CC BY
4© 8е^уик Z.
СПЕЦИФ1КА ВИВЧЕННЯ МАТЕМАТИЧНИХ ФАКТ1В У КЛАСАХ СУСП1ЛЬНО-ГУМАН1ТАРНОГО НАПРЯМУ
З. О. Сердюк, канд. пед. наук,
Черкаський нащональний утверситет т. Б. Хмельницького,
м. Черкаси, УКРА1НА
Розглядаються деяк особливостi вивчення математичних теорем i формул. Про-понуеться система вправ для поетапного формування в учтв знань, вмть та навичок для Их засвоення.
Ключов1 слова: математичш факти, класи сустльно-гуматтарного напряму.
Постановка проблеми. Анашз цшей, змюту i завдань навчання математики в профшьних класах та змш, що вщбулися протягом остантх роюв, свiдчить про те, що реформування освiтньоi системи зм> нило прiоритети шюльно'1 осв^и в навчан-н математики: основним завданням курсу математики став загальний i математич-ний розвиток особистосп кожного учня. У зв'язку з цим остантм часом iнтенсивно дослщжують питання про органiзацiю процесу навчання математики, що сприя-тиме такому розвитков^ однieю з важли-вих складникiв якого е формування в учтв прийомiв розумово'1 дiяльностi, зокре-ма пiд час вивчення математичних факпв.
Однiею з причин виникнення трудно-щiв учнями клаав суспшьно-гуматтар-ного напряму (СГН) у вивченш математики е складнють у засвоеннi теоретичного матерiалу з математики, зокрема аксюм, теорем, формул тощо, особливо стереоме-три; вщсутнють зв'язку шж теоретичним матерiалом та його практичним застосу-ванням тощо. Анкетування вчителiв математики та учтв старших клаав, результата ЗНО свщчать про те, що яюсть навчан-ня математики в класах СГН щороку зни-жуеться [5].
Анал1з актуальних дослщжень. Ос-новнi дидактичш положення методики вивчення математичних факпв описанi в працях Г.П.Бевза, М.1.Бурди, В.О.Гусева,
П.М.Ердшева, Ю.М.Коляпна, Г.Л.Лукан-юна, М.В.Метельського, В.М.Осинсько'1, Г.1.Саранцева, О.1.Скафи, З.1.Слепкань, 1.М.Смирново'1, Н.А.Тарасенковоi та iн. Проте не досить дослiдженим залишаеться питання методики вивчення математичних понять у класах сустльно-гуматтарного напряму, пов'язаноi зi специфiкою зшсту, цiлей та завдань вивчення математики, програмовими вимогами до вивчення математики в таких класах.
Мета статл - визначити специфшу вивчення математичних факпв у класах сустльно-гуматтарного напряму.
Виклад основного матер1алу. Структура курсу алгебри та початюв аналiзу, що вщповщае програмi з математики для клаав СГН ^вень стандарту) [2; 4] наступна. У кура алгебри та початюв аналiзу продов-жуеться вивчення однiеi з головних змю-тових лiнiй - функцюнально!' лши. Учнi вивчають тригонометричнi, степенев^ по-казниковi й логарифмiчнi функци та 1'хш властивостi; операци диференцшвання та iнтегрування; засвоюють також таю змю-товi л1ни: числа й обчислення, вирази i пе-ретворення, рiвняння i нерiвностi. З'являеться нова зм^ова лiнiя - елементи теори ймовiрностей та математично'1 статистики.
Систему аксюм у кура алгебри та початюв аналiзу введено неявно [1; 4]. Бшь-шють властивостей функцш сформульо-
(и65)
вано у виглядi теорем. Проте доведения цих теорем у пщручниках для клаав СГН переважно або не запропоиоваио кзагалi, або, за програмою, вiд учиiв не вимагають таких знань.
Курс алгебри та початюв аиалiзу мю-тить велику кшьюсть нових, складних ма-тематичних формул. За нашими спостере-женнями, засвоення та, иайголовиiше, за-стосування цих формул у процеа розв'я-зування задач часто зумовлюють появу трудиощiв в учиiв клаав СГН. Тому методика вивчення формул у класах СГН мае будуватися як специфiчна для тако'' кате-горй учиiв.
Вивчення курсу геометри на рiвиi стандарту в класах СГН суттево вiдрiзняеться вiд аналогичного курсу, що вивчають на академiчиому чи на профшьному рiвиях [2]. Курс стереометрй в класах СГН побу-дований на штугтивно-дедуктивному рiвиi (за класифiкацiею Г.П.Бевза). Його вивчення починаеться з уведення системи аксiом стереометрй. Основш факти курсу стереометрй введено як теореми. Базовий набiр теорем та вимоги до 'х засвоення учнями класiв СГН передбачеиi програмою з математики ^вень стандарту). Знач-ну кшьюсть теорем на рiвиi стандарту за-пропоновано для засвоення без доведень, або ж доведення представлено тшьки для ознайомлення учтв - 1'х не вимагають за-сво'ти. Наприклад, теореми про обчислен-ня площ поверхонь, об'емiв геометричних тш тощо в курсi математики для клаав СГН запропоновано учням без доведення. Деяю властивосп та ознаки математичних об'ектiв учиi з'ясовують у процеа розв'я-зування задач. Здебшьшого використову-ють не часто, i тому учням не ставлять вимоги до 1'х запам'ятовування.
До математичних факпв, що вивчають у кура математики старших клаав, належать: аксюми, зокрема стереометр^', теореми, формули тощо.
Вщповщно до програми з математики на рiвиi стандарту [4], до засвоення математичних факпв висувають таю вимоги:
1) знати формули (тригонометричт; площ поверхонь та об'емiв призми, прави-
льно'' трамщи, цилiидра, конуса i кулi);
2) знати аксюми стереометр^';
3) знати властивостi й ознаки парале-льних i перпендикулярних прямих та площин; властивосп многогранниюв, тш обертання;
4) знати осиовиi властивосп логариф-мiв, осиовиi правила диференщювання та iитегруваиия фуикцiй, ознаки зростання (спадання) фуикцiй.
У курсi математики клаав СГН учням необхщно засво'ти велику кшьюсть складних математичних формул, аксюм, теорем, та, головне, навчитися правильно 'х використовувати тд час розв'язування рiзиомаиiтиих завдань.
Саме тут у школярiв часто виникають трудиощi через те, що вони:
1) нечгтко запам'ятали змют аксiоми, теореми, формули;
2) замшюють правильну формулу на-схожу за формою;
3) неправильно використовують змiсг аксiоми, теореми, формули;
4) не вмшть правильно (ращонально) обирати потрiбиу теорему чи формулу вщповщно до змюту завдання.
Дуже часто пiд час вивчення рiзних математичних формул в учиiв клаав СГН зорове утзнавання формули та розтзна-вання й зтсту не зб^аеться.
Тобто один iз складниюв змiстового аиалiзу - вiзуальиий або смисловий - за-лишаеться для учтв нерозкритим зовсiм або розкритим частково, що призводить, зокрема, до утворення так спайки шж формою i зшстом. Лише за умови повноцш-ного вiзуальиого та смислового аналiзу певно'' математично'' формули учш змо-жуть не просто запам'ятати й, але й правильно використовувати в рiзних завдан-нях.
Для запобiгаиия появi помилок й утворенню спайок шж змютом i формою доцiльио запропонувати учням уст та пись-мовi вправи з вiзуальними акцентами на тому чи на тому елеменп формули, яку необхщно засво'ти. На етат засвоення нового матерiалу важливо пропонувати учням класiв СГН спочатку завдання на ут-
© 8е^уик £
знавання, а попм - на розпiзнавання формул. У завданнях на упiзнавання формул варто використовувати вiзуальнi аналоги, що допоможе учням в подальшому не зу-пинятися на етапi вiзуального аналiзу, а поступово переходити i до змютового ана-л1зу.
Доцiльно пропонувати учням завдан-ня, що передбачають:
1) юльюсний аналiз формули (у цих завданнях варiюеться юльюсний склад формули);
2) покомпонентний аналiз формули (у таких завданнях юльюсть елеменпв формули залишаеться незмiнною, а варшеться значення одного чи юлькох компоненпв формули);
3) зiставний аналiз принаймт двох формул, якi е рiзними за змiстом, але ма-ють схожi оболонки.
Для роботи з теоремами варто запро-понувати учням клаав СГН систему усних запитань та вправ, що спрямована на за-своення теореми. Наприклад, тд час ви-вчення теореми про вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома паралель-ними площинами, слiд подавати учням запитання та завдання на зразок представ-лених нижче.
Завдання 1. У наведеному формулю-ваннi теореми про вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома паралель-ними площинами, е помилка. Яке слово уможливить 11 виправлення?
1) Вiдрiзки будь-яких прямих, яю лежать м1ж двома паралельними площинами, рiвнi.
2) Вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома площинами, рiвнi.
3) Вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома паралельними площинами, рiзнi.
Завдання 1 запропоновано учням для кращого засвоення формулювання теоре-ми.
Завдання 2. Учт по-своему сформу-лювали теорему про вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома паралельними площинами. Чи правильне твер-дження вони подали?
1) Вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать мiж будь-якими двома площинами, рiвнi.
2) Вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать мiж двома паралельними площинами, рiвнi.
3) Вiдрiзки будь-яких двох прямих, яю лежать м1ж двома паралельними площинами, рiвнi.
Завдання 2 перевiряе здатнiсть учнiв оперувати рiзними оболонками формулювання теореми та визначати при цьому 1х-не зм1стове наповнення. Тобто учнi пови-нш виявити, яю змши оболонки приводять до змiни змютового наповнення теореми, а яю - нi.
Завдання 3. Яка умова теореми про вiдрiзки паралельних прямих, що лежать мiж двома паралельними площинами?
Завдання 4. Яка вимога теореми про вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать мiж двома паралельними площинами?
Завдання 5. Що дано i що треба довести в теоремi про вiдрiзки паралельних прямих, яю лежать мiж двома паралель-ними площинами?
Завдання 3-5 доцiльно пропонувати учням для засвоення ними основних ком-поненпв теореми.
Завдання 6. Чи правильно, що вiдрiз-ки паралельних прямих, яю лежать м1ж двома паралельними площинами: 1) рiзнi; 2) рiвнi?
Завдання 7. Чи можуть вiдрiзки паралельних прямих, як1 лежать м1ж двома паралельними площинами, дорiвнювати: 1) 5 см i 7 см; 2) 5 см i 5 см; 3) 7 см i 7 см?
Завдання 6-7 сформульовано для вiд-працювання навичок i вмiнь застосування теореми до розв'язування задач.
П1д час вивчення нових математичних фактiв (теорем, формул) для учтв класiв СГН особливо важливим е закрiплення та застосування цих факпв. Для устшного 1х використання необхiдно створити систему задач, спрямованих на вiдпрацювання за-своених знань, навичок i вмшь [3].
Система задач повинна задовольняти так1 вимоги:
1) вiдпрацювання певного математич-
ного факту (формули, теореми) в прямому формулюванш;
2) вщпрацювання певного математич-ного факту (формули, теореми) в непрямому формулюваииi;
3) кожна задача повинна мiстити що-найменше три iдеитичиi набори числових значень;
4) систему задач потрiбио будувати в напрямi ускладнення.
Наприклад, тд час вивчення теми «Паралелепшед» (геометрiя, 11 клас) уч-ням пропонуеться для засвоення теорему: «Квадрат дiагоиалi прямокутного парале-лепiпеда дорiвиюе сумi квадрат1в трьох його вимiрiв» [1, с. 230].
У пщручнику для застосування цiеi теореми подано всього одну задачу. Зви-чайно, для устшного засвоення матерiалу школярами клаав СГН цього недостатньо. Тому для за^плення теореми пропонуе-мо систему задач.
Задача 1. У прямокутному паралеле-пiпедi АВСОА1В1С1О1 АВ = а, АО = Ь, АА1 = с, А1С = ё. Визначте його дiагоиаль, якщо: 1) а = 4 см, Ь = 5 см, с = 3 см; 2) а = 5 см, Ь = 6 см, с = 8 см; 3) а = 2 см, Ь = 3 см, с = 4 см.
Задача 2. У прямокутному паралеле-mпедi вимiри дорiвнюють а, Ь, с. Визначте квадрат його дiагоиалi, якщо:
1) а = 2 см, Ь = 4 см, с = 6 см; 2) а = 1 см, Ь = 4 см, с = 8 см; 3) а = 5 см, Ь = 2 см, с = 3 см.
Задачi 1-2 розраховат на безпосеред-не застосування теореми про квадрат дiа-гоиалi прямокутного паралелепшеда. Для роботи на уроц доцшьно запропонувати учням пункти 1), 2) з кожно'' задачу а пункт 3) зарахувати до домашньо' роботи.
Задачi 3-5 запропоновано учням для вщпрацювання ще! ж теореми, однак вони передбачають не безпосередне й застосу-вання.
Задача 3. У прямокутному паралелепшеда АВСОА1В1С1О1 АВ = а, АО = Ь, АА1 = с, А1С = ё. Знайд^ь квадрат його бь чного ребра, якщо:
1) а = 2 см, Ь = 3 см, ё = 8 см; 2) а = 5 см, Ь = 6 см, ё = 10 см; 3) а = 1 см,
Ь = 2 см, ё = 3 см.
Задача 4. У прямокутному паралеле-пiпедi дiагоиаль дорiвнюе ё, а сторони ос-нови - а i Ь. Визначте його бiчне ребро, якщо:
1) а = 3 см, Ь = 4 см, ё = 10 см;
2) а = 5 см, Ь = 5 см, ё = 5а/3 см;
3) а = 4л/3 см, Ь = 4л/б см, ё = 13 см.
Задача 5. У прямокутному паралеле-пiпедi дiагоиаль дорiвнюе ё, сторона осно-ви а, бiчне ребро - с. Визначте шшу сторону основи, якщо:
1) а = 2 см, с = 3 см, ё = 6 см;
2) а = 4 см, с = 4 см, ё = 4^/3 см;
3) а = 2^/3 см, с = 2Тб см, ё = 10 см.
У задачах 6-9 учт повинш знайти пе-вний елемент паралелепшеда, використа-вши теорему про квадрат дiагоиалi паралелепшеда як допомiжний зааб для пошу-ку цього елемента.
Задача 6. Диагональ прямокутного паралелепшеда дорiвнюе ё, а його висота -И. Визначте дiагоиаль основи, якщо:
1) ё = 13 см, И =12 см; 2) ё = 10 см, И = 8 см; 3) ё = 17 см, И = 5 см.
Задача 7. Диагональ паралелепшеда дорiвнюе ё. Визначте довжини трьох його ребер, яю виходять з одше'' вершини, якщо ''хт довжини вщносяться як 4 : 5 : 6:
1) ё = 477 см; 2) ё = 7л/ТГ см;
3) ё = Пл/7 см.
Задача 8. Диагональ паралелепшеда дорiвнюе ё. Визначте найменше з трьох його ребер, яю виходять з одше' вершини, якщо ''хт довжини вщносяться як 2 : 3 :
^л/э :
1) ё = 2л/Г0 см; 2) ё = 4л/Г0 см;
3) ё = 10л/2 см.
Задача 9. Дiагоиалi граней прямокутного паралелепшеда дорiвнюють ё1, ё2, ё3. Запиш^ь формулу для обчислення дiаго-налi паралелепiпеда та визначте 'й, якщо: 1) ё1 = 11 см, ё2 = 19 см, ё3 = 20 см;
2) ё1 = 5 см, ё2 = 6 см, ё3 = 8 см;
3) ё1 = 6 см, ё2 = 8 см, ё3 = 10 см.
Запропонована система задач сприяе цiлеспрямоваиому вiдпрацюваиию дано''
©
© Serdyuk Z.
теореми не лише в межах кожно! окремо! задач^ а й у 1х сукупностi. При цьому учень аналiзуе, порiвнюе, узагальнюе спо-соби розв'язування задач у цшому.
Висновки. Отже, осо6ливо! уваги до-слiдникiв потребуе проблема розробки методики вивчення математичних факпв (аксiом, теорем, формул) у класах рiзних напрямiв профшзаци. При цьому необ-хщно враховувати особливостi контингенту таких клаав, особливосп змiсту та ви-мог до засвоення математичних факпв, аналiз типових помилок учнiв тощо.
1. Бурда М.1. Математика, 10-11: На-вчальний посгбник для шюл, лщеш та г1мназШ гуматт. профтю / М.1.Бурда, О.С.Дубинчук,
Ю.1.Мальований. - К.: Освгта, 2006. - 287 с.
2. Концепщя профтьного навчання у старшт школ1 //Математика в школ1, 2006. -№ 1. - C. 2-7.
3. Лосева Н.М. Розвиток особистост1 учня в процеа вивчення геометрп /Н.М.Лосева // Дидактика математики: проблеми i дош-дження: м1жнар. зб. наук. роб1т. - Вип. 28. -Донецьк: Вид-во ДонНУ, 2007. - С. 145-148.
4. Математика. 5-12 класи. Програма для загальноосвттх навчальних заклад1в. - К.: «Перун», 2005. - 64 с.
5. Сердюк З. О. Пор1вняльний анал1з навчальних досягнень учшв гумаштарних та за-гальноосвтшх клаав / З. О. Сердюк // В1сник Черкаського ушверситету: Сер1я «Педагоггчш науки». - Вип. 93. - Черкаси: Вид. в1д. ЧНУ ¡м. Б.Хмельницького, 2006. - С. 131-136.
Резюме. Сердюк З.А. СПЕЦИФИКА ИЗУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ФАКТОВ В КЛАССАХ ОБЩЕСТВЕННО-ГУМАНИТАРНОГО НАПРАВЛЕНИЯ. Рассматриваются некоторые особенности изучения изучения математических фактов в классах общественно-гуманитарного направления. Предлагается система упражнений для поэтапного формирования в учеников знаний, умений и навыков по их усвоению.
Ключевые слова: математические факты, классы общественно-гуманитаного направления.
Abstract. Serdyuk Z. SPECIFIC FEATURES OF STUDYING MATHEMATICAL FACTS AT SOCIAL AND HUMANITARIAN CLASSES. The features of studying mathematical facts at social and humanitarian classes are examined. The system of exercises for step- by- step formation in the students the knowledge, skills and habits in their learning-system of exercises for mastering them is offered.
Key words: mathematical facts, social and humanities classes.
Стаття представлена професором Н.А. Тарасенковою.
Надшшла доредакцп 2.04.2011 р.
