ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ "ТЕОРЕМА ПИФАГОРА” Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вельмишановна ЗшаХда 1ватвна!

Бажаю щастя Вам й достатку, Ясного неба I тепла В життг лиш злагоди й порядку, Щоб доля свтлою (гула. В роботг - устху й тертння, У справа^ - вгчного горгння, В ст 'г - уваги I добра.

У

Лутченко Людмила 1вашвна,

кандидат педагопчних наук, доцент кафедри прикладно! математики, завщувач педагопчною практикою студенпв Кровоградського державного педагопчиого ушверситету ш.В.Винниченка.

Захистила кандидатську дисертащю у 2003 р. тд кер1вництвом З.1.Слепкань на тему: „Оргатзащя самостийно! навчально-тзнавально! д1яльност1 учтв 7-9 класгв при вивченн математики ".

ДИФЕРЕНЦ1ЙОВАНА СИСТЕМА ВПРАВ ДЛЯ САМОСТ1ЙНО1 РОБОТИ УЧН1В ПРИ ВИВЧЕНН1 ТЕМИ "ТЕОРЕМА П1ФАГОРА"

Л.1.Лутченко, кандидат педагог. наук, доцент, Кровоградський державний педумверситет м.В.Винниченка,

м.Кровоград, УКРА1НА

Стаття присвячена оргатзацИ' самостШно! навчально-тзнавально! дгяльностг учтв тд час вивчення теми «Теорема Шфагора» (8 клас) в умовах упровадження р1внево! диференщацп / особово-ор1ентованого навчання.

Сучасне реформування шкшьно! мате-матично! освгти ставить за мету переор1ен-тацш процесу навчання на особиспсть дитини, що у свою чергу породжуе потребу у нових тдходах до оргатзаци самостшно1 навчально-тзнавально1 даяльносп школя-р1в при вивчент математики.

У процеа пiцготовки самоспйно1 робо-ти учтв вчителев1 необхiцно попередньо чгтко визначити той мiнiмум завдань 1 вправ, розв'язування яких передбачае такий комплекс знань, навичок 1 умшь учн1в з конкретно! теми, що вщповщае м1н1мальним вимогам до математично! п1дготовки шко-

лярiв; зпдно цього мЫмуму скласти Ha6ip завдань, який слiд вiднести до обов'язкового piBHH, та на оснои ix пiдi6рати вправи для пiдвищеного й поглибленого piBra.

Складена система завдань для само-стiйноi роботи учшв повинна вiдповiдати таким вимогам:

• змпст завдань повинен вiдповiдати конкретним розвиваючим, навчальним та виховним щлям уроку та програмному матеpiалy;

• ваpiативнiстъ завдань мае задовольня-ти диференцшованим програмовим вимогам;

• враховувати вiковi та iндивiдуальнi можливосп учнiв;

• передбачаги своечасну допомогу гим учням, якi 11 погребуюгь (шструкци. Вказiвки, малюнок гощо), враховуючи пое-гапне просування вiд незнання до знання;

• не порушуваги насгупнiсгь га пер-спекгивнiсгь навчання;

• реалiзовуваги прикладну спрямова-нiсгь навчання; серед вправ маюгь буги за-дачi прикладного змiсгу, яю не включаюгь гермiнiв, незрозумiлих учням або гаких, що вимагаюгь громiздких пояснень вчигеля тд час мегодичних вказiвок.

Розглянемо змсг диференцiйованих вправ для формування навичок i умiнь з геми "Теорема Шфагора", 8 клас. Головна мета геми - сформуваги апараг розв'язу-вання прямокугних грикугникiв, необхщ-ний для знаходження елеменпв плоских i просгорових геометричних ф^р, доведен-ня георем платмегри й сгереометри. Основними завданнями дано1 геми е:

• забезпечиги засвоення школярами геореми Шфагора й стввщношень мiж сгоронами й кугами прямокугного грикуг-ника, що випливаюгь iз означення синуса, косинуса й гангенса госгрого куга прямо-кугного грикугника;

• навчиги учнiв розв'язуваги задачi (в тому чист й прикладнi) за основними алгоритмами розв'язування прямокугних три-кутникiв.

Знання з дано1 теми й умшня засгосо-вувати 1х на практицi е необхiдними при доведенш ряду теорем i розв'язуванш складнiших задач у курсi платмегри й сгереометри. Варто домогтися мiцних навичок практичного застосування цих факпв у розв'язуваннi обчислювальних задач, ос-кшьки вiдповiднi умiння використовуються i в курсi фiзики. Особливу увагу слiд придi-лиги задачам на доведення й побудову, адже саме за 1х допомогою найбiльше досягаегься розвигок просгорово1 уяви, логичного мислення та креативносп, що сприяе викорисганню геомегричного апа-рату для вивчення таких предмет1в як фiзи-ка, креслення, трудове навчання та ш.

Обов 'язковий р1вень

1. Яке з наступних чотирьох чисел: 1,2; 5/4; -0,2; 0,86 - може бути значенням косинуса гострого кута а?

2. У прямокугному трикутнику АВС з вершини прямого куга С проведено висоту СП. ОбчислитиАВ, якщо АС = 4 см, АЛ = 3 см.

3. Знайдать ппогенузу i гострi кути прямокутного трикутник за катетами а = 5 см IЬ = 10 см.

4. а) Яко1 довжини мае бути драбина, щоб 11 можна було присгавити до вiкна, що мютиться на висотi 6м, коли вщсгань нижнього юнця драбини вщ будинку повинна дорiвнювати 2,5 м? б) Драбина завдовжки 9 м приставлена до спни будинку так, що нижнш юнець й вiддалений вiд стiни на 3 м. На якш висоп буде верхнш юнець драбини?

5. Побудуйте прямокутний трикутник, якщо вщомо, що косинус його гострого кута дорiвнюе 3/4, а бiсектриса, проведена з вершини цього кута, дорiвнюе т.

6. Для крiплення щогли по^бно встановити чотири троси. Один юнець кожного тросу повинен за^плюватися на висоп 12 м, другий - на землi на вщсгат 5 м вiд щогли. Чи вистачить 50 м троса для ^плення щогли?

7. а) Дано: а = 9 см, Ь = 12 см. Обчислити с, И, ас, Ьс. б) Дано: а = 12 см, с = 13 см. Обчислити Ь, И, ас, Ьс.

8. Побудуйте кут, тангенс якого дорiв-нюе 0,75.

9. У прямокутному трикутнику АВС а = 38 см, Ь = 16 см. Обчисллъ площi кожного iз заштрихованих прямокутниюв, побу-дованих, як показано на рис. 1 а, б, в.

10. Чи можна побудувати трикутник iз сторонами, що дорiвнюють: а) 2 см,

5 см i 7 см; б) 4 см, 8 см i 11 см; в) 5 см,

6 см i 12 см?

Шдвищений ргвень

1. Визначити довжину транспортера, горизонтальна проекщя якого 16м, один з кшщв знаходиться нижче вщ рiв-ня землi на 0,3 м, а другий - вище вщ рiвня землi на 7,5 м.

2. Дано квадрат з стороною, рiвною 10 см. На однш з його дiагоналей як на сто-

@

рои побудовано другий квадрат: а) обчис-ллъ сторону й д1агональ побудованого квадрата; б) доведггь, що одна з вершин

С h

даного квадрата е точкою перетину д1аго-налей побудованого квадрата.

а)

3. Хлопчик поплив вщ берега р1чки, весь час рухаючись перпендикулярно до берега (береги р1чки вважаемо пара-лельними). Плив вш, наближаючись до протилежного берега з швидкютю 3 км/год. Через 5 хв. хлопчик був на

б)

В)

Рис. 1

протилежному береза Знайти на якш вщсташ вщ мюця початку запливу вш вийшов на протилежному берез1, якщо швидкють течи р1чки дор1внюе 6 км/год.

4. Обчисшть вщсташ: АС, АЕ i СЕ (рис. 2).

Рис. 2

5. Побудуйте прямокутний трикутник, якщо вiдомо, що косинус його гострого кута дорiвнюе 3/4, а бюектриса, проведена з вершини другого гострого кута, дорiвнюе m. б) Побудуйте прямокутний трикутник, якщо косинус одного з його гострих купв дорiвнюе 1/2, а висота, проведена до ппоте-нузи, дорiвнюе h.

6. З точка А до прямо! а проведено похилу АВ. Зафарбуйте фiгуру, утворену всiма похилими, яю проведенi з точки А i меншi похило! АВ.

7. Один з гострих купв прямокутного трикутника дорiвнюе 30°, а прилеглий до нього катет дорiвнюе 3 см. Знайдггь медiану цього трикутника, проведену до ппотенузи.

8. Дано вiдрiзки a, b, c. Побудуйте

вiдрiзок -Ja2 + b1

— /

9. З точки А, яка лежить поза прямою MN, проведено до ще! прямо! двi похилi.

Одна з них мае довжину 13 см, а !! проекцiя на цю пряму дорiвнюе 5 см. Обчисшть довжину друго! похило! i !! проекцiю на пряму, якщо ця похила утворюе з прямою кут: а) 30°, б) 45°.

10. Ращус круга дорiвнюе 25 см. У цьо-му крузi побудовано двi паралелънi хорди завдовжки 14 см i 4 см. Обчисшть вщстань мiж хордами.

Поглиблений ргвень

1. Знайдать радiус кола, що дотикаеть-ся всiх сторш ромба з дiагоналями 6а i 8а.

2. У колi ращуса 5 см проведено даа-метри АВ i CD: а) доведгть, що чотирикут-ник АCBD - прямокутник; б) знайдiтъ довжину вiдрiзка ВС, якщо довжина вiдрiзка АС рiвна 2.

3. Побудуйте прямокутний трикутник, якщо вщомо, що косинус його гострого кута дорiвнюе 2/5, а бюектриса, проведена з вершини прямого кута, дорiвнюе т.

2

(И8)

4. 1) Чи можуть довжини вс1х сторш прямокутного трикутника виражатися: а) парними числами; б) непарними? 2) Чи можуть довжини лише двох сторш прямо-кутного трикутника виражатися: а) парними числами; б) непарними? Навед1ть приклади.

5. Якими трьома посл1довними нату-ральними числами можуть виражатися сторони прямокутного трикутника?

^ „ . . , аЬ а2 Ь2

6. Довед1ть: а) п = —; б)

а

Ь„

в1др1зок

якщо:

в) п = у1 ас Ьс .

7. Побудуйте

1) х=42Ье ; 2) х= ; 3) х=Л/(а+Ь)с , де а, V 2

Ь, с - дат в1др1зки.

8. Дано в1др1зки а 1 Ь, а > Ь.

Побудуйте в1др1зок ^а2 +Ь2 -д/а2 -Ь2 .

9. У дане коло впиштть прямокутник заданого периметра. Виконайте побудову для Я = 3 см, Р = 16 см.

10. Спостер1гач бачив спну АВ з двох пункпв п1д кутами по 30°. Вщстань м1ж пунктами 300 м, перший знаходиться на твдень в1д В, а другий - на схщ в1д А. Визначте довжину стши.

П1д час розв'язування тако! системи вправ треба звернути увагу на таю 1стотн1 моменти.

По-перше, учн з ц1кав1стю вивчають геометрш, якщо вчитель на уроц1 пропонуе "життевий матер1ал", зокрема прикладн1 задач1. Оскшьки учн1 8 класу ще не знайом з моделюванням, то в процеа розв'язування задач №№ 4, 6 обов'язкового р1вня, №№ 1, 3 тдвищеного р1вня та № 10 пог-либленого р1вня сл1д ор1ентувати учн1в на таку посл1довн1сть !х розв'язання:

1. Продумай, властивосп яко! геомет-рично! ф1гури задовольняють умов1 задач1? Зроби рисунок до задач1.

2. Запиши стввщношення м1ж вщоми-ми елементами дано! ф1гури та нев1домими.

3. Знайди нев1дому величину, розв'я-завши отримане р1вняння.

4. З' ясуй, чи задовольняе розв' язок умову задач1.

5. Запиши повну правильну в1дпов1дь.

Звичайно, тд час розв'язування таких задач вчитель здебшьшого опираеться на життевий досвщ учн1в та !х 1нту!цш, але водночас процес розв'язування розвивае в учтв лопку мислення, орипнальтсть думки, креативн1сть, що позитивно впливае на загальний розвиток школяр1в.

По друге, систематичне розв' язування вчителем на уроках геометри задач на побудову сприяе глибокому розумшню властивостей геометричних ф1гур та роз-витку творчих зд1бностей учн1в. У процеа розв' язання таких задач треба потурбува-тися, щоб учт набули чгтких уявлень про конф1гурац1ю й зв'язки геометричних обра-з1в, ур1зноман1тнювати види в1дпов1дних домашн1х завдань, тод1 й учн1в будуть про-являти активисть 1 винахщливють.

Саме до таких задач вщносяться №№ 5, 8 обов'язкового 1 пщвищеного р1вн1в; та №№ 3, 7-10 поглибленого р1вня. 1х роз-в' язання обов' язково треба розпочинати з аналзу, який являе собою пошук способу розв'язання задач! Мета анал1зу полягае у встановлени таких зв'язк1в м1ж шуканими та заданими елементами, яю дозволять скласти план побудови шукано! ф1гури. Аналзуючи задачу, учи повинн1 проявити максимум кмпливосп й винахщливосп. Пошук способу побудови розпочинають з припущення про те, що задача розв'язана, тобто ф1гуру побудовано. Зображають в1дпов1дну ф1гуру на рисунку, вивчають властивосп побудовано! ф1гури 1 !! зв'язки з даними задач1, поки не встановлять послщовшсть побудов, яка приводить до розв'язання. Якщо рисунок не пщказуе безпосереднього способу побудови шукано! ф1гури, то на ньому виконують р1зи допом1жш побудови, щоб одержати деяку допомпжну ф1гуру, яка легко будуеться й за допомогою яко! легко побудувати шукану

ф1гуру.

Якщо задача нескладна, то побудова ф1гури зводиться до виконання елементар-них побудов. При розв'язувант складних задач розчленовувати побудову на елемен-тарн1 недоц1льно, бо кшьюсть елементар-них побудов настшьки зростае, що описан-ня побудови стае громоздким. Тому прак-

с

тично побудову зводять до базових задач на побудову.

Наыть в нескладних задачах на побудову бажано проводит доведення, яке дае пiдстави стверджувати, що побудована фь гура вiдповiдае всiм вимогам задач^ тобто задача розв'язана правильно. Доведення передбачае вщповщь на два питания: 1) чи мае побудована фiгура задану форму (е р^в-нобедреним трикутником, трапещею, пара-лелограмом тощо); 2) чи вiдповiдаютъ роз-мiри 11 елементiв умовам задача Як свщ-читъ практика, у результат самостшного розв 'язування (особливо вдома) у бшь-шост слабких учнiв деяк елементи побу-довано! фiгури не дорiвнюютъ заданим еле-ментам. Цей недолiк вдаеться усунути тшь-ки завдяки систематичнi робот вчителя, який орiентуе учнiв на те, що доведення в

задачах на побудову е обов'язковим ета-пом, привчае дiтей завжди порiвнювати всi елементи побудовано! фiгури iз заданими.

Щкавим е етап дослщження, де учиi активно проявляють iиiцiативу й винахiдли-вiстъ. Мета дослщження в задачах на побудову полягае в з'ясуванш трьох питань:

1. Чи при будь-якому виборi даних елементiв задача мае розв'язок?

2. При якому виборi даних вона не мае розв'язку?

3. При якому виборi даних задача мае розв'язки й скшьки?

Задач^ якi розв'язуються безпосе-редньо, тобто не потребують розгляду уск чотирьох етатв, i можуть бути використаш як базовi при розв'язанш бiльш складних задач на побудову пщ час вивчення теми "Теорема Шфагора" подано в табл. 1.

Таблиця 1

Базов1 задача на побудову при вивченш теми "Теорема Пифагора"

№ п/п Побудувати B^pi30K Рисунок до задачi Розв'язання

1. a x = — n ' (а-заданий вщр]зок, n-вiдоме натуральне число) Ж Нехай АВ = а. На довшьнш прямiй АС вщкладемо вщ точки А n рiвних вiдрiзкiв довiльноi довжини; нехай С буде юнцем останнього вщр]зка. Сполучивши С i В, з точок под1лу прямоi АС проведемо прям], паралельнi СВ; щ прям] подалять АВ на n р1вних частин.

2. AL m LB n (п^-вщом] натуральнi числа) На дов№нш прямш лши АС вщкладемо n+m р]]вних довшьних частин так, щоб кожна частина дор1внювала а; сполучивши С i В, з точки Р (m-oi точки подлу вщ А) проведемо л1н]ю паралельну ВС; у перетиш дстанемо шукану точку L, тому що А^ LВ=АР:РС= та: па=т:п.

Якщо т i п - в]др]зки, а не числа, то треба вщкласти АР=т i СР=п. Оскльки лшю, паралельну прямш ВС можна було провести з друга точки подлу вщ А, то, якщо m i п нер1вш, задача матиме два розв'язки. Якщо ж вщносне положения шуканих вщр]зкв повинно бути ц1лком визначеним, наприклад, бшьший в]др]зок повинен виходити з точки А, то д1станемо один розв'язок.

3.

х = ал/2,

х = ал[3 , х = ал/5

1 т.д.,

(а-заданий в1др1зок)

Скористаемося теоремою П1фагора для прямокутного трикутника. На сторонах прямого кута вщкладемо вщр1зки, що дор1внюють а. Тод1 гшотенуза буде дор1в-

нювати а л/2.

Якщо ж взяти гипотенузу ал/2 за катет, а за шший катет - вщр1зок а, то в одержаного прямокутного трикутника

гшотенуза буде дор1внювати а>/3.

Використовуючи вже побудоваш

вщр1зки ал/2, а л/3 й теорему П1фагора по аналоги можна побудувати вщр1зки

^л/5 1 т.д.

4.

-л[аЬ ,

(а I Ь-задаш в1др1зки)

Розв'язуючи задач на обчислення учн1 розглядають базову задачу про властивють висоти, опущено!' з прямого кута прямокутного трикутника, тобто Ьс=^ас Ьс, де ас 1 Ьс - проекци катепв на ппотенузу. Звщси випливае метод побудови вщр1зка х. На деякш прям1й вщкладаемо вщр1зок а=АВ, попм вщр1зок Ь=ВБ, розхилом циркуля, що дор1внюе половиш АО, побудуемо коло на АО як на даметрц в точщ В проведемо перпендикулярну пряму до АО до перетину з колом в точщ С. Трикутник АОС - прямокутний (^АСБ=90°). Вщр1зок ВС 1 буде шуканим.

5.

х = ^а2 + Ь2 ,

(а I Ь-задан1 в1др1зки)

Скористаемося теоремою П1фагора для прямокутного трикутника. На сторонах прямого кута вщкладемо вщр1зки, що дор1внюють а 1 Ь. Тод1 гшотенуза одержаного таким чином прямокутного трикутника, буде дор1в-нювати шуканому вщр1зку.

6.

х

= 4^- а2

(а I Ь-задаш в1др1зки)

Скористаемося теоремою П1фагора для прямокутного трикутника. Побудуемо прямокутний трикутник з гшотенузою с 1 катетом а. Тод1 шший катет 1 буде шуканим вщр1зком.

За допомогою цих базових задач мож-на детально розглянути побудову бшьш складних в1др1зк1в:

• х = -у/аЬ - с2 , (а, Ь, с - задан в1др1зки);

• х = \[аШ , (а, Ь, с, ё - задан1 вщр1зки);

• х = д/ а2 + Ь2 + с2 + ё2 , (а, Ь, с, ё -задат вщр1зки);

• х = ^а2 + Ь2 - аЬ , (а, Ь - задат вщр1з-ки) та шших.

Розглянемо для прикладу одну задачу на побудову, яку корисно запропонувати учням на факультатив1.

Задача. У дане коло вписати прямокут-ник заданого периметра.

Аналгз. Припустимо, що задача розв'я-зана 1 прямокутник ЛВСВ побудований (рис. 3), тобто АВ+ВС+СВ+ВА =Р, тод1 АС=2Я, а твпериметр р=АВ+ВС.

Очевидно, що для побудови прямокут-ника потр1бно знайти його сторону, наприк-лад, АВ. Позначимо А8=х. ТомВС=р-х.

АВ

За теоремою Шфагора:

2 + ВС2=АС2, тобто х2 +

2х2

2рх + р

(Р - х)2 - 4R2

(2R)2,

+

Х1,2 = '

V8R2 -

Отже, побудова фактично звелася до побудови вiдpiзка

R )2

+.

х = •

Побудуемо, наприклад, для R = 3, Р =16, тобто p = 8.

План побудови

1. Будуемо у = 42 r (базова задача №3, табл.1);

2. z = 2л/2 R (вiдкладаемо на пpямiй два вiдpiзки, piвних у);

3. v=-yjz2 -p2 (базова задача J№6, табл.1);

4. X] = (p + v)/2 (вщкладаемо на пря-мш послiдовно два вiдpiзки р, а попм v й отриманий вiдpiзок дiлимо навпiл);

5. X2 = (p - v)/2.

Побудувавши прямокутник ABCD з стороною АВ = Х], робимо висновок, що й

ВС = х2.

Побудова

Рис.4

Доведения.

Правильнють побудови випливае з ана-лiзy й побудови, але нео6хiдно впевнитися, що дiйсно х1 + х2 = р = 8, а отже, АВ + ВС + СD + AD = 16. Зробити це можна шляхом вимпрювання.

Дослгдження.

При R = 3 i Р = 16 задача мае единий розв'язок, так як х= АВ, х2 = ВС.

У загальному випадку вона мае розв'язок, якщо можна побудувати вiдpiзок

-^((42r)2 - p2 . Тому 242R > p i

р -^((42R)) - p2 >0,2р2 >8R2, отже, 2R

Zp Z242R Бажано показати це для учшв

i на малюнку. Дшсно, не можна побудувати трикутник, у якого сторона 6iльша за суму двох шших стоpiн.

Ефективна оpганiзацiя самосгiйноi' робо-ти учив на уроках математики в умовах ди-ференщавд навчання дозволить удоскона-лити навчально-тзнавальний процес, пщви-щити його pезyльтативнiсгъ, сприятиме im^-лектуальному розвитку yчнiв, 1х самоспйнос-

ii та творчш активносп.

2

Резюме. Лутченко Л.И. ДИФФЕРЕНЦИРОВАННАЯ СИСТЕМА УПРАЖНЕНИЙ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ УЧАЩИХСЯ ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ „ТЕОРЕМА ПИФАГОРА". Статья посвящена организации самостоятельной учебно-познавательной деятельности учащихся при изучении темы «Теорема Пифагора» (8 класс) в условиях внедрения уровневой дифференциации и личностно-ориентированного обучения.

Summary. Lutchenko L. DIFFERENTIATED SYSTEM OF EXERSIZES FOR PUPILS' SELF-DEPENDENT WORK IN THE PROCESS OF STUDYING THE THEME "THEOREM OF PYTHAGORE". The article runs about the organization of the independent learning activity of the pupils of grades 8 while studying «Phifagor theorem» which is on the principles of level differentiation and personallyoriented teaching. Надшшла до редакцп 2.02.2006р.