткою множимою (quantum fuzzy set) qfA ynieepcyMy U називають сукупшстъ пар
Г def 1
j (u, I qfA (u)): I qfA (u) = \WqfA (u), u £ U, qfA С U,
def def
I qfA (u ) = \^qfA (u )): U ^ C = (C, Q c) ,
де: C = C, Qf^ - комплексна мультиплiкативна абелева (комутативна) група з нулем, C = {z: |z| < 1, z e C} - носiй, C - множина комплексних чисел, Qc = {•, *} - сигнатура, що мютить бшарну операцiю множення та унарну
операцш комплексне спряження.
Означення 2. Нормованою квантовою нечткою множимою qfA уш-
версуму U називають сукупшстъ пар
Г def 1
j (u, I qfA (u)): I qfA (u) = \WqfA (u), u £ U, qfA С U,
def def
I qfA (u ) = \VqfA (u )): U ^ C = f Q c) , де: C = {fC, Qf^ - комплексна мультиплiкативна абелева (комутативна) група з нулем, C = {z: |z| < 1, z e C} - носiй, C - множина комплексних чисел, Q C = {•, *} - сигнатура, що мютить бiнарну операцiю множення та унарну
операцш комплексне спряження;
IqfA ( u )
L (и) 1.
Означення 3. Квантовим нечтким бшарним вiдношенням qfR, зада-ним на декартовому добутку U1 х U2 унiверсумiв U1 та U2, називають сукупшстъ пар
Г def 1
j ((ui, u2 ), IqfR (ui, u2 )): IqfR (ui, u2 ) = | Ц/qfR (i, u2 )), (ui, u2 ) £ Ui X U2 k
def def
де: IqfR (ui, u2) = (ui, u2)): Ui х U2 ^Z = (Z, Q z), Z = (Z, Q z) -комплексна мультиплжативна абелева (комутативна) група з нулем, Z = {z: z e C, |z| < i} - носiй, C - множина комплексних чисел, Q Z ={•,*} -
сигнатура, що мютить бiнарну операцiю множення та унарну операщю ком-
плексне спряження;
I,
ц/К
( «1, «2 )|
\Ь2 ((1Хи 2 )
1.
Означення 4. Квантовим нечтким тернарним в1дношенням ц/К, задании, на декартовому добутку и1 х и2 х и3 ушверсум1в и1, и2 та и3, назива-ють сукупшстъ трток
Г ¿в/ Л
Шиь «2, «3), 1ф («1, «2, «3)): / («1, «2, «3) = | Щц/К («1, «2, «3)), («1, «2, «3) е и1 х и2 х и3 !> ,
¿в/
¿в/
де: I/(,«2,«3) = Щф(«1,«2,«3): и1 хи2хи3^2 = (2,Пх), Z= (2, П^ -комплексна мультиплшативна абелева (комутативна) група з нулем, 2 = {2:2 е С, |^ < 1} - носiй, С - множина комплексних чисел, П г ={•,*} -
сигнатура, що мютить бiнарну опе
плексне спряження;
1ф ( «1, «2, «3 )
эащю множення та унарну операщю ком-1.
¿2 ((хи2 хиэ )
Означення 5. Квантовим нечтким N-арним в1дношенням ц/К, зада-ним на декартовому добутку и1 х и2 х и3 х... х UN ушверсум1в и1, и2, и3, ..., UN, називаютъ сукупшстъ N-нок
¿в/
{ ((«1, «2, «3,-, ^), 1ц/К («1, «2, «3,--, UN)) : 1ф («1, «2, «3,-, ^ ) = | Щц/К («1, «2, «3,-, ^)),
(щ, «2, «3, ..., MN) е и х и2 х и3 х ... х UN} ,
¿в/
¿в/
де: / (( «2,..., UN) = Щ/ (и, «2,..., хи2 х... хUN = Пх), Z = (2, П х)
- комплексна мультиплжативна абелева (комутативна) група з нулем, 2 = {2:2 е С, 12 < 1} - носш, С - множина комплексних чисел, П 2 ={•,*} -
сигнатура, що мiстить бiнарну операцiю множення та унарну операщю ком-плексне спряження;
1ц/К (u1, ^ u3, UN)
1.
¿2(и2хи3х ... хUN)
Даш у роботi розглядатимемо нормоваш квантовi нечiткi множини, дефiнiцiю яких наведено в означенш 2 ще! роботи.
Нехай дано двi квантовi нечiткi множини ц/А1 унiверсуму и1 та ц/А2 унiверсуму и2 з шдикаторними функцiями вiдповiдно 1/А1 (щ ), 1/2 (и2), де и1 е и1, и2 е и2. Нехай квантовi неч^ю множини ц/А1 та ц/А2 породжують сво-!м декартовим добутком квантове нечггке бiнарне вiдношення ц/К = ц/А1 х ц/А2, яке належить унiверсуму и1 х и2, тобто ц/К с и1 х и2. Тодi можна сформулювати таке означення.
Означення 6. Нехай ц/А1 - квантова нечтка множина ушверсуму и1, яка задаетъся своею ¡ндикаторною функщею I/А1 (и1), и1 еи1 та ц/А2 - квантова нечтка множина ушверсуму и2, яка задаетъся своею ¡ндикаторною функщею 1ф2 (и2), и2 е и2. Якщо ц/А1 х ц/А2 = ц/К с и1 х и2, тод1 ¡ндикаторну
функщю квантового нечткого бтарного в1дношення д/Я обчислюють за формулою
йв/
I/ («1, «2) = 1/4 («1) ■ 1ф2 («2), де: «1 е и, «2 еи2, («1, «2)еи хи2.
Нехай дано три квантовi нечiткi множини д/А1 унiверсуму и1, д/А2 ут-версуму и2 та д/А3 ушверсуму и3 з iндикаторними функцiями вщповщно / («1), / («2), / («3), де «1 е иь «2 е и2, «з е и3. Нехай квантсш нечiткi множини д/А1, д/А2 та д/А3 породжують сво!м декартовим добутком квантове нечiтке тернарне вiдношення д/Я = д/А1 х д/А2 х д/А3, яке належить унiверсуму и1 х и2 х и3, тобто / с и1 х и2 х и3. Тодi можна сформулювати таке означення.
Означення 7. Нехай д/А1 - квантова нечтка множина ушверсуму и1, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1/4 («), «1 еи1, д/А2 - квантова нечтка множина ушверсуму и2, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1ф2 («2), «2 еи2 та д/А3 - квантова нечтка множина ушверсуму и3, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1/Аз («3), «3 еи3. Якщо д/А1 х д/А2 х д/А3 = д/Я с и1 х и2 х и3, то ¡ндикаторну функщю квантового нечткого тернарного в^ношення д/Я обчислюють за формулою
йв/
1д/Я («1, «2, «з ) = 1/4 («1) ■ 1/2 («2) ■ 1д/Аз («3) ,
де: «1 еиь «2 еи2, «з еиз, («1, «2, «з)еи х и2 х и3.
Нехай дано N квантових нечiтких множин: д/А1 ушверсуму и1, д/А2 унiверсуму и2, ..., qfAN унiверсуму UN з iндикаторними функцiями вщпо-вщно / («1), 1ф2(«2), ..., IфN(UN), де «1 еиь «2 еи2, ..., UN еUN. Нехай квантовi нечiткi множини д/А1, д/А2, qfAN породжують сво!м декартовим добутком квантове нечггке N-арне вiдношення д/Я = д/А1 х д/А2 х... х qfAN, яке належить ушверсуму и1 х и2 х... х UN, тобто д/Я с и1 х и2 х... х UN . Тодi можна сформулювати таке означення.
Означення 8. Нехай д/А1 - квантова нечтка множина ушверсуму и1, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1ф («1), «1 еи1, д/А2 - квантова нечтка множина ушверсуму и2, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1ф2 («2), «2 еи2 I т.д., gfAN - квантова нечтка множина ушверсуму UN, яка задаеться своею ¡ндикаторною функщею 1/Аы(uN), uN еUN. Якщо д/А1 х д/А2 х... х д/А3 = д/Я с и1 х и2 х... х UN, то ¡ндикаторну функщю квантового нечткого N-арного в^ношення д/Я обчислюють за формулою
йв/
Iд/Я («1, «2,..., «3) = 1д/А («1 )■ 1д/А2 («2)■... ■ 1/Аы (), де: «1 еиь «2 еи2, ..., UN еUN, («1,«2,...,UN)еи1 хи2х...хUN .
Висновки. 1) Уточнено означення понять: квантово! неч^ко! множини, квантового нечггкого бiнарного вiдношення, квантового нечiткого тер-
нарного вщношення та квантового неч1ткого N-арного вщношення. 2) Запро-поновано методи обчислення шдикаторних функцiй квантового нечеткого 6i-нарного вiдношення, квантового нечггкого тернарного вщношення, квантового нечггкого N -арного вщношення з шдикаторних функцш квантових неч1т-ких множин, що утворюють данi квантовi неч1тю вiдношення.
Лiтература
1. Бурбаки Н. Основные структуры анализа. Теория множеств / Н. Бурбаки : пер. з фр. Г. Поварова, Ю. Шихановича. - М. : Изд-во "Мир", 1965. - 457 с.
2. Архангельский А.В. Канторовская теория множеств / А.В. Архангельский. - М. : Изд-во МГУ, 1988. - 112 с.
3. Казимиров Н.И. Введение в аксиоматическую теорию множеств / Н.И. Казимиров : учебн. пособ. - Петрозаводск, 2000. - 104 с.
4. Рыжов А.П. Элементы теории нечетких множеств и ее приложений / А.П. Рыжов. -М. : Изд-во МГУ, 2003. - 81 с.
5. Мациевский С.В. Нечеткие множества / С.В. Мациевский : учебн. пособ. - Калининград : Изд-во КГУ, 2004. - 176 с.
6. Пастух О.А. Квантов1 неч1тю множини з комплексно значною характеристичною функщею i ïx використання для квантового комп'ютера / О. А. Пастух // Вюник Хмельницько-го нацюнального у-ту. - 2006. - Т.1, № 2. - С. 158-161.
7. Пастух О.А. Квантова неч^ка випадкова подiя та ïï маргинальна ампштуда ймовiр-носп / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нацюнального у-ту. - 2006. - № 5. - С. 58-60.
8. Пастух О.А. Повний бiунарний унощ квантових неч^ких булевих пщмножин на простер [0; <х) / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нацюнального у-ту. - 2007. - № 1. -С. 196-198.
9. Пастух О.А. Основи зв'язку шж математичними формалiзмами шформацшних систем, неч^ких шформацшних систем та квантових шформацшних систем / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нацюнального у-ту. - 2008. - № 3. - С. 87-98.
УДК 681.322 Доц. П.В. Тимощук, д-р техн. наук -
НУ "Львiвська nолiтехнiка"
СТРУКТУРНО-ФУНКЦЮНАЛЬШ СХЕМИ ПОД1ЛЬНИК1В ЧАСТОТИ ДИСКРЕТИЗОВАНИХ ГАРМОН1ЧНИХ СИГНАЛ1В
У ПАРНУ К1ЛЬК1СТЬ РАЗ1В
Запропоновано структурно-функцюнальш схеми подшьниюв частоти дискре-тизованих гармошчних сигналiв у парну кшькють pa3iB. Структура i параметри схем залишаються незмшними для довiльних скшченних значень амплiтуд i частот сигна-лiв. Перетворення сигналiв здiйснюeться лшшно, без спотворень амплiтуди i частоти. Подшьники не потребують додаткового фшьтрування вихiдних сигналiв.
Ключов1 слова: структурно-функцюнальна схема, подiльник частоти, дискре-тизований гармонiчний сигнал, аналогова математична модель, схемотехшчна реаль зацiя, елементна база.
Assoc.prof. P.V. Tymoshchuk-NU "L'vivs'kaPolitekhnika"
Structure-functional schemes of wide-range frequency dividers of sampled harmonic signals
Structure-functional schemes of frequency dividers of sampled harmonic signals in even number of times are proposed. Structure and parameters of schemes are not changed for any finite values of amplitudes and frequencies of signals. Signal transformation is fulfilled linearly without amplitude and frequency distortion. Dividers do not require an additional filtering of output signals.
